第05讲 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式、复数 新定义题（解答题12题）-【练透核心考点—新结构新定义】备战2025年高考数学一轮复习高频题型疯狂练（新教材新高考）

第05讲 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式、复数新定义题 1．（23-24高二下·海南海口·期末）代数基本定理是数学中最重要的定理之一，其内容为：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根．由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积．进而，一元次复系数多项式方程有个复数根（重根按重数计）． 如对于一元二次实系数方程，在时的求根公式为在时的求根公式为．所以由代数基本定理，任意一个一元二次实系数多项式可以因式分解为． (1)在复数集中解方程：； (2)（i）在复数集中解方程：； （ii）写出一个以、、、为根的一元六次实系数多项式方程；（不需要写证明过程）； (3)已知一元十次实系数多项式满足，求的值． 2．（23-24高一下·云南保山·期中）人们把一元三次方程的求根公式称为卡尔达诺公式，该公式为：对不完全的一元三次方程的三个根分别为：，，，其中，． (1)求的三个根； (2)求的三个根． 3．（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）基本不等式：对于2个正数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即，当且仅当时，等号成立.可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，.当且仅当时，等号成立.若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质. (1)若；求数列的最小项； (2)若数列的前项和为，判断数列是否具有性质，并说明理由； (3)若，求证：数列具有性质. 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）对，定义一种新的运算，规定：（其中，，），已知，． (1)求，的值； (2)若，解不等式组． 5．（23-24高一下·北京·期末）在由个实数组成的行列的数表中，表示第行第列的数（如图是一个3行3列的数表，），记.若满足，且两两不等，则称此表为“阶表”.记. 0 3 2 1 2 9 3 4 1 (1)请写出一个“2阶表”； (2)对任意一个“阶表”，若整数，且，求证：为偶数； (3)求证：不存在“5阶表”. 6．（2024·福建泉州·二模）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，如果约定满二进一，就是二进制：满十进一，就是十进制：满十六进一，就是十六进制．k进制的基数就是k．我们日常生活中最熟悉、最常用的就是十进制．例如，数3721也可以表示为：一般地，如果k是大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为．其中．为了简便，也会把它写成一串数字连写在一起的形式：，如果不加下标就默认是十进制． (1)令集合，将B中的元素按从大到小的顺序排列，则第100个数为多少？ (2)若，记为整数n的二进制表达式中0的个数，如，求的值．（用数字作答） (3)十进制中的数999在其他进制中是否也可以表示成一个各位数字之和为27的三位数？如果能，请求出所有的k进制数；如果不能，请说明理由． 7．（2024·全国·模拟预测）已知有序数对，有序数对，定义“变换”：，，，可以将有序数对转化为有序数对． (1)对于有序数对，不断进行“变换”，能得到有序数对吗？请说明理由． (2)设有序数对经过一次“变换”得到有序数对，且有序数对的三项之和为2024，求的值． (3)在（2）的条件下，若有序数对经过次“变换”得到的有序数对的三项之和最小，求的最小值． 8．（2024·北京顺义·二模）已知点集满足，，.对于任意点集，若其非空子集A，B满足，，则称集合对为的一个优划分.对任意点集及其优划分，记A中所有点的横坐标之和为，B中所有点的纵坐标之和为. (1)写出的一个优划分，使其满足； (2)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足； (3)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足且. 9．