第十章 空间直线与平面重难点检测卷 -2024-2025学年高二数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第三册）

第十章 空间直线与平面重难点检测卷 学校：________姓名：________班级：________考号：________ 注意事项： 本试卷满分150分，试题共21题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高二上·上海·课前预习）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线 ． 2．（2023高二上·上海·专题练习）若是异面直线，直线，则c与b的位置关系是 . 3．（23-24高二上·上海金山·期中）在正方体中，异面直线与所成的角的大小为 ． 4．（23-24高二上·上海黄浦·期中）已知正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离是 . 5．（23-24高二上·上海浦东新·期中）在正方体中，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是 . 6．（23-24高二上·上海·阶段练习）在空间四边形中，，且，若分别为的中点，则 . 7．（23-24高一下·上海·期末）在平面上画条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设条直线将平面分成了个区域，那么条直线可把平面分成 个区域． 8．（24-25高二上·上海·课后作业）给出命题“已知点A、B都在直线l上，若A、B都在平面上，则直线l在平面上”，试用符号语言表述这个命题： ，该命题为 命题. 9．（24-25高二上·上海·随堂练习）在长方体中，底面ABCD是边长为1的正方形，异面直线与CD所成角为，则到底面ABCD的距离为 10．（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，分别是正方形的中心，在线段上，，则过点的正方体的截面的面积是 ． 11．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，已知二面角且，A到平面的距离为，A到l的距离为4，则此二面角的大小为 ． 12．（24-25高二·上海·假期作业）如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是 . （1） （2）  （3）      （4） 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（22-23高一下·上海奉贤·阶段练习）过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（        ） A．六边形 B．正方形 C．对角线不相等的菱形 D．三角形 14．（24-25高二上·上海·单元测试）ABCD是空间四边形，且AB和CD成角，E、F分别是BC和AD的中点，则EF和AB所成的角是（    ） A． B． C． D．或 15．（23-24高二上·上海·期末）已知空间中，l、m、n是互不相同直线，、是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 16．（23-24高二上·上海·阶段练习）在棱长为10的正方体中，为左侧面上一点，已知点到的距离为2，点到的距离为3，则过点且与平行的直线交正方体于两点，则点所在的平面是（    ）    A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．    18．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，分别为正方体的棱的中点．求证：． 19．（24-25高二上·上海·课后作业）如图所示，为所在平面外一点，M、N、G分别为、、的重心．试判断平面与平面的关系，并说明理由． 20．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，边长为a的正六边形ABCDEF在平面内，，．求： (1)P到CD的距离； (2)P到BC的距离． 21．（24-25高二上·上海·课堂例题）在空间四边形ABCD中，，，E、F分别是AD、BC的中点．求证：线段EF是异面直线AD，BC的公垂线． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 空间直线与平面重难点检测卷 学校：________姓名：________班级：________考号：________ 注意事项： 本试卷满分150分，试题共21题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高二上·上海·课前预习）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线 ． 【答案】平行 【分析】由面面平行的判定定理，即可得到结果. 【详解】由面面平行的判定定理可知，如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 故答案为：平行 2．（2023高二上·上海·专题练习）若是异面直线，直线，则c与b的位置关系是 . 