2.3 绝对值-【胜在中考】2024年中考数学考点过课本(北师大版)

7 2　数轴 数轴的 定义 ★★ 定义：画一条❶ 的直线,在直线上取一点表示0(叫做原点 􀪍􀪍 ),选取某一长度作为 单位长度 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,规定直线向❷ 的方向为正 􀪍 方向,就得到数轴.如下图: 画数轴时，数轴的三要素——原点、单位长度、正方向缺一不可. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 数轴与 有理数 的关系 ★ 任何一个有理数 􀪍􀪍􀪍􀪍 都可以用数轴上的一个❸ 来表示. 示例:在数轴上表示有理数-2,-3 1 2 ,0,-4 1 3 ,1 2 : 判断数轴上的点表示的有理数可分两步进行： （1）根据点在原点的左右侧确定有理数的符号（+、-）；（2）根据点与原点的距离确 定数值大小. （1）正有理数可以用原点右边 􀪍􀪍 的点表示，负有理数可以用原点左边 􀪍􀪍 的点表示， 零用原点 􀪍􀪍 表示.（2）所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有 理数，如数轴上表示π 􀪍 的点就不是有理数.（3）在数轴上表示一个数，一般用实心点表 示，把要表示的数写在数轴上所对应的点的上方. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 利用数 轴比较 有理数 的大小 ★★ (1)数轴上两个点表示的数,右 􀪍 边的总比左 􀪍 边的❹ . (2)正数❺ 0,负数❻ 0,正数❼ 负数. 示例: （1）利用数轴比较有理数的大小时，先把数用数轴上的点表示出来，再根据右 边的点表示的数总比左边的点表示的数大来比较.（2）数轴上的每一个点都表示一个 数，当这个点表示的是整数时，我们称它是整数点（简称“整点”）. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ❶水平 ❷右 ❸点 ❹大 ❺大于 ❻小于 ❼大于 3　绝对值 相反数 的概念 及意义 ★★★ 相反数的代数意义：如果两个数只有符号 􀪍􀪍 不同,那么称其中一个数为另一个数的相反数, 也称这两个数互为相反数 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 .特别地,0的相反数是❶ .如3是-3的相反数,- 3是3的相反数,即3与-3互为相反数. 相反数的几何意义：在数轴上,表示互为相反数的两个点位于❷ 的两侧,且与原 点的距离 􀪍􀪍 ❸ .如下图,从数轴上观察,这两位同学各走的距离都是2步,但方 向相反,可以用2和-2表示,这两个数就互为相反数. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 8 相反数 的概念 及意义 ★★★ （1）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数.（2）一个数的相反 数的相反数是这个数本身，即a 的相反数-a 的相反数是a.（3）求一个数的相反数的方 法就是在这个数的前面添加“-”，如a 的相反数是-a，m+n 的相反数是-（m+ n），这时m+n 是一个整体，在整体的前面添负号时，要用上小括号.（4）字母a 表示 一个有理数，-a 表示a 的相反数.-a 不一定是负数，当a 是正有理数时，它表示负 数；当a 是负有理数时，它表示正数；当a 是零时，它表示零.（5）负数的相反数比它 本身大. 多重符号的化简问题：符号的化简主要看前面“-”的个数，当“-”的个数是 奇数时，结 果 为 负， 当 “-” 的 个 数 是 偶 数 时， 结 果 为 正， 即 “奇 负 偶 正”.例 如 -（-2）=2，-[-（-3）]=-3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 绝对值 的概念 ★★★ 绝对值的几何意义：在数轴上,一个数所对应的点与原点的❹ 叫做这个数的绝 􀪍 对值 􀪍􀪍 .例如,+2的绝对值等于2 􀪍 ,记作|+2| 􀪍􀪍􀪍 =2;-3的绝对值等于3 􀪍 ,记作|-3| 􀪍􀪍􀪍 =3. 绝对值的代数意义：正数 􀪍􀪍 的绝对值是它❺ ,负数 􀪍􀪍 的绝对值是它的❻ ,0 的绝对值是0 􀪍 . （1）互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|-a|.