第02讲 二次函数与一元二次方程、不等式(7大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学核心题型总结与突破（人教A版2019必修第一册）

第02讲 二次函数与一元二次方程、不等式 目录 题型一：重点考查二次函数的值域（最值） 1 题型二：重点考查不含参数的一元二次不等式的解法 4 题型三：重点考查含参数的一元二次不等式的解法 6 题型四：重点考查由一元二次不等式的解求参数 11 题型五：重点考查一元二次不等式与二次函数、方程的关系 13 题型六：重点考查一元二次不等式在上恒成立（有解）问题 17 题型七：重点考查一元二次不等式在区间上恒成立（有解）问题 19 题型一：重点考查二次函数的值域（最值） 典型例题 例题1．（23-24高一上·上海·期末）函数的值域是 . 例题2．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数，的最小值为，求的表达式． 例题3．（23-24高一上·四川达州·期中）已知二次函数满足的解集为，且图象过. (1)求的解析式； (2)当时，若函数的最大值为，求的值. 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·课后作业）求函数在上的最小值． 2． （23-24高一上·湖南株洲·开学考试）当时，求函数的最小值（其中t为常数）. 题型二：重点考查不含参数的一元二次不等式的解法 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·课后作业）不等式的解集为 ． 例题2．（24-25高一上·上海·课后作业）不等式的解集是 ． 例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 精练核心考点 1．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式：． 3．（23-24高一上·北京东城·期中）求不等式的解集. (1) (2) 题型三：重点考查含参数的一元二次不等式的解法 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）解不等式 例题2．（2024高三·全国·专题练习）解关于x的不等式． (1)（）； (2)． 例题3．（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求关于的不等式的解集. 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，解不等式：． 2．（2025高三·全国·专题练习）解关于实数的不等式 (1)； (2)； (3). 3．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为时，求实数的值； (2)当时，求不等式的解集. 题型四：重点考查由一元二次不等式的解求参数 典型例题 例题1．（23-24高一下·云南昭通·期末）已知不等式的解集为，则实数（    ） A．－3 B．3 C．－2 D．2 例题2．（20-21高一上·上海·课后作业）若不等式和不等式的解集相同，则 ， ． 例题3．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的最小值为 ． 精练核心考点 1．（23-24高一下·云南玉溪·期末）若关于的不等式的解集为，则的值是（    ） A． B． C．2 D． 2．（23-24高一下·上海·开学考试）已知关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是 . 3．（23-24高一上·上海·课后作业）已知的解集是或，求实数的值． 题型五：重点考查一元二次不等式与二次函数、方程的关系 典型例题 例题1．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若不等式的解集为，那么不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 例题2．（多选）（23-24高一上·山东聊城·期末）不等式的解集是，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 例题3．（多选）（23-24高一上·浙江台州·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 精练核心考点 1．（多选）（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）关于的不等式的解集为，则下列正确的是（    ） A． B．关于的不等式的解集为 C． D．关于的不等式的解集为 2．（多选）（23-242高一上·山东泰安·期中）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 3．（23-24高一上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知关于x的不等式 的解集为 ，则（    ） A． B．是方程的根 C．的解集为 D．的解集为 题型六：重点考查一元二次不等式在上恒成立（有解）问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·陕西渭南·期末）命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二下·福建·期末）命题p：，，则“”是“p为真命题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例题3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若对任意实数x，函数值恒小于0，则a的取值范围是 精练核心考点 1．（23-24高一上·北京·期中）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·青海西宁·期末）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·新疆阿克苏·期末）已知不等式对于任意实数x恒成立，实数a的取值范围 ． 题型七：重点考查一元二次不等式在区间上恒成立（有解）问题 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）若关于x的不等式在集合上有解，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·河北石家庄·期中）若关于的不等式在集合上有解，则实数的取值范围为 . 例题3．（23-24高一上·福建福州·期中）已知二次函数. (1)当时，解不等式； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围 精练核心考点 1．