第21章 二次函数与反比例函数（考点串讲）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（沪科版）

九年级沪科版数学上册 单元考点串讲 第二十一章 二次函数与反比例函数 目录/CONTENTS 易错易混 典例剖析 考点透视 考场练兵 技巧总结 考点透视 减小 增大 考点透视 B C 典例剖析 B 典例剖析 6 A 典例剖析 C 典例剖析 典例剖析 典例剖析 易错易混 【易错分析】 1．忽略二次函数的二次项系数a≠0及反比例函数的比例系数k≠0而出错． 2．利用函数的性质比较大小时，忽略自变量的取值范围． 3．将二次函数表达式配方成顶点式时，忽略先提取二次项的系数． 4．求二次函数的最值时，没有考虑自变量的取值范围，忽略顶点是否在图象上而出错． 点拨：求二次函数的解析式往往是中考最后一题的第一步，又是解决二次函数问题的重要保证，在求二次函数解析式时一般选用待定系数法，但在具体题目中要根据不同条件，设出相应的解析式，往往可以使计算简化． 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 向上 向下 同号 异号 ＞ ＜ ＝ a＋b＋c a－b＋c 4a＋2b＋c 4a－2b＋c 技巧总结 1 0 －1 0 1 －1 有两个 有一个 无 【技巧点拨】解题时遵循“一摆”(摆出与a、b、c有关的基本信息)；“二用”(用基本信息判断各式子是否正确)；“三消元”(若不能解决，则用对称轴或某点坐标代入解析式消元判断)． 技巧总结 B 【方法技巧】(1)反比例函数的图象若与正比例函数的图象相交，交点必关于原点对称；(2)在比较两个函数值的大小时，应注意分段比较，通常用交点的横坐标和0来分段，这体现了数形结合思想的应用． 技巧总结 D 技巧总结 B 技巧总结 C 技巧总结 B 技巧总结 ①②④ ①④⑤ 技巧总结 强化技巧7：反比例函数中|k|的几何意义 技巧总结 C A 技巧总结 B 技巧总结 B 技巧总结 B 技巧总结 －8 技巧总结 5π－10 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 强化技巧8：反比例函数与一次函数的综合 技巧总结 技巧总结 技巧总结 C A D 考场练兵 C A 考场练兵 C 考场练兵 D 考场练兵 C B 考场练兵 D 考场练兵 ＞ －2 24 考场练兵 ②③④ 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 eq \f(k,x) 二次函数的平移与轴对称变换 1．(孝感中考)将函数y＝x2＋x的图象向右平移a(a＞0)个单位，得到函数y＝x2－3x＋2的图象，则a的值为(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 2．(天津中考)在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2＋x－2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么两次变换后所得新抛物线的解析式为(　　) A．y＝－x2－x＋2 B．y＝－x2＋x－2 C．y＝－x2＋x＋2 D．y＝x2＋x＋2 函数图象中的面积 3．如图，A、B为抛物线y＝x2上的两点且线段AB⊥y轴，若AB＝6，则△AOB的面积为(　　) A．36 B．27 C．54 D．18 4．(十堰中考)如图，▱AOBC中，对角线交于点E，双曲线y＝eq \f(k,x)(x＞0)经过A、E两点，若▱AOBC的面积为18，则k＝ . 由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的位置确定a、b、c有关代数式的符号 5．(巴中中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论①b2＞4ac；②abc＜0；③2a＋b－c＞0；④a＋b＋c＜0.其中正确的是(　　) A．①④ B．②④ C．②③ D．①②③④ 6．(绵阳中考)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴交于两点(x1,0)、(2,0)，其0＜x1＜1.下列四个结论：①abc＜0；②2a－c＞0；③a＋2b＋4c＞0；④eq \f(4a,b)＋eq \f(b,a)＜－4，正确的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 一次函数与反比例函数的综合应用 7．(葫芦岛中考)如图，一次函数y1＝k1x＋b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2＝eq \f(k2,x)的图象分别交于C、D两点，点C(2,4)，点B是线段AC的中点． (1)求一次函数y1＝k1x＋b与反比例函数 y2＝eq \f(k2,x)的解析式； (2)求△COD的面积； (3)直接写出当x取什么值时，k1x＋b＜eq \f(k2,x). 解：(1)∵k2＝2×4＝8，∴y2＝eq \f(8,x)；作CE⊥x轴于点E，∵C(2,4)，点B是线段AC的中点，∴B(0,2)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2k1＋b＝4,b＝2))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k1＝1,b＝2))，∴y1＝x＋2； (2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x＋2,y＝\f(8,x)))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－4,y＝－2))，∴D(－4，－2)，∴S△COD＝S△BOC＋S△BOD＝eq \f(1,2)×2×2＋eq \f(1,2)×2×4＝6； (3)0＜x＜2或x＜－4. 