1.3 正方形的性质与判定（第2课时，正方形的判定）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

九年级北师大版数学上册 第一章 特殊平行四边形 1.3 正方形的性质与判定 第二课时 正方形的判定 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1．探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别；(重点、难点) 2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 . (难点) 问题1 什么是正方形？正方形有哪些性质？ A B C D 正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形. 正方形性质：①四个角都是直角; ②四条边都相等; ③对角线相等且互相垂直平分. O 情景导入 问题2 你是如何判断是矩形、菱形？ 平行四边形 矩形 菱形 四边形 三个角是直角 四条边相等 定义 四个判定定理 定义 对角线相等 定义 对角线垂直 思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？ 将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开. 怎样剪才能剪出一个正方形？ 提示：剪口线与折痕成 45°角即可。 1.正方形的判定 问题3 新知探究 判断四边形是正方形有哪些方法？ 1.先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边相等，有一个角是直角.（定义法） 2.先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等. 3.先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角. 定理：有一组邻边相等的矩形是正方形. 已知：ABCD 是矩形，且 AB = BC，试证明，ABCD 是正方形. 证明：∵ABCD 是矩形， ∴∠A = 90°， 又∵AB = BC， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 定理：对角线互相垂直的矩形是正方形. 已知：ABCD 是矩形， AC ⊥ BD，试证明，ABCD 是正方形. 证明：∵ABCD 是矩形， ∴∠A = 90°，OA = OB = OC = OD 又∵AC ⊥ BD， ∴△AOB ≌ △AOD（SAS） ∴AB = AD ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 定理：有一个角是直角的菱形是正方形. 已知：ABCD 是菱形， ∠A=90°，试证明，ABCD 是正方形. 证明：∵ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = DA， 又∵∠A = 90° ， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 定理：对角线相等的菱形是正方形. 已知：ABCD 是菱形， AC = BD，试证明，ABCD 是正方形. 证明：∵ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = DA，OA = OC = OB = OD ∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直） 又∵AC = BD ， ∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形. ∴∠ABC = 90°. ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 正方形判定的几条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件(二选一) 菱形条件(二选一) 一个直角， 一组邻边相等， 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 正方形 一组邻边相等 一内角是直角 概念归纳 例3 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE， 求证：四边形 BECF 是正方形. 证明：∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形 BECF 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC = 90°，∠DCB = 90°. 又∵BE平分∠ABC，CE 平分∠DCB， ∴∠EBC = ∠ABC = 45°，∠ECB = ∠DCB = 45°. 课本例题 ∴∠EBC = ∠ECB. ∴ EB = EC. ∴□ BECF 是菱形（菱形的定义）. 在△EBC 中，∵∠EBC = 45°，∠ECB = 45°， ∴∠BEC = 90°. ∴菱形 BECF 是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）. 例3 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE， 求证：四边形 BECF 是正方形. 课本例题 例1.在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么? 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AE=BF=CM=DN， ∴AN=BE=CF=DM. 分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌ △CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可. 典例剖析 在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中， AE=BF=CM=DN, ∠A=∠B=∠C=∠D, AN=BE=CF=DM, ∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM, ∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF, ∴四边形EFMN是菱形， ∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF） =180°－（∠AEN+∠ANE） =180°－90°=90°. ∴四边形EFMN是正方形 . 例2.如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形. 证明：∵四边形ABCD为正方形, ∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°, ∠BOC=90°=∠COH+∠BOH. ∵EG⊥FH, ∴∠BOE+∠BOH=90°, ∴∠COH=∠BOE, ∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH. 同理可证：OE=OF=OG, B A C D O E H G F 典例剖析 ∴OE=OF=OG=OH. 