第04讲 第二章 一元二次函数、方程和不等式 章节验收测评卷-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学核心题型总结与突破（人教A版2019必修第一册）

第04讲 第二章 一元二次函数、方程和不等式 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高二下·福建·期末）已知实数满足，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河南开封·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24高二下·北京昌平·期末）函数的最大值为（    ） A． B． C． D．1 4．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A．B． C． D． 5．（23-24高一上·青海西宁·期末）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 6．（23-24高二下·福建·期末）已知正实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．24 B．25 C．26 D．27 7．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则下列选项不正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 8．（23-24高二下·福建南平·期末）以max M表示数集M中最大的数．若，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．3 D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（    ） A． B． C． D．1 11．（23-24高一上·广东中山·期末）已知正数x，y满足，则（    ） A．的最大值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高一上·浙江·期中）设，，那么、的大小关系是 . 13．（23-24高二下·河北衡水·阶段练习）设，则的最小值为 ． 14．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若关于x的不等式恰好有4个整数解，则实数的范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题13分）（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）求函数的最大值； （2）求函数的最小值． 16．（本题15分）（2024高三·全国·专题练习）已知，关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)解关于的不等式． 17．（本题15分）（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，a为常数. (1)若，解关于x的不等式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围. 18．（本题17分）（23-24高一上·江西吉安·期中）如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是AD和BC边上的点．沿EF折叠使C与线段AB上的M点重合（M不在端点A，B处），折叠后CD与AD交于点G． (1)证明：的周长为定值． (2)求的面积S的最大值． 19．（本题17分）（23-24高一上·重庆九龙坡·阶段练习）若实数满足，则称比远离. (1)若比远离1，求实数的取值范围； (2)若，试问：与哪一个更远离，并说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 第二章 一元二次函数、方程和不等式 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高二下·福建·期末）已知实数满足，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举例说明可判断ABD；利用不等式的性质推理可判断C. 【详解】取，可得，故A错误； 取，可得，故B错误； 因为，所以，又因为， 由同向不等式的可加性可得，故C正确； 取，可得，故D错误. 故选：C. 2．（23-24高一下·河南开封·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法直接求解即可. 【详解】因为，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 3．（23-24高二下·北京昌平·期末）函数的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】由于，所以， 当且仅当，即时等号成立，故最大值为， 故选：B 4．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】由题意可知，， 所以， 故选：D 5．（23-24高一上·青海西宁·期末）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】利用二次不等式恒成立问题的解法，分类讨论与即可得解. 【详解】因为在上恒成立， 当时，得，显然成立； 当时，要使问题成立则，解得； 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 6．（23-24高二下·福建·期末）已知正实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】B 【分析】由已知得，则，化简后利用基本不等式可求出其最小值. 【详解】因为正实数x，y满足， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为25. 故选：B 7．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则下列选项不正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】C 【分析】由题意可知，和3是方程的两根，且，故A正确；再结合韦达定理可得,代入选项和，解不等式即可判断;当时，有，从而判断选项 【详解】由题意可知和3是方程的两根,且 ， , , , , ，即选项正确； 不等式等价于, ，即选项正确； 不等式的解集为 , 当时，有，即选项错误； ∵不等式等价于，即 , 或,即选项正确. 故选：C. 8．（23-24高二下·福建南平·期末）以max M表示数集M中最大的数．若，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】设，根据定义，得到，两次运用基本不等式，再运用不等式性质，得到,开方即可. 