第04讲 一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式(5大核心高考数学题型+5大方法应用+1大易错点 高频考点练）

第04讲 一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：重点考查因式分解法解一元二次不等式 1 题型二：重点考查将分式不等式化为整式不等式 2 题型三：重点考查绝对值（单个）不等式的解法 3 题型四：重点考查含参数的一元二次不等式与分类讨论 4 题型五：重点考查一元二次不等式与韦达定理 5 第二部分：方法篇 6 一元二次不等式恒成立（有解）问题 6 方法一：二次函数在上恒成立问题：法 6 方法二：二次函数在上有解问题：法 7 方法三：二次函数在非上恒成立：分离参数法 7 方法四：二次函数在非上有解问题：分离参数法 8 方法五：已知参变量范围，求自变量范围：变更主元法 9 第三部分：易错篇 10 易错点一：一元二次不等式首项系数未化“正” 10 第一部分：题型篇 题型一：重点考查因式分解法解一元二次不等式 典型例题 例题1．（23-24高一上·安徽宣城·期末）设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二下·新疆喀什·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 例题3．（24-25高一上·上海·随堂练习）满足的x的取值范围为 ． 精练高频考点 1．（23-24高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知集合，则集合的真子集个数为（   ） A． B． C．7 D．8 2．（23-24高一上·内蒙古·期末）已知关于的不等式成立的一个必要不充分条件是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·云南迪庆·期末）不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 题型二：重点考查将分式不等式化为整式不等式 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·单元测试）分式不等式的解集为 ． 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 例题3．（23-24高一·全国·课堂例题）不等式的解集为 精练高频考点 1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）解下列不等式； (1)： 2．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）（1）求不等式的解集：； 3．（2024高三·全国·专题练习）（1）解不等式 题型三：重点考查绝对值（单个）不等式的解法 典型例题 例题1．（23-24高一上·广西玉林·期中）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 例题2．（23-24高一上·北京延庆·期中）下面是的解集的是（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高三上·上海静安·期中）不等式的解集为 ． 精练高频考点 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为，则 ． 2．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集是 ． 3．（23-24高一上·上海黄浦·期中）不等式的解集是 ． 题型四：重点考查含参数的一元二次不等式与分类讨论 典型例题 例题1．（23-24高一上·贵州毕节·期末）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·黑龙江大庆·期末）关于的不等式的解集是，且，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数. (1)当时，求函数的零点； (2)当时，求不等式的解集. 精练高频考点 1．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数 (1)若的解集为，求的取值范围； (2)当时，解不等式． 3．（23-24高一上·湖北·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式. 题型五：重点考查一元二次不等式与韦达定理 典型例题 例题1．（多选）（23-24高一下·四川眉山·开学考试）已知函数，满足不等式的解集为，且为偶函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．为偶函数 D．的最大值是 例题2．（23-24高二下·广西崇左·期末）不等式的解集为，则不等式的解集是 ． 例题3．（24-25高一上·全国·课后作业）若的解集为，解不等式：. 精练高频考点 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式的解集为，则（    ）． A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一上·上海·单元测试）甲、乙两人解关于x的不等式，甲写错了常数b，得到的解集为，乙写错了常数c，得到的解集为．那么原不等式中b，c的值依次为 ，解集为 ． 3．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 第二部分：方法篇 一元二次不等式恒成立（有解）问题 方法一：二次函数在上恒成立问题：法 典型例题 例题1．（23-24高二下·江苏扬州·期末）命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式的解集为R，则实数k的取值范围为 ． 精练高频考点 1．（24-25高一上·上海·课后作业）若函数的定义域为，则实数的范围为 ． 2．（23-24高一上·山东滨州·期末）一元二次不等式对于一切实数都成立，实数的取值范围为 . 方法二：二次函数在上有解问题：法 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 例题2．（23-24高一上·全国·课后作业）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（23-24高一上·河南·期中）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏南京·期中）若命题“”为假命题，则的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 方法三：二次函数在非上恒成立：分离参数法 典型例题 例题1．（23-24高二下·福建福州·阶段练习）命题“，满足不等式”是假命题，则的取值范围为 . 例题2．