第06讲 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式、复数（章节突破卷 19题新题型）-【练透核心考点—新结构新定义】备战2025年高考数学一轮复习高频题型疯狂练（新教材新高考）

第05讲 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式、复数 （章节突破）（19题新题型） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高一下·江西景德镇·期末）已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（23-24高二下·山东德州·期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．的解集为 4．（23-24高二下·天津蓟州·阶段练习）设，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列选项正确的是（    ）． A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 7．（24-25高一上·上海·单元测试）若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：（1），；（2）对于X的任意子集A，B，当且时，有；（3）对于X的任意子集A，B，当且时，有，则称M是集合X的一个“M——集合类”，例如：是集合的一个“M——集合类”．已知，则所有含{b，c}的“M——集合类”的个数为（    ）． A．9 B．10 C．11 D．12 8．（23-24高二下·重庆·阶段练习）若“，”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·江西·期末）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，则下列结果正确的有（   ） A． B． C． D． 10．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·云南曲靖·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高一上·重庆·期末）命题的否定是 ． 13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知是方程的两个实数根，则的最大值为 . 14．（2024·湖北）已知X为包含v个元素的集合（，）．设A为由X的一些三元子集（含有三个元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称组成一个v阶的Steiner三元系．若为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为 ． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）已知复数．（其中i为虚数单位，m为实数） (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若，求m的值． 16．（本题满分15分）（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若，恒成立，求实数m的取值范围． 17．（本题满分15分）（2024高一上·全国·专题练习）已知且，函数， (1)求的单调区间和值域； (2)若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围； (3)若对于任意，任意，都有恒成立，求的取值范围． 18．（本题满分17分）（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知集合，非空集合， (1)若时，求； (2)是否存在实数，使得是的必要不充分条件？若存在，求实数的取值范围；若不恶在，请说朋理由. 19．（本题满分17分）（23-24高三上·北京房山·期末）若对，，当时，都有，则称数列受集合制约. (1)若，判断是否受制约，是否受区间制约； (2)若，受集合制约，求数列的通项公式； (3)若记：“受区间制约”，：“受集合制约”，判断是否是的充分条件，是否是的必要条件，并证明你的结论. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式、复数 （章节突破）（19题新题型） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高一下·江西景德镇·期末）已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】利用纯虚数的定义，列关于m的方程，解方程即可求复数z，然后根据虚部的定义即可求解. 【详解】因为复数为纯虚数，所以，解得， 当时，，不符合题意，舍去；所以，即， 所以复数的虚部为4， 故选：C. 2．（23-24高二下·山东德州·期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解指数不等式、绝对值不等式化简结合，结合交集的概念即可得解. 【详解】集合， 所以. 故选：D. 3．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．的解集为 【答案】D 【分析】根据二次函数,一元二次不等式,一元二次方程之间的关系,得出,且,代入消元即可. 【详解】根据题意,可以知道,的两根为. 由根与系数的关系得到： . 因为开口向下,则,故A正确. ,故B正确. 且,对称轴为,,故C正确. ,两边同时除以, 得到,解得,故D错误. 故选:D. 4．（23-24高二下·天津蓟州·阶段练习）设，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】解绝对值不等式及分式不等式，结合充分条件不必要条件的概念可得到结果． 【详解】若，则，所以， 若，则，所以，所以或， 因为是或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列选项正确的是（    ）． A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】利用基本不等式“一正、二定、三相等”的条件判断AB；借助对勾函数单调性判断CD. 【详解】对于A，当与为负数时，显然不成立，A不正确； 对于B，当x为负数时，显然不成立，B不正确； 对于C，令，所以的最小值为3， 当且仅当时，取到最小值，C不正确； 对于D，，令，函数在上递增， 因此当，即时，取得最小值，D正确. 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出每一个不等式，然后由不等式组整数解只有，列出关于的不等式组，从而可求出的取值范围. 【详解】解集为， 当时， 的解集为， 因为关于x的不等式组的整数解只有， 所以，即， 当时，的解集为空集，不满足题意， 当时，的解集为，不满足题意， 综上，的取值范围. 故选：D 7．（24-25高一上·上海·单元测试）若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：（1），；（2）对于X的任意子集A，B，当且时，有；（3）对于X的任意子集A，B，当且时，有，则称M是集合X的一个“M——集合类”，例如：是集合的一个“M——集合类”．已知，则所有含{b，c}的“M——集合类”的个数为（    ）． A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】确定M中一定含有，再分类讨论，一一列举出能含有的其他元素，综合即可得答案. 【详解】的子集有， 由题意知M中一定含有， 则M中可以含有的其他元素从剩余的5个集合中选取； 当剩余的5个集合都不选时，，共1个； 当只取1个时，或， 或，满足题意，此时M有3个； 当取2个时，或， 或，满足题意，此时M有3个； 当取3个时，或， 或或，满足题意，此时M有4个； 当取4个时，没有符合题意的情况； 当5个全选时，，共1个， 故所有含的“M—集合类”的个数为， 故选：D 8．