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）对于正整数集合（），如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”； (1)判断集合和是否是“可分集合”（不必写过程）； (2)求证：四个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明：为奇数. 10．（23-24高一上·上海杨浦·期中）已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，称其为“团结集合”. (1)分别判断与是否是“团结集合”，并说明理由； (2)若集合是“团结集合”，且，求集合； (3)设函数，求． 11．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）有限个元素组成的集合，，记集合中的元素个数为，即.定义，集合中的元素个数记为，当时，称集合A具有性质P. (1)集合，，分别判断集合A，B是否具有性质P，并说明理由； (2)设集合，且是正奇数，若集合A具有性质P，求的最小值. 12．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）设集合，称坐标在平面直角坐标系中对应的点P为A中元素a的格点. (1)证明：若则. (2)A中的元素所对应的格点记作（），现将A中所有元素进行排序，使得，在平面直角坐标系中，求以为顶点的三角形面积. (3)已知集合，若至少有2个元素，最多有5个元素，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式、复数新定义题 1．（23-24高二下·海南海口·期末）代数基本定理是数学中最重要的定理之一，其内容为：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根．由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积．进而，一元次复系数多项式方程有个复数根（重根按重数计）． 如对于一元二次实系数方程，在时的求根公式为在时的求根公式为．所以由代数基本定理，任意一个一元二次实系数多项式可以因式分解为． (1)在复数集中解方程：； (2)（i）在复数集中解方程：； （ii）写出一个以、、、为根的一元六次实系数多项式方程；（不需要写证明过程）； (3)已知一元十次实系数多项式满足，求的值． 【答案】(1)， (2)（i），，，；（ii）（答案不唯一） (3) 【分析】（1）按照实系数一元二次方程的解法计算可得； （2）（i）将方程左边因式分解，变形为，即可得解； （ii）根据虚根成对原理，可知、也为方程的根，从而得到一个符合题意的一元六次实系数多项式方程； （3）依题意可得，则，令，即可求出，从而求出，再令，即可得解. 【详解】（1）方程，则， 所以、， 即原方程在复数集中解为，； （2）（i）因为， 所以， 即， 即， 所以，，、， 即原方程在复数集中解为，，，； （ii）因为为该方程（实系数）为根，则也为方程的根， 为该方程（实系数）为根，则也为方程的根， 又与可为方程的两个虚根； 与可为方程的两个虚根； 所以以、、、为根的一元六次实系数多项式方程可以为. （3）依题意可得， 令， 因为十一次多项式方程有个根， 令， 所以， 令，可得，所以， 所以， ， 则，又， 所以，则. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是令，从而得到有个根，再令，利用赋值法求出. 2．（23-24高一下·云南保山·期中）人们把一元三次方程的求根公式称为卡尔达诺公式，该公式为：对不完全的一元三次方程的三个根分别为：，，，其中，． (1)求的三个根； (2)求的三个根． 【答案】(1)， ， ． (2)， ， ． 【分析】（1）根据题意，代入公式直接求解； （2）根据已知可得，令，则， 代入公式求解即可. 【详解】（1）一元三次方程， 可得，， ， ， ． （2），, 令，则， 此时，， ， ， ． 【点睛】关键点点睛：求解方程，关键是化为，即可解决. 3．（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）基本不等式：对于2个正数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即，当且仅当时，等号成立.可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，.当且仅当时，等号成立.若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质. (1)若；求数列的最小项； (2)若数列的前项和为，判断数列是否具有性质，并说明理由； (3)若，求证：数列具有性质. 