（23-24高一上·天津滨海新·阶段练习）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是 ． 精练高频考点 1．（多选）（23-24高二下·江西南昌·期末）“ ” 成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东深圳·期末）若 ，不等式 恒成立，则的取值范围为 . 方法四：二次函数在非上有解问题：分离参数法 典型例题 例题1．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）若关于的不等式在上有实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024高一上·安徽）若命题：，是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高一上·浙江台州·阶段练习）已知不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 精练高频考点 1．（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河南·阶段练习）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围为 . 方法五：已知参变量范围，求自变量范围：变更主元法 典型例题 例题1．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若函数，且，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 例题2．（2024高一·全国·专题练习）当时，不等式恒成立，求的取值范围． 例题3．（23-24高二上·安徽淮北·期末）已知不等式． ①当时，如果不等式恒成立，求的取值范围． ②当，如果不等式恒成立，求的取值范围． 精练高频考点 1．（2024高三·全国·专题练习）已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数 (1)当时，解关于的不等式； (2)当时，解关于的不等式； (3)不等式对任意恒成立，求的取值范围． 第三部分：易错篇 易错点一：一元二次不等式首项系数未化“正” 不等式左右两边同除一个负数，不等号要改变 典型例题 例题1．（23-24高一下·湖南株洲·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式组的解集为 ． 精练高频考点 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 2．（24-25高一上·上海·课前预习）不等式的解集为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：重点考查因式分解法解一元二次不等式 1 题型二：重点考查将分式不等式化为整式不等式 3 题型三：重点考查绝对值（单个）不等式的解法 5 题型四：重点考查含参数的一元二次不等式与分类讨论 7 题型五：重点考查一元二次不等式与韦达定理 10 第二部分：方法篇 13 一元二次不等式恒成立（有解）问题 13 方法一：二次函数在上恒成立问题：法 13 方法二：二次函数在上有解问题：法 15 方法三：二次函数在非上恒成立：分离参数法 16 方法四：二次函数在非上有解问题：分离参数法 18 方法五：已知参变量范围，求自变量范围：变更主元法 21 第三部分：易错篇 25 易错点一：一元二次不等式首项系数未化“正” 25 第一部分：题型篇 题型一：重点考查因式分解法解一元二次不等式 典型例题 例题1．（23-24高一上·安徽宣城·期末）设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解一元二次不等式结合充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意， 对比选项可知不等式成立的一个充分不必要条件是. 故选：D. 例题2．（23-24高二下·新疆喀什·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】求解不等式，判断选项 【详解】由，则，故，故不等式的解集为. 故选：B 例题3．（24-25高一上·上海·随堂练习）满足的x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】转化为，然后求解每一个不等式，再求解集的交集即可. 【详解】由，得， 由，得，，解得， 由，得，解得， 所以，或， 所以原不等式组的解集为. 故答案为： 精练高频考点 1．（23-24高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知集合，则集合的真子集个数为（   ） A． B． C．7 D．8 【答案】C 【分析】化简集合A，根据真子集定义求解. 【详解】由，解得， ， 所以集合A的真子集有个. 故选：C. 2．（23-24高一上·内蒙古·期末）已知关于的不等式成立的一个必要不充分条件是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得，由必要不充分条件可得的取值范围. 【详解】由，得， 因为不等式成立的一个必要不充分条件是， 所以. 故选：A 3．（23-24高一上·云南迪庆·期末）不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】直接解一元二次不等式即可得解. 【详解】解一元二次不等式得或，所以不等式的解集为或. 故选：B. 题型二：重点考查将分式不等式化为整式不等式 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·单元测试）分式不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将分式不等式转化为整式不等式求解. 【详解】由，得， 即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由于恒成立，所以将解分式不等式问题转化为解一元二次不等式，则答案可得. 【详解】因为，所以恒成立， 所以， 所以，， 所以． 故答案为：. 例题3．（23-24高一·全国·课堂例题）不等式的解集为 【答案】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式即可得解. 【详解】原不等式可以化为， 即，解得， 故原不等式的解集为. 故答案为： 精练高频考点 1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）解下列不等式； (1)： 【答案】(1) 【详解】（1）由，得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为 2．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）（1）求不等式的解集：； 【答案】（1）（2） 【分析】（1）解出分式不等式即可得； 【详解】（1）由，即， 即，解得或， 即该不等式解集为或； 3．