二次函数与反比例函数的实际应用 8．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间(时)的关系可近似地用二次函数y＝－200x2＋400x刻画；1.5时后(包括1.5时)y与x可近似地用反比例函数y＝eq \f(k,x)(k＞0)刻画(如图所示)． (1)根据上述数学模型计算： ①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？ ②当x＝5时，y＝45，求k的值． (2)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由． 解：(1)①y＝－200x2＋400x＝－200(x－1)2＋200，∴x＝1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200(毫克/百毫升)；　②∵当x＝5时，y＝45，∴k＝xy＝225； (2)不能驾车上班．理由：∵晚上20：00到第二天早上7：00共有11小时，∴将x＝11代入y＝eq \f(225,x)，则y＝eq \f(225,11)＞20，∴第二天早上7：00不能驾车去上班． 二次函数综合探究题 9．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过A(－1,0)、B(2,0)两点，与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式； (2)M在抛物线上，线段MA绕点M顺时针旋转90°得MD，当点D在抛物线的对称轴上时，求点M的坐标； (3)P在对称轴上，Q在抛物线上，以P、Q、B、C为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标． 解：(1)y＝－x2＋x＋2； (2)设点M(m，－m2＋m＋2)，过点M作MN⊥x轴于N，过点D作DH⊥MH于H，如图，易得△MDH≌△ANM(AAS)，∴DH＝MN，即－m2＋m＋2＝|eq \f(1,2)－m|，解得m＝±eq \f(\r(10),2)或1±eq \f(\r(10),2)，点M坐标(eq \f(\r(10),2)，eq \f(\r(10)－1,2))或(－eq \f(\r(10),2)，eq \f(－1－\r(10),2))或(1＋eq \f(\r(10),2)，eq \f(13＋3\r(10),2))或(1－eq \f(\r(10),2)，eq \f(13－3\r(10),2))； (3)点P的坐标为：(eq \f(1,2)，eq \f(1,4))或(eq \f(1,2)，－eq \f(15,4))或(eq \f(1,2)，eq \f(3,4))． 强化技巧1：已知与x轴的两个交点，必设“交点式”y＝a(x－x1)(x－x2) 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c，y随x的变化部分数值规律如下表，求该抛物线的解析式. x －1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 解：设y＝a(x－3)(x＋1)，把(0,3)代入，解得a＝－1，所以y＝－x2＋2x＋3. 强化技巧2：已知抛物线的顶点，必设“顶点式”y＝a(x－h)2＋k 2．已知抛物线经过点(－1,0)、(5,0)，顶点的纵坐标是－eq \f(18,5)，求此抛物线的解析式． 解：由题意知，抛物线的对称轴为x＝2，设y＝a(x－2)2－eq \f(18,5)，将(－1,0)代入，可得a＝eq \f(2,5)，所以y＝eq \f(2,5)(x－2)2－eq \f(18,5). 强化技巧3.已知抛物线经过任意三点，必设“三点式”y＝ax2＋bx＋c 3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝－3，当x＝4时，y＝5；当x＝3时，y＝0，求此二次函数的解析式． 解：y＝x2－2x－3. 强化技巧4：已知图形变换求抛物线的解析式宜采用顶点式解决 4．已知抛物线y＝－x2＋2x＋3，求此抛物线关于x轴、关于y轴对称的抛物线的解析式． 解：关于x轴对称的抛物线为y＝x2－2x－3；关于y轴对称的抛物线为y＝－x2－2x＋3. 强化技巧5：已知间接条件，将间接条件转化为直接条件求抛物线的解析式 5．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(0,2)，点C(1,0)．如图所示，抛物线y＝ax2－bx－2经过点B，且关于直线x＝eq \f(1,2)对称． (1)求点B的坐标； (2)求抛物线的解析式． 解：(1)B(3,1)； (2)a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(1,2)x2－eq \f(1,2)x－2. 