1.2.4圆与圆的位置关系（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册)

1.2.4圆与圆的位置关系 题型一：判断两个圆之间的位置关系 1．已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 2．圆C：与圆的位置关系不可能（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 3．（多选）已知圆C：，则下述正确的是（    ） A．圆C的半径 B．点在圆C的内部 C．圆C关于直线对称 D．圆：与圆C相交 4．用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知及，设为上的动点，则的最大值为 ． 题型二：求两圆的交点坐标的情况 1．已知点关于直线的对称点Q落在圆上，则（    ） A．1 B． C． D．0 2．已知圆的圆心为，且经过圆：与圆：的交点．则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 4．已知圆，圆，则过圆与圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为 . 题型三：由两圆的位置关系确定参数的值或范围 1．已知点，圆，若圆上存在点使得，则实数的最小值是（    ） A．－1 B．1 C．0 D．2 2．（多选）已知圆，若圆上仅存在一点使，则正实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知两圆和有公共点则r的值可能是（    ） A． B．1 C．6 D．8 4．已知动圆经过点及原点，点是圆与圆的一个公共点，则当最大时，圆的半径为 . 题型四：由圆与圆的位置关系求圆的方程 1．已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．以为圆心且与圆外切的圆的方程为 ． 4．已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知为圆C上一点，求与圆C外切于点A，且半径为6的圆的方程． 题型五：两圆相交公共弦问题 1．已知圆与圆交于A，B两点，则（    ） A． B．5 C． D． 2．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，动点满足，则点的轨迹与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆：和圆：的公共弦所在直线经过原点，则实数a的值为 ． 4．已知圆，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于A，B两点，且，则圆和圆的公共弦所在的直线方程为 . 题型六：圆的公切线问题 1．圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 4．已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 1．已知点，圆，若圆C上存在点P使得，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 3．圆与圆的公共弦长为（    ）． A． B． C． D． 4．已知分别是圆与圆上的动点，若的最大值为12，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知圆和圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知圆，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆的周长为 C．圆与圆外切 D．圆截轴所得的弦长为3 8．（多选）已知圆，圆，则下列结论正确的是（    ） A．若和外离，则或 B．若和外切，则 C．当时，有且仅有一条直线与和均相切 D．当时，和内含 9．（多选）已知圆和圆外离，则整数m的一个取值可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．（多选）在平面直角坐标系中，已知圆，圆，是圆的一条直径，点在圆上，设直线为两圆的公切线，则（    ） A．圆和圆外切 B．直线斜率的最小值为0 C．直线斜率的最大值为 D．面积的最大值为7 11．圆上总存在两个点到的距离为1，则a的取值范围是 . 12．已知圆和圆内切，则实数的取值范围是 . 13．圆与圆的公切线的方程为 ． 14．已知A为圆上的动点，B为圆上的动点，P为直线上的动点，则的最小值为 ． 15．已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 16．已知圆满足：①；②与圆外切；③被直线分成两段圆弧，其弧长的比为. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆相交于两点，四边形为平行四边形，求直线的方程. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2.4圆与圆的位置关系 题型一：判断两个圆之间的位置关系 1．已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】A 【分析】求出两圆圆心坐标与半径，再求出圆心距与半径之和、半径之差的绝对值比较，即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 则，故，所以两圆内含； 故选：A 2．圆C：与圆的位置关系不可能（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】D 【分析】由题可得两圆半径与圆心，后由圆心距与两圆半径间关系可得答案. 【详解】由题可得圆C： ，则其圆心，半径为； 圆，则其圆心为，半径为. 则两圆圆心距为， 故两圆可能内含，内切，相交，不可能外切，外离. 故选：D 3．（多选）已知圆C：，则下述正确的是（    ） A．圆C的半径 B．点在圆C的内部 C．圆C关于直线对称 D．圆：与圆C相交 【答案】ACD 【分析】把圆的方程化成标准形式，再逐项判断得解. 