2.3 基本不等式及其应用（第2课时）（课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

沪教版（2020） 必修第一册 第二章 等式与不等式 2.3 基本不等式及其应用 2.3.2三角不等式 众所周知，三角形ABC的两边之和不小于第三边，即|AB|≤|AC|+|CB|,其中|AB|、|AC|、|CB|分别表示两点A与B、A与C、C与B之间的距离.这个事实是下述不等式称为三角不等式的来源.在后续向量、复数等内容的学习中，三角不等式的几何意义将十分明显. 三角不等式 证明 为证明|a+b≤|a|+|b|,只需证明|a+b|²≤(|a|+|b|)², 即a²+2ab+b²≤a²+2|ab|+b²,也即2ab≤2|ab|.这是显然的，且等号当且仅当a、b同号，即ab≥0时成立. 定理 对任意的实数a、b,有|a+b|≤|a|+|b|, 且等号当且仅当ab≥0时成立. 证明 因为2a=(a+b)+(a-b),由三角不等式可得 |2a|=|(a+b)+(a-b) ≤|a+b|+|a-b, 即|a+b|+|a-b≥2|a|. 例1 设a、b为实数，求证：|a+b|+|a-b≥2|a|. 证明 因为a=(a-b)+b,由三角不等式，有 |a|=|a-b+b≤|a-b|+|b. 因此 |a|-|b|≤|a-b|, 且等号当且仅当(a-b)b≥0,即ab≥b²时成立. 例2 设a、b为实数，求证|a|-|b|≤|a-b|,并指出等号成立的条件. 证明 因为|x-5|=|5-x|,利用三角不等式，有 |x-3|+|x-5|=|x—3|+|5-x|≥|x—3+5—x|=2, 且等号当且仅当(x—3)(5—x)≥0,即(x—3)(x—5)≤0时成立.因此，当且仅当x∈[3,5]时，等号成立. 例3 证明：|x-3|+|x-5|≥2对所有实数x恒成立，并求等号成立时x的范围. 名师点拨 绝对值三角不等式的完整形式:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|. 其中,(1)|a+b|=|a|-|b|成立的条件是ab≤0,且|a|≥|b|; (2)|a+b|=|a|+|b|成立的条件是ab≥0; (3)|a-b|=|a|-|b|成立的条件是ab≥0,且|a|≥|b|; (4)|a-b|=|a|+|b|成立的条件是ab≤0. 练一练 题型归纳 课堂练习 证明：分两种情况: (1)|a|≤|b|,结论显然成立. (2)当|a|>|b|时,因为|a2-b2|≥|a2|-|b2| =|a|2-|b|2=(|a|+|b|)(|a|-|b|) ≥|a|(|a|-|b|), 课堂小结 感谢观看 THANK YOU FOR WATCHING 定理（拓展） 如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)设ab＞0，则|a＋b|＞|a|.(　　) (2)设ab＞0，则|a＋b|＜|b|.(　　) (3)设ab＞0，则|a＋b|＜|a－b|.(　　) (4)设ab＞0，则|a＋b|＞|a－b|.(　　) 解析：因为ab＞0，所以|a＋b|＝|a|＋|b|＞|a|，故(1)正确；同理可知(2)错误；因为ab＞0，所以|a＋b|＝|a|＋|b|＞|a－b|，故(3)错误；|a＋b|＝|a|＋|b|＞|a|－|b|，故(4)正确． 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知实数a，b满足ab＜0，则下列不等式成立的是(　　) A．|a＋b|＞|a－b|　　 B．|a＋b|＜|a－b| C．|a－b|＜||a|－|b|| D．|a－b|＜|a|＋|b| 解析：因为ab＜0，所以|a＋b|＜|a－b|. 答案：B 3．若a，b∈R，则使|a|＋|b|>1成立的充分不必要条件是(　　) A．|a|≥eq \f(1,2)，且|b|≥eq \f(1,2) B．|a＋b|≥1 C．|a|≥1 D．b<－1 解析：当b<－1时，|b|>1，所以|a|＋|b|>1， 但|a|＋|b|>1 b<－1(如a＝2，b＝0)， 所以“b<－1”是“|a|＋|b|>1”成立的充分不必要条件． 答案：D 4. 给出下列命题： ①若a＞b，则|a|＞b；②若a＞b，则a2＞b2；③若|a|＞b，则a＞b；④若a＞|b|，则a＞b. 其中真命题的个数是(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 解析：容易验证①④正确，②③错误，故选B. 答案：B 5．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2，则|a＋b|的最大值是________，最小值是________． 解析：因为0≤|a＋b|≤|a|＋|b|， 所以0≤|a＋b|≤3＋2＝5. 答案：5　0 类型1　利用绝对值三角不等式证明不等式(自主研析) [典例❶]　设m等于|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|＞m时，求证：eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,x2)))＜2. 证明：因为|x|＞m≥|a|，|x|＞m≥|b|，|x|＞m≥1， 所以|x|2＞|b|，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,x2)))≤eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,x2)))＝eq \f(|a|,|x|)＋eq \f(|b|,|x|2)＜eq \f(|x|,|x|)＋eq \f(|x|2,|x|2)＝2. 所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,x2)))＜2.故原不等式成立． 1．将文字语言“m等于|a|，|b|，1中最大的一个”转化为符号语言“m≥|a|，m≥|b|，m≥1”是证明本题的关键． 2．运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放缩的方向和“尺度”，切忌放缩过度． [变式训练]　设a＞0，|x－1|＜eq \f(a,3)，|y－2|＜eq \f(a,3)，求证：|2x＋y－4|＜a. 证明：因为|x－1|＜eq \f(a,3)，|y－2|＜eq \f(a,3)， 所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|＜2×eq \f(a,3)＋eq \f(a,3)＝a. 类型2　利用绝对值三角不等式求最值 (互动探究) [典例2]　求函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值． 解：y＝|x＋1|＋|x－2|＝|x＋1|＋|2－x|≥|x＋1＋2－x|＝3， 所以y≥3. 所以函数的最小值为y＝3， 此时(x＋1)(2－x)≥0，即－1≤x≤2. 所以－1≤x≤2时，函数的最小值为3. [迁移探究1]　(变换条件，改变问法)已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a，求a的值． 解：因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3， 当且仅当－1≤x≤2时，等号成立， 所以f(x)的最小值为a＝3. [迁移探究2]　(变换条件，改变问法)对任意x∈R，求使不等式|x＋1|＋|x＋2|≥m恒成立的m的取值范围． 解：对x∈R，|x＋1|＋|x＋2|≥|(x＋1)－(x＋2)|＝1， 当且仅当(x＋1)(x＋2)≤0时，即－2≤x≤－1时取等号． 所以t＝|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1. 所以实数m的取值范围是(－∞，1]． 求f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三种方法： (1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解． (2)利用绝对值三角不等式进行“放缩”求解，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值． (3)利用绝对值的几何意义求解． 1．方程的解集为 . 2．方程的解集为 . 3．取等号的条件是 . 4．已知、且，则的最小值是 ． 5．若关于x的不等式在R上有解，则实数a的取值范围是 ； 6.设a≠0,求证≥|a|-|b|. 所以≥|a|-|b|. $$