（多选）（23-24高三上·广东揭阳·期中）若关于的不等式在集合内有解，则实数的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知在上恒成立，则实数的取值范围是 ． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）关于的不等式在集合上恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次函数与一元二次方程、不等式 目录 题型一：重点考查二次函数的值域（最值） 1 题型二：重点考查不含参数的一元二次不等式的解法 4 题型三：重点考查含参数的一元二次不等式的解法 6 题型四：重点考查由一元二次不等式的解求参数 11 题型五：重点考查一元二次不等式与二次函数、方程的关系 13 题型六：重点考查一元二次不等式在上恒成立（有解）问题 17 题型七：重点考查一元二次不等式在区间上恒成立（有解）问题 19 题型一：重点考查二次函数的值域（最值） 典型例题 例题1．（23-24高一上·上海·期末）函数的值域是 . 【答案】 【分析】换元后利用二次函数图像即可得出值域，但注意换元后的定义域. 【详解】令……① 将①式代入可得：…...② 的定义域为， 由二次函数图像可知，开口向下；且. 故答案为：. 例题2．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数，的最小值为，求的表达式． 【答案】 【分析】讨论对称轴和定义域的关系，结合函数的单调性，求函数的最小值. 【详解】∵对称轴为，图像开口向上， ①∴当，即时，在严格增，的最小值为； ②当，即时，的最小值为； ③当，即时，在严格减，的最小值为． 综上，. 例题3．（23-24高一上·四川达州·期中）已知二次函数满足的解集为，且图象过. (1)求的解析式； (2)当时，若函数的最大值为，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）待定系数法求，结合不等式的解集和根的关系，应用韦达定理进行求解； （2）结合图像，分类讨论对称轴在区间的左侧，里面，右侧的情形，进而确定在区间内的单调性，进而求出最值. 【详解】（1）设二次函数，又 的解集为，即的解集为 则方程的两根为1和3，且 所以，解得，所以； （2）由于，又 当时，在上单调递减，所以； 当，即时，在上单调递增， 所以； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以； 所以 由，得或，解得或 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·课后作业）求函数在上的最小值． 【答案】最小值为 【分析】根据对称轴分三种情况讨论结合单调性得出最小值即可. 【详解】∵的图像开口向上，对称轴为． （1）当，即时，在上严格减，故当时，函数的最小值为． （2）当，即时，在上严格增，故当时，函数的最小值为． （3）当时，对称轴，故当时，函数的最小值为． 综上，记最小值为，则 2．（23-24高一上·湖南株洲·开学考试）当时，求函数的最小值（其中t为常数）. 【答案】答案见解析 【分析】求解函数的对称轴，结合轴与区间的关系，分情况讨论可得结果. 【详解】因为的图象开口向上，对称轴为. 当时，即时，在上单调递增， 当时，取得最小值为； 当时，即时， 当时，取得最小值为； 当时，即时，在上单调递减， 当时，取得最小值为； 综上可得：时，最小值为；时，最小值为；时，最小值为. 题型二：重点考查不含参数的一元二次不等式的解法 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·课后作业）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用因式分解法求解一元二次不等式即可. 【详解】由题意得，故， 故，解得. 故原不等式的解集为. 故答案为： 例题2．（24-25高一上·上海·课后作业）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】利用配方法求解一元二次不等式即可. 【详解】由题意得，故， 可得，解得，故原不等式解集为. 故答案为： 例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】利用一元二次不等式的解法来求解即可. 【详解】（1）不等式可化为，∴不等式的解集是． （2）不等式可化为，∴不等式的解集是． （3）不等式可化为，∴不等式的解集是． （4）不等式可化为，∴不等式的解集是或． 精练核心考点 1．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】求出方程的解后可求不等式的解集. 【详解】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式：． 【答案】或 【分析】将不等式化为不等式组，求解即可. 【详解】原不等式可化为不等式组，即， 即，解得，则或， 所以原不等式的解集为或． 3．（23-24高一上·北京东城·期中）求不等式的解集. (1) (2) 【答案】(1)(2) 【分析】把一元二次不等式的左边分解因式，结合二次函数的图象即得其解集. 【详解】（1）由可得，则得或， 故不等式的解集为； （2）由可得，则得, 故不等式的解集为. 题型三：重点考查含参数的一元二次不等式的解法 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）解不等式 【答案】答案见解析 【分析】结合二次不等式的解法进行分类讨论即可求解； 【详解】不等式可化为， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 例题2．（2024高三·全国·专题练习）解关于x的不等式． (1)（）； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据两种情况，进行求解； （2）分，，，和，分类讨论，求出不等式的解集. 【详解】（1） ①当，即时，原不等式无解． ②当，即或时， 方程的两根为，， 则原不等式的解集为 综上所述，当时，原不等式无解； 当或时，原不等式的解集为； （2）若，原不等式等价于，解得． 若，原不等式等价于， 解得或． 若，原不等式等价于， ①当时，，无解； ②当时，，解得， ③当时，，解得， 综上所述，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 例题3．（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求关于的不等式的解集. 