13.1.2 线段垂直平分线的性质和判定（第一课时）（分层作业）-【上好课】八年级数学上册同步高效课堂（人教版）

13.1.2 线段垂直平分线的性质和判定 分层作业 基础训练 1．（23-24八年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A．三边中垂线的交点 B．三边中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 2．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）给出下列说法：①若直线是线段的垂直平分线，则，②若，，则直线垂直平分线段；③若，则点必是线段垂直平分线上的点；④若，则经过点的直线垂直平分线段．其中错误的有几个(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图，已知，求作一点，使点到的两边的距离相等，且．下列确定点的方法正确的是（    ） A．为两角平分线的交点 B．为的平分线与的垂直平分线的交点 C．为两边上的高的交点 D．为两边的垂直平分线的交点 4．（23-24九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，直线是线段的垂直平分线，为直线上一点，若的周长为14，，则线段的长度为（   ） A．10 B．6 C．5 D．3 5．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，垂直平分平分，那么图中相等的线段有（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 6．（2023九年级上·山东·专题练习）如图，在中，，，直线垂直平分，分别交于点D，交于点E，连接，则等于（　　） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，是的垂直平分线，，的周长为11，则的周长是（    ） A．14 B．19 C．26 D．30 8．（22-23八年级上·甘肃庆阳·期末）如图所示，是的平分线，垂直平分交的延长线于点，若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 9．（21-22八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，中的垂直平分线分别交、于点、，点为上一动点，则的最小值是以下哪条线段的长度(   ) A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，中，的垂直平分线交于P点，若，的周长为，则的长是 ．    11．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，垂足分别为，，已知的周长为22，则的长为 ． 12．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，的垂直平分线分别与交于点的垂直平分线分别与交于点，则的周长是 ．    13．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，点D是边上的一点，点P是的中点，若的垂直平分线经过点D，，则 ． 14．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，是的垂直平分线，若，则四边形的周长为 ． 15．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，求的长． 16．（22-23八年级下·甘肃张掖·期末）如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接．    (1)若的周长为19，的周长为7，求的长． (2)若，，求的度数． 17．（23-24八年级上·广东肇庆·期中）如图，在四边形中，，是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且. (1)求证： (2)连接，判断与的位置关系，并说明理由 能力提升 1．（23-24八年级上·四川德阳·期末）如图，在中，点为三边垂直平分线交点，是三角形角平分线的交点，连接，，，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·重庆·期中）如图，为的高，的垂直平分线与、分别交于点，平分．若，则以下结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）四边形中，，，在上分别找一点M、N，当的周长最小时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在中，，直线 是 中 边的垂直平分线，是直线上的一动点，周长的最小值为 ． 5．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，垂直平分于，垂直平分于，若，，，则的周长为 ． 6．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，平分，点为上的任意一点，，垂足为，线段的垂直平分线交于点，交于点，已知，，则的面积为 ． 7．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线与的平分线交于点．交的延长线于点，交于点．，．则的长是 ． 8．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）如图所示，人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．    (1)猜想筝形的对角线与有什么位置关系？并证明你的猜想； (2)在“筝形”中，已知，请用含m，n的式子表示筝形的面积． 9．（23-24八年级上·重庆渝北·期中）（1）如图1，在中，，边上的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，将分成两个角，且，求的度数． （2）如图2，中，、的三等分线交于点E、D，若，，求的度数． 10．（23-24八年级上·云南红河·阶段练习）如图，是的角平分线，分别是和的高．设的面积为，的面积为．      (1)求证：垂直平分； (2)若，，求的值． 拔高拓展 1．（23-24八年级上·山东临沂·期中）综合与实践、数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在与中，，，，B，F，C三点在一条直线上，连接EF交AB于点D．则线段与、的数量关系是______，并说明理由． (2)类比探究：如图2，在中，，以AC为边，作，满足，E为BC上一点，连接AE，，连接，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.1.2 线段垂直平分线的性质和判定 分层作业 基础训练 1．（23-24八年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A．三边中垂线的交点 B．三边中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．根据垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上． 所以凳子应放在的三条垂直平分线（即三边中垂线）的交点最适当． 故选：A． 2．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）给出下列说法：①若直线是线段的垂直平分线，则，②若，，则直线垂直平分线段；③若，则点必是线段垂直平分线上的点；④若，则经过点的直线垂直平分线段．其中错误的有几个(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查垂直平分线的相关知识，根据线段的垂直平分线的性质和判定，可得结论． 【详解】解：①若直线是线段的垂直平分线，则，，正确； ②若，，则直线垂直平分线段，正确； ③若，则点必是线段垂直平分线上的点，正确； ④若，则点一定在线段的垂直平分线上，但不一定经过点的直线垂直平分线段，错误． 故选：A． 3．（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图，已知，求作一点，使点到的两边的距离相等，且．下列确定点的方法正确的是（    ） A．为两角平分线的交点 B．为的平分线与的垂直平分线的交点 C．为两边上的高的交点 D．