又∵EG⊥FH, ∴四边形EFGH为菱形. ∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF, ∴四边形EFGH为正方形. B A C B O E H G F 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 如图，在△ABC 中，EF 为 △ABC 的中位线， ①若∠BEF = 30°，则∠A =______. ②若 EF = 8 cm, 则 AC =______. 你还记得三角形的中位线定理吗？ 30° 16 cm 2.一般四边形的中点四边形 如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？ 任意四边形的中点四边形 是平行四边形. 如果四边形 ABCD 变为特殊的四边形，中点四边形 EFGH 会有怎样的变化呢？ 原四边形 中点四边形 一般四边形 平行四边形 平行四边形 ？ 矩形 ？ 菱形 ？ 正方形 ？ 3.平行四边形的中点四边形 平行四边形的中点四边形会是什么形状？ 平行四边形的中点四边形是平行四边形. 你能试着证明这个结论吗？ （提示：连接AC、BD） 4.矩形的中点四边形 矩形的中点四边形会是什么形状？ 矩形的中点四边形是菱形. 你能试着证明这个结论吗？ 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是矩形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为菱形. 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴EF∥AC 且 EF = AC， 同理可证 HG∥AC且HG = AC， EH∥BD且EH= BD，FG∥BD且FG= BD. ∴四边形 EFGH 为平行四边形. 又∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AC=BD（矩形的对角线相等），∴EF = EH ∴四边形 EFGH 是菱形（菱形的定义） 5.菱形的中点四边形 菱形的中点四边形会是什么形状？ 菱形的中点四边形是矩形. 你能试着证明这个结论吗？ 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是菱形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为矩形. 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴ EF∥AC ，同理可证 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD. ∴EF∥HG，EH∥FG， ∴四边形 EFGH ，PFQO 为平行四边形. 又∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）， ∴∠1 = 90°，∠2=90°. ∴四边形 EFGH 是矩形（矩形的定义） 6.正方形的中点四边形 正方形的中点四边形会是什么形状？ 原四边形 中点四边形 一般四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 矩形 菱形 菱形 矩形 正方形 ？ 先猜一猜，再证明. 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为正方形. 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴ EF∥AC 且EF = AC， 同理可证 HG∥AC 且 HG = AC， EH∥BD且 EH = BD，FG∥BD且FG = BD. ∴四边形 PFQO 为平行四边形. 又∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC = BD（正方形的对角线相等） AC⊥BD（正方形的对角线互相垂直）， ∴EF = FG = HG = EH，∠1 = 90°. ∴四边形 EFGH 是菱形（四边相等的四边形是菱形），∠2 = 90°. ∴四边形 EFGH 为正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）. 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为正方形. 证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ， ∴∠DEC= ∠DFC=90°. 又∵ ∠C=90 °， ∴四边形ADFC是矩形. 过点D作DG⊥AB，垂足为G. ∵AD是∠CAB的平分线 DE⊥AC，DG⊥AB， ∴ DE=DG. 同理得DG=DF， ∴ED=DF， ∴四边形ADFC是正方形. 例1.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形. A B C D E F G 典例剖析 例2.如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE． （1）求证：BF=DE； （2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)， 问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由． （1）证明：∵正方形ABCD， ∴AB=AD，∠BAD=90°， ∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°， ∴∠BAF=∠EAD， 在△ADE和△ABF中， AD＝AB ，∠DAE＝∠BAF ，AE＝AF , ∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE； 典例剖析 （2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形， 理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC， ∴BE⊥AC，BE=AE= AC， ∵AF=AE， ∴BE=AF=AE. 又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°， ∴BE∥AF， ∵BE=AF， ∴得平行四边形AFBE， ∵∠FAE=90°，AF=AE， ∴四边形AFBE是正方形． 思考：决定中点四边形形状的关键因素是什么？ 对角线 不垂直， 不相等 平行四边形 对角线 不垂直， 不相等 平行四边形 对角线相等 菱形 对角线垂直 矩形 对角线相等且垂直 正方形 决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原四边形 ABCD 的对角线的长度和位置关系。 原四边形对角线关系 不相等、 不垂直 相等 垂直 相等且 垂直 中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 概念归纳 1.