第01讲 集合 (6大核心高考数学题型 高频考点练）-【练透核心考点—新结构新定义】备战2025年高考数学一轮复习高频题型疯狂练（新教材新高考）

第01讲 集合(高考高频考点） 目录 题型一：重点考查集合元素的互异性 1 题型二：重点考查集合的列举法描述法 5 题型三：重点考查包含关系 7 题型四：重点考查集合的并交补 10 题型五：图的实际应用 12 题型六：集合新定义问题 15 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 题型一：重点考查集合元素的互异性 典型例题 典例1．（2022·重庆·模拟预测）已知集合，，则集合B中元素个数为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据给定条件分析a，b取值即可判断作答. 【详解】集合，， 则当时，有，当时，或，当时，或， 所以，集合B有中5个元素. 故选：A 典例2．（2023·河南郑州·模拟预测）已知集合，，则集合中元素的个数为（    ） A．30 B．28 C．26 D．24 【答案】B 【分析】 根据题意得到，再结合求解即可. 【详解】，， 因为， 当时，为偶数，共有个元素. 当时，为奇数， 此时，共有个元素. 当时，为奇数， 此时，有重复数字，去掉，共有个元素. 综上中元素的个数为个. 故选：B 典例3．（2023·北京顺义·一模）已知实数集，定义． (1)若，求； (2)若，求集合A； (3)若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 【答案】(1) (2)或者. (3)13 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可； （2）根据可得，然后分中4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负进行讨论即可； （3）分 中没有负数和中至少有一个负数两种情况进行讨论即可求解. 【详解】（1）; （2）首先，； 其次中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负. 记，不妨设或者-- ①当时，， 相乘可知，从而， 从而，所以； ②当时，与上面类似的方法可以得到 进而，从而 所以或者. （3）估值+构造  需要分类讨论中非负元素个数. 先证明．考虑到将中的所有元素均变为原来的相反数时， 集合不变，故不妨设中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论： 情况一： 中没有负数． 不妨设，则 上式从小到大共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，这表明 情况二： 中至少有一个负数． 设 是中的全部负元素，是中的全部非负元素. 不妨设 其中为正整数，． 于是有 以上是中的个非正数元素：另外，注意到 它们是中的5个正数．这表明 综上可知，总有- 另一方面，当时，中恰有13个元素. 综上所述，中元素个数的最小值为13. 精练高频考点 1．（2024·山东聊城·三模）已知集合，且，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】由集合的包含关系，有或，解出的值代入检验可得答案. 【详解】，则，有或，解得或或， 其中时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去， 所以实数的值为3. 故答案为：3 2．（2024·安徽·三模）已知集合，若的所有元素之和为12，则实数 . 【答案】 【分析】分类讨论是否为，进而可得集合B，结合题意分析求解. 【详解】由题意可知：且， 当，则；当，则；当，则； 若，则，此时的所有元素之和为6，不符合题意，舍去； 若，则，此时的所有元素之和为4，不符合题意，舍去； 若且，则，故，解得或（舍去）； 综上所述：. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知，，函数，对任意正整数n，有，且集合的元素个数为3，则满足要求的的取值集合 ． 【答案】 【分析】由得到周期为4从而求得， 因为周期为4，列举，结合集合元素的互异性得到可能的的值，进而求得的值. 【详解】因为，所以周期，又由得，所以， 则，， ，， 而集合中只有3个元素，根据集合元素的互异性，说明以上四个值中一定有两个是相等的， 若即，则，集合中只有2个元素，不合题意； 若即，则，集合中只有2个元素，不合题意； 若即，则，得或，此时 ； 若即，则，得或，此时或； 综上的值为0或1或-1，所以. 故答案为：. 题型二：重点考查集合的列举法描述法 典型例题 典例1．（2024·山东济南·二模）已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（    ） A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1} 【答案】D 【分析】根据集合中元素和为1，确定一元二次方程的根，即可得出的取值集合. 【详解】因为集合的元素之和为1， 所以一元二次方程有等根时，可得，即， 当方程有两不相等实根时，，即， 综上，实数a 所有取值的集合为. 故选：D 典例2．（22-23高二上·山东青岛·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用列举法及交集的定义即可求解. 【详解】由题可知， ， 所以. 故选：A. 典例3．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）若，则下列结论中正确结论的个数为（    ） ①； ②； ③若，则； ④若且，则； ⑤存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用集合的特征性质对选项进行判断. 