（2）绝对值等于它本 身的数是正数和0;绝对值等于它的相反数的数是负数和0.（3）求一个数a 的绝对值的 方法：先判断数a 是正数，还是负数，或是0；再根据正数和0的绝对值是它本身，负 数的绝对值是它的相反数，求出数a 的绝对值. （1）从数轴上看，绝对值表示某一点到原点的距离.而距离最小为0，所以任何 有理数的绝对值都不小于0，即|a|是一个非负数，|a|≥0.（2）在数轴上，表示数的点 与原点之间的距离只与这个数距离原点的长度有关，而与它所表示的正负无关.表示这 个数的点与原点之间的距离越远，绝对值越大；反之，与原点之间的距离越近，绝对值 越小.（3）若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即若|a|+|b|+|c|+…+ |m|=0,则a=0,b=0，…，m=0. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 9 利用绝 对值比 较负数 的大小 ★★ 两个负数比较大小,绝对值大的反而❼ . 示例:比较- 2 3 、- 3 4 的大小. 因为 - 2 3 = 2 3= 8 12 ,- 3 4 = 3 4= 9 12 ,8 12< 9 12 ,所以- 2 3>- 3 4. （1）利用绝对值比较两负数的大小的方法：第一步，先求出这两个数的绝对值；第二步，比 较这两个数的绝对值的大小；第三步，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”得出 这两个负数的大小关系.（2）有理数中没有最小的数，绝对值最小的数是0，没有绝对值最大 的数，最小的正整数是1，最大的负整数是-1.（3）负数的绝对值比它本身大. 有理数比较大小的两种方法：（1）法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一 切负数.两个负数比较大小，绝对值大的反而小.（2）数轴比较：在数轴上，右边的点 表示的数大于左边的点表示的数. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ❶0 ❷原点 ❸相等 ❹距离 ❺本身 ❻相反数 ❼小 4　有理数的加法 有理数 的加法 法则 ★★ 法则 (1)同号两数相加,取相同 􀪍􀪍 的符号,并把❶ 相加.例如,(-5.8)+(-4.3)= -10.1. 􀪍􀪍􀪍􀪍 (2)异号两数相加,绝对值相等时和为0 􀪍 ;绝对值不等时,取绝对值❷ 的数 的符号,并用较大的绝对值减去 􀪍􀪍 较小的绝对值.例如,3+(-5.6)=-2.6. (3)一个数同❸ 相加,仍得这个数.例如,5+0=5. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 互为相反数的两个数相加和为0，即a+(-a)=0，反之，如果两个数的和为0， 那么这两个数互为相反数. 有理数加法运算步骤 步骤1：判断符号，即判断两个数的符号是同号或异号，还是至少有一个加数为0. 步骤2：根据加数的绝对值的大小及加数的符号确定和的符号； 步骤3：绝对值进行加减运算得到和的绝对值. 在计算过程中，要牢记“先定符号，后算绝对值”. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 有理数 加法的 运算律 ★★ 加法的交换律：两个数相加,交换加数的位置,和不变,即a+b=❹ . 加法的结合律：三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,❺ 不 变,即(a+b)+c=a+(b+c). 示例:(1)1.75+3 3 8+ (-1 3 4 )+2 5 8=2 5 8+3 3 8+ (-1 3 4 )+1.75 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 =6. (2)( 1 2+ 4 5 )+(- 1 2 )= 1 2+ (- 1 2 )+ 4 5= 4 5. 根据加数的特点，灵活选择运算律，注意不要漏项，正确使用加法法则. 交换律和结合律对两个以上的数也适用，使用运算律是为了简化运算，在使 用时，一般把 具 有 以 下 特 征 的 数 相 加：（1）互 为 相 反 数 的 两 个 数；（2）符 号 相 同 的 数；（3）相加能得到整数的数；（4）分母相同的数；（5）易于通分的数. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