强化技巧6：抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与系数a、b、c之间的关系： (1)当a＞0时，开口　 　，当a＜0时，开口　 　； (2)若对称轴在y轴的左边，则a、b　 　，若对称轴在y轴的右边，则a、b　 　； (3)若抛物线与y轴的正半轴相交，则c　 　0，若抛物线与y轴的负半轴相交，则c　 　0，若抛物线经过原点，则c　 　0； (4)当x＝1时，y＝ax2＋bx＋c＝　 　；当x＝－1时，y＝ax2＋bx＋c＝　 　；当x＝2时，y＝ax2＋bx＋c＝　 　；当x＝－2时，y＝ax2＋bx＋c＝　 　；…； (5)当对称轴x＝1时，x＝－eq \f(b,2a)＝　　，此时2a＋b＝　　；当对称轴x＝－1时，x＝－eq \f(b,2a)＝　 　，此时2a－b＝　　；判断2a＋b与0的大小关系，看对称轴与　　的大小关系；判断2a－b与0的大小关系，看对称轴与 　 　的大小关系； (6)b2－4ac＞0⇔二次函数与横轴　 　交点； b2－4ac＝0⇔二次函数与横轴　 　交点； b2－4ac＜0⇔二次函数与横轴　 　交点； 1．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法正确的是(　　) A．abc＜0，b2－4ac＞0　 B．abc＞0，b2－4ac＞0 C．abc＜0，b2－4ac＜0 D．abc＞0，b2－4ac＜0 2．(威海中考)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象如图所示，下列结论错误的是(　　) A．abc＜0 B．a＋c＜b C．b2＋8a＞4ac D．2a＋b＞0 3．(安顺中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2－4ac＞0；③3a＋c＞0；④(a＋c)2＜b2，其中正确的结论有(　　) A．1个　 B．2个　 C．3个　 D．4个 4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，给出下列四个结论：①4ac－b2＜0；②3b＋2c＜0；③4a＋c＜2b；④m(am＋b)＋b＜a(m≠－1)，其中结论正确的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－2，与x轴的一个交点在(－3,0)和(－4,0)之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a－b＝0；②c＜0；③－3a＋c＞0；④4a－2b＞at2＋bt(t为实数)；⑤点(－eq \f(9,2)，y1)、(－eq \f(5,2)，y2)、(－eq \f(1,2)，y3)是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3，正确的个数有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．已知抛物线：y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过A(－1,1)、B(2,4)两点，顶点坐标为(m，n)，有下列结论：①b＜1；②c＜2；③0＜m＜eq \f(1,2)；④n≤1.则所有正确结论的序号是　 　. 7．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②2a＋b＜0；③b2－4ac＝0；④8a＋c＜0；⑤a∶b∶c＝－1∶2∶3，其中正确的结论有　 　. 【名师支招】(1)过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成矩形的面积等于|k|；(2)过双曲线上任意一点，向一坐标轴作垂线，该点、垂足及原点连线所围成三角形的面积等于eq \f(1,2)|k|，注意根据图象所在象限来确定k的符号． 1．如图，反比例函数y＝－eq \f(6,x)在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为－1、－3，直线AB与x轴交于点C，则△AOC的面积为(　　) A．8　　 B．10　　 C．12　　 D．24 2．如图，直线y＝mx与双曲线y＝eq \f(k,x)交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM，若S△ABM＝2，则k的值为(　　) A．－2 B．2 C．4 D．－4 3．(云南中考)位于第一象限的点E在反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象上，点F在x轴的正半轴上，O是坐标原点．若EO＝EF，△EOF的面积等于2，则k等于(　　) A．4 B．2 C．1 D．－2 4．(郴州中考)如图，A、B是反比例函数y＝eq \f(4,x)在第一象限内的图象上的两点，且A、B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 5．(温州中考)如图，点A、B在反比例函数y＝eq \f(1,x)(x＞0)的图象上，点C、D在反比例函数y＝eq \f(k,x)(k＞0)的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A、B的横坐标分别为1、2，△OAC与△ABD的面积之和为eq \f(3,2)，则k的值为(　　) A．4 B．3 C．2 D．eq \f(3,2) 6．如图，▱ABCD的面积为8，点B在y轴上，点C、D在x轴上，若反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象经过点A，则k的值为　 　. 7．