【答案】相交或异面 【分析】利用异面直线的定义与平面相关定理即可得解. 【详解】因为是两条异面直线，直线， 所以过b任一点可作与a平行的直线c，此时c与b相交； 另外，c与b不可能平行，理由如下： 若，则由可得到，这与a，b是两条异面直线矛盾，故c与b异面； 综上，c与b的位置关系是相交或异面. 故答案为：相交或异面． 3．（23-24高二上·上海金山·期中）在正方体中，异面直线与所成的角的大小为 ． 【答案】 【分析】利用平移求异面直线所成角即可. 【详解】 在正方体中， 可将直线平移到直线, 故异面直线与所成的角即与所成的角. 且四边形为正方形， 所以. 故异面直线与所成的角为： 故答案为： 4．（23-24高二上·上海黄浦·期中）已知正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离是 . 【答案】 【分析】由题意直线与的距离，即为点到的距离，然后求出点到的距离即可． 【详解】在正方体中，平面， 所以直线与的距离即为点到的距离， 又因为正方形的对角线为，且， 所以点到的距离为， 即异面直线与之间的距离是. 故答案为：． 5．（23-24高二上·上海浦东新·期中）在正方体中，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是 . 【答案】相交 【分析】利用平面的性质结合图形可得答案. 【详解】在正方体中，易知，且， 即四边形是平行四边形， 又平面， 在同一平面中，，所以直线与直线相交. 故答案为：相交    6．（23-24高二上·上海·阶段练习）在空间四边形中，，且，若分别为的中点，则 . 【答案】 【分析】取，，的中点，，，由中位线的性质可得，，再由勾股定理即可求得. 【详解】分别取，，的中点，，，连接，，， 则，，.    又，即. . 故答案为：. 7．（23-24高一下·上海·期末）在平面上画条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设条直线将平面分成了个区域，那么条直线可把平面分成 个区域． 【答案】/ 【分析】根据题意，依次分析的值，由此类推，归纳可得答案. 【详解】条直线把平面分成个区域，条直线把平面分成个区域，则有， 同理，条直线把平面分成个区域，则有， 条直线把平面分成个区域，则有， 条直线把平面分成个区域，则有， 依次类推，第条直线与前条直线都相交， 则第条直线有个交点，被分为段，每段都会把对应的平面分为两部分， 则增加了个平面，即． 故答案为：. 8．（24-25高二上·上海·课后作业）给出命题“已知点A、B都在直线l上，若A、B都在平面上，则直线l在平面上”，试用符号语言表述这个命题： ，该命题为 命题. 【答案】 已知，，若，，则 真 【分析】略 【详解】略 9．（24-25高二上·上海·随堂练习）在长方体中，底面ABCD是边长为1的正方形，异面直线与CD所成角为，则到底面ABCD的距离为 【答案】 【分析】由异面直线所成的角可求得长方体的高，即可得出结果. 【详解】如下图所示： 由长方体性质可知与平行， 所以即为异面直线与CD所成的角，即， 又因为为直角三角形，， 又，所以； 可得， 易知到底面ABCD的距离为. 故答案为： 10．（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，分别是正方形的中心，在线段上，，则过点的正方体的截面的面积是 ． 【答案】 【分析】根据题意，作出截面图形，进而求解即可. 【详解】取中点，中点，中点，中点， 因为，所以截面为矩形，且，， 所以截面的面积是. 故答案为：. 11．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，已知二面角且，A到平面的距离为，A到l的距离为4，则此二面角的大小为 ． 【答案】/ 【分析】根据二面角的定义，结合勾股定理进行求解即可. 【详解】 作于点O，平面于点B，连接， ∵于点B，，， 又，且两直线在平面内 ，平面， 平面，∴，∴∠AOB即为二面角的平面角， 易知，，，， 因为二面角的平面角的范围是，∴， 即二面角的大小为． 故答案为： 12．（24-25高二·上海·假期作业）如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是 . （1） （2）  （3）      （4） 【答案】（1）（3） 【分析】对（1）（3）利用线面平行的判定定理即可判断；对（2），将平面扩展，即可得出与平面相交；对（4），由，而与平面相交，可知与平面相交. 【详解】对于（1），平面，平面， 所以直线与平面平行，正确； 对于（2），如图，取正方体所在棱的中点G，连接并延长，交延长线于H， 则与平面相交于点H，错误； 对于（3），，平面，平面， 所以直线与平面平行，正确； 对于（4），如图取底面中心，连接， 由于为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 因为与平面相交,所以直线与平面相交，错误. 故答案为：（1）（3） 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（22-23高一下·上海奉贤·阶段练习）过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（        ） A．六边形 B．正方形 C．对角线不相等的菱形 D．