【答案】(1)4 (2)数列具有性质，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式的推广求数列得最小项即可； （2）利用放缩的思路得到，然后利用等比求和公式得到，即可得到数列满足性质①，然后根据得到数列的单调性即可即可得到数列满足性质②； （3）利用二项式定理得到，然后通过放缩得到时，即可得到，满足性质①；利用基本不等式的推广得到，，满足性质②，即可证明数列具有性质. 【详解】（1）， 当且仅当，即时等号成立， 所以数列得最小项为4. （2）数列具有性质，理由如下： 因为，所以， 所以数列满足性质①， 因为，所以，数列单调递增，满足性质②， 所以数列具有性质. （3）先证数列满足性质① ， 当时，， 则，而, 所以数列满足性质① 再证数列满足性质②： ，（，等号取不到）， 所以数列为单调递增数列，满足性质②， 综上，数列具有性质. 【点睛】关键点睛：本题考查等比数列求和即二项式定理，证明性质①需要放缩为可求和数列. 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）对，定义一种新的运算，规定：（其中，，），已知，． (1)求，的值； (2)若，解不等式组． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）先根据规定的新运算列出关于，的方程组，再解之即可； （2）由，得出，，根据规定的新运算列出关于的不等式组，解之即可. 【详解】（1）由题意，可知， ， 解得，； （2）由（1）知，， 因为， 所以，， 所以，， 所以． 所以， ， 由，得， 由，得， 综上，原不等式组的解集为. 5．（23-24高一下·北京·期末）在由个实数组成的行列的数表中，表示第行第列的数（如图是一个3行3列的数表，），记.若满足，且两两不等，则称此表为“阶表”.记. 0 3 2 1 2 9 3 4 1 (1)请写出一个“2阶表”； (2)对任意一个“阶表”，若整数，且，求证：为偶数； (3)求证：不存在“5阶表”. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据所给定义列出一个“阶表”即可； （2）依题意可得，从而得到，再求和即可得证； （3）利用反证法证明，假设存在一个“阶表”，结合题干所给定义，推出矛盾，即可得证. 【详解】（1）依题意“阶表”可以为： 1 1 0 （答案不唯一）； （2）对任意一个“阶表”， 表示第行所有数的和，表示第列所有数的和， 与均表示数表中所有数的和，所以， 因为，所以只能取内的整数. 又因为互不相等，且， 所以， 所以. 所以.偶数. （3）假设存在一个“阶表”， 则由（2）知，且和至少有一个成立，不妨设， 设，则，于是，因而可设， ， ①若是某列的和，由于，故只能是前四列某列的和， 不妨设是第一列，即. 现考虑，只能是或，不妨设，即， 由两两不等知两两不等， 不妨设， 若则；若则；若则，均与已知矛盾. ②若是某行的和，不妨设，则第4行至少有个1， 若这个1是前四个中某三个数，不妨设，则第五行前三个数只能是个不同的数， 不妨设，则矛盾，故第四行只能前四个数有2个1，第五个数为1， 不妨设，所以，第五行只能是2个0，个或1个1，4个. 则至少有两个数相同，不妨设，则与已知矛盾. 综上，不存在“阶表”. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是利用反证法证明，正难则反，另外对于新定义型问题，准确理解定义也是解决问题的关键. 6．（2024·福建泉州·二模）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，如果约定满二进一，就是二进制：满十进一，就是十进制：满十六进一，就是十六进制．k进制的基数就是k．我们日常生活中最熟悉、最常用的就是十进制．例如，数3721也可以表示为：一般地，如果k是大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为．其中．为了简便，也会把它写成一串数字连写在一起的形式：，如果不加下标就默认是十进制． (1)令集合，将B中的元素按从大到小的顺序排列，则第100个数为多少？ (2)若，记为整数n的二进制表达式中0的个数，如，求的值．（用数字作答） (3)十进制中的数999在其他进制中是否也可以表示成一个各位数字之和为27的三位数？如果能，请求出所有的k进制数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)129 (3)能，． 【分析】（1）将集合B中的元素都乘以，得集合中的最大数，可得从大到小的顺序排列的第100个数，再除以即可. （2）从到中，对应的二进制数从到中，最多六位数．最高位只能是1，结合数位讨论的值和个数，可求的值． （3）由且，得，又，符合条件的有三个值可取，计算出对应的即可. 【详解】（1）将集合B中的元素都乘以， 得集合，则中的最大数为． 在10进制中，从624起从大到小排列的第100个数是，这就是中的元素按从大到小顺序排列的第100个数， 所以B中的元素按从大到小的顺序排列，第100个数为． （2），． ∴从到中，对应的二进制数从到中，最多六位数．