1.7 有理数的乘方及有理数的混合运算（5个知识点+5类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（华东师大版2024）

1.7有理数的乘方及有理数的混合运算 课程标准 学习目标 ①有理数乘方的意义 ②有理数的乘方运算 ③有理数的混合运算 1. 掌握有理数的乘方的意义，理解幂，底数，指数的相关概念并能够熟练的指数幂中的底数和指数。 2. 掌握有理数的乘方的运算法则，能够熟练的进行乘方运算。 3. 掌握有理数的混合运算法则，能够熟练的对有理数进行混合运算。 知识点01 有理数的乘方的意义 求 的积的运算叫做乘方。一般地：（个）可以记作： ，读作： 。当把看做的次方的结果时，也可读作： ，所以乘方的结果叫做 ，其中是 ，是 。 特别提示： （1） 当指数是 时，指数省略不写。即直接写成。 （2） 当底数是 或 时，要把底数用括号括起来。如－2的三次方写成 ； 的四次方写成 。 （3）任何数都可以看做是它本身的 次方，一个数的2次方可以读作： ，一个数3次方可以读作： 。 【即学即练1】 下列对于式子的说法， 错误的是（    ） A．指数是2 B．底数是 C．幂为 D．表示2个相乘 【即学即练2】 把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2) 知识点02 有理数的乘方的计算 。在计算有理数的乘方时，先根据有理数的乘方的意义把有理数的乘方转化为 ，计算时先确定幂的 ，在计算幂的 。可以计算出结果，也可以用幂来表示结果。 特别提示： （1） 正数的任何次方都是 。 （2） 负数的奇次方是 ，负数的偶次方是 。 （3） 0的任何正整数次方（除0外）都得 。 （4） 1的任何次方都得 ，﹣1的奇次方得 ，﹣1的偶次方得 。 【即学即练1】 下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【即学即练2】 计算： ， ， ． 知识点03 有理数的偶次方 由乘方的计算可知，任何一个数的偶次方得到的结果都 ，即任何数的偶次方（常考有理数的平方）都是 ，非负数具有 。几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于 。即，则 。 【即学即练1】 任何一个有理数的偶次幂必是（　　） A．负数 B．正数 C．非正数 D．非负数 【即学即练2】 在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【即学即练3】 若，则的值为 ． 知识点04 的区别与联系 1. 三者的意义（区别）： 表示的意义是 ，即 ，底数是 。 表示的意义是 ，即 ，底数是 。 表示的意义是 ，即 ，底数是 。 2. 三者的联系 （1） 当为奇数时， 和 相等，他们与互为 。 （2） 当为偶数时， 和 相等，他们与互为 。 【即学即练1】 的底数、指数、结果分别是（     ） A． B． C．2，4，16 D． 【即学即练2】 下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 知识点05 有理数的混合运算 1. 有理数的混合运算法则： 先算 ，再算 ，最后算 ；同级运算从左至右算起，有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号；能简便运算的采用简便运算。 【即学即练1】 计算： (1) (2) 题型01 幂的概念的理解 【典例1】．代数式的意义可以是（    ） A．6个n相加 B．6个n相乘 C．n个6相加 D．n个6相乘 【变式1】对于式子，下列说法不正确的是（    ） A．指数是3 B．底数是 C．结果为 D．表示3与相乘 【变式2】表示（    ） A．5乘以 B．5个连加 C．5个连乘 D．5个4连乘 【变式3】 表示（    ） A． 个 相乘的相反数 B． 个 相乘 C． 个 相乘 D． 个 相乘 题型02 有理数的乘方的运算 【典例1】计算：（1）23；（2）﹣54；（3）﹣；（4）﹣（）3． 【变式1】计算：（   ）． A． B． C． D．16 【变式2】计算： ， ， ． 【变式3】 ； ； . 题型03 偶次方与绝对值的非负性 【典例1】已知，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】若，则 ， ． 【变式2】已知有理数n、m满足，则 ． 【变式3】若|x﹣2|+（y+3）2＝0，则yx＝　 　． 题型04 有理数的混合运算 【典例1】计算： (1) (2)． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2】如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是 ． 【变式3】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2+a．如：1☆3＝1×32+1＝10．则（﹣2）☆3的值为（　　） A．10 B．﹣15 C．﹣16 D．﹣20 题型05 乘方的实际应用 【典例1】如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）． (1)你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？ (2)如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度． 