【详解】圆，圆心，半径， 对于A，圆C的半径，A正确； 对于B，点到点的距离，点在圆C外，B错误； 对于C，点在直线上，圆C关于直线对称，C正确； 对于D，圆的圆心，半径，而，因此圆与圆相交，D正确. 故选：ACD 4．用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知及，设为上的动点，则的最大值为 ． 【答案】3 【分析】由圆心距与半径的关系可得到两圆相离，再由题意与圆的知识即可求解． 【详解】如图所示，   得到圆心； 得到圆心； 由于，所以两圆相离，因为为上的动点，， 所以要使取得最大值，只需最大即可， 因为，则的最大值为. 故答案为：3. 题型二：求两圆的交点坐标的情况 1．已知点关于直线的对称点Q落在圆上，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据点关于直线对称确定Q在圆上．联立，求出Q点坐标，根据对称知识，即可求得答案. 【详解】由题可知，直线l经过坐标原点O，所以， 则Q在圆上． 联立方程组，两式相减得， 代入得，则， 即，则， 而关于直线对称， 则， 故选：A 2．已知圆的圆心为，且经过圆：与圆：的交点．则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立圆与圆的方程，解得两交点坐标，即可求得圆的半径，从而可得答案. 【详解】解：联立，解得：或， 所以圆的半径为：， 所以的面积为. 故选：B． 3．已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 【答案】 【分析】将两圆方程联立解方程组即可求得该点坐标. 【详解】联立两圆方程，解得或， 即可得这点的坐标为. 故答案为： 4．已知圆，圆，则过圆与圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为 . 【答案】 【分析】联立方程组，求得两圆的交点坐标，设所求圆的圆心为，列出方程求得的值，得出圆心坐标和半径，即可求解. 【详解】设圆与圆的交点分别为，联立方程组，解得或，则， 设所求圆的圆心为，因为圆心在直线上，可得， 则，解得， 所以圆心为，半径， 所以，所求圆的方程为. 故答案为：. 题型三：由两圆的位置关系确定参数的值或范围 1．已知点，圆，若圆上存在点使得，则实数的最小值是（    ） A．－1 B．1 C．0 D．2 【答案】C 【分析】把存在性问题转化为两圆有公共点问题来求解即可. 【详解】根据题意，点，若，则点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆，设该圆为圆， 圆，若圆上存在点使得，则圆与圆有公共点， 则，解得，即的取值范围为， 故的最小值为0． 故选：C． 2．（多选）已知圆，若圆上仅存在一点使，则正实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】BD 【分析】由题意可得以为直径的圆与圆相内切或外切，得出该圆圆心与半径后，结合圆与圆的位置关系计算即可得. 【详解】若圆上仅存在一点使，则以为直径的圆与圆相内切或外切， 由，则以为直径的圆的圆心为，半径为， 则有或， 分别解得或，故或， 故B、D正确，A、C错误. 故选：BD. 3．已知两圆和有公共点则r的值可能是（    ） A． B．1 C．6 D．8 【答案】ACD 【分析】由条件可求两圆的圆心与半径，由圆心距为，可得，求解可判断结论. 【详解】由，可得圆心为，半径分别为， 由，可得，得圆心坐标，半径， 则两圆圆心之间的距离为， 又两圆有公共点则，解得. 故选：ACD． 4．已知动圆经过点及原点，点是圆与圆的一个公共点，则当最大时，圆的半径为 . 【答案】 【分析】利用两圆的位置关系确定两圆外切时最大，根据位置关系可得圆的半径. 【详解】因为动圆经过点及原点，记的中点为，则圆心在上， 如图：    记圆半径为，，则，， 所以， 当最大时，最小，此时两圆外切. 由已知设动圆的圆心为， 又圆的圆心，半径， 所以， 即， 解得，所以，即圆的半径为， 此时圆为，圆心，. 故答案为：. 题型四：由圆与圆的位置关系求圆的方程 1．已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得到点的轨迹是以为直径的圆，依题意，问题转化为两个圆有公共点的问题，解不等式组即得. 【详解】 如图，由可知点的轨迹是以为直径的圆，设为圆， 因，故圆. 依题意知圆与圆必至少有一个公共点. 因，则， 由，解得：. 故选：B. 2．过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆系方程，利用圆心坐标求出参数，建立方程求解即可. 【详解】经过圆：和圆：交点的圆可设为，即， 圆心在直线上，故，解得， 所以圆的方程为. 故选：A. 3．以为圆心且与圆外切的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】求出两圆圆心距，利用两圆外切求出圆的半径，即可得出圆的方程. 【详解】设圆的半径为，圆的圆心为坐标原点，半径为， 两圆圆心距为，故， 因此，以为圆心且与圆外切的圆的方程为. 故答案为：. 4．已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知为圆C上一点，求与圆C外切于点A，且半径为6的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式即可求解， （2）根据外切的性质，由点点距离公式即可求解. 【详解】（1）的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 故弦长为， （2）由题意可知在直线上，由于，, 所以直线方程为， 设，则， 化简可得，解得或， 由于两圆外切，且点为切点，所以不符合，舍去， 故，圆心为则圆的方程为 题型五：两圆相交公共弦问题 1．已知圆与圆交于A，B两点，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】求出两圆的公共弦所在直线方程，再求出弦长即可. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ，圆与圆相交，两圆方程相减得直线：， 显然点在直线上，因此线段是圆的直径， 所以. 