(内江中考)已知，A、B、C、D是反比例函数y＝eq \f(8,x)(x＞0)图象上四个整数点(横、纵坐标均为整数)，分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形(如图)的边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成四个橄榄形(阴影部分)，则这四个橄榄形的面积总和是　 　(用含π的代数式表示)． 【解析】∵A、B、C、D是反比例函数y＝eq \f(8,x)(x＞0)图象上四个整数点，∴x＝1，y＝8；x＝2，y＝4；x＝4，y＝2；x＝8，y＝1；∴一个顶点是A、D的正方形的边长为1，橄榄形的面积为：2(eq \f(πr2,4)－eq \f(r2,2))＝2(eq \f(π－2,4))r2＝eq \f(π－2,2)r2；一个顶点是B、C的正方形的边长为2，橄榄形的面积为：eq \f(π－2,2)r2＝2(π－2)；∴这四个橄榄形的面积总和是：(π－2)＋2×2(π－2)＝5π－10. 8．(甘孜中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝－ax＋b的图象与反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象相交于点A(－4，－2)、B(m,4)，与y轴相交于点C. (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求点C的坐标及△AOB的面积． 解：(1)将点A(－4，－2)代入反比例函数表达式中，解得k＝8，∴反比例函数y＝eq \f(8,x)，令y＝4，解得x＝2，∴点B的坐标为(2,4)．将A(－4，－2)、B(2,4)代入一次函数表达式，解得a＝－1，b＝2.∴一次函数y＝x＋2；　 (2)令y＝x＋2中x＝0，则y＝2，∴点C的坐标为(0,2)．∴S△AOB＝eq \f(1,2)OC×(xB－xA)＝eq \f(1,2)×2×[2－(－4)]＝6. 1．(呼和浩特中考)如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝eq \f(6,x)(x＞0)的图象交于A(m,6)、B(n,3)两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出使kx＋b－eq \f(6,x)＞0时x的取值范围． 解：(1)∵A(m,6)、B(3，n)两点在函数y＝eq \f(6,x)(x＞0)的图象上，∴m＝1，n＝2，∴A(1,6)，B(2,3)．∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＋b＝6,2k＋b＝3))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝－3,b＝9)).则该一次函数的解析式为：y＝－3x＋9；　 (2)根据图象可知1＜x＜2. 2．(成都中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝eq \f(m,x)的图象都经过点A(2，－2)． (1)分别求这两个函数的表达式； (2)将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴相交于点B，与反比例函数的图象在第四象限内的交点为C，连接AB、AC，求点C的坐标及△ABC的面积． 解：(1)y＝－x，y＝－eq \f(4,x)；　 (2)直线OA向上平移3个单位长度后的解析式为y＝－x＋3，∴点B的坐标为(0,3)，联立两函数解析式eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝－x＋3,y＝－\f(4,x)))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1, y＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝4, y＝－1))，∴第四象限内的交点C的坐标为(4，－1)，∵OA∥BC，∴S△ABC＝S△OBC＝eq \f(1,2)OB·xc＝eq \f(1,2)×3×4＝6. 3．(新疆中考)如图，直线y＝2x＋3与y轴交于点A，与反比例函数y＝eq \f(k,x)(k＞0)的图象交于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，且点C的坐标为(1,0)． (1)求反比例函数的表达式； (2)点D(a,1)是反比例函数y＝eq \f(k,x)(k＞0)图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PB＋PD最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)y＝eq \f(5,x)；　 (2)∵点D在反比例函数图象上，∴a＝5，即D(5,1)，设点D关于x轴的对称点为D′(5，－1)，∵B(1,5)，∴直线BD′的解析式为y＝－eq \f(3,2)x＋eq \f(13,2)，根据题意知，直线BD′与x轴的交点即为所求点P，∴当y＝0时，得－eq \f(3,2)x＋eq \f(13,2)＝0，∴x＝eq \f(13,3)，∴点P的坐标为(eq \f(13,3)，0) . 4．(苏州中考)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝eq \f(m,x)(x＞0)的图象交于点B(2，n)，过点B作BC⊥x轴于点C，点P(3n－4,1)是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC＝∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式． 