第二章 等式与不等式重难点检测卷 -2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第一册）

第二章 等式与不等式重难点检测卷 学校：________姓名：________班级：________考号：________ 注意事项： 本试卷满分150分，试题共21题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）满足的x的取值范围为 ． 3．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）已知方程的两个根为，则= . 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）如果不等式的解集为，那么a的取值范围是 ． 5．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）对任意实数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 6．（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）已知关于的方程有两个正根，则实数的取值范围是 . 7．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知都是实数，一元二次方程有两个非零实根，且，则= . 8．（23-24高一下·上海·开学考试）对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 9．（23-24高一上·上海·期末）已知关于的方程解集为，则“关于的不等式的解集是 ”是 命题（填“真”或“假”） 10．（24-25高一上·上海·单元测试）甲、乙两人解关于x的不等式，甲写错了常数b，得到的解集为，乙写错了常数c，得到的解集为．那么原不等式中b，c的值依次为 ，解集为 ． 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，则此三角形面积，这是著名的海伦公式．已知△ABC的周长为9，，则的值为 ，△ABC的面积的最大值为 ． 12．（23-24高二上·上海·期末）已知关于的方程有且仅有一个实数根，其中实数，且，若，则的可能取值共有 种.（请用数字作答） 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 14．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知都是实数，实数满足，实数满足，判断以下哪个选项正确（   ） A．对任意的实数、，恒有成立 B．若，则 C．若，则， D．不存在实数、，使得 15．（24-25高一上·上海·课后作业）若，则下列结论中正确的是（    ） A．不等式和均不能成立 B．不等式和均不能成立 C．不等式和均不能成立 D．不等式和均不能成立 16．（23-24高一上·上海·期中）下列命题中错误的是（    ） A．当时，一定成立 B．若实数x，y满足，则 C．对任意，都有 D．对任意，都有 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）解不等式组: 18．（24-25高一上·上海·课后作业）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）比较下列各组中两式的大小： (1)已知，试比较与的大小； (2)已知，比较与的大小． 20．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知. (1)若a与b均为正数，求的最大值，并指出取最大值时a与b的值； (2)若a与b均为负数，求的最小值. 21．（24-25高一上·上海·随堂练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，假设①甲、乙各加同一种汽油两次；②两人第一次加油的油价均为x，第二次加油的油价均为y且；③乙每次加满油箱加入的油量都为a升．就加油两次来说，甲、乙谁更合算？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 等式与不等式重难点检测卷 学校：________姓名：________班级：________考号：________ 注意事项： 本试卷满分150分，试题共21题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】先由得到或；再将分式不等式转化为一元二次不等式，求解，即可得出结果. 【详解】由可得或， 即或； 等价于或， 解得或； 即原不等式的解集为： 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）满足的x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】转化为，然后求解每一个不等式，再求解集的交集即可. 【详解】由，得， 由，得，，解得， 由，得，解得， 所以，或， 所以原不等式组的解集为. 故答案为： 3．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）已知方程的两个根为，则= . 【答案】3 【分析】将所求式子适当变形结合韦达定理即可求解. 【详解】由题意结合韦达定理有，所以. 故答案为：3. 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）如果不等式的解集为，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式解法分类讨论求解即可. 【详解】当时，； 当时，不等式无解； 当时，，故． 故答案为：. 5．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）对任意实数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先若满足不等式恒成立，即，利用绝对值三角不等式求最小值，最后解不等式求的取值范围. 【详解】， 若满足不等式对于任意实数x恒成立， 即 ，即或 ， 解得：. 故答案为：. 6．（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）已知关于的方程有两个正根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合一元二次方程、判别式、根与系数关系求得正确答案. 【详解】由于关于的方程有两个正根， 所以，解得. 故答案为： 7．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知都是实数，一元二次方程有两个非零实根，且，则= . 【答案】 【分析】由根与系数关系得，再由及已知即可求值. 【详解】由题设，且， 而，，则. 故答案为： 8．（23-24高一下·上海·开学考试）对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】借助换元法，令，则原不等式可化为，化简可得，又表示点到的距离，表示点到的距离，，即直线上任意两不同点到原点的距离之和大于，结合，数形结合即可得解. 