故选：C 2．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，动点满足，则点的轨迹与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出点的轨迹的方程，即可得到其圆心与半径，再得到圆的圆心与半径，即可判断两圆相交，再两圆方程作差即可得到公共弦方程，求出圆心到公共弦所在直线的距离，最后由计算可得. 【详解】由题意知，化简得，其圆心为，半径， 又圆的圆心为，半径， 所以，且，所以两圆相交， 其公共弦所在的直线方程为， 圆心到公共弦所在直线的距离， 故公共弦长为. 故选：C 3．已知圆：和圆：的公共弦所在直线经过原点，则实数a的值为 ． 【答案】6 【分析】将两圆方程作差，得两圆的公共弦所在的方程，即可求解． 【详解】解：将两圆方程联立，得：， 得， 两式相减，得：， 则两圆的公共弦所在的方程为：， 因为公共弦所在的直线经过原点， 所以：， 得， 故答案为：6 4．已知圆，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于A，B两点，且，则圆和圆的公共弦所在的直线方程为 . 【答案】 【分析】根据相切和弦长求出圆的方程，再联立两圆方程，即可得到相交弦所在的直线方程. 【详解】由圆与轴相切于点，可设圆的方程为， 由，则，所以圆的方程为， 圆与圆的方程相减得，即为两圆的相交弦所在直线方程. 故答案为： 题型六：圆的公切线问题 1．圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】将两圆方程化为标准方程，通过两圆的圆心距及半径关系，判断两圆的位置关系即可求解． 【详解】解：圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 得两圆的圆心距为：， 则， 得两圆相交，得两圆的公切线有且仅有2条． 故选：B 2．已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点， 当直线过的中点，且与垂直时， 因为，所以直线的方程为，即； 当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为， 所以，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：ABC． 3．已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 故答案为： 4．已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）由两圆外切，得两圆圆心之间的距离等于两圆半径的和，从而求出的值； （2）由两圆内切，得到两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差，求解得出的值；由两圆心连线与两圆公切线垂直，根据已知两圆心连线的斜率求出两圆公切线的斜率，设出切线方程，再根据切线的性质求解未知量的值. 【详解】（1）由题意，圆：，可化为： 圆：，可化为：， 可得圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆相外切时，可得， 即， 解得， 所以时，两圆外切； （2）由（1）知，圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆内切时，可得， 即， 解得， 因为， 可得两圆公切线的斜率是， 设切线方程为，即 则圆心到切线的距离等于圆的半径， 即，解得， 当时，直线与圆：相交，舍去， 故所求公切线方程为，即． 1．已知点，圆，若圆C上存在点P使得，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点A为圆心，半径为2作圆，根据点既在圆上，也在圆上，根据两圆有公共点的条件列不等式即可求的取值范围. 【详解】由，则点P在圆上， 又有点P在圆C上，所以圆A和圆C有公共点（P)， 两圆半径分别为2、1， 所以， 所以. 故选：A． 2．圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【分析】求出两圆的圆心距，则有，即可判断两圆位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径为；， 则圆的圆心为，半径为. 两圆心之间的距离， 且满足，可知两圆相交. 故选：A. 3．圆与圆的公共弦长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程为，即可利用点到线的距离公式以及圆的弦长公式求解. 【详解】的圆心和半径分别为, ，故两圆相交， 将两个圆的方程作差得，即公共弦所在的直线方程为， 又知，， 则到直线的的距离， 所以公共弦长为， 故选:A． 4．已知分别是圆与圆上的动点，若的最大值为12，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据两圆圆心距离以及半径可得，即可求解. 【详解】圆的圆心为半径， 圆的圆心为半径， 故两圆不是内切和内含， 由题意知的最大值等于12，则，所以. 又，所以. 故选：D. 5．已知圆和圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据圆与圆的位置关系求两圆圆心距及两圆半径，从而可判断两圆位置关系，即可得公切线条数. 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心，半径， 则，故两圆外切，则两圆公切线的条数为. 故选：C. 6．已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线方程可知两直线分别过定点且垂直，可求得点轨迹方程，再由圆与圆的位置关系找出圆心距与两圆半径之间的关系可得结果. 【详解】易知直线恒过定点， 直线恒过定点， 且，易知直线与互相垂直，即可得， 所以点轨迹是以为直径的圆，圆心为的中点，半径为； 可得点轨迹方程为； 又因为点在圆上，所以可得圆与圆有公共点， 当两圆内切（圆在外）时，取得最大值； 此时满足，解得. 