下列命题正确的是（ ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 D 练一练 2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　） A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形 B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形 D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形 D 练一练 3.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA =90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形． AB=BC(答案不唯一) A B C D O 4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_________________（只填写序号）． ②③或①④ 练一练 随堂练习 证明： （1）对角线互相垂直的矩形是正方形； （2）有一个角是直角的菱形是正方形. （1）对角线互相垂直的矩形是正方形； 已知：四边形 ABCD 是矩形，且 AC ⊥ BD， 求证：四边形 ABCD 是正方形. 证明：如图所示， ∵AC⊥BD， ∴∠AOB = ∠COB =90°. 在△AOB 和△COB 中，OA=OC（矩形的对角线互相平分）， ∠AOB = ∠COB=90°，OB=OB， ∴ΔΑOB≌ΔCOB（SAS）. ∴AB =BC. 又∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC =90°. ∴四边形 ABCD 是正方形 （有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形）. （2）有一个角是直角的菱形是正方形. 已知：四边形ABCD为菱形，∠B=90°，求证：四边形 ABCD 为正方形. 证明：如图所示， ∵四边形 ABCD 为菱形， ∴四边形ABCD是平行四边形，AD=DC. 又∵∠B=90°， ∴四边形 ABCD为正方形（有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形）. 证明：对角线相等的菱形是正方形． 1. 已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=BD. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=BC.∵AB=BA,BD=AC, ∴△ABD≌△BAC（SSS）. ∴∠DAB=∠CBA. 习题1.8 知识技能 ∵AD∥BC, ∴∠DAB+∠CBA=180°. ∴∠DAB=∠CBA=90°. ∴四边形ABCD是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）. 已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE=DF．求证：四边形AECF是菱形． 2. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CB,AD∥CB. ∴∠ADF=∠CBE. 又∵BE=DF, ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴AF=CE,∠AFD=∠CEB. ∴∠AFE=∠CEF.∴AF∥CE. 知识技能 ∴四边形AECF是平行四边形. ∵AD=AB,∴∠ADF=∠ABE. 又∵BE=DF,∴△AFD≌△AEB（SAS）. ∴AF=AE. ∴四边形AECF是菱形（一组邻边 相等的平行四边形是菱形）. 如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH．四边形EFGH是什么特殊四边形？你是如何判断的？ 3. 解：四边形EFGH是正方形. 理由如下：在正方形ABCD中， AB=BC=CD=AD, ∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AE=BF=CG=DH, ∴BE=CF=DG=AH. ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(SAS). ∴∠AEH=∠DHG,HE=EF=FG=GH. ∴四边形EFGH是菱形. ∵∠AEH+∠AHE=90°， ∴∠DHG+∠AHE=90°. ∴∠EHG=90°. ∴四边形EFGH是正方形. 知识技能 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A′B′-C′O与正 方形ABCD的边长相等．在正方形A′B′C′O绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有什么关系？请证明你的结论． 4. 解：重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的 .证明如下： 联系拓广 ①重叠部分为等腰直角三角形时,重叠部分的面积为正方形ABCD面积的 ,即S重叠=S△AOB=S△BOC=S△COD=S△AOD= S正方形ABCD. ②重叠部分为四边形时,设OA′与AB相交于 点E,OC′与BC相交于点F. ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OB,∠EAO=∠FBO=45°,∠AOB=90°. 联系拓广 又∵∠A'OC'=90°,∴∠AOE=∠BOF. ∴△AOE≌△BOF(AAS). ∴S△AOE=S△BOF. ∴S重叠=S△BOE+S△BOF=S△BOE+S△AOE= S△AOB= S正方形ABCD. 综上，重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的 . E F 联系拓广 刘芳 分层练习-基础 AC＝BD或∠A＝90°等 正方形 分层练习-基础 D ∠A＝90° 分层练习-基础 一组邻边相等的矩形是正方形 分层练习-基础 分层练习-基础 B 分层练习-巩固 C 分层练习-巩固 正方形 AC＝BC 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 D 课堂反馈 课堂反馈 5种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结 课堂小结 知识点一：用定义判断一个四边形是正方形 1．刘芳和罗亮在做一道习题：若四边形ABCD是平行四边形．请补充条件使得四边形ABCD是正方形．刘芳补充的条件是：AB＝BC，且∠A＝90°；罗亮补充的条件是：AC＝BD且∠A＝90°.你认为 补充的条件是正确的． 知识点二：对角线相等的菱形是正方形 2．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件： ，使得该菱形为正方形． 3．在菱形ABCD中，对角线BD＝8，CD＝4eq \r(2)，则菱形ABCD应为 ． 知识点三：对角线互相垂直的矩形是正方形 4．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( ) A．AC＝BD　　 B．∠C＝90°　　 C．AD＝BC　　 D．AC⊥BD 知识点四：有一个角是直角的菱形是正方形 5．如图，四边形ABCD是菱形，则只需补充条件 (用字母表示)就可判定四边形ABCD是正方形． 知识点五：有一组邻边相等的矩形是正方形 6．如图所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个大的正方形，他判定的方法是 ． 