解：将B(2，n)、P(3n－4,1)代入y＝eq \f(m,x)中，得2n＝3n－4.解得n＝4.∴B(2,4)、P(8,1)．将B(2,4)代入y＝eq \f(m,x)中，解得m＝8.∴反比例函数的表达式为y＝eq \f(8,x).如图，b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2k＋b＝4,－4k＋b＝1))INCLUDEPICTURE"K058.TIF" 过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB于点P′.∵∠PBD＝∠P′BD，BD＝BD，∠BDP＝∠BDP′＝90°，∴△BDP≌△BDP′(ASA)．∴DP′＝DP＝6.又∵P(8,1)，∴P′(－4,1)．将点B(2,4)、P′(－4,1)代入一次函数表达式，得，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2),b＝3)).∴一次函数的表达式为y＝eq \f(1,2)x＋3. 一、选择题(每小题4分，共40分) 1．函数y＝(m＋1)xm2＋1是二次函数，则m的值是(　　) A．±1　　　　　　 B．－1　　　　　　 C．1　　　　　　 D．以上都不对 2．二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值是(　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 3．关于反比例函数y＝eq \f(2,x)的图象，下列说法正确的是(　　) A．图象经过点(1,1) B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称 D．当x＜0时，y随x的增大而减小 4．在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x－3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是(　　) A．(－3，－6) B．(1，－4) C．(1，－6) D．(－3，－4) 5．市一小数学课外兴趣小组的同学制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展示，设矩形的宽为x cm，长为y cm，那么y与x的函数图象大致是(　　) 6．如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线y＝eq \f(3,x)(x＞0)上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会(　　) A．逐渐增大 B．不变 C．逐渐减小 D．先增大后减小 7．(岳阳中考)在同一直角坐标系中，二次函数y＝x2与反比例函数y＝eq \f(1,x)(x＞0)的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A(x1，m)、B(x2，m)、C(x3，m)，其中m为常数，令ω＝x1＋x2＋x3，则ω的值为(　　) A．1 B．m C．m2 D．eq \f(1,m) 8．已知二次函数y＝x2－4x＋a，下列说法错误的是(　　) A．当x＜1时，y随x的增大而减小 B．若图象与x轴有交点，则a≤4 C．当a＝3时，不等式x2－4x＋3＞0的解集是1＜x＜3 D．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，－2)，则a＝－3 9．(菏泽中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋a与反比例函数y＝eq \f(a＋b＋c,x)在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　) 10．(衡阳中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1,0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点)，则下列结论：①3a＋b＜0；②－1≤a≤－eq \f(2,3)；③对于任意实数m，a＋b≥am2＋bm总成立；④关于x的方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题(每小题5分，共20分) 11．已知点A(1，y1)，B(－2，y2)在反比例函数y＝eq \f(k,x)(k＞0)的图象上，则 y1 y2(填“＞”“＜”或“＝”)． 12．抛物线y＝x2＋2x＋m的顶点在反比例函数y＝eq \f(3,x)的图象上，则m的值为 . 13．(武汉中考)飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是y＝60t－eq \f(3,2)t2.在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是 m. 14．(安顺中考)如图，已知直线y＝k1x＋b与x轴、y轴相交于P、Q两点，与y＝eq \f(k2,x)的图象相交于A(－2，m)、B(1，n)两点，连接OA、OB，给出下列结论：①k1k2＜0；②m＋eq \f(1,2)n＝0；③S△AOP＝S△BOQ；④不等式k1x＋b＞eq \f(k2,x)的解集是x＜－2或0＜x＜1，其中正确的结论的序号是 . 