2.1 有理数&2 数轴-【胜在中考】2024年中考数学考点过课本(北师大版)

6 第二章　有理数及其运算 1　有理数 具有相 反意义 的量 ★★ 定义：由具有相反意义的词表示的两个量,就是具有相反意义 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 的量,具有相反意义的量是 ❶ 出现的.具有相反意义的量必须是同类 􀪍􀪍 量. 示例:珠穆朗玛峰比海平面高8848.86米,吐鲁番盆地比海平面低154.31米.这样的两个 量就是具有相反意义 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 的量. （1）具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的 意义相反，二是它们都是数量.（2）具有相反意义的量只要求意义相反，而不是数量 相等. 用正数和负数表示具有相反意义的量时，要带单位. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 正数、 负数 的定义 ★ 定义：为了表示具有相反意义的量,我们可以把其中的一个量规定为正的,用正数 􀪍􀪍 来表 示,如6,+3.1,20%, 2 3 等;而把与这个量意义相反 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 的量规定为负的,用负数 􀪍􀪍 来表 示,如-6.2,-5等. 0的意义：0既不是❷ ,也不是❸ .0是正负数的分界线. （1）比0大的数叫做正数，有时为了突出数的符号，常在正数前面加上“+”，如 +5,+1,+ 1 2 等，有时也可以省略“+”.（2）比0小的数叫做负数，如-5，- 1 2 等，负数 前面的“-”不能省略.（3）非负数：正数和零统称为非负数. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 有理数 的定义 与分类 ★ 有理数：整数 􀪍􀪍 与分数 􀪍􀪍 统称为有理数. 有理数的分类 (1)按 定义 分类 整 数 正整数:如1,2,3… ❹ 负整数:如-1,-2,-3… 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 分 数 正分数:如1 2 ,1 5 ,4.8… 负分数:如- 1 3 ,-2.5,- 5 6 … 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 (2)按 正、 负数 分类 正有 理数 正整数:如1,2,3… 正分数:如1 5 ,2 3 ,3.6… 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ❺ 负有 理数 负整数:如-1,-5,-9… 负分数:如- 2 5 ,-4.6,- 3 7 … 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 （1）在理解有理数的概念时，一是不能忘记负数的存在，二是不能忽略了零的 存在.（2）判断一个小数是否属于有理数，就看它是否能化成分数 􀪍􀪍 的形式.所有的有限 小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数；而无限不循环小数不能 化成分数的形式，因而不属于有理数.圆周率 π 及与 π 有关的数是无限不循环小数， 所以它们不是有理数. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 ❶成对 ❷正数 ❸负数 ❹0 ❺0 7 2　数轴 数轴的 定义 ★★ 定义：画一条❶ 的直线,在直线上取一点表示0(叫做原点 􀪍􀪍 ),选取某一长度作为 单位长度 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,规定直线向❷ 的方向为正 􀪍 方向,就得到数轴.如下图: 画数轴时，数轴的三要素——原点、单位长度、正方向缺一不可. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 数轴与 有理数 的关系 ★ 任何一个有理数 􀪍􀪍􀪍􀪍 都可以用数轴上的一个❸ 来表示. 示例:在数轴上表示有理数-2,-3 1 2 ,0,-4 1 3 ,1 2 : 判断数轴上的点表示的有理数可分两步进行： （1）根据点在原点的左右侧确定有理数的符号（+、-）；（2）根据点与原点的距离确 定数值大小. （1）正有理数可以用原点右边 􀪍􀪍 的点表示，负有理数可以用原点左边 􀪍􀪍 的点表示， 零用原点 􀪍􀪍 表示.（2）所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有 理数，如数轴上表示π 􀪍 的点就不是有理数.（3）在数轴上表示一个数，一般用实心点表 示，把要表示的数写在数轴上所对应的点的上方. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 利用数 轴比较 有理数 的大小 ★★ (1)数轴上两个点表示的数,右 􀪍 边的总比左 􀪍 边的❹ . (2)正数❺ 0,负数❻ 0,正数❼ 负数. 示例: （1）利用数轴比较有理数的大小时，先把数用数轴上的点表示出来，再根据右 边的点表示的数总比左边的点表示的数大来比较.（2）数轴上的每一个点都表示一个 数，当这个点表示的是整数时，我们称它是整数点（简称“整点”）. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ❶水平 ❷右 ❸点 ❹大 ❺大于 ❻小于 ❼大于 3　绝对值 相反数 的概念 及意义 ★★★ 相反数的代数意义：如果两个数只有符号 􀪍􀪍 不同,那么称其中一个数为另一个数的相反数, 也称这两个数互为相反数 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 .特别地,0的相反数是❶ .如3是-3的相反数,- 3是3的相反数,即3与-3互为相反数. 相反数的几何意义：在数轴上,表示互为相反数的两个点位于❷ 的两侧,且与原 点的距离 􀪍􀪍 ❸ .如下图,从数轴上观察,这两位同学各走的距离都是2步,但方 向相反,可以用2和-2表示,这两个数就互为相反数. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