（2024高三·全国·专题练习）（1）解不等式 【答案】（1）； 【分析】 （1）利用分式不等式解法即可求得该不等式解集为； 【详解】 （1）将不等式化为， 即，解得， 即不等式的解集为． 题型三：重点考查绝对值（单个）不等式的解法 典型例题 例题1．（23-24高一上·广西玉林·期中）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】公式法解绝对值不等式，根据充分、必要性定义判断条件间的推出关系. 【详解】由，则或，解得或； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 例题2．（23-24高一上·北京延庆·期中）下面是的解集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】绝对值不等式分类讨论即可. 【详解】等价于或者， 解得或者， 故选：D 例题3．（23-24高三上·上海静安·期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据绝对值不等式的解法计算即可. 【详解】原不等式可整理为或，解得或. 故答案为：. 精练高频考点 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为，则 ． 【答案】 【分析】去绝对值解不等式可得答案. 【详解】由得， 解得， 所以不等式的解集为，则. 故答案为：. 2．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】分情况讨论，去掉绝对值符号，转化为一元二次不等式求解. 【详解】易知时，不等式不成立. 当时，原不等式可化为：，∴； 当时，原不等式可化为：（舍去）或，∴. 综上，. 故答案为： 3．（23-24高一上·上海黄浦·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】变换得到，解得答案. 【详解】，则，解得或. 故答案为：. 题型四：重点考查含参数的一元二次不等式与分类讨论 典型例题 例题1．（23-24高一上·贵州毕节·期末）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因式分解，分三种情况讨论，即可得出结果. 【详解】由，得， 当时，不等式的解集为，不符合题意舍去， 当时，不等式的解集为，此时若有2个整数解，则需， 当时，不等式的解集为，此时若有2个整数解，则需， 综上：实数的取值范围为或， 故选:A． 例题2．（23-24高一上·黑龙江大庆·期末）关于的不等式的解集是，且，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，，再根据，即可求出． 【详解】关于的不等式的解集是， ∴是方程的两个根， ∴即， ∴或， ∴，， ∵， ∴， 即， 即， 解得， 综上所述，或， 故选：D. 例题3．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数. (1)当时，求函数的零点； (2)当时，求不等式的解集. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）直接解二次方程即可得解； （2）分类讨论的取值范围，解二次不等式即可得解. 【详解】（1）当时，， 令，得，解得或， 故的零点为或. （2）因为， 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为， 又，故解得或； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 精练高频考点 1．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化不等式为，分，和三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解. 【详解】不等式，可化为， 当时，不等式的解集为空集，不合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有三个整数解，则， 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有三个整数解，则， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：D 2．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数 (1)若的解集为，求的取值范围； (2)当时，解不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，求得，得到，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，化简不等式为，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 因为的解集为，可得，解得， 所以，则， 因为，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的取值范围为. （2）解：由且，即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式，此时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 3．（23-24高一上·湖北·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据幂函数定义求出的值，由偶函数性质求出符合题意的，得到解析式； （2）由一元二次不等式的解法对分，，三种情况讨论得到不等式的解集. 【详解】（1）由题意，因为为幂函数， 所以，解得或. 当时，，定义域为，关于原点对称， 显然成立，故为偶函数，符合题意； 当时，， 此时的定义域为，不关于原点对称， 故不是偶函数，不符合题意. 故函数. （2）因为，则不等式等价于，即. 当时，有，不等式的解集为； 当时，有，不等式的解集为； 当时，有，不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 题型五：重点考查一元二次不等式与韦达定理 典型例题 例题1．（多选）（23-24高一下·四川眉山·开学考试）已知函数，满足不等式的解集为，且为偶函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．为偶函数 D．的最大值是 【答案】AC 【分析】由题意首先得出，进一步，，由此可判断AB，由偶函数定义可判断C，通过换元法结合二次函数性质可判断D. 【详解】因为满足不等式的解集为，且为偶函数， 所以，解得， 从而，所以，故A对B错； 而， 其定义域显然关于原点对称，且， 所以为偶函数，故C正确； 令，则，故D错误. 故选：AC. 