第03讲 基本不等式(7大核心高考数学题型+3大应用+1大易错点 高频考点练）-【练透核心考点—新结构新定义】备战2025年高考数学一轮复习高频题型疯狂练（新教材新高考）

第03讲 基本不等式 目录 第一部分：题型篇 2 题型一：重点考查基本不等式成立的条件 2 题型二：重点考查直接使用基本不等式（无需凑配） 2 题型三：重点考查通过凑配整体使用基本不等式 3 题型四：重点考查代入消元使用基本不等式 4 题型五：重点考查通过换元化繁为简使用基本不等式 5 题型六：重点考查“1”的整体代入 6 题型七：重点考查二次与二次（一次）的商式变形 7 第二部分：应用篇 8 应用一：恒成立重要工具之一：基本不等式 8 应用二：应用题最值重要工具之一：基本不等式 9 应用三：对钩函数更胜基本不等式 11 第三部分：易错篇 13 易错点一：基本不等式使用时忽略了“一正”“三相等” 13 第一部分：题型篇 题型一：重点考查基本不等式成立的条件 典型例题 例题1．（23-24高二下·辽宁本溪·开学考试）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（多选）（23-24高一上·重庆南岸·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值是 B．函数的最小值是2 C．函数的最小值是6 D．若，则的最小值是8 精练高频考点 1．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为2 D．最大值为2 2．（多选）（23-24高一上·甘肃兰州·阶段练习）（多选题）下列各式中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 题型二：重点考查直接使用基本不等式（无需凑配） 典型例题 例题1．（23-24高一上·全国·课后作业）下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，则的最小值为 ． 例题3．（24-25高一上·全国·随堂练习）x∈R，则的最小值是2.( ) 精练高频考点 1．（多选）（23-24高一上·广东深圳·期中）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）若，，则、、、中最大的一个是 ． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知代数式，则其最小值为 ． 题型三：重点考查通过凑配整体使用基本不等式 典型例题 例题1．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知，则取得最小值时的值为（   ） A．3 B．2 C．4 D．5 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）当时，的最小值为 ． 例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，则取得最大值时，的值为 . （2）已知，则的最大值为 . （3）已知，则的最小值为 . 例题4．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 . 精练高频考点 1．（2024高三·全国·专题练习）函数的最大值为 2．（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知，则的最小值为 ． 3．（23-24高一上·全国·课前预习）已知，求证：. 4．（23-24高一上·天津南开·期末）已知，则的最小值为 ． 题型四：重点考查代入消元使用基本不等式 典型例题 例题1．（23-24高三上·江苏镇江·阶段练习）设实数a，b满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．3 例题2．（23-24高一上·浙江台州·阶段练习）已知实数，满足，且，则的最小值是（    ） A．33 B．26 C．25 D．21 例题3．（多选）（23-24高三上·江西·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为1 精练高频考点 1．（23-24高三上·河北保定·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（22-23高一上·河南周口·阶段练习）已知a，b为正实数，且满足． (1)求ab的最大值； (2)求的最小值． 题型五：重点考查通过换元化繁为简使用基本不等式 典型例题 例题1．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知正实数满足，记的最小值为；若且满足，记的最小值为.则的值为（    ） A．30 B．32 C．34 D．36 例题2．（23-24高三下·浙江·开学考试）设，为正实数，若，则的最小值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 例题3．（23-24高一上·北京昌平·期中）正实数满足，则的最小值是 ，的最小值是 精练高频考点 1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·四川成都·期中）已知正数满足，则的最大值是 . 3．（23-24高一上·海南海口·期中）（1）已知，求最小值； （2）已知，且．求的取值范围. 题型六：重点考查“1”的整体代入 典型例题 例题1．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知、，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若命题“对任意实数，，且，不等式恒成立”为真命题，则m的取值范围为 ． 例题3．（23-24高一下·甘肃·期末）已知正实数，满足，则的最小值为 . 