【详解】若， 对于①，，①正确； 对于②，当中时，，所以，②正确； 对于③，若，不妨设， 则，，所以，③正确； 对于④，若且，不正确，例如，，④不正确； 对于⑤，存在且，满足， 例如，，， 若，则， 故，⑤正确. ①②③⑤正确. 故选：C. 精练高频考点 1．（2022·安徽·三模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合A，根据集合B中元素的性质求出集合B. 【详解】，， , 故选：C 2．（23-24高三下·湖北·阶段练习）已知集合，，若定义集合运算：，则集合的所有元素之和为（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】计算出的所有取值即可得. 【详解】可为、，可为、，有、、， 故，所以集合的所有元素之和为6. 故选：A． 3．（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）若表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是 . 【答案】4 【分析】根据定义有或，分别确定出所在区域，然后可求得面积． 【详解】根据定义有或， ，则，这是一个边长为的正方形，面积为， 同理，，也都形成一个边长为的正方形，面积都是， 所以. 故答案为： 题型三：重点考查包含关系 典型例题 典例1．（2024·湖南长沙·一模）设集合，现对的任意一非空子集，令表示中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均数为（    ） A．501 B．500 C．1002 D．1001 【答案】D 【分析】根据题意，由集合子集的定义分2种情况讨论：①满足，②满足，求出的算术平均数，综合可得答案. 【详解】可设的非空子集为（，，，…，）， 又把这样的子集分为两类：①一类满足，这样的子集； ②另一类满足，此时可把两个非空集合与配对， 易知这是两个不同的集合，且都是的非空子集，它们的最大数与最小数之和是， 所以此时非空子集的的平均数为1001. 综上，的所有非空子集的特征数的平均数为1001. 故选：D 典例2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出集合，再由，得，即可求出实数的取值范围. 【详解】因为，所以，即． 由，得，得，故实数的取值范围是． 故答案为：. 典例3．（2024·山东泰安·三模）已知集合，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出集合，根据包含关系确定范围即可. 【详解】由，得， 所以，则或， 由，得， 又，所以， 解得. 故答案为：. 精练高频考点 1．（2024·全国·模拟预测）设，，，为集合的个不同子集，为了表示这些子集，作行列的数阵，规定第行第列的数为．则下列说法中正确的是（    ） A．数阵中第一列的数全是0，当且仅当 B．数阵中第列的数全是1，当且仅当 C．数阵中第行的数字和表明集合含有几个元素 D．数阵中所有的个数字之和不超过 【答案】ABD 【分析】由集合的子集的概念和规定第行与第列的数为，对选项一一判断即可． 【详解】选项A：数阵中第一列的数全是，当且仅当，，，，，故A正确． 选项B：数阵中第列的数全是1，当且仅当，，，，，故B正确． 选项C：数阵中第列的数字和表明集合含有几个元素，故C错误． 选项D：当，，，中一个为本身，其余个子集为互不相同的元子集时， 数阵中所有的个数字之和最大，且为，故D正确. 故选：ABD 2．（2024·湖南·二模）对于非空集合，定义函数已知集合，若存在，使得，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，由函数的定义可得可取，即可得到的取值范围. 【详解】由题知：可取， 若.则， 即集合，得，即的取值范围为. 故答案为： 3．（2024高二下·全国·竞赛）设集合，，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】按集合A为空集和不是空集两种情况去讨论即可求得实数a的取值范围. 【详解】当时，满足，此时，解得； 当时，或， 若，则有且，解得且， 所以； 综上，实数a的取值范围是. 故答案为： 题型四：重点考查集合的并交补 典型例题 典例1．（2024·重庆·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解一元二次不等式求解集合A，根据指数函数单调性求解值域得集合B，然后利用交集运算求解即可. 【详解】， 则， 所以. 故选：D 典例2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的解法和集合的运算，求得或，结合，列出不等式组，即可求解. 【详解】由集合，且， 所以或， 因为，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D． 典例3．（2024·贵州贵阳·二模）已知集合，集合且，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】解一元二次不等式可得，再对参数进行分类讨论并利用对数函数单调性解对数不等式，由交集结果求得的取值范围. 【详解】由已知可得； ①若，则，由； ②若，则，此时，不符合题意． 综上可得的取值范围是. 故答案为： 精练高频考点 1．（2024·福建泉州·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合A，B，根据并集运算化简. 【详解】因为，， 所以. 故选：C 2．