【变式1】当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． （1）一个细菌在分裂n次后，数量变为　 　个． （2）有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有　 　个细菌． （3）求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 【变式2】有一块面积为64米2的正方形纸片，第1次剪掉一半，第2次剪掉剩下纸片的一半，如此继续剪下去，第6次后剩下的纸片的面积是多少平方米？ 1．下列算式中正确的是（　 　） A． B． C． D． 2．可表示为（    ） A． B． C． D． 3．等于（    ） A． B．1 C． D． 4．下列各数中，是负数的是（    ） A． B． C． D． 5．计算：（　　 ） A． B． C． D． 6．计算：（    ） A． B．8 C． D．4 7．下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 8．的计算结果的个位数字是 （    ） A．8 B．7 C．6 D．5 9．当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（     ） 10．若，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 11．的底数是 ，值为 ；的底数是 ，值为 ． 12．已知为正整数，计算的结果是 ； 13．定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 14．“二十四点游戏”的规则为：给出个有理数，用加、减、乘、除（可加括号）把给出的个有理数算成，每个数必须用一次且只能用一次（不考虑顺序），先算出结果获胜，现有四个有理数，，，，发挥你的聪明才智，运用“二十四点”游戏的规则，写出一种运算式，使其结果等于，你的运算式是 ． 15．如图是一个简单的数值运算程序图，当输入的值为时，输出的数值为 ． 16．某种细菌平均每20分钟由1个分裂成2个，经过1小时，这种细菌由1个能分裂成 个． 17．若，，且，，则的值为 ． 18．如果，则，根据此规定， ． 19．1m长的木棒，第一次截去一半，第二次截去剩下部分的一半，如此截下去，第6次后剩下木棒的长度 （用乘方表示） 20．，则 ． 21．计算下列各题： (1) (2) (3) (4) (5) 22．计算： (1)； (2)． (3)． (4)． 23．观察下列各式：，，． (1)按照发现的规律填空：________； (2)你发现的规律是：________；（n为正整数） (3)用规律计算：． 24．当你把纸对折一次时，就得到层，当对折两次时，就得到层，照这样折下去（最多折次）． (1)计算当你对折次时，层数是多少； (2)如果纸的厚度是，求对折次时，总厚度是多少． 25．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按照要求抽出卡片，完成下列问题． (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字的差最大，最大值是 ； (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字相除得到的商最小，最小值是 ； (3)从中抽取4张卡片，用学过的“加、减、乘、除、乘方”运算方法，使计算结果为24，该如何抽取？写出运算式子．（每个数字只能用一次，写出一种即可） 26．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么． (1) (2) (3) 27．对于任意有理数a，b定义一种新运算“△”：当时，；当时，．例：；． (1)求； (2)求的值； 28．拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细． (1)将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？ (2)若刚开始时的面条的横截面积为，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？（每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀） 29．求的值，直接求较困难，因为是一个非常大的数．因此，我们用解方程的方法来求解． 解：设① 即② ②①得： 原式 请你在理解的基础上，模仿上述方法求下列各式的值： (1)________． (2)计算：． 30．阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得 将下式减去上式，得 即 请你仿照此法计算： (1) (2) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.7有理数的乘方及有理数的混合运算 课程标准 学习目标 ①有理数乘方的意义 ②有理数的乘方运算 ③有理数的混合运算 1. 掌握有理数的乘方的意义，理解幂，底数，指数的相关概念并能够熟练的指数幂中的底数和指数。 2. 掌握有理数的乘方的运算法则，能够熟练的进行乘方运算。 3. 掌握有理数的混合运算法则，能够熟练的对有理数进行混合运算。 知识点01 有理数的乘方的意义 求 几个相同因数 的积的运算叫做乘方。一般地：（个）可以记作： ，读作： 的次方 。当把看做的次方的结果时，也可读作： 的次幂 ，所以乘方的结果叫做 幂 ，其中是 底数 ，是 指数 。 特别提示： （1） 当指数是 1 时，指数省略不写。即直接写成。 （2） 当底数是 负数 或 分数 时，要把底数用括号括起来。如－2的三次方写成 ； 的四次方写成 。 （3）任何数都可以看做是它本身的 1 次方，一个数的2次方可以读作： 平方 ，一个数3次方可以读作： 立方 。 