精练高频考点 1．（23-24高一下·广东深圳·期末）已知正实数 满足 ，则 的最小值为（      ） A．4 B．9 C．10 D．20 2．（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，且，求的最小值. 题型七：重点考查二次与二次（一次）的商式变形 典型例题 例题1．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 例题2．（23-24高二·全国·课后作业）求的最小值 . 例题3．（23-24高二上·陕西商洛·期末）（1）解关于的不等式：； （2）已知，其中，求的最小值． 精练高频考点 1．（23-24高二上·安徽六安·开学考试）若函数在处取最小值，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 2．（23-24高一下·北京·期中）当时，函数的最小值为__________________． 3．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）（1）已知，求函数的值域； （2）已知，，且，求：的最小值． 第二部分：应用篇 应用一：恒成立重要工具之一：基本不等式 典型例题 例题1．（23-24高二上·广东汕尾·期末）已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 例题2．（23-24高一上·江西南昌·期中）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 例题3．（2024高三上·江西南昌·学业考试）正实数满足，写出一个满足不等式恒成立的整数的值为 . 精练高频考点 1．（23-24高一上·广西玉林·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二上·广东·学业考试）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一上·广东广州·期中）已知，若恒成立，则实数的取值可能是（    ） A．4 B．1 C． D． 应用二：应用题最值重要工具之一：基本不等式 典型例题 例题1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（    ） A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45 例题2．（2024高三·全国·专题练习）长征二号F遥十四运载火箭在设计生产中采用了很多新技术新材料．甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时(为保证质量要求)的速度匀速生产，每小时可消耗A材料千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克． (1)设生产千克该产品，消耗材料千克，试把表示为的函数； (2)要使生产1000千克该产品消耗的材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的材料最少为多少． 例题3．（23-24高一下·山东淄博·期中）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 精练高频考点 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）某造纸厂拟造一座占地面积为的矩形二级污水处理池，池的深度一定，池的外周墙壁建造单价400元/m，中间一条隔离壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/m（墙壁厚忽略不计）．污水处理池的长为多少时可使总造价最低？总造价最低为多少？ 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，假设①甲、乙各加同一种汽油两次；②两人第一次加油的油价均为x，第二次加油的油价均为y且；③乙每次加满油箱加入的油量都为a升．就加油两次来说，甲、乙谁更合算？ 3．（23-24高一上·上海·期中）运货卡车以千米/时的速度匀速行300千米，按交通法规限制（单位千米/时），假设汽油价格是每升8元，汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时46元. (1)求这次行车总费用（元）关于（千米/时）的表达式； (2)当为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低总费用（精确到0.01）（参考数据：） 应用三：对钩函数更胜基本不等式 典型例题 例题1．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024高一·全国）对于任意的恒成立，则实数的取值范围为 . 例题3．（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知二次函数. (1)若为偶函数，求在上的值域； (2)当时，恒成立，求实数a的取值范围. 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）若不等式在时不等式恒成立，则实数的取值范围为 ；若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 2．（23-24高一上·广东汕尾·期末）小明在研究函数时，发现具有其中一个性质：如果常数，那么函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．请你根据以上信息和所学知识解决问题：若函数的定义域为，值域为，则实数a的值是 ． 3．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）已知函数，若对任意实数，关于x的不等式在区间上恒成立，则实数m的取值范围为 . 