第03讲 一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式解法(5大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学核心题型总结与突破（人教A版2019必修第一册）

第03讲 一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式解法 目录 题型一：重点考查一元二次不等式（不含参）的解法 1 题型二：重点考查一元二次不等式（含参+可因式分解型）的解法 4 题型三：重点考查一元二次不等式（含参+不可因式分解型）的解法 8 题型四：重点考查分式不等式的解法 9 题型五：重点考查含有一个绝对值的不等式的解法 11 题型一：重点考查一元二次不等式（不含参）的解法 典型例题 例题1．（23-24高一上·广东江门·期末）一元二次不等式的解集为 . 例题2．（2025高三·全国·专题练习）求解下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； 例题3．（23-24高一上·新疆·期中）解下列不等式． (1) (2) 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式：； 2．（23-24高一上·宁夏固原·阶段练习）求下列不等式的解集： (1)； (2). 3．（23-24高一上·西藏林芝·期中）解下列不等式 (1)； (2)； 题型二：重点考查一元二次不等式（含参+可因式分解型）的解法 典型例题 例题1．（2024高一·全国·专题练习）解下列关于的不等式：（）. 例题2．（23-24高一上·北京西城·期中）解关于x的不等式：． 例题3．（23-24高一上·河北石家庄·期中）解关于的不等式． 精练核心考点 1．（23-24高一上·广东珠海·期中）求关于的不等式的解集. 2．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）解下列不等式 (1) (2) 3．（2025高三·全国·专题练习）解下列关于的不等式 (1)； (2)； (3). 题型三：重点考查一元二次不等式（含参+不可因式分解型）的解法 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）解下列关于的不等式 (1)； 例题2．（2025高三·全国·专题练习）解关于实数的不等式：． 精练核心考点 1．（23-24高一上·全国·课后作业）解不等式：． 题型四：重点考查分式不等式的解法 典型例题 例题1．（24-25高一上·全国·课堂例题）不等式的解集是 . 例题2．（23-24高一上·吉林·阶段练习）不等式的解集为 . 例题3．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）（1）解不等式：； 精练核心考点 1．（23-24高一上·江西赣州·阶段练习）不等式解集为集合，则 . 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式： (1)； 3．（23-24高一上·湖南长沙·期末）解下列不等式： (1)； 题型五：重点考查含有一个绝对值的不等式的解法 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·课前预习）和型不等式的解法 ； ． 例题2．（2024·上海青浦·二模）不等式的解集为 ． 例题3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式的解集是（    ） A． B． C．D． 精练核心考点 1．（23-24高一下·河北·开学考试）不等式的解集是（    ） A．或 B．且 C． D．或 2．（23-24高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）不等式的解集为 ． 3．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集是 . 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式解法 目录 题型一：重点考查一元二次不等式（不含参）的解法 1 题型二：重点考查一元二次不等式（含参+可因式分解型）的解法 4 题型三：重点考查一元二次不等式（含参+不可因式分解型）的解法 8 题型四：重点考查分式不等式的解法 9 题型五：重点考查含有一个绝对值的不等式的解法 11 题型一：重点考查一元二次不等式（不含参）的解法 典型例题 例题1．（23-24高一上·广东江门·期末）一元二次不等式的解集为 . 【答案】 【分析】转化为标准一元二次不等式后，分解因式直接解不等式即可. 【详解】由可得， 即， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 例题2．（2025高三·全国·专题练习）求解下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）利用一元二次不等式的解法求解即可； （3）（4）利用一元二次不等式的解法求解即可； 【详解】（1）由可得，解得或， 故原不等式的解集为. （2）由可得，解得， 故原不等式的解集为. （3）由，得，解得， 故不等式的解集为. （4）由，得，即， 解得或，故不等式的解集为. 例题3．（23-24高一上·新疆·期中）解下列不等式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】结合二次方程的根及二次函数的图象求解一元二次不等式. 【详解】（1）对于方程，因为，所以方程有两个相等的实数根， 解得， 画出二次函数的图象，如图， 结合图象得不等式的解集为； （2）原不等式可化为， 对于方程，方程有两个实数根，解得， 画出二次函数的图象，如图， 结合图象得不等式的解集为 故所求不等式的解集为. 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式：； 【答案】或 【分析】转化为不等式组，根据一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】原不等式可转化为不等式组即， ，得或 所以不等式的解集为或. 2．（23-24高一上·宁夏固原·阶段练习）求下列不等式的解集： (1)； (2). 【答案】(1) (2)或 【分析】根据一元二次不等式的解法求得正确答案. 【详解】（1）， 解得，所以不等式的解集为. （2）由得， 解得或，所以不等式的解集为或. 3．（23-24高一上·西藏林芝·期中）解下列不等式 (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】利用二次不等式与分式不等式的解法求解即可. 【详解】（1）因为，即， 所以或，所以不等式解集为, （2）因为，即， 因为对于，有， 所以无解，所以不等式解集为. 题型二：重点考查一元二次不等式（含参+可因式分解型）的解法 典型例题 例题1．（2024高一·全国·专题练习）解下列关于的不等式：（）. 【答案】答案见解析 【分析】分成，，，，五种情况分别讨论不等式的解. 【详解】不等式化为：， 当，原不等式化为，解得， 当，原不等式化为，解得或， 当，原不等式化为， 当时，解得，当时，不等式无解，当时，解得， 所以当，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 例题2．（23-24高一上·北京西城·期中）解关于x的不等式：． 【答案】答案见解析. 【分析】分类讨论解含参的一元二次不等式即得. 【详解】不等式化为， 当时，解得； 当时，不等式化为，解得或； 当时，不等式化为， 若，即，解得； 若，解得； 若，即，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 例题3．（23-24高一上·河北石家庄·期中）解关于的不等式． 