【即学即练1】 下列对于式子的说法， 错误的是（    ） A．指数是2 B．底数是 C．幂为 D．表示2个相乘 【答案】C 【分析】本题考查有理数幂的概念，根据有理数幂的概念进行判断即可． 【详解】解：， 对于，底数是，指数是2，表示2个相乘，幂为16； 故错误的是C； 故选C． 【即学即练2】 把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2) 【答案】(1)，底数为，指数为5；(2)，底数为，指数为6 【分析】本题考查乘方定义，乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．首先化成幂的形式，再指出底数和指数，熟记乘方定义是解决问题的关键． 【详解】（1）解：， 底数为，指数为5； （2）解：， 底数为，指数为6． 知识点02 有理数的乘方的计算 （个） 。在计算有理数的乘方时，先根据有理数的乘方的意义把有理数的乘方转化为 乘法运算 ，计算时先确定幂的 符号 ，在计算幂的 绝对值 。可以计算出结果，也可以用幂来表示结果。 特别提示： （1） 正数的任何次方都是 正数 。 （2） 负数的奇次方是 负数 ，负数的偶次方是 正数 。 （3） 0的任何正整数次方（除0外）都得 0 。 （4） 1的任何次方都得 1 ，﹣1的奇次方得 ﹣1 ，﹣1的偶次方得 1 。 【即学即练1】 下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据有理数的乘方计算法则，化简绝对值的方法计算出每个选项中的两个数即可得到答案． 【详解】解：A、与不相等，不符合题意； B、与相等，符合题意； C、与不相等，不符合题意； D、与不相等，不符合题意．     故选：B． 【即学即练2】 计算： ， ， ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了去括号法则、有理数的乘方运算等知识点，熟记相关运算法则是解题的关键． 根据去括号法则、有理数的乘方运算进行计算即可． 【详解】解：；；． 故答案为：，4，． 知识点03 有理数的偶次方 由乘方的计算可知，任何一个数的偶次方得到的结果都 大于等于0 ，即任何数的偶次方（常考有理数的平方）都是 非负数 ，非负数具有 非负性 。几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于 0 。即，则 0 。 【即学即练1】 任何一个有理数的偶次幂必是（　　） A．负数 B．正数 C．非正数 D．非负数 【答案】D 【分析】根据乘方的性质：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何次幂都是0，从而可判断． 【详解】解：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何次幂都是0， 故任何一个有理数的偶数次幂必是非负数． 故选：D． 【即学即练2】 在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方中的符号问题，判断每个数的正负号即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，，0中，只有0是非负数． 故选：A． 【即学即练3】 若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了偶次方以及绝对值的性质，根据偶次方以及绝对值具有非负性来解即可． 【详解】且 解得： 故答案为：． 知识点04 的区别与联系 1. 三者的意义（区别）： 表示的意义是 个相乘的积 ，即 （个） ，底数是 。 表示的意义是 个相乘的积的相反数 ，即 ，底数是 。 表示的意义是 相乘的积 ，即 ，底数是 。 2. 三者的联系 （1） 当为奇数时， 和 相等，他们与互为 相反数 。 （2） 当为偶数时， 和 相等，他们与互为 相反数 。 【即学即练1】 的底数、指数、结果分别是（    ） A． B． C．2，4，16 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数幂的概念，有理数的乘方计算，对于式子，其中a叫做底数，m叫做指数，据此结合有理数乘方计算法则求解即可． 【详解】解：的底数是2，指数是4，其结果为， 故选：D． 【即学即练2】 下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值，相反数，根据有理数的乘方，绝对值，相反数分别计算，然后判断即可，熟练掌握有理数的乘方法则是解题的关键． 【详解】A、，所以与不相等，故此选项不符合题意； B、，所以与不相等，故此选项不符合题意； C、，所以与相等，故此选项符合题意； D、，所以与不相等，故此选项不符合题意； 故选：C． 知识点05 有理数的混合运算 1. 有理数的混合运算法则： 先算 乘方 ，再算 乘除 ，最后算 加减 ；同级运算从左至右算起，有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号；能简便运算的采用简便运算。 【即学即练1】 计算： (1) (2) 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的乘方，有理数的混合运算，即可． （1）先计算有理数的乘方，然后根据有理数的加减运算，即可； （2）先计算有理数的乘方，然后算小括号，中括号，最后化除为乘，进行计算，即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 题型01 幂的概念的理解 【典例1】．代数式的意义可以是（    ） A．6个n相加 B．6个n相乘 C．