第三部分：易错篇 易错点一：基本不等式使用时忽略了“一正”“三相等” 典型例题 例题1．（23-24高二上·甘肃兰州·期末）下列命题中正确的是（    ） A．函数的最小值为2. B．函数的最小值为2. C．函数的最小值为 D．函数的最大值为 例题2．（23-24高二上·江苏常州·期末）在下列函数中，最小值为2的是（    ） A．（且） B． C． D． 例题3．（多选）（20-21高二上·湖南常德·期末）下列结论中，所有正确的结论有（    ） A．若，则 B．若，则 C．当时， D．若，则 精练高频考点 1．（23-24高一下·宁夏银川·期末）下列函数的最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东珠海·二模）下列各函数中，最小值为的是 A． B．， C． D． 3．（23-24高一·全国·假期作业）下列不等式中一定成立的是 ． ①x＋≥2    ②   ③sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)    ④ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 基本不等式 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：重点考查基本不等式成立的条件 1 题型二：重点考查直接使用基本不等式（无需凑配） 4 题型三：重点考查通过凑配整体使用基本不等式 6 题型四：重点考查代入消元使用基本不等式 10 题型五：重点考查通过换元化繁为简使用基本不等式 12 题型六：重点考查“1”的整体代入 15 题型七：重点考查二次与二次（一次）的商式变形 18 第二部分：应用篇 21 应用一：恒成立重要工具之一：基本不等式 21 应用二：应用题最值重要工具之一：基本不等式 24 应用三：对钩函数更胜基本不等式 28 第三部分：易错篇 32 易错点一：基本不等式使用时忽略了“一正”“三相等” 32 第一部分：题型篇 题型一：重点考查基本不等式成立的条件 典型例题 例题1．（23-24高二下·辽宁本溪·开学考试）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】举反例可判断A错误；由基本不等式可得B正确；由基本不等式和正弦函数的值域可判断C错误；由基本不等式和完全平方可判断D错误. 【详解】A：当时，，故A错误； B：，当且仅当，即时取等号，故B正确； C：当时，，，当且仅当，即时取等号，因为，故C错误； D：，当且仅当，时取等号，又，故D错误； 故选：B. 例题2．（多选）（23-24高一上·重庆南岸·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值是 B．函数的最小值是2 C．函数的最小值是6 D．若，则的最小值是8 【答案】ACD 【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，对于函数， ， 当且仅当时等号成立，所以A选项正确. B选项，， 当无实数解，所以等号不成立，所以B选项错误. C选项，对于函数，， ， 当且仅当时等号成立，所以C选项正确. D选项，由基本不等式得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以D选项正确. 故选：ACD 精练高频考点 1．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为2 D．最大值为2 【答案】C 【分析】利用基本不等式的概念及运算逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】当时，，当且仅当即时，等号成立； 当时，， 当且仅当即时，等号成立；故选项AB错误； 任意，，当且仅当时， 即也即时，等号成立，所以最小值为2，故选项C正确； 当趋向于无穷大时，也趋向于无穷大，所以无最大值， 故D错误. 故选：C. 2．（多选）（23-24高一上·甘肃兰州·阶段练习）（多选题）下列各式中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由正定等条件可判断. 【详解】A项，首先要使式子有意义，， 当时，，故A错误； B项，任意，， 当且仅当时，即时，等号成立. 但方程无解，故等号取不到，即，故B错误； C项，首先要使式子有意义，则， 则，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为； D项，首先要使式子有意义，则， 则，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：CD. 题型二：重点考查直接使用基本不等式（无需凑配） 典型例题 例题1．（23-24高一上·全国·课后作业）下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式性质、基本不等式成立的条件逐个选项分析可得答案. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因为，所以，仅当a为±1时等号成立，故C正确； 对于D，因为，所以，仅当a为±1时等号成立，故错误. 故选：C 例题2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】对原函数合理变形，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意得， 当且仅当时取等，此时解得(负根舍去). 故答案为： 例题3．（24-25高一上·全国·随堂练习）x∈R，则的最小值是2.( ) 【答案】错误 【分析】法一：由恒成立可得结论，法二：利用均值不等式可求解. 【详解】法一：显然，恒成立，2不可能是其最小值. 