【详解】设，则.显然． ，当且仅当取得等号. ，当且仅当取得等号. 两式相乘，即，则. 此时，前面都要成立，则，，则. 的最小值为2,当且仅当取得最小值. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由不等式的性质直接求解. 【详解】因为，，则，，故A、C正确； 由题，故，B错误； ，则，故，D正确； 故选：ACD. 10．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（    ） A． B． C． D．1 【答案】BCD 【分析】分类讨论求出不等式的解集，进而确定出的取值范围即可． 【详解】不等式可化为，显然， 当时，原不等式的解集为，由于解集中恰有两个整数，则，解得， 当时，原不等式的解集为，由于解集中恰有两个整数，则，解得， 因此的取值范围是,,， 故选：BCD． 11．（23-24高一上·广东中山·期末）已知正数x，y满足，则（    ） A．的最大值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】A选项，由基本不等式求出；B选项，求出；C选项，在A选项基础上得到；D选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】A选项，正数x，y满足，由基本不等式得， 解得，当且仅当时，等号成立，A正确； B选项，，故， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为2，B错误； C选项，由A选项知，，故， 当且仅当时，等号成立，所以，故的最大值为2，C错误； D选项，由于正数x，y满足， 故， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高一上·浙江·期中）设，，那么、的大小关系是 . 【答案】/ 【详解】利用作差法可得出、的大小关系. 【分析】因为，，则， 故. 故答案为：. 13．（23-24高二下·河北衡水·阶段练习）设，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时取等号，结合已知条件解得，时取等号. 故答案为： 14．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若关于x的不等式恰好有4个整数解，则实数的范围为 ． 【答案】 【分析】由题意不等式恰好有4个整数解，且，从而首先得出，进一步化简得不等式的解集为，由此即可列出不等式组求解. 【详解】因为， 所以由题意当且仅当不等式恰好有4个整数解，且， 所以首先，解得， 又方程的根为，即或， 所以不等式的解集为， 因为，所以， 所以不等式的4个整数解只能是2，3，4，5， 所以， 又因为， 所以解得，即实数的范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键是首先得出，由此即可顺利得解. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题13分）（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）求函数的最大值； （2）求函数的最小值． 【答案】（1）；（2）最小值为9． 【分析】（1）（2）根据给定条件，配凑并利用基本不等式求出最值即得. 【详解】（1）由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以原函数的最大值为. （2）由，得， 因此 ， 当且仅当，即时取等号， 所以原函数的最小值为9. 16．（本题15分）（2024高三·全国·专题练习）已知，关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，利用韦达定理，即可求解； （2）根据（1）的结果，不等式为，分解因式后，讨论的取值，解不等式. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以与是方程的两个实数根， 由根与系数的关系，得， 解得：，； （2）由（1）知不等式为， 即， ①当时，易得不等式的解集为， ②当时，不等式可化为，不等式的解集为或． ③当时，不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为． 17．（本题15分）（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，a为常数. (1)若，解关于x的不等式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入解分式不等式即可； （2）由于不等式对任意的恒成立，则参变分离，转化为函数的最值解决即可. 【详解】（1）由题意，，即，即，故， 解得. （2）对任意，，即， 恒成立，所以. 令，则，， ， 当且仅当，即，时取“=”，所以， 故实数a的取值范围为. 18．（本题17分）（23-24高一上·江西吉安·期中）如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是AD和BC边上的点．沿EF折叠使C与线段AB上的M点重合（M不在端点A，B处），折叠后CD与AD交于点G． (1)证明：的周长为定值． (2)求的面积S的最大值． 【答案】(1)2； (2). 【分析】（1）设，利用对称性，找到之间的关系，再由相似三角形的性质，利用周长比等于相似比建立关系，得到的周长表达式，化简证明即可； （2）由面积比等于相似比的平方建立关系，得到面积的表达式，消元后利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）设，且，由对称性可得：， 由勾股定理可得： , 又,, 设，的周长为,则, ，. 故的周长为定值2. （2）由（1）问可知：，且 ，， . 当且仅当，即，的面积S取到最大值. 19．（本题17分）（23-24高一上·重庆九龙坡·阶段练习）若实数满足，则称比远离. (1)若比远离1，求实数的取值范围； (2)若，试问：与哪一个更远离，并说明理由. 【答案】(1)或， (2)答案见解析. 【分析】（1）根据题设定义有，解绝对值不等式求范围； （2）令，，数形结合判断讨论函数、上的点到的距离研究的情况，根据定义判断的情况. 【详解】（1）由题设或或， 所以实数的取值范围是或， （2）由题设，令，， 所以，问题化为讨论在函数、上取相同x值的点到的距离关系， 画出、、的图象如下，、相交于两点，    当，由图有如下情况， 若，到的距离比到的距离近，即更远离； 若，到的距离比到的距离远，即更远离； 若或，、到的距离相同，即、与一样远； 若，到的距离比到的距离近，即更远离； 当，由，则 ， 所以，即更远离； 综上，当或，更远离；当，更远离；当或，、与一样远. 【点睛】关键点点睛：第二问，由距离远近的定义，综合运用函数图象及分类讨论研究距离问题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$