n个6相加 D．n个6相乘 【答案】D 【分析】根据幂的定义，乘法的定义，依次判断，即可求解， 本题考查了，幂的概念理解，解题的关键是：理解幂的概念． 【详解】解： A、6个n相加，表示为：，不符合题意， B、6个n相乘，表示为：，不符合题意， C、n个6相加，表示为：，不符合题意， D、n个6相乘，表示为：，符合题意， 故选：D． 【变式1】对于式子，下列说法不正确的是（    ） A．指数是3 B．底数是 C．结果为 D．表示3与相乘 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方，根据有理数的乘方的定义解答． 【详解】解：式子中： 指数是3，故A选项正确； 底数是，故B选项正确； 结果为，故C选项正确； 表示3个相乘，故D选项错误； 故选D． 【变式2】表示（    ） A．5乘以 B．5个连加 C．5个连乘 D．5个4连乘 【答案】C 【分析】本题考查幂的概念理解．根据表示个连乘，即可得出结果． 【详解】解：表示5个连乘； 故选C． 【变式3】 表示（    ） A． 个 相乘的相反数 B． 个 相乘 C． 个 相乘 D． 个 相乘 【答案】B 【分析】本题考查了有理数幂的概念，根据有理数幂的概念即可得． 【详解】 则表示的是6个相乘， 题型02 有理数的乘方的运算 【典例1】计算：（1）23；（2）﹣54；（3）﹣；（4）﹣（）3． 【答案】（1）8；（2）﹣625；（3）﹣；（4）﹣． 【分析】可根据乘方的意义，先把乘方装化为乘法，再根据乘法的运算法则来计算，或者先用符号法则来确定幂的符号，再用乘法求幂的绝对值． 【详解】解：（1）23＝8； （2）﹣54＝﹣625； （3）﹣＝﹣； （4）﹣（）3＝﹣． 【变式1】计算：（   ）． A． B． C． D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘方，掌握有理数乘方就是几个相同的数相乘是解题的关键． 直接运用乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选D． 【变式2】计算： ， ， ． 【答案】 4 【分析】本题考查了去括号法则、有理数的乘方运算，根据有理数的乘方法则、去括号法则计算即可，熟记相关法则，正确计算出结果是解题的关键． 【详解】解：；；； 故答案为：，4，． 【变式3】 ； ； . 【答案】1 9 【分析】本题考查了有理数的乘方．根据有理数的乘方运算法则计算即可求解． 【详解】解：；；． 故答案为：1；9；． 题型03 偶次方与绝对值的非负性 【典例1】已知，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由非负数的性质可得：，，从而可得答案. 【详解】解：∵ 而， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性及乘方运算的符号规律，根据绝对值的非负性及乘方的非负性即可求解，熟练掌握绝对值的非负性及乘方运算的符号规律是解题的关键． 【详解】解：依题意得：，即：， ，即：， 故答案为：，2． 【变式2】已知有理数n、m满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性及乘方运算的符号规律，依题意得，，再代入原式即可求解，熟练掌握绝对值的非负性及乘方运算的符号规律是解题的关键． 【详解】解：依题意得： ，即：， ，即：， ， 故答案为：． 【变式3】若|x﹣2|+（y+3）2＝0，则yx＝　9　． 【答案】9 【分析】根据非负数的性质可求出x、y的值，再将它们代入yx中求解即可． 【详解】解：∵x、y满足|x﹣2|+（y+3）2＝0，∴x﹣2＝0，x＝2；y+3＝0，y＝﹣3；则yx＝（﹣3）2＝9． 故答案为：9． 题型04 有理数的混合运算 【典例1】计算： (1) (2)． 【答案】(1)4；(2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）先算乘除法，再算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，有理数的乘除混合运算，有理数的乘方等知识．熟练掌握有理数的四则混合运算，有理数的乘除混合运算，有理数的乘方是解题的关键． （1）先计算乘除，然后进行减法运算即可； （2）先计算乘方，然后进行乘除运算即可； （3）先计算乘方，去绝对值，再计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：原式 ． 【变式2】如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是 ． 【答案】 【分析】此题考查了代数式求值，根据题中的流程图计算即可得出答案，弄清题中的程序流程是解本题的关键． 【详解】解：把代入可得：， 再把代入可得：， 所以y， 故答案为：． 【变式3】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2+a．如：1☆3＝1×32+1＝10．则（﹣2）☆3的值为（　　） A．10 B．﹣15 C．﹣16 D．﹣20 【分析】利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆3＝﹣2×32﹣2＝﹣18﹣2＝﹣20， 故选：D． 题型05 乘方的实际应用 【典例1】如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）． (1)你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？ (2)如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度． 