为两边的垂直平分线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线和垂直平分线的判定：到角两边的距离相等的点在角平分线上；到线段端点距离相等的点在垂直平分线上，据此即可作答． 【详解】解：点到的两边的距离相等， 在的平分线上． ， 在的垂直平分线上． 即为的平分线与的垂直平分线的交点． 故选：B． 4．（23-24九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，直线是线段的垂直平分线，为直线上一点，若的周长为14，，则线段的长度为（   ） A．10 B．6 C．5 D．3 【答案】B 【分析】由直线是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得，又由的周长为14，即可求得线段的长． 【详解】解：直线是线段的垂直平分线， ， 的周长为14， ． 即线段的长度为6． 故选：B． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 5．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，垂直平分平分，那么图中相等的线段有（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】D 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，角平分线的性质，掌握以上知识，图形结合分析是解题的关键． 根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，角平分线上的点角两边的距离相等，由此即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴图中相等的线段有5对， 故选：D． 6．（2023九年级上·山东·专题练习）如图，在中，，，直线垂直平分，分别交于点D，交于点E，连接，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理， 根据，直线垂直平分，，得到，，结合，得到，结合计算即可． 【详解】解：∵，直线垂直平分，垂足为D， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ 故选B． 7．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，是的垂直平分线，，的周长为11，则的周长是（    ） A．14 B．19 C．26 D．30 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为11， ∴的周长， 故选：B． 8．（22-23八年级上·甘肃庆阳·期末）如图所示，是的平分线，垂直平分交的延长线于点，若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形外角性质；由线段的垂直平分线性质可得，由角平分线的性质和外角性质可求解；灵活运用这些性质解题的关键． 【详解】解：垂直平分， ， ， ， ， 是的平分线， ， ， 故选：D． 9．（21-22八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，中的垂直平分线分别交、于点、，点为上一动点，则的最小值是以下哪条线段的长度(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，两点之间线段最短，连接，根据垂直平分线的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】如图，连接，是线段的垂直平分线， ，， 的最小值的最小值， ， 的最小值是线段的长度， 故选C． 10．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，中，的垂直平分线交于P点，若，的周长为，则的长是 ．    【答案】6 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握线段垂直平分线的性质．先根据是线段的垂直平分线，可以得到，根据的周长是，得出，根据，即可得到答案． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线，    ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 11．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，垂足分别为，，已知的周长为22，则的长为 ． 【答案】22 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．由的垂直平分线分别交于，垂足分别是，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可得的周长等于的长； 【详解】解：因为的垂直平分线分别交于点， 所以， 所以，即为的周长， 又因为的周长为22， 所以． 故答案为：． 12．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，的垂直平分线分别与交于点的垂直平分线分别与交于点，则的周长是 ．    【答案】18 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．由线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可得到答案． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ， ， ∴的周长， 故答案为：18． 13．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，点D是边上的一点，点P是的中点，若的垂直平分线经过点D，，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，先根据线段垂直平分线的性质得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案. 【详解】∵点D在的垂直平分线上， ∴. ∵，点P是的中点， ∴. 故答案为：4． 14．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，是的垂直平分线，若，则四边形的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据四边形的周长公式计算即可． 【详解】解：是线段的垂直平分线， ，， 四边形的周长， 故答案为：20． 15．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)4 【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）利用角平分线的性质证明，证明，则，即可证明结论； （2）根据列式计算即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，分别是和的高． ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 16．（22-23八年级下·甘肃张掖·期末）如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接．    (1)若的周长为19，的周长为7，求的长． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证明，，结合的周长为19，的周长为7，可得，从而可得答案； （2）先求解，证明，再利用全等三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为19，的周长为7， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． 17．（23-24八年级上·广东肇庆·期中）如图，在四边形中，，是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且. (1)求证： (2)连接，判断与的位置关系，并说明理由 【答案】(1)见详解 (2)垂直平分，理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． （1）由与平行，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，再由一对对顶角相等及E为中点得到一对边相等，利用即可得出； （2）因为，以及（1）得出的，等量代换得到，利用等角对等边得到，即三角形为等腰三角形，再由（1）得到，即为底边上的中线，利用三线合一即可得到与垂直． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； ∴ （2）解：与的位置关系是垂直平分， 理由为：连接， ∵， ∴， ， 由（1）得：，即为上的中线， ∴垂直平分， 能力提升 1．（23-24八年级上·四川德阳·期末）如图，在中，点为三边垂直平分线交点，是三角形角平分线的交点，连接，，，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，角平分线的定义；连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，进而得到，求出，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵O是三边垂直平分线的交点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ ∴， 故选：D． 2．（23-24八年级上·重庆·期中）如图，为的高，的垂直平分线与、分别交于点，平分．若，则以下结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线，垂直平分线，三角形的内角和，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，是解题的关键．①根据垂直平分线的性质得出，即可判断；②设，得出，推出，，即可判断；③在上截取，则，推出，，即可判断；④先求出 ，则，即可判断． 【详解】解：①∵垂直平分， ∴， ∵， ∴，故①正确，符合题意； ②设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴与不一定相等，故②不正确，不符合题意； ③在上截取， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ④∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确，符合题意； 综上：正确的有①③④，共3个， 故选：C． 3．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）四边形中，，，在上分别找一点M、N，当的周长最小时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键． 延长到使得，延长到使得，连接与分别交于点M、N，此时周长最小，推出，进而得出的度数． 【详解】解：如图，延长到使得，延长到使得，连接与分别交于点M、N．   ， 关于对称，关于对称， 此时的周长最小， ， ， 同理：， ， ， ， ， ， ． ， 故选：B． 4．（23-24八年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在中，，直线 是 中 边的垂直平分线，是直线上的一动点，周长的最小值为 ． 【答案】15 【分析】 本题考查最短路径问题，以及中垂线的性质，首先连接，由中垂线的性质可得，由于的周长为，长度固定，则只要最小即可，此时可推出P、A、B三点共线，即，由此计算即可． 【详解】解：如图，连接， 则由中垂线的性质可得， ∵的周长， ∴的周长， ∵， ∴要使得的周长最小，使得最小即可， ∵两点之间线段最短， ∴当P、A、B三点共线时，最小此时，P点即在边上，， ∴最小值为10， ∴的周长最小为：， 故答案为：15． 5．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，垂直平分于，垂直平分于，若，，，则的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，利用线段的垂直平分线上的点到相等两端的距离相等得到，，据此利用三角形周长公式求解即可． 【详解】解：垂直平分线段， ， 垂直平分线段， ， 的周长， 故答案为：15． 6．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，平分，点为上的任意一点，，垂足为，线段的垂直平分线交于点，交于点，已知，，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作于， 平分，，垂足为， ， 是线段的垂直平分线， ， 的面积． 故答案为：9． 7．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线与的平分线交于点．交的延长线于点，交于点．，．则的长是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、三角形全等的判定与性质，连接，由线段垂直平分线的性质得出，由角平分线的性质得出，证明得出，证明得出，再计算出，由此即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， 垂直平分， ， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）如图所示，人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．    (1)猜想筝形的对角线与有什么位置关系？并证明你的猜想； (2)在“筝形”中，已知，请用含m，n的式子表示筝形的面积． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，求三角形面积： （1）证明垂直平分，即可得到； （2）根据进行求解即可． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵，， ∴垂直平分， ∴； （2）解；∵， ∴ ． 9．（23-24八年级上·重庆渝北·期中）（1）如图1，在中，，边上的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，将分成两个角，且，求的度数． （2）如图2，中，、的三等分线交于点E、D，若，，求的度数． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题： （1）先根据比例设出来角度，根据线段垂直平分线的性质得到两个角度相等，再结合三角形内角和定理可得到结果； （2）根据三等分点设出角度，根据三角形内角和定理列得二元一次方程，再根据代数式可得到结果； 准确找到角度之间的关系是解题的关键． 【详解】解：（1）设，则， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 则； （2）设， 在中，， 在中，， ①+②得：， ∴． 10．（23-24八年级上·云南红河·阶段练习）如图，是的角平分线，分别是和的高．设的面积为，的面积为．      (1)求证：垂直平分； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）由角平分线的性质得，再由，得，从而证明结论； （2）设点A到的距离为h，首先得到，然后由得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：是的角平分线，分别是和的高， ， 在与中， ， ， ， 垂直平分； （2）解：设点A到的距离为h， ∴， ， ∴ ∴． 拔高拓展 1．（23-24八年级上·山东临沂·期中）综合与实践、数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在与中，，，，B，F，C三点在一条直线上，连接EF交AB于点D．则线段与、的数量关系是______，并说明理由． (2)类比探究：如图2，在中，，以AC为边，作，满足，E为BC上一点，连接AE，，连接，求证：． 【答案】(1)，详见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质． （1）证明，得到，根据，即可得出结论； （2）延长至G，使，连接，推出垂直平分，得到，，证明，得到，根据，即可得出结论． 掌握全等三角形的判定方法，构造全等三角形，是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 又∵． ∴； （2）如图，延长至G，使，连接， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$