最高位只能是1， ∴0的个数只能是1个，2个，3个，4个，5个， 或或或或或， 有共6个； 有个； 有个； 有个； 有个； 有个． ． （3）假设存在这样的k进制数， 则， ， ①要想使且，∴x，y，z中必有大于9的数，则； ②， 综上，， 所以， k x y z ① 12 81 13 5 11 11 ② 18 54 19 2 14 11 ③ 27 36 28 1 7 19 综上可知，满足题意的k进制数有3个，分别为：． 【点睛】方法点睛： 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 7．（2024·全国·模拟预测）已知有序数对，有序数对，定义“变换”：，，，可以将有序数对转化为有序数对． (1)对于有序数对，不断进行“变换”，能得到有序数对吗？请说明理由． (2)设有序数对经过一次“变换”得到有序数对，且有序数对的三项之和为2024，求的值． (3)在（2）的条件下，若有序数对经过次“变换”得到的有序数对的三项之和最小，求的最小值． 【答案】(1)不能，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，结合“变换”，逐次计算，得出规律，即可求解； （2）由变换得到或，分类讨论，求得的值，即可求解； （3）有序数对，将有序数对经过6次“变换”得到有序数对也是形如的有序数对，得出有序数对“结构”完全相同，但最大项减小12，进而得出变换的规律，即可求解. 【详解】（1）解：对于有序数对， 不断进行“变换”：，，， 得到的有序数对分别为，，，，， 以下重复出现，所以不能得到有序数对． （2）解：由变换知：，，， 因为有序数对的三项之和为2024，且，所以，， 所以，故最大，即或， 当时，可得， 由，得，即， 所以，故； 当时，可得， 由，得，即， 所以，故． 综上可得，． （3）解：有序数对，将有序数对经过6次“变换”得到的有序数对分别为，， 由此可见，经过6次“变换”后得到的有序数对也是形如的有序数对， 与有序数对“结构”完全相同，但最大项减小12， 因为， 所以将有序数对经过次“变换”后得到的有序数对为， 经过“变换”后得到的有序数对分别为， 从以上分析可知，以后数对循环出现，所以有序数对各项之和不会更小， 所以当时，经过次“变换”得到的有序数对的三项之和均最小为4． 所以的最小值为505． 【点睛】方法点睛：对于的新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 8．（2024·北京顺义·二模）已知点集满足，，.对于任意点集，若其非空子集A，B满足，，则称集合对为的一个优划分.对任意点集及其优划分，记A中所有点的横坐标之和为，B中所有点的纵坐标之和为. (1)写出的一个优划分，使其满足； (2)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足； (3)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足且. 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析； (3)证明见解析； 【分析】（1）根据题中定义写出一个符合的即可； （2）根据题意，以的取值与1的大小比较为标准，分类讨论即可证明； （3）根据题意，分类讨论即可； 【详解】（1）由题因为， 所以若使，则可以， 此时，满足题意. （2）根据题意对于任意点集，不妨设， 且，，， 若，则，令， 则，此时恒有； 若，则，可令， 此时，则，满足题意； 若，则，令， 此时，则，满足题意； 若，则，则 令， 此时，则，满足题意； 所以对于任意点集，都存在的一个优划分，满足. （3）不妨设， 若，则B取其中一点即可满足； 若， 则必存在正整数k使得， 则有，于是， 又因为 ，当且仅当时取等号； 于是取， 即可满足且，命题得证. 【点睛】思路点睛：利用分类讨论思想，分，两类依次展开证明. 9．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）对于正整数集合（），如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”； (1)判断集合和是否是“可分集合”（不必写过程）； (2)求证：四个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明：为奇数. 【答案】(1)集合和都不是 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义直接判断即可得到结论； （2）依次去掉，可得，进而可得出结论； （3）设集合所有元素之和为，由题可知，均为偶数，因此均为奇数或偶数，分类讨论为奇数和为偶数的情况，分析即可得证. 