精品解析：山东省泰安市2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题

高二年级考试 数学试题 2024.07 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据，得到下面的散点图： 由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 4. “”是“函数在上为增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知某产品的色度和色差之间满足线性相关关系，且现有一对测量数据为，则该数据的残差为（ ） 色差 色度 15 18 19 20 A B. C. 0.6 D. 0.76 6. 端午节期间，学校餐厅推出蜜枣粽子和咸肉粽子，一个餐盘中装有相同大小的蜜枣粽子和咸肉粽子共10个，其中咸肉粽子3个.某同学逐个连续不放回的从盘中取粽子，直到取出咸肉粽子为止，设此时已取出了个蜜枣粽子，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，这两个变量的正态曲线如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，则的取值范围是 D. 若且，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 已知随机变量的分布列为，则 C. 有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若表示取得次品的个数，则 D. 甲乙两位垂钓爱好者拋一次杆中鱼概率分别为和，两人同时中鱼的概率为，则二人各拋杆一次，在乙中鱼的条件下，甲也中鱼的概率为 11. 定义在的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某学校计划选派2名男生和3名女生去支教．现有6名男同学和5名女同学报名，则共有______种不同的派出方案． 13. 关于的不等式任意两个解的差不超过6，则的最大值与最小值的和是______． 14. 已知二项式，若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，其导函数为 （1）求曲线在处的切线方程； （2）若直线与曲线在上有两个不同交点，求的取值范围； 16. 某公司销售其研发的新产品，投入广告费进行广告宣传、经过一段时间的宣传后，统计得到x，y之间的五组数据如下表： x 1 2 3 4 5 y 9 11 14 26 20 其中，x（单位：万元）是广告宣传的投入，y（单位：万元）是新产品的收益． （1）求相关系数r大小（精确到0.01），并判断新产品收益y与广告宣传投入x的线性相关程度； （2）该公司对此产品满意程度进行了调研，在调研100名男女消费者中，得到的数据如下表： 满意 不满意 总计 男 45 10 55 女 25 20 45 总计 70 30 100 依据小概率值的独立性检验，分析消费者满意程度是否与性别有关？ 参考公式：①； ②，其中 临界值表： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据：． 17. 已知一个班级中共有（且）名学生．若先从这名学生中任意选择名学生组建班委，再从这名班委中人选一人担任班长，共有种不同的选择方式；若先从这名学生中任选一人担任班长，再从剩余人中任选人组建班委，共有种不同的选择方式． （1）判断与的关系并证明； （2）当且时，求的值． 18. 某学校篮球社团设计了一项三分球投篮比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次，如果一个人投篮失败，再派下一个人重新投篮；三人中只要有人投篮成功即视作比赛胜利，无需继续投篮，现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自投篮成功的概率分别为，且互不相等，且每人能否投篮成功互不影响． （1）计划依次派甲、乙、丙进行投篮，若，求该小组比赛胜利的概率； （2）若依次派甲、乙、丙进行投篮，设所需派出人员数目为，求的分布列及数学期望； （3）若乙只能安排在第二个派出，问：选择何种派出方案，派出人员数目的数学期望较小？ 19. 已知函数 （1）当时，讨论函数单调性； （2）令，若存在不相等的使得，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二年级考试 数学试题 2024.07 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 2. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据，得到下面的散点图： 由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据散点图的变化趋势，结合常见函数的图象特征即可判断得解. 【详解】由散点图知，各个点在一条曲线附近，随着温度的升高，发芽率逐渐增大，而增长速度越来越慢， 对于A，的图象是直线，不符合题意， 对于B，在时，是增函数，增长速度越来越快，不符合题意； 对于D，是减函数，不符合题意； 对于B，在时，是增函数，增长速度越来越慢， 适合作为发芽率和温度的回归方程类型，B符合题意. 故选：B 3. 已知函数，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用复合函数的求导法则求出导数，再赋值求值即可. 【详解】函数，求导得， 所以. 