法二：由， 则等号成立的条件是当且仅当， 即，无解.故取不到等号. 故答案为：错误. 精练高频考点 1．（多选）（23-24高一上·广东深圳·期中）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用基本不等式分析判断AD；举例说明判断BC. 【详解】对于A，，不等式成立，A正确； 对于B，由于，且，当时，，而，不等式不成立，B错误； 对于C，由于，且，当时，，而，不等式不成立，C错误； 对于D，由，且，得，则，当且仅当时取等号，D正确. 故选：AD 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）若，，则、、、中最大的一个是 ． 【答案】 【分析】由基本不等式和作差法比较大小，得到答案. 【详解】，，由基本不等式得；； 又因为，， 所以， 故， 所以最大的一个是 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知代数式，则其最小值为 ． 【答案】1 【分析】利用基本不等式即可求解 【详解】当时，由基本不等式可得： 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为1, 故答案为：1 题型三：重点考查通过凑配整体使用基本不等式 典型例题 例题1．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知，则取得最小值时的值为（   ） A．3 B．2 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据基本不等式求最值，考查等号成立的条件即可求解. 【详解】，则，当且仅当，即时等号成立. 故选：A 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）当时，的最小值为 ． 【答案】5 【分析】构造乘积为定值，应用基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为, 则 ， 当时，的最小值为5. 故答案为：5. 例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，则取得最大值时，的值为 . （2）已知，则的最大值为 . （3）已知，则的最小值为 . 【答案】 1 6 【分析】（1）运用配凑法得，再用基本不等式即可求解. （2）运用配凑法得，再用基本不等式即可求解. （3）用分离常数法得，再用基本不等式即可求解. 【详解】（1），，， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 故所求的值为. （2），，即， 则 ， 当且仅当，即时，取等号. 故的最大值为1. （3）， ， 当且仅当，即时，取等号. 故的最小值为. 故答案为：. 例题4．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 精练高频考点 1．（2024高三·全国·专题练习）函数的最大值为 【答案】/ 【分析】变形后运用基本不等式求解即可． 【详解】． 因为，所以，， 当且仅当，即 时，等号成立． 所以． 故答案为：． 2．（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知，则的最小值为 ． 【答案】7 【分析】利用配凑法，结合基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当，即时取等号， 故答案为：7. 3．（23-24高一上·全国·课前预习）已知，求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】由题知，进而根据基本不等式求解即可. 【详解】解：因为，所以， 所以， 当且仅当即，等号成立， 所以，证毕. 4．（23-24高一上·天津南开·期末）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由已知条件构造出，然后与相乘，构造出基本不等式，利用基本不等式即可. 【详解】因为， 所以， 又， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为：， 故答案为：. 题型四：重点考查代入消元使用基本不等式 典型例题 例题1．（23-24高三上·江苏镇江·阶段练习）设实数a，b满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】利用换元法，结合基本不等式进行求解即可, 【详解】令， 则有， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 故选：A 例题2．（23-24高一上·浙江台州·阶段练习）已知实数，满足，且，则的最小值是（    ） A．33 B．26 C．25 D．21 【答案】C 【分析】由题意可得，则，运用换元法，令，转化为的式子，由基本不等式即可得到所求最小值． 【详解】实数，满足，且， 可得，则， 令，即有， 则， 当且仅当，即时，取得最小值， 所以的最小值是，当且仅当、时取等号． 故选：C． 例题3．（多选）（23-24高三上·江西·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为1 【答案】ABD 【分析】移项得到，用表示即可判断AB，对C举反例即可，对D利用基本不等式即可判断. 【详解】因为，所以，，A，B正确， 对C举例，此时，则，则C错误， ，当且仅当，时，等号成立，故D正确. 故选：ABD. 精练高频考点 1．（23-24高三上·河北保定·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】变形得到，由基本不等式求出最值. 【详解】由得， 故， 当且仅当时，等号成立. 故选：C 2．