【答案】当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【分析】依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】因为，所以， 关于的方程的两根为，， ①当，即时，解得，即不等式的解集为； ②当，即时，解得，即不等式的解集为； ③当，即时，解得，即不等式的解集为． 综上所述： 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 精练核心考点 1．（23-24高一上·广东珠海·期中）求关于的不等式的解集. 【答案】答案见解析 【分析】原不等式可化为，分三种情况求解即可. 【详解】原不等式可化为， 当时，原不等式为，故原不等式的解集为， 当时，， 当时，则，原不等式的解集为或， 当时，则，原不等式的解集为或， 综上，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为或. 2．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）解下列不等式 (1) (2) 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式运算求解； （2）分、和三种情况，结合一元二次不等式运算求解. 【详解】（1）因为，即， 注意到，所以不等式的解集为. （2）因为，即， 令，解得或， 若，即，所以不等式的解集为； 若，即，所以不等式的解集为； 若，即，所以不等式的解集为； 综上所述：若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为. 3．（2025高三·全国·专题练习）解下列关于的不等式 (1)； (2)； (3). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）分，和讨论即可； （2）因式分解得，分 ，和讨论即可； （3）分，两大类讨论即可. 【详解】（1）由，可得或，则： 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； （2）由得或. 当，即时，不等式解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为． 综上：时，不等式解集为； 时，解集为； 时，解集为． （3）①当时，；∴. ②当时，由得或， （i）当即时，， （ⅱ）当即时，， （ⅲ）当即时，， 综上，当时，所求不等式的解集为. 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为. 题型三：重点考查一元二次不等式（含参+不可因式分解型）的解法 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）解下列关于的不等式 (1)； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）由对应函数开口向上，且， 当，即时，恒成立，原不等式解集为； 当，即或时，由，可得， 所以原不等式解集为； 综上，解集为； 或解集为. 例题2．（2025高三·全国·专题练习）解关于实数的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】根据一元二次方程根的情况，结合判别式即可分类讨论求解. 【详解】对方程 ， 当时，即时，不等式的解集为 当时，即或时， 的根为， 不等式的解集为； 综上可得，时，不等式的解集为， 或时，不等式的解集为. 精练核心考点 1．（23-24高一上·全国·课后作业）解不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】利用含有参数的一元二次不等式的解法，由，分，，求解. 【详解】解：对于方程，． 当，即时，无实根． 又二次函数的图象开口向上，所以原不等式的解集为． 当，即时，有两个相等的实根， 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为． 当，即或时，有两个不相等的实根， 分别为，，且， 所以原不等式的解集为． 综上，当或时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为． 题型四：重点考查分式不等式的解法 典型例题 例题1．（24-25高一上·全国·课堂例题）不等式的解集是 . 【答案】或 【分析】根据同号得正，将分式不等式转化为一元二次不等式，求解即可. 【详解】等价于，解得或， 故解集为或. 故答案为：或 例题2．（23-24高一上·吉林·阶段练习）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将分式不等式化为求解集. 【详解】由， 所以不等式解集为. 故答案为： 例题3．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）（1）解不等式：； 【答案】（1）； 【分析】（1）移项后可转化为一元二次不等式，其解即为原不等式的解； 【详解】（1）即为即， 解得，故原不等式的解集为. 精练核心考点 1．（23-24高一上·江西赣州·阶段练习）不等式解集为集合，则 . 【答案】 【分析】由分式不等式的解法结合补集的定义即可得. 【详解】，得，可得， 解得 所以 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式： (1)； 【答案】(1) 【分析】（1）先把分式不等式转化为不等式组，求出两个不等式的解集，最后得出分式不等式解集； 【详解】（1）（方法一）化为两个不等式组来解或 解得或，所以． ∴原不等式的解集是． （方法二）将分式不等式直接转化为整式不等式求解， ∵，解得， ∴原不等式的解集是． 3．（23-24高一上·湖南长沙·期末）解下列不等式： (1)； 【答案】(1) 【分析】（1）将分式不等式化为且，求出解集； 【详解】（1）不等式，移项得，通分得， 可转化为且， 解得，不等式解集为. 题型五：重点考查含有一个绝对值的不等式的解法 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·课前预习）和型不等式的解法 ； ． 【答案】 或 【分析】采用换元法，设，结合，或． 【详解】解：， 设， 则：等价于等价于， 故：； ， 设， 等价于等价于或， 故：或 故答案为：，或． 例题2．（2024·上海青浦·二模）不等式的解集为 ． 【答案】或， 【分析】根据绝对值的定义分类讨论解一元一次不等式组得出结果. 【详解】或， 即或，所以不等式的解集为或， 故答案为：. 例题3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式的解集是（    ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】按照正负分类讨论取绝对值，运算得解. 【详解】当，即或时， 不等式等价于，即， 解得，所以； 当，即时，不等式等价于不等式，即， 解得或，所以. 综上，不等式的解集是. 故选：C. 精练核心考点 1．（23-24高一下·河北·开学考试）不等式的解集是（    ） A．或 B．且 C． D．或 【答案】A 【分析】由，得，再利用公式法求解，即得答案. 【详解】由，得； 由，得， 故不等式的解集是或， 故选：A 2．（15-16高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】分成不等式组进行计算即可得到答案． 【详解】由可得， 由不等式，解得或， 由不等式，解得， ∴不等式组的解集为或 故答案为：或 3．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】去绝对值即可，注意绝对值非负，解出即可. 【详解】 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或． (2)． 【分析】直接运用结论公式可解 【详解】（1）因为或，解得或， 所以原不等式的解集是或 （2）由于，即，解得， 所以原不等式的解集是． 学科网（北京）股份有限公司 $$