【解析】由图象知，k1＜0，k2＜0，∴k1k2＞0，故①错误；把A(－2，m)、B(1，n)代入y＝eq \f(k2,x)中得－2m＝n，∴m＋eq \f(1,2)n＝0，故②正确；把A(－2，m)、B(1，n)代入y＝k1x＋b得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝－2k1＋b,n＝k1＋b))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k1＝\f(n－m,3),b＝\f(2n＋m,3)))，∵－2m＝n，∴y＝－mx－m，∵已知直线y＝k1x＋b与x轴、y轴相交于P、Q两点，∴P(－1,0)，Q(0，－m)，∴OP＝1，OQ＝m，∴S△AOP＝eq \f(1,2)m，S△BOQ＝eq \f(1,2)m，∴S△AOP＝S△BOQ；故③正确；由图象知不等式k1x＋b 的解集是x＜－2或0＜x＜1，故④正确；故答案为：②③④. 三、解答题(共90分) 15．(8分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(－1,0)、(0，－3)、(2，－3)三点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解：(1)y＝x2－2x－3；　 (2)开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标是(1，－4)． 16．(8分)已知反比例函数y＝eq \f(k－1,x)(k为常数，k≠1)． (1)若点A(1,2)在这个函数的图象上，求k的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，都有y随x的增大而减小，求k的取值范围； (3)若k＝13，试判断点B(3,4)、C(2,5)是否在这个函数的图象上，并说明理由． 解：(1)k＝3；　 (2)k＞1；　 (3)点B在函数y＝eq \f(12,x)的图象上，点C不在． 17．(8分)(常德中考)如图，已知一次函数y1＝k1x＋b(k1≠0)与反比例函数y2＝eq \f(k2,x)(k2≠0)的图象交于A(4,1)、B(n，－2)两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)请根据图象直接写出y1＜y2时x的取值范围． 解：(1)∵反比例函数y2＝eq \f(k2,x)(k2≠0)的图象过点A(4,1)，∴k2＝4×1＝4，∴反比例函数的解析式为y2＝eq \f(4,x).∵点B(n，－2)在反比例函数y2＝eq \f(4,x)的图象上，∴n＝4÷(－2)＝－2，∴点B的坐标为(－2，－2)．将A(4,1)、B(－2，－2)代入y1＝k1x＋b，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4k1＋b＝1,－2k1＋b＝－2))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k1＝\f(1,2),b＝－1))，∴一次函数的解析式为y＝eq \f(1,2)x－1；　 (2)观察函数图象，可知：当x＜－2和0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象下方，∴y1＜y2时x的取值范围为x＜－2或0＜x＜4. 18．(8分)(宜宾中考)如图，已知反比例函数y＝eq \f(m,x)(m≠0)的图象经过点(1,4)，一次函数y＝－x＋b的图象经过反比例函数图象上的点Q(－4，n)． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P点，连结OP、OQ，求△OPQ的面积． 解：(1)反比例函数y＝eq \f(m,x)( m≠0)的图象经过点(1,4)，∴4＝eq \f(m,1)，解得m＝4，故反比例函数的表达式为y＝eq \f(4,x)，一次函数y＝－x＋b的图象与反比例函数的图象相交于点Q(－4，n)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n＝\f(4,－4),n＝－－4＋b))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n＝－1,b＝－5))，∴一次函数的表达式y＝－x－5；　 (2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\f(4,x),y＝－x－5))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－4,y＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝－4))，∴点P(－1，－4)．在一次函数y＝－x－5中，令y＝0，得－x－5＝0，解得x＝－5，故点A(－5,0)，S△OPQ＝S△OPA－S△OAQ＝eq \f(1,2)×5×4－eq \f(1,2)×5×1＝7.5. 19．(10分)如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(－2,4)，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连接OA. (1)求△OAB的面积； (2)若抛物线y＝－x2－2x＋c经过点A. ①求c的值； ②将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线的顶点落在△OAB的内部(不包括△OAB的边界)，求m的取值范围．