（22-23高一上·河南周口·阶段练习）已知a，b为正实数，且满足． (1)求ab的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】根据题意整理可得，令，利用分离常数结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）∵，则，可得， 令，则， ∴， 又∵，当且仅当，即时等号成立， ∴， 故ab的最大值为8. （2）由（1）可知：， 令，则， ∴，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 题型五：重点考查通过换元化繁为简使用基本不等式 典型例题 例题1．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知正实数满足，记的最小值为；若且满足，记的最小值为.则的值为（    ） A．30 B．32 C．34 D．36 【答案】C 【分析】由条件，利用基本不等式可求得，可得的值，又由“1”的代换可求得的最小值，可得的值，进而得解. 【详解】根据题意，∵ ，当且仅当时等号成立， 令，有 ， 解得 ，即，； ， ，当且仅当，即，时等号成立， ； 故选：C. 例题2．（23-24高三下·浙江·开学考试）设，为正实数，若，则的最小值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由，令，，即可得到， 则，利用基本不等式计算可得. 【详解】解：因为，为正实数，且， 令，，则， 则， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D． 例题3．（23-24高一上·北京昌平·期中）正实数满足，则的最小值是 ，的最小值是 【答案】 【分析】根据基本不等式结合一元二次不等式求法即可得到答案. 【详解】①正实数满足，则， 令，则， 解得（舍去）或， 即，当且仅当时等号成立，故的最小值是. ②正实数满足，则， 令，则， 则（舍去）或， 即，当且仅当时等号成立，故的最小值是. 故答案为：； 精练高频考点 1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，把方程化为，根据方程有解，利用，求得，进而求得的最大值. 【详解】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为. 故选：B. 2．（23-24高一上·四川成都·期中）已知正数满足，则的最大值是 . 【答案】 【分析】令，则，，利用基本不等式，并结合一元二次不等式的求法可得的范围，进而得到答案. 【详解】令，因为，，所以. 则， 所以， 当且仅当即时等号成立. 所以，即，解得， 所以的最大值为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·海南海口·期中）（1）已知，求最小值； （2）已知，且．求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用基本不等式求解即可； （2）利用基本不等式，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】（1）（当且仅当时等号成立）， 所以该函数的最小值为； （2）∵， 令， 或（舍） 所以（当且仅当时等号成立）, 所以的取值范围是. 题型六：重点考查“1”的整体代入 典型例题 例题1．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知、，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由得，再利用基本不等式可得答案. 【详解】因为、，，所以， 所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若命题“对任意实数，，且，不等式恒成立”为真命题，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将不等式整理得到，再利用基本不等式求解． 【详解】， 当且仅当，且， 即，时等号成立， 所以， 故答案为：． 例题3．（23-24高一下·甘肃·期末）已知正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】首先变形，展开后，利用基本不等式求最值. 【详解】， 当且仅当，即，时，等号成立. 故答案为： 精练高频考点 1．（23-24高一下·广东深圳·期末）已知正实数 满足 ，则 的最小值为（      ） A．4 B．9 C．10 D．20 【答案】B 【分析】方程两边同时除以得，利用“1的代换”即可求解. 【详解】为正实数，方程两边同时除以得， ， 当且仅当即时等号成立， 故 的最小值为. 故选：. 2．（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】，，， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：4 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，且，求的最小值. 【答案】16 【分析】用“1的代换”方法求解即可. 【详解】∵，， ∴， 当且仅当，即时等号成立，解得，. 故当，时，取最小值为16. 题型七：重点考查二次与二次（一次）的商式变形 典型例题 例题1．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 【答案】D 【解析】将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案； 【详解】 ， 当且仅当,即等号成立. 故选：D. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等号成立的条件. 例题2．（23-24高二·全国·课后作业）求的最小值 . 