【答案】(1)层数；(2)6.4毫米 【分析】本题考查了有理数的乘方，通过例举寻找规律是解题的关键． （1）由于把纸对折1次时，可以得到2层；当对折2次时，可以得到4-2层；当对折3次时，可以得到8-23层，由此即可得到层数5和折纸的次数之间的关系； （2）利用（1）的结论代入其中计算即可求解． 【详解】（1）解：∵对折1次，层数， 对折2次，层数， 对折3次，层数， ∴对折n次，层数； （2）解： （毫米）， 答：对折7次时纸的总厚度的总厚度为6.4毫米． 【变式1】当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． （1）一个细菌在分裂n次后，数量变为　2n　个． （2）有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有　32000　个细菌． （3）求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 【答案】（1）2n；（2）32000；（3）32倍． 【分析】（1）根据每分裂1次，数量是之前的2倍求解可得； （2）由每12分钟分裂一次知1小时分裂5次，据此求解可得； （3）两个小时后的数量是1小时后的，计算可得答案． 【解答】解：（1）一个细菌在分裂n次后，数量变为2n个， 故答案为：2n； （2）1小时后，盘子里有1000×25＝32000个细菌， 故答案为：32000； （3）两个小时后的数量是1小时后的＝25＝32倍． 【变式2】有一块面积为64米2的正方形纸片，第1次剪掉一半，第2次剪掉剩下纸片的一半，如此继续剪下去，第6次后剩下的纸片的面积是多少平方米？ 【答案】1 【分析】根据有理数的乘方的意义，列式计算即可． 【详解】解：由题意得，64×（）6＝64×＝1平方米， 答：第六次后，还剩1平方米． 1．下列算式中正确的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据有理数的乘方分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、 ，故该选项正确，符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 2．可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的乘方，正确理解乘方的意义是解题的关键．根据乘方的意义求解即可． 【详解】解：． 故选：B． 3．等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据有理数的乘方计算法则进行计算即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 4．下列各数中，是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查负数的定义，负数就是小于0的数．解题的关键是化简各数．先分别利用有理数乘方的运算法则化简各数，再根据大于0的数是正数，小于0的数是负数，选择正确答案． 【详解】解：A、是正数，不符合题意； B、是负数，符合题意； C、是正数，不符合题意； D、是正数，不符合题意； 故选：B． 5．计算：（　　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘方计算，根据有理数的乘方运算法则计算即可得出答案，熟练掌握有理数的乘方计算的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：． 故选：D． 6．计算：（    ） A． B．8 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了含乘方的有理数运算，先计算乘方，再按照有理数运算顺序计算即可． 【详解】解：原式 故选：B． 7．下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查乘方运算和绝对值等知识，根据乘方和绝对值的意义逐项判断即可，掌握绝对值的定义是解题的关键． 【详解】解：A．由于，故，因此，此选项错误，不符合题意； B．互为相反数的两个数的平方相等，即，此选项错误，不符合题意； C．互为相反数的两个数的立方互为相反数，即，此选项正确，符合题意； D．无法判断的符号，因此无法直接去掉中的绝对值，反例：当时，，此选项错误，不符合题意． 故选：C． 8．的计算结果的个位数字是 （    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了数的规律探索，熟练掌握乘方类型数的个位数字的规律是解题的关键．分别探索和的个位数字，转化为探索和即可． 【详解】解：的个位数字只需看的个位数字的次方的结果即可， ∵，，，，， ∴个位数字是每个一循环， ∵， ∴的个位数字为， ∴的个位数字为， 的个位数字只需看的个位数字的次方的结果即可， ∵，，，， ∴个位数字是每个一循环， ∵， ∴的个位数字为， ∴的个位数字为， ∴的个位数字为， 故选：D． 9．当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数即可解答． 【详解】解：当时， 是负数，故①正确； ，故②正确，④错误； ，故③正确； 综上所述，①②③正确． 故选：A． 10．若，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】直接利用偶次方和绝对值的非负性得出x、y的值，进而得出答案． 【详解】解：， ，， ，， ， 故选B 11．的底数是 ，值为 ；的底数是 ，值为 ． 