(直接写出答案即可) 解：(1)4；　(2)①c＝4；②顶点(－1,5)，AB的中点(－1,4)，OA的中点(－1,2)，∴m的取值范围1＜m＜3. 20．(10分)如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m.按照图中所示的直角坐标系，抛物线上最高点D到地面OA的距离为10m. (1)求该抛物线的函数关系式； (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 解：(1)由题意，得，点C的坐标为(0,4)，点D的坐标为(6,10)．设抛物线的函数表达式为y＝a(x－6)2＋10.把(0,4)代入y＝a(x－6)2＋10，得36a＋10＝4，解得a＝－eq \f(1,6).∴抛物线的函数表达式为y＝－eq \f(1,6)(x－6)2＋10；　 (2)当x＝6＋4＝10时，y＝－eq \f(1,6)x2＋2x＋4＝－eq \f(1,6)×102＋2×10＋4＝eq \f(22,3)＞6.∴这辆货车能安全通过． 21．(12分)(乐山中考)如图，反比例函数y＝eq \f(k,x)与一次函数y＝ax＋b的图象交于点A(2,2)、B(eq \f(1,2)，n)． (1)求这两个函数解析式； (2)将一次函数y＝ax＋b的图象沿y轴向下平移m个单位，使平移后的图象与反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象有且只有一个交点，求m的值． 解：(1)把A(2,2)代入y＝eq \f(k,x)中，解得k＝4.∴反比例函数的解析式为y＝eq \f(4,x)，B(eq \f(1,2)，8)．将A(2,2)、B(eq \f(1,2)，8)代入y＝ax＋b中，解得a＝－4，b＝10.∴一次函数的解析式为y＝－4x＋10；　 (2)将直线y＝－4x＋10向下平移m个单位得直线的解析式为y＝－4x＋10－m，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝－4x＋10－m,y＝\f(4,x)))，－4x＋10－m＝eq \f(4,x).∴4x2＋(m－10)x＋4＝0.由题意，得Δ＝(m－10)2－64＝0.解得m＝2或18. 22．(12分)某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满，当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有1个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元(x为10的整数倍)． (1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； (2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式； (3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 解：(1)y＝50－eq \f(1,10)x(0≤x≤160.且x是10的整倍数)；　 (2)w＝(50－eq \f(1,10)x)(180＋x－20)＝－eq \f(1,10)x2＋34x＋8000；　 (3)w＝－eq \f(1,10)x2＋34x＋8000＝－eq \f(1,10)(x－170)2＋10890.当x＜170时，w随x的增大而增大，且0≤x≤160.∴当x＝160时，w最大＝10880.当x＝160时，y＝50－eq \f(1,10)x＝34.答：略． 23．(14分)(安顺中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且抛物线经过A(1,0)、C(0,3)两点，与x轴交于点B. (1)若直线y＝mx＋n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标； (3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标． 解：(1)抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3，直线y＝mx＋n的解析式为y＝x＋3；　 (2)设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小．把x＝－1代入直线y＝x＋3得，y＝2，∴M(－1,2)，即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(－1,2)；　 (3)设P(－1，t)，又∵B(－3,0)、C(0,3)，∴BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10，①若点B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2即18＋4＋t2＝t2－6t＋10解得t＝－2；②若点C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2即：18＋t2－6t＋10＝4＋t2解得t＝4；③若点P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2即：4＋t2＋t2－6t＋10＝18解得：t1＝eq \f(3＋\r(17),2)，t2＝eq \f(3－\r(17),2)；综上所述P的坐标为(－1，－2)或(－1,4)或(－1，eq \f(3＋\r(17),2))或(－1，eq \f(3－\r(17),2))． $$