故选：A 4. “”是“函数在上为增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出函数在上为增函数时的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由函数在上为增函数，得，， 而函数在上单调递增，即，因此， 于是， 所以“”是“函数在上为增函数”的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知某产品的色度和色差之间满足线性相关关系，且现有一对测量数据为，则该数据的残差为（ ） 色差 色度 15 18 19 20 A. B. C. 0.6 D. 0.76 【答案】C 【解析】 【分析】根据表中的数据求出，，根据回归直线方程必过样本中心，即可求出，从而得到回归直线方程，再将代入回归方程，求出预测值，从而求出残差． 【详解】解：由题意可知，，， 将代入，即， 解得， 所以， 当时，， 所以该数据的残差为． 故选：C． 6. 端午节期间，学校餐厅推出蜜枣粽子和咸肉粽子，一个餐盘中装有相同大小的蜜枣粽子和咸肉粽子共10个，其中咸肉粽子3个.某同学逐个连续不放回的从盘中取粽子，直到取出咸肉粽子为止，设此时已取出了个蜜枣粽子，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，结合已知列出方程求解即得. 【详解】依题意，，，， 由，得，解得，即，D正确； 而，， ，ABC不正确. 故选：D 7. 设，这两个变量的正态曲线如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布在区间上的几何意义判断D，举反例判断B，C即可，利用图像判断A即可. 【详解】如图，我们首先给出正态曲线的一种情况， 对于A，由图像得，故A错误， 对于B，由已知，， 若，则，故B错误， 对于C，由正态分布在区间上的几何意义得， 若， ，故C错误， 对于D，由正态分布在区间上的几何意义得， 若，则，故D正确. 故选：D 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】变形给定的不等式，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，，得， 则，而， 当且仅当，即时取等号，因此， 整理得，即，解得， 由且，解得，所以的最小值为4. 故选：A 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及“1”的代换等应用技巧. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，则的取值范围是 D. 若且，则 【答案】BCD 【解析】 分析】A.利用特殊值判断；B.分和讨论判断；C. 设判断；D.利用基本不等式判断. 【详解】A. 当时，，故错误； B. 当时，，则，当时，，则，故正确； C. 设， 则，解得，则，故正确； D.因为且，所以， 则，， 画出图象，由图可知，时 所以 ，故正确， 故选：BCD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 已知随机变量的分布列为，则 C. 有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若表示取得次品的个数，则 D. 甲乙两位垂钓爱好者拋一次杆中鱼概率分别为和，两人同时中鱼的概率为，则二人各拋杆一次，在乙中鱼的条件下，甲也中鱼的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出，再根据计算即可；利用公式求出，再求出；利用求解即可；利用条件概率公式直接求解即可． 【详解】A．随机变量，则， ，故错误，不符合题意； B．随机变量的分布列为， 则， ， 故，正确，符合题意； C．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若表示取得次品的个数， 则，故正确，符合题意； D．设“甲中鱼”，“乙中鱼”，由题意得：， ，故正确，符合题意； 故选：BCD． 11. 定义在的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合单调性判断A；构造函数，利用导数探讨单调性判断C；利用C中信息，赋值计算判断D；构造函数，利用导数探讨单调性，结合C的信息判断B. 【详解】对于A，由，，得，即， 由，得在上单调递增，因此，A正确； 对于C，令，求导得，函数在上单调递增， 则，即，两边取对数得， 即，C正确； 对于D，由选项C知，，取， 则，因此，D正确； 对于B，令，求导得， 函数在上单调递减，，即，则， 于是，即，因此，B错误. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： ①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； ②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． ③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某学校计划选派2名男生和3名女生去支教．现有6名男同学和5名女同学报名，则共有______种不同的派出方案． 【答案】150 【解析】 【分析】由组合数以及分步乘法计数原理即可得解. 【详解】第一步：从6名男同学中选派2名男生有种派出方案， 第二步：从5名男同学中选派3名男生有种派出方案， 由题意所求为. 故答案为：150. 13. 关于的不等式任意两个解的差不超过6，则的最大值与最小值的和是______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据给定条件，结合韦达定理定理求出的取值范围即可得解. 【详解】设方程的两个不等根为，则，解得或， ，依题意，，即， 则有，解得，因此或，， 所以的最大值与最小值的和是5. 故答案为：5 14. 已知二项式，若，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据二项式展开式通项结合，得出，求出时符合题意，然后求出，令，则即可求解． 