【答案】9 【解析】将分子配方凑出含有的项，再将其分离，利用基本不等式即可求解. 【详解】 ， ，， ， 当且仅当即时，等号成立. 故答案为：9. 【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 例题3．（23-24高二上·陕西商洛·期末）（1）解关于的不等式：； （2）已知，其中，求的最小值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）将所求不等式变形为，利用高次不等式的解法可得出原不等式的解集； （2）将函数的解析式变形为，利用基本不等式可求得函数在上的最小值. 【详解】（1）原不等式可化为且，即， 解之得. 综上，原不等式的解集为； （2），则， 由基本不等式得 （当且仅当时，即当时取得等号） 因此，函数的最小值为. 【点睛】本题考查分式不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式求函数的最值，涉及高次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题. 精练高频考点 1．（23-24高二上·安徽六安·开学考试）若函数在处取最小值，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】由，而，利用基本不等式可求出最小值，结合等号取得的条件可求出的值. 【详解】由题意，，而，当且仅当，即时，等号成立， 所以. 故选：C. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 2．（23-24高一下·北京·期中）当时，函数的最小值为__________________． 【答案】5 【分析】对函数形式进行化简，得到基本不等式形式，根据基本不等式，得到答案. 【详解】 当且仅当，即时，等号成立. 【点睛】本题考查基本不等式的简单应用，属于简单题. 3．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）（1）已知，求函数的值域； （2）已知，，且，求：的最小值． 【答案】（1）；（2）18． 【分析】（1）设，得到，且，化简，结合基本不等式（对勾函数法），即可求解； （2）由，得到，化简，结合基本不等式（“1”的妙用），即可求解. 【详解】（1）设，因为，可得，且， 故， 因为，可得，当且仅当时，即时，等号成立． 所以函数的值域为． （2）由，可得，即， 则． 当且仅当，即且时，等号成立， 所以的最小值为． 第二部分：应用篇 应用一：恒成立重要工具之一：基本不等式 典型例题 例题1．（23-24高二上·广东汕尾·期末）已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时，取得等号， 所以有最小值为， 因为不等式在上恒成立， 所以，解得，所以的最小值为4， 故选:C. 例题2．（23-24高一上·江西南昌·期中）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】首先将原问题转化为，再利用基本不等式的知识求出的最小值即可. 【详解】不等式有解， ， ， ， 当且仅当，等号成立， ，，， 实数的取值范围是． 故选：D． 例题3．（2024高三上·江西南昌·学业考试）正实数满足，写出一个满足不等式恒成立的整数的值为 . 【答案】1（中任一个均可以） 【分析】根据“1”的灵活应用可得的最小值为2，结合恒成立问题可得，运算求解即可. 【详解】由题可知，， 当且仅当，即时，等号成立， 要使不等式恒成立，则，解得， 且，所以. 故答案为：1（中任一个均可以）. 精练高频考点 1．（23-24高一上·广西玉林·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式“1”的代换求不等式左侧最小值，结合恒成立有，解一元二次不等式求参数范围. 【详解】由题设，， 当且仅当，即时等号成立． 所以，则可得． 故选：D 2．（2024高二上·广东·学业考试）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据恒成立问题结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为18，可得， 所以实数m的取值范围为. 故选：B. 3．（多选）（23-24高一上·广东广州·期中）已知，若恒成立，则实数的取值可能是（    ） A．4 B．1 C． D． 【答案】BCD 【分析】先利用基本不等式求出的最小值，然后解不等式即可. 【详解】因为， 所以，当且仅当，即时等号成立， 因为恒成立，则，即， 解得，故BCD正确，A错误. 故选：BCD 应用二：应用题最值重要工具之一：基本不等式 典型例题 例题1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（    ） A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45 【答案】A 【分析】由题意作出图形，选设观赏者与油画的水平距离为，观赏时的视角为，求出中的三边，由余弦定理求得的表达式，依题应使最大，即使最小，求出表达式的最小值以及此时的值即得. 【详解】 如图，设观赏者的眼睛在点处，油画的上沿在点处，下沿在点处， 点在线段延长线上，且保持与点在同一水平线上， 则即观赏时的视角. 依题意， 不妨设，则， 在中，由余弦定理， ， 因，则，当且仅当时，即时等号成立， 由可得， 则，则， 因函数在上单调递减，故得， 即最大视角为，此时观赏者距离油画的直线距离为. 故选：A. 例题2．（2024高三·全国·专题练习）长征二号F遥十四运载火箭在设计生产中采用了很多新技术新材料．甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时(为保证质量要求)的速度匀速生产，每小时可消耗A材料千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克． (1)设生产千克该产品，消耗材料千克，试把表示为的函数； (2)要使生产1000千克该产品消耗的材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的材料最少为多少． 【答案】(1)y＝m，． (2)工厂应选取3千克/时的生产速度，此时消耗的材料最少，最少为千克． 【分析】（1）根据条件求，再根据每小时耗材和时间，列式求解； （2）由题意可知，，代入（1）的结果，利用基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意得，解得，因为生产千克该产品需要的时间是， 所以，， （2）由（1）知，生产千克该产品消耗的材料为(千克)． 当且仅当，即时，等号成立， 故工厂应选取3千克/时的生产速度，此时消耗的材料最少，最少为千克． 例题3．（23-24高一下·山东淄博·期中）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】(1)当时，甲工程队的报价最低 (2) 【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解； （2）由（1）可知，转化为不等式恒成立，参变分离后，转化为求最值的问题. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 则 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， ， 当，，即时，的最小值为12， 即， 所以的取值范围是. 精练高频考点 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）某造纸厂拟造一座占地面积为的矩形二级污水处理池，池的深度一定，池的外周墙壁建造单价400元/m，中间一条隔离壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/m（墙壁厚忽略不计）．污水处理池的长为多少时可使总造价最低？总造价最低为多少？ 【答案】15米，总造价最低为36000元 【分析】设污水处理池的宽为米，长为米，从而得到总造价，再利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】设污水处理池的宽为米，则长为米． 则总造价 ， 当且仅当，即时，取等号． 此时，所以当长为15米时，总造价最低为36000元． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，假设①甲、乙各加同一种汽油两次；②两人第一次加油的油价均为x，第二次加油的油价均为y且；③乙每次加满油箱加入的油量都为a升．就加油两次来说，甲、乙谁更合算？ 【答案】甲更合算 【分析】根据已知分别求甲乙油的平均单价比较即可. 【详解】两次加油的油价分别是元/升且， 甲加两次油的平均单价为元/升, 乙每次加油a升，加两次油的平均单价为元/升， 即甲的平均单价低，甲更合算． 3．（23-24高一上·上海·期中）运货卡车以千米/时的速度匀速行300千米，按交通法规限制（单位千米/时），假设汽油价格是每升8元，汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时46元. (1)求这次行车总费用（元）关于（千米/时）的表达式； (2)当为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低总费用（精确到0.01）（参考数据：） 【答案】(1) (2)千米/时，最低费用为元. 【分析】（1）计算本次行车所用时间，然后乘以每小时耗油量以及汽油价格为汽车的费用，再加上司机的费用即为行车总费用； （2）利用均值不等式求出最小值以及取最小值时的的值． 【详解】（1）行车所用时间，根据汽油的价格是每升8元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时46元， 可得行车总费用为； （2），当且仅当即时，等号成立， 所以当千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用为元． 应用三：对钩函数更胜基本不等式 典型例题 例题1．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】参变分离，转化为求的最小值问题，变形为，利用对勾函数性质求解可得. 【详解】分离参数得， 要使对任意，不等式恒成立，只需. 又因为，令， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以， 所以，所以. 故选：D 例题2．（2024高一·全国）对于任意的恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】 由题意分离参数讨论或可得出，令，求出的最小值即可得出答案. 【详解】由， ， ， 当时，不等式恒成立； 当时，不等式等价， 令在上递减，在上递增， ，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 例题3．（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知二次函数. (1)若为偶函数，求在上的值域； (2)当时，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用偶函数的定义求出，再利用二次函数求出值域即得. （2）变形给定不等式，分离参数构造函数，求出函数最小值即可得解. 