例题2．（23-24高二下·广西崇左·期末）不等式的解集为，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】由题意可得，且为方程的两根，利用根与系数的关系可得，代入中化简可求得其解集. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且为方程的两根， 所以，得， 所以可化为， 因为，所以， 所以，解得，或， 故的解集是或． 故答案为：或． 例题3．（24-25高一上·全国·课后作业）若的解集为，解不等式：. 【答案】 【分析】由题意可得，且1和3是方程，再利用根与系数的关系将用表示，代入中化简求解即可. 【详解】因为的解集为， 所以，且1和3是方程， 所以，得 则所求不等式变为， 所以，即，解得或. 所以所求不等式的解集为. 精练高频考点 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式的解集为，则（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由题意可得，且的两个根为和1，从而列方程组可求出的值. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以，且的两个根为和1， 所以，解得，， 故选：B 2．（24-25高一上·上海·单元测试）甲、乙两人解关于x的不等式，甲写错了常数b，得到的解集为，乙写错了常数c，得到的解集为．那么原不等式中b，c的值依次为 ，解集为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出常数b，c，再解一元二次不等式即可. 【详解】依题意，根据韦达定理有，，即，， 因此不等式为：，解得， 所以原不等式的解集为． 故答案为：，. 3．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由题意首先得出的关系，进一步结合即可求解. 【详解】由已知，不等式的解集为， 故，且，为方程的两根， 所以，解得，故不等式为， 即，解得或. 故答案为：． 第二部分：方法篇 一元二次不等式恒成立（有解）问题 方法一：二次函数在上恒成立问题：法 典型例题 例题1．（23-24高二下·江苏扬州·期末）命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据命题为假命题，则否命题为真命题，根据否命题列出不等式，求解即可． 【详解】因为“”是假命题， 所以“”是真命题，则，解得， 故选：C． 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式的解集为R，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分和两种情况讨论即可. 【详解】①时，，原不等式可化为，解集为R成立； ②时， 解得， 综上，，即实数k的取值范围为. 故答案为：. 精练高频考点 1．（24-25高一上·上海·课后作业）若函数的定义域为，则实数的范围为 ． 【答案】 【分析】由已知可将问题转化为不等式对任意的恒成立，满足方程没有实数根，求解即可. 【详解】由题意，知不等式对任意的恒成立， 所以方程没有实数根， 所以， 解得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 2．（23-24高一上·山东滨州·期末）一元二次不等式对于一切实数都成立，实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用二次不等式恒成立的条件得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为是一元二次不等式，所以， 又对一切实数成立， 所以，解得， 则的取值范围是. 故答案为：. 方法二：二次函数在上有解问题：法 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据给定条件，列出不等式组并求解即得. 【详解】由方程有两个不相等的实数根，得， 即，解得，因此且， 所以实数m的取值范围是且. 故选：C 例题2．（23-24高一上·全国·课后作业）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知全称命题为假命题，可知其否定为真命题，即“”是真命题，结合判别式即可求解. 【详解】命题“”是假命题， 等价于“”是真命题， 即判别式，解得：或， 则实数的取值范围为：. 故选：B. 精练高频考点 1．（23-24高一上·河南·期中）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得：“，”为真命题，从而求解. 【详解】由题可知命题“，”为真命题， 则得：，使得，因为：， 故，得：.故B项正确. 故选：B. 2．（23-24高一上·江苏南京·期中）若命题“”为假命题，则的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设为真命题，有求参数范围. 【详解】由题意得，命题“”为真命题， 则，解得或. 故选：B 方法三：二次函数在非上恒成立：分离参数法 典型例题 例题1．（23-24高二下·福建福州·阶段练习）命题“，满足不等式”是假命题，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由含有量词的命题的否定，转化为不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】命题“，满足不等式”是假命题， 所以，不等式恒成立， 设，， 则有，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 例题2．（23-24高一上·天津滨海新·阶段练习）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的开口方向，得到，求出答案. 【详解】开口向下， 要想在上恒成立，只需， 解得， 故实数的取值范围是 故答案为： 精练高频考点 1．（多选）（23-24高二下·江西南昌·期末）“ ” 成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】先把已知化简为,再结合充分条件的定义得出条件即可. 【详解】因为所以恒成立， 因为，当取等号，所以， 因为，所以是的充分条件. 因为，所以是的充分条件， 又都不能推出，所以CD错误， 故选：AB. 2．（23-24高一下·广东深圳·期末）若 ，不等式 恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】分离参数得，令，求出函数在上的最大值即可求解. 【详解】，不等式 恒成立， 则，即，恒成立， 令，由图知在上单调递减，在上单调递增， 又，故，则. 故答案为： .      方法四：二次函数在非上有解问题：分离参数法 典型例题 例题1．