故选：D 7．（多选）已知圆，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆的周长为 C．圆与圆外切 D．圆截轴所得的弦长为3 【答案】BC 【分析】根据圆C和圆M的方程得它们的圆心和半径即可求解判断ABC，对于D求出圆C上横坐标为0的点的纵坐标即可判断. 【详解】对于AB，圆的方程可化为， 可得圆心的坐标为，半径为，则周长为，可知错误，正确； 对于，由，为两圆半径之和，可知正确； 对于，令，可得，解得或3， 可得圆截轴所得的弦长为4，可知错误. 故选：BC. 8．（多选）已知圆，圆，则下列结论正确的是（    ） A．若和外离，则或 B．若和外切，则 C．当时，有且仅有一条直线与和均相切 D．当时，和内含 【答案】ABC 【分析】首先得到两圆圆心坐标与半径，从而求出圆心距，再根据两圆的位置关系由圆心距与半径的和差关系得到不等式（方程），即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以， 若和外离，则，解得或，故A正确； 若和外切，则，解得，故B正确； 当时，，则和内切，故仅有一条公切线，故C正确； 当时，，则和相交，故D错误. 故选：ABC． 9．（多选）已知圆和圆外离，则整数m的一个取值可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】CD 【分析】写出两圆的圆心及半径，利用两点之间坐标公式求出圆心距，利用两圆外离的关系列出不等式，求出整数的值. 【详解】因为方程可化为， 所以圆的圆心的坐标为，半径为， 因为方程可化为， 由已知，且为正整数， 所以圆的圆心的坐标为，半径为， 所以圆心距， 因为圆和圆外离， 所以， 所以， 故的可能取值有， 故选：CD. 10．（多选）在平面直角坐标系中，已知圆，圆，是圆的一条直径，点在圆上，设直线为两圆的公切线，则（    ） A．圆和圆外切 B．直线斜率的最小值为0 C．直线斜率的最大值为 D．面积的最大值为7 【答案】BCD 【分析】A选项，计算出圆心距，得到，A错误；B选项，画出图形，得到内公切线的斜率最小，计算出最小斜率；C选项，内公切线的斜率最大，设其倾斜角为，利用二倍角公式和斜率定义求出答案；D选项，计算出，得到面积最大值. 【详解】A选项，的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， ，因为，所以和外离，选项错误； B选项，画出两圆如下：    可以看出共有4条公切线，其中内公切线的斜率最小， 其中：与和均相切，所以直线斜率的最小值为正确； C选项，由B选项可知，：，内公切线的斜率最大，设其倾斜角为， 直线的斜率，即， 则， 所以直线斜率的最大值为．C选项正确； D选项，易知，此时三点共线，    当时，面积取得最大值，最大值为，选项正确， 故选：． 11．圆上总存在两个点到的距离为1，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】问题转化为两个圆的位置关系，通过圆心距与半径和与差的关系列出不等式求解即可. 【详解】圆上总存在两个点到的距离为1， 转化为：以为圆心1为半径的圆与已知圆相交， 可得，即， 解得或，即a的取值范围是. 故答案为：. 12．已知圆和圆内切，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】把两圆化为标准方程，得到圆心坐标和半径，由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，列方程解实数的值. 【详解】圆化为标准方程为，圆心，半径， 圆化为标准方程为，圆心，半径， 由两圆外切，有，即，解得. 故答案为： 13．圆与圆的公切线的方程为 ． 【答案】 【分析】先判断两圆位置关系，然后将圆化为一般式，两式相减可得. 【详解】圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为6， 因为，所以两圆内切，只有一条公切线， 将圆化为一般式得： ，， 两式相减得，即， 所以圆的公切线的方程为. 故答案为： 14．已知A为圆上的动点，B为圆上的动点，P为直线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作出圆关于对称的圆，数形结合得到三点共线时，取得最小值，求出答案. 【详解】设关于直线的对称点为， 则圆关于对称的圆的方程为， 要使的值最小， 则（其中为关于直线的对称圆上的点）三点共线， 且该直线过两点，其最小值为． 故答案为： 15．已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆心和半径，结合勾股定理可得答案； （2）利用待定系数法和相切可求圆的方程. 【详解】（1）由可得，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得弦长为. （2）设， 则，解得，； 因为圆与圆相切于原点，且圆过点， 所以，， 两边平方整理可得，平方可求， 代入可得，所以圆的方程为. 16．已知圆满足：①；②与圆外切；③被直线分成两段圆弧，其弧长的比为. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆相交于两点，四边形为平行四边形，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）画出图形，由于圆与圆外切，得到，圆被直线分成两段圆弧，其弧长的比为. 得到，求出即可； （2）画出图形，四边形为平行四边形,，得到，将直线设为：；则，结合垂径定理和勾股定理，得到，求出即可. 【详解】（1）如图所示，与圆交于，过作垂直于于点． 由于，配方得， 则圆心为，半径．，圆心为，半径． 由于圆与圆外切，则（∗）． 圆被直线分成两段圆弧，其弧长的比为. 则， 则（∗∗），与（∗）联立方程，解得（）. 因此，则圆的方程为：． （2） 直线与圆相交于两点，四边形为平行四边形，则，. 则，则直线设为：，即. 四边形为平行四边形,则． 过作于 点，由垂径定理得， 则， 运用点到直线的距离公式得到，则，解得， 则直线的方程为：，即或. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$