（2024·陕西咸阳·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出集合、后，借助补集定义及交集定义即可得. 【详解】由，即，解得，故， 由，可得，即或，故， 故. 故选：B. 3．（多选）（2024·安徽安庆·三模）已知集合，集合，若有且仅有3个不同元素，则实数的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【分析】解一元二次不等式可得，结合指数函数性质可解出，结合交集性质即可得解. 【详解】由，解得， 故， 由，可得， ， 要使有且仅有3个不同元素，则，解得， 故选：AB． 题型五：图的实际应用 典型例题 典例1．（2024·新疆·三模）如图，集合A，B均为U的子集，表示的区域为（    ） A．I B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ 【答案】A 【分析】根据补集的运算性质及维恩图得解. 【详解】因为, 由维恩图可知，表示的区域为I. 故选：A 典例2．（2024·湖南邵阳·三模）已知全集，集合，，如图所示，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】先根据并集运算求得，然后利用补集的概念求解阴影部分表示的集合即可. 【详解】因为，，所以， 所以图中阴影部分表示的集合或. 故选：D 典例3．（2024·江西景德镇·三模）已知全集， ，，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定全集，画出韦恩图，结合集合的运算表示 【详解】因为，所以画出韦恩图如下： 可知. 故选：D 精练高频考点 1．（2024·福建泉州·模拟预测）已知集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求集合的元素，进而利用集合的交集，补集运算即可求解. 【详解】由，解得，则； . 又， 所以阴影部分表示的集合为. 故选：B. 2．（2024·黑龙江·模拟预测）设集合，，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式得到，利用补集和交集概念求出答案. 【详解】因为等价于，解得， 所以，所以或， 则由韦恩图可知阴影部分表示． 故选：B． 3．（2024·浙江·模拟预测）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图，即可求解. 【详解】如图，画出图，并将条件中的集合标在图中，    如图，集合． 故选：C 题型六：集合新定义问题 典型例题 典例1．（2024·上海静安·二模）如果一个非空集合上定义了一个运算，满足如下性质，则称关于运算构成一个群. （1） 封闭性，即对于任意的，有； （2） 结合律，即对于任意的，有； （3） 对于任意的，方程与在中都有解． 例如，整数集关于整数的加法（）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的，方程与都有整数解；而实数集关于实数的乘法（）不构成群，因为方程没有实数解. 以下关于“群”的真命题有（    ） ①自然数集关于自然数的加法（）构成群； ②有理数集关于有理数的乘法（）构成群； ③平面向量集关于向量的数量积（）构成群； ④复数集关于复数的加法（）构成群. A．0个； B．1个； C．2个； D．3个. 【答案】B 【分析】根据群的定义需满足的三个条件逐一判断即可. 【详解】对于①，，在自然数集中无解，错误； 对于②，，在有理数集中无解，错误； 对于③，是一个数量，不属于平面向量集，错误； 对于④，因为任意两个复数的和还是复数，且满足加法结合律， 且对任意的，方程与有复数解，正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，用新定义解题.解题方法是根据新定义的3个条件进行验证，注意实数或复数运算的运算律与新定义中运算的联系可以很快得出结论. 典例2．（多选）（2024·云南曲靖·二模）已知集合，定义，则下列命题正确的是（    ） A．若，则与的全部元素之和等于3874 B．若表示实数集，表示正实数集，则 C．若表示实数集，则 D．若表示正实数集，函数，则2049属于函数的值域 【答案】BD 【分析】对于A：根据题意可得，，即可得结果；对于B：根据题意结合指数函数的值域分析判断；对于C：根据题意结合幂函数值域分析判断；对于D：根据题意取特值检验即可. 【详解】对于选项A：因为， 根据所给定义可得，， 则与的全部元素之和等于3872，故选项A错误； 对于选项B：，故选项B正确； 对于选项C：，表示幂函数的值域， 可知幂函数的值域为，即，故选项C错误； 对于选项D：因为， 当时，则， 可得，故选项D正确. 故选：BD. 典例3．（2024·北京朝阳·一模）设A，B为两个非空有限集合，定义其中表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论： ①若，则{思想政治，历史，生物}； ②若，则{地理，物理，化学}； ③若{思想政治，物理，生物}，则； ④若，则{思想政治，地理，化学}. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③ 【分析】对于①③：直接根据定义计算即可；对于②：通过定义计算得到必为偶数，讨论 和两种情况下的求解即可；对于④：通过举例{物理，地理，历史}来说明. 【详解】对于①：，所以，所以， 又{地理，物理，化学}，所以{思想政治，历史，生物}，①正确； 对于②：，即， 所以，所以必为偶数，又， 当时，，不符合， 所以，且，此时情况较多，比如{物理，地理，生物}，②错误； 对于③：若{思想政治，物理，生物}，则， 所以，③正确； 对于④：当{物理，地理，历史}时， ， 满足，但不是{思想政治，地理，化学}，④错误. 