三角形 【答案】D 【分析】根据截面经过几个面得到的截面就是几边形判断即可． 【详解】过正方体中心的平面截正方体所得的截面，至少与正方体的四个面相交，所以不可能是三角形． 故选：D． 14．（24-25高二上·上海·单元测试）ABCD是空间四边形，且AB和CD成角，E、F分别是BC和AD的中点，则EF和AB所成的角是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】取中点，连结，推导出是异面直线与所成的角（或所成角的补角），或，由，得是异面直线和所成的角，由此能求出异面直线和所成的角． 【详解】 取中点，连结， ∵在空间四边形中，，，且异面直线与所成的角为， 分别为边和的中点， 且 且， 是异面直线AB与CD所成的角（或所成角的补角）， ∵异面直线与所成的角为， ∴或， ∵，得是异面直线和所成的角， 当时， ， 当时，， ∴异面直线和所成的角为或. 故选：D. 15．（23-24高二上·上海·期末）已知空间中，l、m、n是互不相同直线，、是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】对A、B、C选项，可通过找反例排除，对D选项，可结合线面平行的性质及面面垂直的判定定理得到. 【详解】对A选项：若，，，则可能与平行或异面，故A错误； 对B选项：若，，则与可能平行或相交，故B错误； 对C选项：若，，，，可能， 此时与可能平行或相交，故C错误； 对D选项：若，则必存在直线，使， 又，则，又，则，故D正确. 故选：D. 16．（23-24高二上·上海·阶段练习）在棱长为10的正方体中，为左侧面上一点，已知点到的距离为2，点到的距离为3，则过点且与平行的直线交正方体于两点，则点所在的平面是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线面平行的判定定理性质定理和面面平行的判定定理和性质定理作图可以得到点，进而做出判定． 【详解】   由点到的距离为2，点到的距离为3， 可得P在内，过P作，且，， 又平面，平面，所以平面， 在平面中，过F作，交于G，， 又平面，平面，所以平面， 且，平面，则平面平面． 连接，交于M，连接， ∵平面平面，平面平面， 平面平面，∴． 在中，过P作，且，则． ∵线段在四边形内，Q在线段上， ∴Q在四边形内． 故选：D． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．    【答案】答案见解析 【分析】根据作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面即可求解. 【详解】如图，    连接MP并延长交DC的延长线于E，连接NE交BC于G，连接PG，延长PM交的延长线于F，连接NF交于H，连接MH， 则五边形MHNGP为过M、N，P三点的平面截正方体所得的截面． 18．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，分别为正方体的棱的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先根据平行四边形的判定得四边形为平行四边形推得．再根据平行的传递性有，从而得到，，最后根据两角两边同向且平行得证. 【详解】连接，根据条件分别为棱的中点可知， 四边形为平行四边形． 又， 所以四边形是平行四边形， 所以，同理． 又与∠CEB两边的方向相同， 因此． 19．（24-25高二上·上海·课后作业）如图所示，为所在平面外一点，M、N、G分别为、、的重心．试判断平面与平面的关系，并说明理由． 【答案】平行，理由见解析 【分析】构造线线平行，得到线面平行，再根据线面平行，推出线线平行. 【详解】理由如下：如图，连接、、并分别延长交、、于P、F、H． ∵M、N，G分别为、、的重心，则有． 连接、，，有． 又平面，不在平面上， ∴平面．同理平面． 又，、平面， ∴平面平面． 20．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，边长为a的正六边形ABCDEF在平面内，，．求： (1)P到CD的距离； (2)P到BC的距离． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明出平面从而证明出结合勾股定理求解即可. （2）过点A作BC的垂线交CB的延长线于点Q，连接PQ．则即为P到BC的距离，结合勾股定理求解即可. 【详解】（1）连接AC、PC，因为在正六边形中，所以则 则则． ∵平面，平面， ∴，而，面 ∴平面PAC,又面则． 因为，面，所以, 所以在直角三角形PAC中，，， 根据勾股定理可知， 即P到CD的距离为2a． （2）过点A作BC的垂线交CB的延长线于点Q，连接PQ． 因为，面，所以, 又因为面 所以面 又面 所以所以P到BC的距离为线段的长度. 又面所以 所以在直角三角形PAQ中，，， 根据勾股定理可知， ∴P到BC的距离为． 21．（24-25高二上·上海·课堂例题）在空间四边形ABCD中，，，E、F分别是AD、BC的中点．求证：线段EF是异面直线AD，BC的公垂线． 【答案】证明见解析 【分析】利用三角形全等得，进而可得，同理可证，即可得证. 【详解】连接AF、DF、BE、CE． 在△ABD和△ACD中，，，． ∴．又E是AD中点， ∴． 在△BEC中，又F是BC的中点， ∴． 同理， ∴EF是异面直线AD、BC的公垂线． 学科网（北京）股份有限公司 $$