【答案】(1 (2)答案见解析 【分析】（1）直接解不等式得到但. （2）变换，考虑，，三种情况，解不等式即可. 【详解】（1）当时，，由得，即， 所以，解得或， 故不等式的解集为. （2）当时，，即， 当时，，，，无解； 当时，，的解为； 当时，，的解为. 综上所述： 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，解不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】根据题意，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解. 【详解】解：原不等式为． ①若时，即时，则原不等式的解集为； ②若时，即时，则原不等式的解集为； ③若时，即时，则原不等式的解集为． 综上可得，当时，原不等式的解集为； 当时，则原不等式的解集为；当时，则原不等式的解集为． 2．（2025高三·全国·专题练习）解关于实数的不等式 (1)； (2)； (3). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）因式分解，比较两根大小，分别求出不等式解集； （2）根据系数进行分类讨论，分别解出不等式解集； （3）用根的判别式进行分类讨论，分别求出不等式解集． 【详解】（1）易知方程的， 由得，解得， 当时，的解集为， 当时，的解集为， 当时，的解集为． （2）不等式可化为， 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式化为，其解集为； 当时，不等式化为， （ⅰ）当，即时，不等式的解集为； （ⅱ）当，即时，不等式的解集为； （ⅲ）当，即时，不等式的解集为. （3）对方程 ， 当时，即时不等式的解集为； 当时，即或时的根为，， 不等式的解集为； 综上，时不等式的解集为，或时不等式的解集为. 3．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为时，求实数的值； (2)当时，求不等式的解集. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）利用根与系数之间的关系即可求出实数的值； （2）通过比较两根的大小,进行分类讨论即可. 【详解】（1）若不等式的解集为， 则和3是方程的两个实数根， 由根与系数的关系知，，且， 解得或， （2）时，不等式可化为； 当时，即，解得； 当时，即解得； 当时，即，解得. 综上知，时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为. 题型四：重点考查由一元二次不等式的解求参数 典型例题 例题1．（23-24高一下·云南昭通·期末）已知不等式的解集为，则实数（    ） A．－3 B．3 C．－2 D．2 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程根的关系可求得的值，从而得解. 【详解】因为不等式的解集为 所以方程的两个根为： 由韦达定理可得：，∴，∴， 故选：B. 例题2．（20-21高一上·上海·课后作业）若不等式和不等式的解集相同，则 ， ． 【答案】 【分析】分别求解不等式和不等式的解集，根据它们解集相同，可求、的值． 【详解】解：不等式等价于， 解得：， 解集相同， 不等式的解集为， 由方程与不等式的关系可知：的根为：， 由韦达定理：， 解得：，， 故答案为：，． 例题3．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由题可得a，b是关于的一元二次方程的两个不同的实数根，由根与系数的关系可求出的值，进而可得，再由不等式“1”的代换即可求出答案. 【详解】因为区间是关于的一元二次不等式的解集， 则a，b是关于的一元二次方程的两个不同的实数根， 则有，，，， 所以，且a，b是两个不同的正数， 则有 ， 当且仅当时即，等号成立， 满足，故的最小值是. 故答案为： . 精练核心考点 1．（23-24高一下·云南玉溪·期末）若关于的不等式的解集为，则的值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据不等式的解集得出相应方程的根，再用韦达定理可求. 【详解】不等式的解集为， 则方程的两根为， 由韦达定理得：，， 可得， 故. 故选：. 2．（23-24高一下·上海·开学考试）已知关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和讨论即可. 【详解】当时，，解得，解集不是非空， 则当不等式的解集为空时，， 则解集非空时实数的取值范围是， 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海·课后作业）已知的解集是或，求实数的值． 【答案】 【分析】首先将分式不等式转化为一元二次不等式的形式，再根据解集形式，求参数的取值. 【详解】∵，∴，即， 又∵不等式的解集为或， ∴，∴，∴，∴． 题型五：重点考查一元二次不等式与二次函数、方程的关系 典型例题 例题1．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若不等式的解集为，那么不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根之间的关系即可求解. 【详解】由题意得和1为方程的两个根且， 则，解得， 所以不等式，即，即， 故选:D. 例题2．（多选）（23-24高一上·山东聊城·期末）不等式的解集是，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据二次函数图像与性质，以及二次不等式关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为不等式的解集是， 可得，且，所以，所以， 所以A、C正确，D错误． 因为二次函数的两个零点为，且图像开口向下， 所以当时，，所以B正确． 故选：ABC． 例题3．（多选）（23-24高一上·浙江台州·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】AB 【分析】利用一元二次不等式的解集性质可知，且和是方程的两个不等实根，再利用韦达定理即可得解. 【详解】对于A，由关于的不等式的解集为可得，故A正确； 对于B，易知和是方程的两个不等实根，所以，又，所以，即B正确； 对于C，令，显然，所以不满足， 将代入可得，即，所以C错误； 对于D，由AB分析可知，即，又， 所以不等式可化为，也即，解得， 因此不等式的解集为，即D错误； 故选：AB 精练核心考点 1．（多选）（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）关于的不等式的解集为，则下列正确的是（    ） A． B．关于的不等式的解集为 C． D．