故选：①③ 【点睛】方法点睛：对于新定义题目，一定要深刻理解定义的意义，然后套用定义进行计算即可，很多时候新定义题目难度并不很大，关键是要大胆做，用心做. 精练高频考点 1．（多选）（2024·江西宜春·模拟预测）已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（    ） A．， B．， C． D． 【答案】AC 【分析】由开点的定义和元素和集合的关系可求得结果． 【详解】对于，对任意的，存在，使得，故正确； 对于，假设集合，以0为“开点“，则对任意的，存在，， 使得，当时，该式不成立，故错误； 对于，假设集合以0为“开点“，则对任意的，存在， 使得，故正确； 对于，集合，，，当时，， 时，使得不成立，故错误． 故选：． 2．（多选）（2024·广西柳州·三模）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）.若对任意的，有，则对任意的，下列等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据已知中，对四个答案的结论逐一进行论证，即可求解结论． 【详解】根据条件“对任意的，，有”，则： A中，无法确定是否一定成立，故A错误； B中，，一定成立，故B正确； C中，，一定成立，故C正确； D中，将看成一个整体，则，故，故D正确. 故选：BCD． 3．（2024·福建福州·模拟预测）设集合为含有个元素的有限集．若集合的个子集满足以下3个条件： ①均非空；②中任意两个集合交集为空集；③．则称为集合的一个阶分拆． 若，为的2阶分拆，集合所有元素的平均值为，集合所有元素的平均值为，则的最小值等于 ，最大值等于 ． 【答案】 0 1012 【分析】根据题意分别取取得最值时的集合，从而可得的最值. 【详解】由题意：取，， 因为：，，，， 所以，则为最小值； 取，， 为最大值. 故答案为：0；1012 4．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）设表示不超过的正整数集合，表示k个元素的有限集，表示集合A中所有元素的和，集合，则 ；若，则m的最大值为 ． 【答案】 22 【分析】根据定义，结合等差数列的前项和公式进行求解即可. 【详解】当时，表示有2个元素的集合，， 因为，且有2个元素， 所以或或，所以； 由题中定义可知：， 于是由 ， 而， 即，又因为， 所以m的最大值为， 故答案为：； 【点睛】关键点睛：本题的关键是理解题中定义，运用等差数列的前项和公式. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 集合(高考高频考点） 目录 题型一：重点考查集合元素的互异性 1 题型二：重点考查集合的列举法描述法 2 题型三：重点考查包含关系 3 题型四：重点考查集合的并交补 4 题型五：图的实际应用 5 题型六：集合新定义问题 6 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 题型一：重点考查集合元素的互异性 典型例题 典例1．（2022·重庆·模拟预测）已知集合，，则集合B中元素个数为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 典例2．（2023·河南郑州·模拟预测）已知集合，，则集合中元素的个数为（    ） A．30 B．28 C．26 D．24 典例3．（2023·北京顺义·一模）已知实数集，定义． (1)若，求； (2)若，求集合A； (3)若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 精练高频考点 1．（2024·山东聊城·三模）已知集合，且，则实数的值为 ． 2．（2024·安徽·三模）已知集合，若的所有元素之和为12，则实数 . 3．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知，，函数，对任意正整数n，有，且集合的元素个数为3，则满足要求的的取值集合 ． 题型二：重点考查集合的列举法描述法 典型例题 典例1．（2024·山东济南·二模）已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（    ） A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1} 典例2．（22-23高二上·山东青岛·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 典例3．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）若，则下列结论中正确结论的个数为（    ） ①； ②； ③若，则； ④若且，则； ⑤存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 精练高频考点 1．（2022·安徽·三模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·湖北·阶段练习）已知集合，，若定义集合运算：，则集合的所有元素之和为（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 3．（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）若表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是 . 题型三：重点考查包含关系 典型例题 典例1．