【详解】恒成立，恒成立， 令且， ，且恒成立， ， ， 又表示点到的距离， 表示点到的距离，， 即直线上任意两不同点到原点的距离之和大于， 当最小时，即且， 此时， 又，可取， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 9．（23-24高一上·上海·期末）已知关于的方程解集为，则“关于的不等式的解集是 ”是 命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】由已知条件可得且，分、两种情况解不等式，即可得出结论. 【详解】因为关于的方程解集为，则，即，且， 由得， 当时，解原不等式可得，此时不等式的解集为； 当时，解原不等式可得，此时不等式的解集为. 故原命题为假命题. 故答案为：假. 10．（24-25高一上·上海·单元测试）甲、乙两人解关于x的不等式，甲写错了常数b，得到的解集为，乙写错了常数c，得到的解集为．那么原不等式中b，c的值依次为 ，解集为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出常数b，c，再解一元二次不等式即可. 【详解】依题意，根据韦达定理有，，即，， 因此不等式为：，解得， 所以原不等式的解集为． 故答案为：，. 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，则此三角形面积，这是著名的海伦公式．已知△ABC的周长为9，，则的值为 ，△ABC的面积的最大值为 ． 【答案】 2 . 【分析】由海伦公式及基本不等式求解即可 【详解】解：，， 则周长， 故； ． 等号成立时，，即， 故答案为：2， 12．（23-24高二上·上海·期末）已知关于的方程有且仅有一个实数根，其中实数，且，若，则的可能取值共有 种.（请用数字作答） 【答案】 【分析】根据的取值进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】，当时等号成立， ，当时等号成立， 画出的大致图象如下图所示， 由题意可得，与和与的间隔相等， 记的一个取值为， 若和间隔为，且， 则可能取值有，共种， 若和间隔为，且， 则可能取值有，共种， 所以总的可能有种. 故答案为： 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出每一个不等式，然后由不等式组整数解只有，列出关于的不等式组，从而可求出的取值范围. 【详解】解集为， 当时， 的解集为， 因为关于x的不等式组的整数解只有， 所以，即， 当时，的解集为空集，不满足题意， 当时，的解集为，不满足题意， 综上，的取值范围. 故选：D 14．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知都是实数，实数满足，实数满足，判断以下哪个选项正确（   ） A．对任意的实数、，恒有成立 B．若，则 C．若，则， D．不存在实数、，使得 【答案】A 【分析】利用绝对值三角不等式可判断A选项；绝对值三角不等式成立的条件可判断BC选项；取可判断D选项. 【详解】对于A选项，由绝对值三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立，A对； 对于B选项，由A选项可知，当时，，即， 则不一定成立，B错； 对于C选项，由A选项可知，当时，，即， 则，不一定成立，C错； 对于D选项，取，则，D错. 故选：A. 15．（24-25高一上·上海·课后作业）若，则下列结论中正确的是（    ） A．不等式和均不能成立 B．不等式和均不能成立 C．不等式和均不能成立 D．不等式和均不能成立 【答案】B 【分析】利用不等式的性质结合已知条件逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，所以，即成立， 因为，所以，，所以，所以， 所以不成立，所以A错误， 对于B，由选项A可知不成立， 因为，所以，，所以，， 所以，所以，所以不成立，所以B正确， 对于CD，因为，所以， 所以，所以， 所以成立，所以CD错误， 故选：B 16．（23-24高一上·上海·期中）下列命题中错误的是（    ） A．当时，一定成立 B．若实数x，y满足，则 C．对任意，都有 D．对任意，都有 【答案】B 【分析】A项利用基本不等式进行判断；B项取特殊值判断；C、D项利用作差判断. 【详解】解：对于A项，由，等号成立时，，而，则成立，故A项正确； 对于B项，因为实数x，y满足，取，则， 故B错误； 对于C项，因为 ，等号成立时，，故C项正确； 对于D项，因为，故D项正确. 故选：B 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）解不等式组: 【答案】 【分析】分别求解绝对值不等式和方式不等式，再取其交集即可 【详解】由，得或，即或； 由，即，即，解得：或， 所以不等式组的解集为：. 18．（24-25高一上·上海·课后作业）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用因式分解法求解一元二次不等式即可； （2）（3）（4）利用配方法求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）原不等式化为，∴． 故所求不等式的解集为． （2）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． （3）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． （4）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）比较下列各组中两式的大小： (1)已知，试比较与的大小； (2)已知，比较与的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）（2）利用作差法比较大小即得. 【详解】（1）依题意，，由，得， 则，且，即， 所以． （2）依题意， ， 由，得，而，因此， 所以． 20．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知. (1)若a与b均为正数，求的最大值，并指出取最大值时a与b的值； (2)若a与b均为负数，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等式直接利用基本不等式即可得出所求的答案； （2）灵活运用1的代换，并结合基本不等式即可得出所求的答案． 【详解】（1）因为与均为正数， 所以由基本不等式可得：， 当且仅当，即 时，等号成立， 所以， 所以的最大值为． （2）因为与均为负数， 所以，， 所以， 当且仅当，即 时，等号成立， 所以 的最小值为． 21．（24-25高一上·上海·随堂练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，假设①甲、乙各加同一种汽油两次；②两人第一次加油的油价均为x，第二次加油的油价均为y且；③乙每次加满油箱加入的油量都为a升．就加油两次来说，甲、乙谁更合算？ 【答案】甲更合算 【分析】根据已知分别求甲乙油的平均单价比较即可. 【详解】两次加油的油价分别是元/升且， 甲加两次油的平均单价为元/升, 乙每次加油a升，加两次油的平均单价为元/升， 即甲的平均单价低，甲更合算． 学科网（北京）股份有限公司 $$