【详解】解：由题意，二项式展开式的通项为：， ， ， 且， 即， 由于有负号，知为奇数且， 即， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ， 则原二项式为， 第一项为：， ， 令，则， ， 故答案为：0． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，其导函数 （1）求曲线在处的切线方程； （2）若直线与曲线在上有两个不同交点，求的取值范围； 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）利用导数探讨函数的单调性及最值情况，即可求出的范围. 【小问1详解】 函数，求导得，则， 所以所求切线方程为，即. 【小问2详解】 令，求导得，， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，则，即 ，而， 要使与曲线在上有两不同交点，则. 16. 某公司销售其研发的新产品，投入广告费进行广告宣传、经过一段时间的宣传后，统计得到x，y之间的五组数据如下表： x 1 2 3 4 5 y 9 11 14 26 20 其中，x（单位：万元）是广告宣传的投入，y（单位：万元）是新产品的收益． （1）求相关系数r的大小（精确到0.01），并判断新产品收益y与广告宣传投入x的线性相关程度； （2）该公司对此产品的满意程度进行了调研，在调研100名男女消费者中，得到的数据如下表： 满意 不满意 总计 男 45 10 55 女 25 20 45 总计 70 30 100 依据小概率值的独立性检验，分析消费者满意程度是否与性别有关？ 参考公式：①； ②，其中 临界值表： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据：． 【答案】（1），新产品收益y与广告宣传投入x的线性相关程度高； （2）消费者满意程度与性别有关，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）计算出，代入公式求出，判断出新产品收益y与广告宣传投入x的线性相关程度高； （2）计算出卡方，与比较后，得到结论. 【小问1详解】 ，， 故 ， 由于接近于1，故新产品收益y与广告宣传投入x的线性相关程度高； 【小问2详解】 零假设为消费者满意程度与性别独立， ， 因为， 所以依据小概率值的独立性检验，拒绝接受假设， 所以消费者满意程度与性别有关 17. 已知一个班级中共有（且）名学生．若先从这名学生中任意选择名学生组建班委，再从这名班委中人选一人担任班长，共有种不同的选择方式；若先从这名学生中任选一人担任班长，再从剩余人中任选人组建班委，共有种不同的选择方式． （1）判断与的关系并证明； （2）当且时，求的值． 【答案】（1），证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用组合计数问题列式表示，再判断并证明. （2）利用（1）中结论，变形得，再利用二项式系数的性质计算即得. 【小问1详解】 由题知，， 证明如下：， ，所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 又，则， 所以， 18. 某学校篮球社团设计了一项三分球投篮比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次，如果一个人投篮失败，再派下一个人重新投篮；三人中只要有人投篮成功即视作比赛胜利，无需继续投篮，现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自投篮成功的概率分别为，且互不相等，且每人能否投篮成功互不影响． （1）计划依次派甲、乙、丙进行投篮，若，求该小组比赛胜利的概率； （2）若依次派甲、乙、丙进行投篮，设所需派出的人员数目为，求的分布列及数学期望； （3）若乙只能安排在第二个派出，问：选择何种派出方案，派出人员数目的数学期望较小？ 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由独立乘法以及对立事件概率公式即可求解； （2）的所有可能取值为，求出对应的概率即可得分布列及数学期望； （3）方案一：依次派甲、乙、丙进行投篮，由（2）可知；方案二：依次派丙、乙、甲进行投篮，设所需派出人员数目为，则，求出，作差得，对的大小关系进行讨论即可得解. 【小问1详解】 记事件“小组比赛胜利”，分别表示事件甲、乙、丙投篮成功，且相互独立， 而， 所以 . 【小问2详解】 由题意可知的所有可能取值为， 则， 所以的分布列为 1 2 3 所以. 【小问3详解】 方案一：依次派甲、乙、丙进行投篮，由（2）可知； 方案二：依次派丙、乙、甲进行投篮，设所需派出的人员数目为，则， ， 所以的分布列为 1 2 3 所以， 因为 ， 当时，，选择方案一，派出人员数目的数学期望较小， 当时，，选择方案二，派出人员数目的数学期望较小， 当时，，选择方案一和二，派出人员数目的数学期望一样. 19. 已知函数 （1）当时，讨论函数的单调性； （2）令，若存在不相等的使得，求证：． 【答案】（1）递减区间为，递增区间为； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数探讨函数的单调区间. （2）由函数零点的意义，用表示，再借助分析法探讨构造函数，然后用导数证明此函数单调递增即可. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 又，则当时，，当时，， 因此在上单调递减，在上单调递增， 所以的递减区间为，递增区间为. 【小问2详解】 不妨设，则，由， 得， 要证：，只要证：， 即证：， 令，只需证：， 只要证在上单调递增，即证：在恒成立， 只要证：，令，求导得， 当时，在上递减，当时，在上递增，， 令，当时，在上递增， 当时，在上递减，， 因此在上恒成立， 所以. 【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$