（2024·湖南长沙·一模）设集合，现对的任意一非空子集，令表示中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均数为（    ） A．501 B．500 C．1002 D．1001 典例2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 典例3．（2024·山东泰安·三模）已知集合，，若，则的取值范围是 . 精练高频考点 1．（2024·全国·模拟预测）设，，，为集合的个不同子集，为了表示这些子集，作行列的数阵，规定第行第列的数为．则下列说法中正确的是（    ） A．数阵中第一列的数全是0，当且仅当 B．数阵中第列的数全是1，当且仅当 C．数阵中第行的数字和表明集合含有几个元素 D．数阵中所有的个数字之和不超过 2．（2024·湖南·二模）对于非空集合，定义函数已知集合，若存在，使得，则实数的取值范围为 . 3．（2024高二下·全国）设集合，，若，则实数a的取值范围是 . 题型四：重点考查集合的并交补 典型例题 典例1．（2024·重庆·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 典例2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 典例3．（2024·贵州贵阳·二模）已知集合，集合且，若，则的取值范围是 . 精练高频考点 1．（2024·福建泉州·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西咸阳·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2024·安徽安庆·三模）已知集合，集合，若有且仅有3个不同元素，则实数的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型五：图的实际应用 典型例题 典例1．（2024·新疆·三模）如图，集合A，B均为U的子集，表示的区域为（    ） A．I B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ 典例2．（2024·湖南邵阳·三模）已知全集，集合，，如图所示，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D．或 典例3．（2024·江西景德镇·三模）已知全集， ，，则是（    ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（2024·福建泉州·模拟预测）已知集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江·模拟预测）设集合，，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）． A． B． C． D． 3．（2024·浙江·模拟预测）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 题型六：集合新定义问题 典型例题 典例1．（2024·上海静安·二模）如果一个非空集合上定义了一个运算，满足如下性质，则称关于运算构成一个群. （1） 封闭性，即对于任意的，有； （2） 结合律，即对于任意的，有； （3） 对于任意的，方程与在中都有解． 例如，整数集关于整数的加法（）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的，方程与都有整数解；而实数集关于实数的乘法（）不构成群，因为方程没有实数解. 以下关于“群”的真命题有（    ） ①自然数集关于自然数的加法（）构成群； ②有理数集关于有理数的乘法（）构成群； ③平面向量集关于向量的数量积（）构成群； ④复数集关于复数的加法（）构成群. A．0个； B．1个； C．2个； D．3个. 典例2．（多选）（2024·云南曲靖·二模）已知集合，定义，则下列命题正确的是（    ） A．若，则与的全部元素之和等于3874 B．若表示实数集，表示正实数集，则 C．若表示实数集，则 D．若表示正实数集，函数，则2049属于函数的值域 典例3．（2024·北京朝阳·一模）设A，B为两个非空有限集合，定义其中表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论： ①若，则{思想政治，历史，生物}； ②若，则{地理，物理，化学}； ③若{思想政治，物理，生物}，则； ④若，则{思想政治，地理，化学}. 其中所有正确结论的序号是 . 精练高频考点 1．（多选）（2024·江西宜春·模拟预测）已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（    ） A．， B．， C． D． 2．（多选）（2024·广西柳州·三模）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）.若对任意的，有，则对任意的，下列等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·福建福州·模拟预测）设集合为含有个元素的有限集．若集合的个子集满足以下3个条件： ①均非空；②中任意两个集合交集为空集；③．则称为集合的一个阶分拆． 若，为的2阶分拆，集合所有元素的平均值为，集合所有元素的平均值为，则的最小值等于 ，最大值等于 ． 4．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）设表示不超过的正整数集合，表示k个元素的有限集，表示集合A中所有元素的和，集合，则 ；若，则m的最大值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$