第十一章 简单几何体重难点检测卷 -2024-2025学年高二数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第三册）

第十一章 简单几何体重难点检测卷 学校：________姓名：________班级：________考号：________ 注意事项： 本试卷满分150分，试题共21题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（2023高二上·上海·专题练习）棱长都是3的三棱锥的高等于 . 2．（23-24高二上·上海·期末）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则该圆柱的全面积为 ． 3．（23-24高二上·上海崇明·期中）一个圆台的两个底面半径分别为1和2，高为1，则该圆台的体积为 ． 4．（2024·上海·一模）已知圆柱底面圆的周长为，母线长为4，则该圆柱的体积为 ． 5．（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是 ． 6．（23-24高二上·上海·阶段练习）空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点F，G分别是AD，DC的中点，则的值为 ． 7．（23-24高二上·上海·阶段练习）棱锥被一平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的高与体积时，相应的截面面积分别为，，则 . 8．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，，若直线与平面所成角的大小为，则该四棱柱的体积为 . 9．（24-25高二上·上海·单元测试）有一根长为hcm，底面半径为rcm的圆柱形铁管，用一段铁丝在该圆柱的侧面上缠绕3圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，若铁丝长度的最小值为20cm，则圆柱侧面积的最大值为 ． 10．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图为半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC中点，则点E、F在该球面上的球面距离为 ．    11．（24-25高二上·上海·假期作业）如图所示，有一个很漂亮的中心球状建筑引起了小明的注意，为了测量球的半径，小明设计了一个方案：构造正三棱柱侧面均与球相切如图所示，底面边长约为30米，估计此时球的完整表面积为 平方米.        12．（23-24高二上·上海·期末）在立体几何讲授圆锥之前，为了让同学们对圆锥有直观的认识，善于动手的老师用铁皮自制一个无盖的圆锥形密封容器.当老师聚精会神做好该密封容器后，发现正在下雨，猛然想起气象学上用24小时内的降水在平地上的积水厚度来判断降雨程度，其中小雨､中雨､大雨､暴雨，勤于思考的老师用刚刚做好的这个圆锥形容器接了24小时的雨水，得到雨水数据如图所示，请你帮他判断一下这天降雨属于哪个等级？ .    二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（23-24高二上·上海青浦·期末）球的两个平行截面面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 14．（23-24高二上·上海静安·期中）如图在一根长11，外圆周长6的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为（    ）    A．61 B． C． D． 15．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，在棱长为3的正方体中，M为线段上的动点，则三棱堆的体积为（    ）（参考结论：若一条直线与一个平面平行，则该直线上的动点到此平面的距离是一个定值）    A．3 B． C．9 D．与M点的位置有关 16．（23-24高二上·上海闵行·期中）将3个的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为的正六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（    ）    A． B．864 C．576 D． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直四棱柱的棱长均为2，，求以为球心，半径为的球面与侧面的交线的长． 18．（24-25高二上·上海·随堂练习）一座底是长方形、屋顶是正三棱柱的仓库，尺寸如图标注（单位：米），求这座仓库的容积（墙厚略去不计）．    19．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的母线长是3cm，圆台的上底面半径为1cm，求圆台的高． 20．（24-25高二上·上海·课堂例题）在正方体中，E、F、M分别为棱AD、AB、的中点，现从顶点A处截去三棱锥，仿此同样方式，在顶点B、C、D、、、、处各截去一个三棱锥，设剩下的几何体为， (1)几何体是几面体？共有多少条棱？（直接写出结论，不需要说明理由） (2)若正方体的棱长为2，求几何体的表面积． 21．（23-24高二上·上海·阶段练习）如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为. (1)求该半球的体积； (2)若从半球中把正四棱锥挖去，求所得几何体的表面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 简单几何体重难点检测卷 学校：________姓名：________班级：________考号：________ 注意事项： 本试卷满分150分，试题共21题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（2023高二上·上海·专题练习）棱长都是3的三棱锥的高等于 . 【答案】 【分析】顶点P在底面上的射影为，在直角三角形中，利用勾股定理求棱锥的高. 