【答案】 1 1 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义以及运算法则是解题的关键． 在中，叫做底数，叫做指数，由此判断计算即可． 【详解】解：的底数是，值为； 的底数是，值为； 故答案为：，；，． 12．已知为正整数，计算的结果是 ； 【答案】2 【分析】本题考查有理数的乘方，根据有理数乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：2． 13．定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 【答案】8 【分析】根据定义，得，解得即可． 本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键． 【详解】根据定义，得， 故答案为：8． 14．“二十四点游戏”的规则为：给出个有理数，用加、减、乘、除（可加括号）把给出的个有理数算成，每个数必须用一次且只能用一次（不考虑顺序），先算出结果获胜，现有四个有理数，，，，发挥你的聪明才智，运用“二十四点”游戏的规则，写出一种运算式，使其结果等于，你的运算式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 【详解】 解：根据有理数的运算可得：，，等． 故答案为：（答案不唯一）． 15．如图是一个简单的数值运算程序图，当输入的值为时，输出的数值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简． 【详解】解：当输入的值为时，输出的数值为： ． 故答案为：． 16．某种细菌平均每20分钟由1个分裂成2个，经过1小时，这种细菌由1个能分裂成 个． 【答案】8 【分析】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 根据1小时中有3个，得到细菌分裂了3次，归纳总结即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：（次， 则经过1小时后这种细菌由1个分裂成（个． 故答案为：8． 17．若，，且，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方求出、，再判断出、的符号情况，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：，， ，， ，， ， ，， ， 故答案为：． 18．如果，则，根据此规定， ． 【答案】3 【分析】根据题意代入具体的数值计算即可求解． 【详解】解：∵，则， ∴如果设，则， 解得：， 故答案为：3． 19．1m长的木棒，第一次截去一半，第二次截去剩下部分的一半，如此截下去，第6次后剩下木棒的长度 （用乘方表示） 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究，根据题意，得到第一次剩下木棒的长度为，第二次下木棒的长度为，第三次下木棒的长度为，以此类推，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：第一次剩下木棒的长度为， 第二次剩下木棒的长度为， 第三次剩下木棒的长度为， … ∴第6次后剩下木棒的长度； 故答案为：． 20．，则 ． 【答案】 【分析】直接利用绝对值和平方的非负性得出的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 21．计算下列各题： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)17；(2)；(3)；(4)；(5)1 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理混合运算法则与顺序是解题的关键． （1）先计算乘除，再计算减法即可； （2）先计算小括号里的，再计算乘除，最后计算减法即可； （3）先计算小括号，再计算中括号，即可求解； （4）先计算除法，并运用乘法分配律将括号展开，再进行计算即可； （5）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式= ． 22．计算： (1)； (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则、运算顺序和运算律是解决本题的关键． （1）先计算乘方以及乘法，再计算加减法即可； （2）先计算绝对值和乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （3）先计算乘方、绝对值和括号内，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （4）先计算乘方、绝对值和括号内，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： （4）解： 23．观察下列各式：，，． (1)按照发现的规律填空：________； (2)你发现的规律是：________；（n为正整数） (3)用规律计算：． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】本题考查离散值的变化规律，运用规律计算是关键． （1）根据所给算式的特点写出即可； （2）写出发现的规律通式即可； （3）运用规律计算即可． 【详解】（1）∵，， ∴． 故答案为：； （2）． 故答案为：； （3）原式 24．当你把纸对折一次时，就得到层，当对折两次时，就得到层，照这样折下去（最多折次）． (1)计算当你对折次时，层数是多少； (2)如果纸的厚度是，求对折次时，总厚度是多少． 