（23-24高二下·重庆·阶段练习）若“，”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为命题的否定为真命题，再分离参数，设新函数求出其最大值即可得到答案. 【详解】由题意得该命题的否定为真命题， 即“，”为真命题， 即， 令，因为，则， 则存在，使得成立， 令，令，则（负舍）， 则根据对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增， 且，，则，则. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·江西·期末）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，则下列结果正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用不等式的基本性质求解. 【详解】对于A中，由，可得，由不等式的性质，可得A正确； 对于B中，由，根据不等式的性质，可得正确； 对于C中，由，可得C错误； 对于D中，由，可得D错误. 故选：AB. 10．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，结合集合的运算法则，逐项计算，即可求解. 【详解】因为集合， 可得，，且， 对于A中，由，，可得， 所以A正确； 对于B中，由，可得，所以B不正确； 对于C中，由，可得，所以C正确； 对于D中， 由，，所以，所以D正确. 故选：ACD. 11．（23-24高一下·云南曲靖·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，B，由代入运算即可判断，对于C，代入，得其对应的点坐标，进行判断即可；对于D，将代入化简，再求即可判断. 【详解】对于A：由题意得：，故A正确； 对于B：由题意得：，故B正确； 对于C：由题意得：，则其对应的点为， ∵，则， ∴对应的点位于第三象限，故C错误； 对于D：由题意可得： ，故正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高一上·重庆·期末）命题的否定是 ． 【答案】 【分析】由全称命题否定的改写规则可得答案. 【详解】由题，命题p的否定是：. 故答案为：. 13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知是方程的两个实数根，则的最大值为 . 【答案】18 【分析】利用方程有两实数根得到，再利用韦达定理把目标式表示为二次函数，利用二次函数的性质求解单调性，得到最值即可. 【详解】由已知得方程有两实数根，得到，即， 解得，由韦达定理得，， 又， 由二次函数性质得在单调递减， ∴当时，有最大值，最大值为18. 故答案为：18 14．（2024·湖北）已知X为包含v个元素的集合（，）．设A为由X的一些三元子集（含有三个元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称组成一个v阶的Steiner三元系．若为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为 ． 【答案】7 【分析】令，列举出所有三元子集，结合组成v阶的Steiner三元系定义，确定中元素个数. 【详解】由题设，令集合，共有7个元素， 所以的三元子集，如下共有35个： 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、， 因为中集合满足X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集，所以中元素满足要求的有： 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 共有15种满足要求的集合A，但都只有7个元素. 故答案为：7 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）已知复数．（其中i为虚数单位，m为实数） (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义即可列关系式求解， （2）根据为实数且小于0即可求解. 【详解】（1）若z为纯虚数，则且 所以 （2）若，则且 所以 16．（本题满分15分）（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）变形得到，结合得到，求出解集； （2）换元后得到对任意恒成立，由基本不等式求出最小值，得到答案. 【详解】（1）当时，可得， 即， 整理为， 因为， 所以，解得， 所以不等式的解集为； （2）因为，令，可得， 由，可得， ，恒成立，即对任意恒成立， 又因为，当且仅当，即时取等号， 所以， 即实数m的取值范围为． 17．（本题满分15分）（2024高一上·全国·专题练习）已知且，函数， (1)求的单调区间和值域； (2)若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围； (3)若对于任意，任意，都有恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)函数的递增区间为，递减区间为， (2) (3) 【分析】（1）先判断函数的奇偶性，然后根据复合函数单调性之间的关系，即可求的单调区间和值域 （2）若对于任意，总存在，使得成立，即等价于且，然后可得取值范围. （3）若对于任意，任意，都有恒成立，等价为，然后可得取值范围. 【详解】（1） 则，为偶函数 设，则函数等价为 若，当时，单调递增，且，此时函数在上单调递增，根据复合函数的单调性可知此时单调递增． 若，当时，单调递减，且，此时函数在上单调递减，根据复合函数的单调性可知此时单调递增． 综上当时，函数单调递增 函数是偶函数，当时，函数单调递减． 故函数的递增区间为，递减区间为． 函数的值域为]． （2） 且， 的对称轴为， 函数在时，函数单调递减． ，． 即， 若对于任意，总存在，使得成立， 即且， 则，即， 此时， 且，， 即的取值范围是； （3） 若对于任意，任意，都有恒成立 即 则， ，解得 且 即的取值范围 18．（本题满分17分）（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知集合，非空集合， (1)若时，求； (2)是否存在实数，使得是的必要不充分条件？若存在，求实数的取值范围；若不恶在，请说朋理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由分式不等式化简，即可由交集的定义求解， （2）将问题转化为⫋，即可列不等式求解. 【详解】（1）集合 当时，非空集合 （2）假设存在实数，使得是的必要不充分条件， 则⫋，即⫋，则，解得. 故存在实数，使得是的必要不充分条件. 19．（本题满分17分）（23-24高三上·北京房山·期末）若对，，当时，都有，则称数列受集合制约. (1)若，判断是否受制约，是否受区间制约； (2)若，受集合制约，求数列的通项公式； (3)若记：“受区间制约”，：“受集合制约”，判断是否是的充分条件，是否是的必要条件，并证明你的结论. 【答案】(1)受制约，不受制约，理由见解析 (2)且. (3)是的充分不必要条件，证明见解析 【分析】（1）根据数列新定义，判断、且是否有成立即可判断； （2）由题设可得，利用等差数列的定义写出的通项公式； （3）由新定义判断、的推出关系，结合充分、必要性的定义得到结论. 【详解】（1）由、且，则，而， 显然，则，故受制约， 由、且， 当，即，故； 当，即，故. 故不受制约. 综上，受制约，不受制约. （2）由、且，有， 所以，又，， 故的奇数项、偶数项分别为首项为1、3，且公差均为2的等差数列， 当且，则， 当且，则， 综上，且. （3）结论：是的充分不必要条件，证明如下： 为真：受集合制约，由、且， 当，有成立，则，进而可得：①； 当，有成立，结合①有； 此时，受集合制约； 为真：受集合制约，由、且，有； 而，不一定有成立（反例：且，显然，有）， 故不一定受区间制约； 所以，受区间制约，必受集合制约，但受集合制约，不一定受区间制约； 综上，是的充分不必要条件. 学科网（北京）股份有限公司 $$