7．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F. 求证：四边形CEDF是正方形．(提示：作DG⊥AB于G) 证明：作DG⊥AB于G.∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴DF＝DG.同理DG＝DE.∴DF＝DE.∵DF⊥AC，DE⊥BC，∴∠DFC＝∠DEC＝∠C＝90°，∴四边形CEDF为矩形．又∵DF＝DE，∴四边形CEDF是正方形． 8．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD，四个条件中选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形．现有下列四种选法，其中错误的是( ) A．选①②　　　　 B．选②③ C．选①③ D．选②④ 9．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE等于( ) A．2 B．3 C．2eq \r(2) D．2eq \r(3) 10．黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，则黑板上画的图形是 ． 11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件 时，四边形DECF是正方形．(要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件) 12．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E. (1)求证：四边形ADCE为矩形； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明． (1)证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠CAE，∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝eq \f(1,2)×180°＝90°，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°，∴四边形ADCE为矩形； (2)解：当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．理由：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝∠B＝45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD＝∠ACD＝45°，∴DC＝AD，∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形．∴当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形． 13．已知：如图，▱ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E. (1)求证：△AOD≌△EOC； (2)连接AC、DE，当∠B＝∠AEB＝45°时，四边形ACED是正方形吗？请说明理由． (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠OCE，∠DAO＝∠E.∵O是CD的中点，∴OC＝OD，在△AOD和△EOC中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠D＝∠OCE,∠DAO＝∠CEO,DO＝CO))，∴△AOD≌△EOC(AAS)； (2)解：当∠B＝∠AEB＝45°时，四边形ACED是正方形．∵△AOD≌△EOC，∴OA＝OE.又∵OC＝OD，∴四边形ACED是平行四边形．∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∠BAE＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∴∠COE＝∠BAE＝90°，∴▱ACED是菱形．∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE＝CD.∴菱形ACED是正方形． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE. (1)求证：CE＝AD； (2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由． (1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD； (2)解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD，∴四边形BECD是菱形； (3)解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由是：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°，∴AC＝BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵四边形BECD是菱形，∴四边形BECD是正方形，即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形． 会判定一个四边形是否为正方形． 【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( ) A．BC＝AC　　　 B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF 【思路分析】根据已知条件容易说明四边形BECF为菱形，因此添加的条件只要能得到四边形BECF有一个直角或对角线相等，就可以证明四边形BECF为正方形．显然添加A或B或C均可得到有一个角等于90°. 【方法归纳】将各个选项作为条件给予证明，能证出正方形的淘汰即可． 会综合应用正方形的性质与判定． 【例2】如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F. 求证：(1)△BDE≌△CDF； (2)当△ABC是直角三角形时，四边形AEDF是正方形． 【思路分析】本题可以根据全等三角形的判定定理(AAS)证明△BDE≌△CDF.根据三个角为直角判定出四边形是矩形，邻边相等的矩形就可以证明是正方形． 【规范解答】(1)∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，又∵∠B＝∠C，BD＝CD，∴△BDE≌△CDF； (2)∵∠DEA＝∠DFA＝∠A＝90°，∴四边形AEDF是矩形．由(1)知DE＝DF，∴矩形AEDF是正方形． 【方法归纳】本题是考查正方形的判定方法，判定一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，有两种方法：(1)先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；(2)先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角． $$