【答案】(1)64；(2) 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是解题的关键． （）根据题意总结规律即可得解； （）先算出层数，再乘即可得出结果． 【详解】（1）解：纸对折一次时，就得到层，即层； 当对折两次时，就得到层，即层； 当对折三次时，就得到层，即层； 当折纸的次数是时，折得的层数是（且为正整数）； ， 所以对折次时，层数是； （2）解：， 所以对折次时，总厚度是． 25．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按照要求抽出卡片，完成下列问题． (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字的差最大，最大值是 ； (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字相除得到的商最小，最小值是 ； (3)从中抽取4张卡片，用学过的“加、减、乘、除、乘方”运算方法，使计算结果为24，该如何抽取？写出运算式子．（每个数字只能用一次，写出一种即可） 【答案】(1)12；(2)；(3) 【分析】此题实际上是有理数的混合运算的逆运算，先给你数，让你列混合运算的式子，所以学生平时要培养自己的逆向思维能力． （1）被减数最大，减数最小，选5和； （2）商最小，找符号不同的，选1和； （3）选这四张卡片，． 【详解】（1）解：2张卡片上的数字的差最大，则被减数最大，减数最小即可，选5和， ∴， 故答案为：12． （2）解：2张卡片上的数字相除得到的商最小，找符号不同的，选1和， ∴， 故答案为：． （3）解：选这四张卡片，． 26．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么． (1) (2) (3) 【答案】(1)底数是，指数是3；(2)底数是，指数是4；(3)底数是m，指数是 【分析】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．表示n个a相乘． （1）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （2）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （3）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可． 【详解】（1）解：，底数是，指数是3． （2）解：，底数是，指数是4． （3）解：，底数是m，指数是． 27．对于任意有理数a，b定义一种新运算“△”：当时，；当时，．例：；． (1)求； (2)求的值； 【答案】(1)16；(2)64 【分析】本题考查了新定义下的有理数的运算．理解题意，正确的运算是解题的关键． （1）由，可得，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 28．拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细． (1)将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？ (2)若刚开始时的面条的横截面积为，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？（每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀） 【答案】(1)128；(2) 【分析】本题考查有理数的乘方，能够从题中归纳发现规律是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）根据题意列式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：（根） ∴这个流程重复7次后，面条的数量会变成128根． （2）解：将这个流程重复8次后，面条的数量是． ∵每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀， ∴8次后，平均每一根面条横截面积． 29．求的值，直接求较困难，因为是一个非常大的数．因此，我们用解方程的方法来求解． 解：设① 即② ②①得： 原式 请你在理解的基础上，模仿上述方法求下列各式的值： (1)________． (2)计算：． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了规律型中的数字的变化类，有理数的乘方运算，解题的关键是仿照例子计算．本题属于基础题，难度不大． （1）由题意可知，，把原式变形后代入求解即可； （2）设，则有，依照例题求解即可． 【详解】（1）由题意可知，， ∴ （2）解：设① 即② ②①得： ∴ 原式 30．阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得 将下式减去上式，得 即 请你仿照此法计算： (1) (2) 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题． （1）设，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案； （2）设，将等式两边同时乘以5，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据材料，设①， 将等式两边同时乘以3，则②， 由，得：， ， ； （2）根据材料，设③， 将等式两边同时乘以④， 由，得：， , ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$