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）若关于的不等式在上有实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知不等式在上有实数解，再利用对勾函数的性质求出函数在上的最大值即可. 【详解】关于的不等式在上有实数解，即不等式在上有实数解 由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增， 又，得，即a的取值范围是为. 故选：A． 例题2．（2024高一上·安徽）若命题：，是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形为在上有解，利用基本不等式求出最小值，从而得到，得到答案. 【详解】由题意得在上有解， 即在上有解， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 故，故实数的取值范围为. 故选：C. 例题3．（23-24高一上·浙江台州·阶段练习）已知不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】变换得到，设，则，得到，根据函数的单调性计算最值得到答案. 【详解】，即，，故有解， 设，则， ， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故，故. 故答案为：. 精练高频考点 1．（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，由参变量分离法可得，利用基本不等式求出的最大值，即可求得实数的取值范围. 【详解】当时，由，可得，则， 因为，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，当时，的最大值为，故. 故选：A. 2．（23-24高一上·河南·阶段练习）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分离参数把不等式有解问题转化为，利用二次函数求出最值，利用二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为在内有解，即，其中； 设，则当或时，，所以， 解得，所以的取值范围为. 故答案为： 方法五：已知参变量范围，求自变量范围：变更主元法 典型例题 例题1．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若函数，且，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式恒成立问题转化为关于的一次函数恒成立问题可得不等式组，解不等式组即可得答案； 【详解】， 对恒成立， 或， 故选：A. 例题2．（2024高一·全国·专题练习）当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】． 【分析】令，，依题意，即可得到不等式组，解得即可； 【详解】解：由题意不等式对恒成立， 可设，， 则是关于的一次函数，要使题意成立只需，即，解，即得，解，即得，所以原不等式的解集为，所以的取值范围是． 例题3．（23-24高二上·安徽淮北·期末）已知不等式． ①当时，如果不等式恒成立，求的取值范围． ②当，如果不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】①（﹣1，+∞）②{x|x＞3或x＜﹣1} 【分析】①由，化简可得，只需即可； ②变换主元可得，则的图象是一条线段，依题意，，解出即可． 【详解】解：①不等式可化为， 因为，所以， 所以， 因为不等式当时恒成立，所以， 因为，所以， 所以，即的取值范围是， ②不等式化为， 令，则的图象是一条线段， 又因为，所以， 则，即， 即，解得或， 所以的取值范围是或． 【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，考查转化思想及变换主元思想，属于中档题． 精练高频考点 1．（2024高三·全国·专题练习）已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转换主元，得到，由题意可得，解不等式组即可求出实数的取值范围. 【详解】设，则对成立等价于，即，解之得或，即实数的取值范围是. 故选：D 2．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数 (1)当时，解关于的不等式； (2)当时，解关于的不等式； (3)不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据分式的运算法则，结合一元二次不等式的解法进行求解即可； （2）根据分式的运算法则，结合的正负性、一元二次方程根的大小关系分类讨论进行求解即可； （3）根据一次函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）当时，， ，即， 即，化为， 解得，故原不等式的解集为：； （2）当时，，即， 化为，即， 当时，原不等式化为，解得，故原不等式的解集为：， 当时，原不等式化为，解得或， 所以原不等式的解集为， 当时，原不等式化为， 当时，， 解得，故不等式的解集为：， 当时， 解得，故不等式的解集为：， 当时，无解； 综上当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为空集； （3）不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立． 记． 则 解得． 所以的取值范围． 【点睛】关键点睛：本题的关键是的正负性的讨论、一元二次方程根的大小关系分类讨论. 第三部分：易错篇 易错点一：一元二次不等式首项系数未化“正” 不等式左右两边同除一个负数，不等号要改变 典型例题 例题1．（23-24高一下·湖南株洲·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解一元二次不等式及对数不等式，结合集合交运算求解即可. 【详解】因为， ， 所以． 故选：D. 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】先解每一个不等式，然后求其交集即可 【详解】由，得，即， 解得或， 由，得，解得， 所以 所以不等式组的解集为. 故答案为： 精练高频考点 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】变形后，结合一元二次不等式的解法即可直接得到答案. 【详解】因为，所以， 解得或， 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·课前预习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得. 【详解】不等式，即， 解得或，所以不等式的解集为. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$