关于的不等式的解集为 【答案】BC 【分析】根据的解集求出、、的关系，并逐一判断每一选项即可. 【详解】由已知可得且-1，2是方程的两根，所以A选项不正确； 由根与系数的关系可得 . 解得，， 则不等式可化为，即， 所以，所以B选项正确； 因为，所以C选项正确； 不等式可化为，化为， 解不等式得，故不等式的解集为，所以D选项不正确. 故选：BC. 2．（多选）（23-242高一上·山东泰安·期中）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式的解与二次方程的根之间的关系可得，即可结合选项逐一求解. 【详解】由于不等式的解集为， 所以和是的两个实数根， 所以，故， ，故AB正确， 对于C,不等式为，故，故C错误， 对于D, 不等式可变形为， 解得，故D正确， 故选：ABD 3．（23-24高一上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知关于x的不等式 的解集为 ，则（    ） A． B．是方程的根 C．的解集为 D．的解集为 【答案】BD 【分析】对AB：根据二次方程和二次不等式的关系，即可判断；对CD：根据题意求得关系，再求解不含参数的一元二次不等式即可. 【详解】对A：根据题意，易知，故A错误； 对B：根据题意，都是方程的根，故B正确； 对C：根据题意，，则，又， 故不等式可化为，， 即，解得，故C错误，D正确. 故选：BD. 题型六：重点考查一元二次不等式在上恒成立（有解）问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·陕西渭南·期末）命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为命题“，不等式”为真命题，求出的取值范围，根据必要不充分判定选项即可. 【详解】命题“，不等式”为假命题， 则命题“，不等式”为真命题， 所以，解得， 所以使得命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为， 则命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是， 故选：A 例题2．（23-24高二下·福建·期末）命题p：，，则“”是“p为真命题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先由，求出的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】因为，， 所以，得， 因为当时，不一定成立，而当时，一定成立， 所以“”是“p为真命题”的必要不充分条件. 故选：B 例题3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若对任意实数x，函数值恒小于0，则a的取值范围是 【答案】 【分析】根据给定条件，分类讨论，再结合二次函数的图象性质列式求解作答． 【详解】当时，恒成立，则； 当时，依题意，二次函数的图象总在x轴下方， 于是，解得. 综上， 故答案为：. 精练核心考点 1．（23-24高一上·北京·期中）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和讨论，结合恒成立问题分析求解即可. 【详解】当时，原不等式为：，对恒成立； 当时，原不等式恒成立，需，解得， 综上得． 故选：C． 2．（23-24高一上·青海西宁·期末）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次不等式恒成立即可求解. 【详解】由于不等式对任意恒成立， 当时，不等式为，此时，不符合题意， 当时，对任意恒成立，则，解得， 故选：D 3．（23-24高一上·新疆阿克苏·期末）已知不等式对于任意实数x恒成立，实数a的取值范围 ． 【答案】 【分析】由不等式对于任意实数恒成立，可得，从而得解. 【详解】由不等式对于任意实数恒成立，可得， 即，解得. 故答案为：. 题型七：重点考查一元二次不等式在区间上恒成立（有解）问题 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）若关于x的不等式在集合上有解，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数的图象及根的分布计算即可. 【详解】易知恒成立，即有两个不等实数根， 又，即二次函数有两个异号零点， 所以要满足不等式在区间上有解， 所以只需， 解得，所以实数m的取值范围是． 故选A． 例题2．（23-24高一上·河北石家庄·期中）若关于的不等式在集合上有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将不等式在区间上有解，转化为在集合上有解求解. 【详解】解：因为关于的不等式在集合上有解， 所以在集合上有解， 令在集合上递减， 所以， 所以， 故答案为： 例题3．（23-24高一上·福建福州·期中）已知二次函数. (1)当时，解不等式； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入后，利用因式分解法解不等式即可； （2）利用参变分离法，结合基本不等即可得解. 【详解】（1）当时，， 所以由，得，即，解得， 所以的解集为． （2）因为当时，不等式恒成立， 即，即在上恒成立， 而，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即实数a的取值范围是． 精练核心考点 1．（多选）（23-24高三上·广东揭阳·期中）若关于的不等式在集合内有解，则实数的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【分析】不等式在区间内有解，转化为，利用二次函数求最值即可得出的取值范围. 【详解】不等式在区间内有解，仅需即可， 令，因为的对称轴为，，， 所以，所以. 故选：AB 2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知在上恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】用求二次函数的性质列不等式来解题. 【详解】解析：设．其图象是开口向下的抛物线， 根据题意得解得． 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）关于的不等式在集合上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】将问题转化为，时的最大值小于或等于． 【详解】设，，则的最大值小于等于0． 而，∴对称轴， 而当时，；当时，， ∴的最大值为，即，故实数的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$