【详解】（1）函数定义域为R，由是偶函数，得， 即，整理得，而不恒为0， 因此，函数，当时，在上单调递减，在上单调递增， 于是，，则， 所以在上的值域是. （2）不等式， 依题意，，，而对勾函数在上单调递减，当时，， 即当时，，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）若不等式在时不等式恒成立，则实数的取值范围为 ；若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先分离参数可得，然后结合对勾函数的性质求得，从而可确定的取值范围． 【详解】①因为不等式，所以在区间上恒成立， 因为，当时取等号， 故. ②不等式对一切恒成立，， 由对勾函数的性质可知函数 在区间上单调递增， 且当时，，所以， 故实数的取值范围是． 故答案为：①；②. 2．（23-24高一上·广东汕尾·期末）小明在研究函数时，发现具有其中一个性质：如果常数，那么函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．请你根据以上信息和所学知识解决问题：若函数的定义域为，值域为，则实数a的值是 ． 【答案】或 【分析】当判断单调性，进而确定最值即可求范围，当再讨论的大小关系，结合的性质，判断上的单调性，进而确定最值，结合已知值域求参数范围. 【详解】当时，即，在上递增， 故当时，，解得：，满足题设； 当，即， 若，即时，函数在上递减，在上递增， 故， 可得或（舍去）； 若，即时，函数在上递增， ，解得：，不满足题设. 故答案为：或. 3．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）已知函数，若对任意实数，关于x的不等式在区间上恒成立，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据对勾函数的单调性可得，时，从而由得恒成立，由题意得对任意实数恒成立，即可求解. 【详解】∵对勾函数在上单调递减，在上单调递增， ， ∴时，，即， ∵，则， 由得，即恒成立， 由题意得，对任意实数恒成立， 则，得， 则实数m的取值范围为. 故答案为：. 第三部分：易错篇 易错点一：基本不等式使用时忽略了“一正”“三相等” 典型例题 例题1．（23-24高二上·甘肃兰州·期末）下列命题中正确的是（    ） A．函数的最小值为2. B．函数的最小值为2. C．函数的最小值为 D．函数的最大值为 【答案】D 【分析】根据基本不等式知识对选项逐一判断 【详解】对于A，时为负值，故A错误 对于B，，而无解，无法取等，故B错误 对于 ，当且仅当即时等号成立， 故，D正确，C错误 故选：D 例题2．（23-24高二上·江苏常州·期末）在下列函数中，最小值为2的是（    ） A．（且） B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式的使用条件，对四个选项分别进行判断，得到答案. 【详解】选项A，当时，，所以最小值为不正确； 选项B，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，而，所以等号不成立，所以不正确； 选项C， 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以正确； 选项D，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，而，所以不正确. 故选：C. 【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，基本不等式的使用条件，属于简单题. 例题3．（多选）（20-21高二上·湖南常德·期末）下列结论中，所有正确的结论有（    ） A．若，则 B．若，则 C．当时， D．若，则 【答案】ACD 【解析】利用基本不等式可判断AC选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误，利用指数函数的单调性可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，若，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，A选项正确； 对于B选项，取，，则成立，但，B选项错误； 对于C选项，当时，， 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， C选项正确； 对于D选项，由于指数函数为增函数，且，则，D选项正确. 故选：ACD. 精练高频考点 1．（23-24高一下·宁夏银川·期末）下列函数的最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对各选项一一分析是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正，二定，三相等”. 【详解】对于A. ,当时，，所以最小值为不是2，A错误； 对于B. ， 所以时， 即，此时无解，所以原式取不到最小值2 ，B错误. 对于C. ，当且仅当，此方程无解，则的最小值取不到2，C错误； 对于D,，因为， 所以， 当且仅当，即时，有最小值2，满足，D正确； 故选：D. 【点睛】本题考查了使用基本不等式的应用条件，属于基础题. 2．（2024·广东珠海·二模）下列各函数中，最小值为的是 A． B．， C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：，当且仅当时，即时，取等号． 考点：基本不等式． 3．（23-24高一·全国·假期作业）下列不等式中一定成立的是 ． ①x＋≥2    ②   ③sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)    ④ 【答案】④ 【分析】根据基本不等式的条件一一判断即可. 【详解】对于选项①，当x<0时显然不成立； 对于选项②，当时显然不成立； 对选项③，当sin x<0时显然不成立； 只有选项④正确. 故答案为：④. 学科网（北京）股份有限公司 $$