【详解】如图，三棱锥棱长都是3， 设顶点P在底面上的射影为，则是等边的中心， 为外接圆半径，， 则在直角三角形中，， 所以三棱锥的高， 故答案为： 2．（23-24高二上·上海·期末）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则该圆柱的全面积为 ． 【答案】 【分析】利用圆柱的全面积公式求解. 【详解】由圆柱的全面积公式得：， 故答案为： 3．（23-24高二上·上海崇明·期中）一个圆台的两个底面半径分别为1和2，高为1，则该圆台的体积为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用圆台的体积公式计算即得. 【详解】由圆台的两个底面半径分别为1和2，高为1，得该圆台的体积. 故答案为： 4．（2024·上海·一模）已知圆柱底面圆的周长为，母线长为4，则该圆柱的体积为 ． 【答案】 【分析】根据条件，直接求出，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果. 【详解】设圆柱的底面半径为，所以，得到， 又圆柱的母线长为，所以圆柱的体积为， 故答案为：. 5．（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【分析】借助扇形弧长公可计算出圆锥母线长，结合扇形面积公式即可得圆锥侧面积. 【详解】设圆锥母线长为l，扇形圆心角为，则，故， 则. 故答案为：. 6．（23-24高二上·上海·阶段练习）空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点F，G分别是AD，DC的中点，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】根据三角形中位线求出的长，即可求得答案. 【详解】如图，由于点F，G分别是AD，DC的中点， 所以， 所以. 故答案为： 7．（23-24高二上·上海·阶段练习）棱锥被一平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的高与体积时，相应的截面面积分别为，，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用棱锥平行于底面的截面性质，把分别用底面面积表示即可得解. 【详解】如图，平行于锥体底面的截面与锥体的高，棱分别交于点， 显然平面平面，令截面面积为，锥体底面面积为 有，且与方向相同，则， 同理，于是∽，有， 而，则，由比例的性质可得， 此时，截得的锥体的体积与原锥体的体积有：， 当截面平分棱锥的高时，，即， 当截面平分棱锥的体积时，，则， 所以. 故答案为：. 8．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，，若直线与平面所成角的大小为，则该四棱柱的体积为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合底面，得到，求得直四棱柱的高，结合棱柱的体积公式，即可求解. 【详解】由底面是边长为2的菱形，且，可得为等边三角形， 所以，所以底面菱形的面积为, 又由直四棱柱中，可得底面， 所以直线与平面所成角的大小为，即， 在直角中，可得， 即直四棱柱的高， 所以直四棱柱的体积为. 故答案为：. 9．（24-25高二上·上海·单元测试）有一根长为hcm，底面半径为rcm的圆柱形铁管，用一段铁丝在该圆柱的侧面上缠绕3圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，若铁丝长度的最小值为20cm，则圆柱侧面积的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】将圆柱侧面展开可知铁丝长度的最小值等于直角边分别为h，的直角三角形的斜边长，然后通过基本不等式及圆柱侧面积公式即得. 【详解】若铁丝长度的最小值为20cm，则， 所以，所以侧面积为， 所以圆柱侧面积的最大值为． 故答案为: 10．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图为半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC中点，则点E、F在该球面上的球面距离为 ．    【答案】 【分析】先求出的长度，再求出大圆中对应的圆心角的弧度数，从而可求球面距离. 【详解】    如图，在平面内过点作，在平面内过作，垂足分别为，连接， 在扇形中，为大圆弧的中点，则，且， 同理可得， ∴ 在中，， 在平面中，由，，则， 同理可证，故，即四边形为平行四边形， ∴ ，故为等边三角形，故， ∴ 点在该球面上的球面距离为. 故答案： 11．（24-25高二上·上海·假期作业）如图所示，有一个很漂亮的中心球状建筑引起了小明的注意，为了测量球的半径，小明设计了一个方案：构造正三棱柱侧面均与球相切如图所示，底面边长约为30米，估计此时球的完整表面积为 平方米.        【答案】 【分析】借助于截面，结合等边三角形分析可知球的半径，进而可得表面积. 【详解】过球心作与正三棱柱底面平行的截面，如图， 则，，可得， 即球的半径，  所以球的表面积. 故答案为：. 12．（23-24高二上·上海·期末）在立体几何讲授圆锥之前，为了让同学们对圆锥有直观的认识，善于动手的老师用铁皮自制一个无盖的圆锥形密封容器.当老师聚精会神做好该密封容器后，发现正在下雨，猛然想起气象学上用24小时内的降水在平地上的积水厚度来判断降雨程度，其中小雨､中雨､大雨､暴雨，勤于思考的老师用刚刚做好的这个圆锥形容器接了24小时的雨水，得到雨水数据如图所示，请你帮他判断一下这天降雨属于哪个等级？ .    【答案】中雨 【分析】先利用圆锥的体积公式求得水的体积，再利用圆柱的体积公式求得高即可. 【详解】解：由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥， 积水厚度， 这天降雨属于中雨. 故答案为：中雨. 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（23-24高二上·上海青浦·期末）球的两个平行截面面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题设知较近的截面圆半径为，另一个截面圆半径为，结合截面圆半径与球体半径、球心与截面距离关系列方程求球体半径，即得结果. 