1.3 正方形的性质与判定 导学案 2024—2025学年北师大版数学九年级上册

课题 §1.3 正方形的性质与判定 主备 审阅 九年级数学组 时间 课型 新 授 授课教师 一、学习目标——目标明确、有的放矢 1、记忆正方形的定义，正方形的性质与判定； 2、学会运用正方形的性质与判定进行简单的计算与证明． 课标要求：探索并证明正方形的性质与判定定理． 二、温馨提示——方法得当、事半功倍 学习重点：记忆正方形的定义，正方形的性质与判定. 学习难点：学会运用正方形的性质与判定进行简单的计算与证明. 三、课前热身——激发兴趣、温故知新 1. 菱形的性质：⑴ 菱形的四条边都______；⑵ 菱形的对角线互相_______． 2. 菱形的判定：⑴ 有一组______相等的平行四边形是菱形；⑵ 四边都_____的四边形是菱形； ⑶ 对角线互相_______的平行四边形是菱形． 3. 矩形的性质：⑴ 矩形的四个角都是_____；⑵ 矩形的对角线_______． 4. 矩形的判定：⑴ 有一个角是______的平行四边形叫做矩形；⑵ 有三个角是直角的四边形是矩形； ⑶ 对角线______的平行四边形是矩形． 四、课堂探究——质疑解疑、合作探究 探究点正方形的定义 图中的四边形都是特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ ( 2 2 2 .5 2 .5 3 3 ) 正方形的定义：有一组邻边______，并且有一个角是______的平行四边形叫做正方形 探究点正方形的性质 ⑴ 正方形是矩形吗？是菱形吗？⑵ 你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流． 正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质． 正方形性质定理1： 正方形的四个角都是______，四条边_______． 正方形性质定理2： 正方形的对角线______且互相垂直平分． 【例题】如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF． 求证：BE⊥DF． 【练习】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G． ⑴ 求证：BE＝AF；⑵ 若AB＝4，DE＝1，求AG的长． 正方形有几条对称轴？ 探究点正方形的判定 满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同伴交流． 正方形判定定理1：有一个角是直角的菱形是正方形．正方形判定定理2：对角线相等的菱形是正方形． 正方形判定定理3：邻边相等的矩形是正方形．正方形判定定理4：对角线垂直的矩形是正方形． 【例题】如图 ，在矩形 ABCD中，BE平分 ∠ ABC，CE平分 ∠DCB，BF∥CE，CF∥BE． 求证：四边形BECF是正方形． 【练习】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACB的平分线交AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F. 求证：四边形DFCE是正方形． 探究点中点四边形 我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形．那么，任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明 ⑴ 以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜， 再证明．如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？ ⑵ 以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系？有怎样的关系？ 【例题】1．顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是（ ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 2. 顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是（ ） A．平行四边形 B．对角线相等的四边形 C．矩形 D．对角线互相垂直的四边 【练习】1. 如果一个四边形的对角线相等，顺次连接该四边形四条边的中点，可以得到（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D． 正方形 2. 顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得到的四边形一定是（ ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．普通四边形 第一章 特殊的平行四边形 第一章 特殊的平行四边形 第 26 页 第 25 页 学科网（北京）股份有限公司 五、巩固提升——有效训练、反馈矫正 1．如图1，P为边长为1的正方形ABCD内的一点，△PAB为等边三角形，则S△ADP+S△BPC＝_______． ( 图 1 图 2 ) 2．如图2，E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，∠ADE＝75°，则∠AEB的度数为________． 3. 如图，四边形ABCD是正方形，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF． ⑴ 求证：四边形BEDF是菱形； ⑵ 若AC＝8，AE＝2，求四边形BEDF的周长． 4.如图3，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，BE＝1，F为AB上一点，AF＝2，P为AC上一点，则PF+PE的最小值为______． ( 图 3 图 4 ) 5．如图4，在正方形ABCD中，∠DAF＝25°，AF交对角线BD于E 点，则∠BEC的度数为_____． 6. 如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，BE＝，M是对角线BD上的一点（∠EMB是锐角），连接EM，EM＝5，过点M作MN⊥EM交BC边于点N．过点N作NH⊥BD于H，求△HMN的面积． ( 六 、学后记---反思静悟、体验成功 ) $$