【详解】（1）对于集合， 去掉时，， ， 所以集合不是“可分集合”； 对于集合，所有元素之和为， 当去掉元素时，剩下的元素之和为， 则剩下元素可以构成的两个集合，每个集合中元素之和为， 因此这两个集合中元素的个数为偶数， 而两个元素之和的最大值为， 四个元素之和的最小值为， 所以集合不是“可分集合”； （2）不妨设， 去掉，则， 去掉，则， 所以，显然与矛盾， 所以四个元素的集合一定不是“可分集合”； （3）设集合所有元素之和为， 由题可知，均为偶数，因此均为奇数或偶数， 如果为奇数，则也均为奇数， 由于，所以为奇数， 如果为偶数，则均为偶数，此时设， 则也是“可分集合”， 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”， 此时各项之和也为奇数，则集合中元素个数为奇数， 综上所述，为奇数. 【点睛】关键点点睛：考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性. 10．（23-24高一上·上海杨浦·期中）已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，称其为“团结集合”. (1)分别判断与是否是“团结集合”，并说明理由； (2)若集合是“团结集合”，且，求集合； (3)设函数，求． 【答案】(1)集合不是“团结集合”， 集合是“团结集合” (2) (3) 【分析】（1）由“团结集合”定义判断即可； （2）由定义知，，可得，再由，，可分析出，即可得解； （3）由得， 再由，可得，，即可得到，，，，，用累加法即可得到的值，进而代入求解即可得答案. 【详解】（1）集合中，因为，，所以集合不是“团结集合”. 集合中，因为，，，，，，，所以集合是“团结集合”； （2）因为，且是“团结集合”，由于， 所以，则，所以， 又因为，所以，则， 由集合的互异性可知，，而，所以， 故集合. （3）因为是“团结集合”， 所以，则，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，则， 所以，，，，， 所以， 即， 所以， 故. 【点睛】集合新定义问题的处理方法： 找：要抓住新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一都不是“新定义”哦，然后找出要素分别是什么； 看：看所求是什么？ 代：将已知条件代入新定义的要素； 解：结合数学知识进行解答. 11．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）有限个元素组成的集合，，记集合中的元素个数为，即.定义，集合中的元素个数记为，当时，称集合A具有性质P. (1)集合，，分别判断集合A，B是否具有性质P，并说明理由； (2)设集合，且是正奇数，若集合A具有性质P，求的最小值. 【答案】(1)集合A不具有性质P，集合B具有性质P，理由见解析 (2)13 【分析】（1）由题目所给定义计算，比较两者与6的大小即可得答案；（2）由题，为使最小，则，取.后计算，分别验证集合A是否具有性质P，即可得答案. 【详解】（1）集合A不具有性质P，集合B具有性质P.     因为，所以，， 则集合A不具有性质P.     因为，所以，， 则集合B具有性质P. （2）要使取最小值，则.     当时，取，此时， ，， 集合A不具有性质P.     取，此时， ，， 集合A不具有性质P.     取，此时， ，， 集合A具有性质P. 又对于其他值，均有. 故的最小值为13. 12．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）设集合，称坐标在平面直角坐标系中对应的点P为A中元素a的格点. (1)证明：若则. (2)A中的元素所对应的格点记作（），现将A中所有元素进行排序，使得，在平面直角坐标系中，求以为顶点的三角形面积. (3)已知集合，若至少有2个元素，最多有5个元素，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据集合A的描述，令判断是否满足集合描述即可证； （2）根据题设定义写出的前6项，进而确定坐标，即可求三角形面积； （3）根据题意、一定属于，一定不属于，并求，结合即可求参数范围. 【详解】（1）由题设， 则，且， 所以若则，得证. （2）如下表取，行为，列为， 0 1 2 3 由表格知：最小的6个数为分别为， 所以， 所以，则，以为顶点的三角形面积为. （3）同（2），将A中元素按下标小到大，从小到大排序， 由题设，又至少有2个元素，即、一定属于，故； 由最多有5个元素，即一定不属于，故； 综上，. 【点睛】关键点点睛：根据题设描述写出及对应，结合交集的结果确定参数范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$