【详解】令球心到较近的截面距离为，则到另一个截面距离为，且球的半径为， 易知较近的截面圆面积为，另一个截面圆面积为， 所以较近的截面圆半径为，另一个截面圆半径为， 由截面圆半径与球体半径、球心与截面距离关系知：， 所以，故，则球的直径为6. 故选：D 14．（23-24高二上·上海静安·期中）如图在一根长11，外圆周长6的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为（    ）    A．61 B． C． D． 【答案】A 【分析】将立体图形展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出． 【详解】圆柱形柱体的高为11，外圆周长6， 又铁丝在柱体上缠绕10圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端， 则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形如下图示： 其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长6，高为圆柱的高11， 则大矩形的对称线即为铁丝的长度最小值． 此时铁丝的长度最小值为：． 故选：A．    15．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，在棱长为3的正方体中，M为线段上的动点，则三棱堆的体积为（    ）（参考结论：若一条直线与一个平面平行，则该直线上的动点到此平面的距离是一个定值）    A．3 B． C．9 D．与M点的位置有关 【答案】B 【分析】利用等体积法及三棱锥的体积公式即得． 【详解】根据题意，可以用等体积法，. ，. 故选：B． 16．（23-24高二上·上海闵行·期中）将3个的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为的正六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（    ）    A． B．864 C．576 D． 【答案】B 【分析】折成多面体以后，将其补形为正方体，其体积是正方体的一半，计算即可. 【详解】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②， 所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为， 故    故选： 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直四棱柱的棱长均为2，，求以为球心，半径为的球面与侧面的交线的长． 【答案】 【分析】取的中点为点E，的中点为点F，的中点为点G，连接，则由已知可得侧面，由球的半径为，，得，则可得侧面与球面的交线是扇形EFG的弧，从而可求得答案. 【详解】如图，取的中点为点E，的中点为点F，的中点为点G，连接， 因为，直四棱柱的棱长均为2， 所以为等边三角形，所以，， 又四棱柱为直四棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 因为，侧面，所以侧面， 设P为侧面与球面的交线上的点，则， 因为球的半径为，，所以， 所以侧面与球面的交线上的点到E的距离为， 因为，所以侧面与球面的交线是扇形EFG的弧． 因为，所以， 所以根据弧长公式可得． 18．（24-25高二上·上海·随堂练习）一座底是长方形、屋顶是正三棱柱的仓库，尺寸如图标注（单位：米），求这座仓库的容积（墙厚略去不计）．    【答案】立方米． 【分析】根据三棱柱和长方体的体积公式求解即可. 【详解】下部长方体的体积（立方米）， 上部正三棱柱的体积（立方米）， 仓库的容积（立方米）． 故答案为：立方米． 19．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的母线长是3cm，圆台的上底面半径为1cm，求圆台的高． 【答案】 【分析】由圆锥平行于底面的截面的性质求解． 【详解】∵用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1：16， ∴圆台的上、下底面半径之比是1：4． ∵截去的圆锥的母线长是3cm，圆台的上底面半径为1cm， ∴圆台的下底面半径为4cm．作大圆锥的轴截面如图， 设圆台的母线长为y，由，得，解得． ∴圆台的高． 20．（24-25高二上·上海·课堂例题）在正方体中，E、F、M分别为棱AD、AB、的中点，现从顶点A处截去三棱锥，仿此同样方式，在顶点B、C、D、、、、处各截去一个三棱锥，设剩下的几何体为， (1)几何体是几面体？共有多少条棱？（直接写出结论，不需要说明理由） (2)若正方体的棱长为2，求几何体的表面积． 【答案】(1)几何体是十四面体，几何体共有24条棱 (2) 【分析】（1）根据题意可知：几何体是由6个全等的正方形面和8个全等的三角形面构成，即可得结果； （2）根据题意结合（1）中结论分析求解. 【详解】（1）几何体是由6个全等的正方形面和8个全等的三角形面构成， 所以几何体是十四面体，几何体共有24条棱． （2）图形可知几何体的各条棱长均为，    6个全等的正方形面的总面积为； 8个全等的三角形面的总面积为． 所以几何体的表面积． 21．（23-24高二上·上海·阶段练习）如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为. (1)求该半球的体积； (2)若从半球中把正四棱锥挖去，求所得几何体的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据球的半径与正四棱锥棱长关系，求出球的半径，进而求出半球的体积. （2）根据几何体的特征，求出半球的表面积，求出棱锥的侧面积和底面积，即可求得几何体的表面积. 【详解】（1）连接交点为，设球的半径为， 由题意可知，则， 四棱锥的体积为，解得， 则该半球的体积为；    （2）由题意知， 所得几何体的表面积为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$