2.5.2 等边三角形的性质和判定 学案 2024-2025学年苏科版数学八年级上册

2.5.2 等边三角形的性质和判定 学案 复习回顾：1、什么三角形是等边三角形？ 答：三边相等的三角形叫做等边三角形（或正三角形）。 2、等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，请画出对称轴。 知识点：等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴。 一、等边三角形的性质 讨论：等边三角形是特殊的等腰三角形，它除了具有等腰三角形的一切性质外，还具有什么特殊的性质？ 例1：如图，在等边△ABC中，AB=BC=AC,求∠A、∠B、∠C的度数。（课本P62） ∵AB=AC， ∴∠B=∠C ；(等边对等角) 同理∠A=∠C ； ∴∠A=∠B=∠C=60°。 （定理）性质一：等边三角形的每个内角都等于60°。 符号语言：（如上图） ∵△ABC是等边三角形 ∴ ∠A=∠B=∠C=60 °。 等边三角形性质归纳： 边 角 三角形的三线 对称性 等边三角形 三边都相等 三角都相等，都是60° 每一边上的中线、高和这一边所对角的平分线互相重合（三线合一） 轴对称图形 有3条对称轴 例2：已知，如图，BD、CE是等边△ABC的中线，BD、CE相交于点P。 （1）∠1= °、∠2= °、∠3= °、∠4= °； （2）图中相等的线段有： ； （3）图中直角三角形有： ； （4）图中等腰三角形有： 。 练习： 1-1等边三角形（正三角形）是轴对称图形，它有（ ）条对称轴 A. 1条 B. 3条 C. 无数条 D. 以上都不对 1-2如右图，△ABC是等边三角形，CD是AB边上的中线， AC=4，则BD= ，∠BCD= °。  1-3如图，已知△ABC为等边三角形，点E、D分别在边AC、BC上，且AE=CD，AD与BE相交于点O。 (1)求证:△ABE≌△CAD； (2)求∠BOD的度数。 思考： 1.如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形吗？ 2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？ 二、等边三角形的判定 判定定理：（见课本P63） （一）三个角都相等的三角形是等边三角形。 符号语言： ∵在△ABC中，∠A =∠B =∠C (已知)， ∴△ABC是等边三角形。 （2） 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 符号语言： ∵在△ABC中，∠A =60°(或∠B =60°或∠C=60°）， ∴等腰△ABC是等边三角形。 例3：如图，点A、C、E在同一条直线上，△ABC、△CDE均是等边三角形，AD与BC交于点M、BE与CD交于点N。 （1）找出图中的全等三角形，以△ACD与△BCE为例，加以证明； （2）求证：△CMN为等边三角形； （3） MN与AE的位置关系是 。（直接写答案） 总结：等边三角形的判定方法： 1、三个角都相等的三角形是等边三角形（从角思考）。 2、三条边都相等的三角形是等边三角形（从边思考）。 3、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（已知是等腰三角形时）。 练习： 2-1下列条件中，不能得到等边三角形的是(　　　)。 A． 有一个角是60°的等腰三角形 B．有两个外角是60°的三角形 C．有两个内角是60°的三角形 D．三边都相等的三角形 2-2如图，∠BAC=120°，AO平分∠BAC，且AO=1。若点E、F分别在AB，AC上，且△OEF为等边三角形，则满足上述条件的△OEF有（ ）。 A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 2-3如图, 等边△ABC中, D、E、F分别是各边上的中点。 求证：△DEF是等边三角形。 3、 达标检测： 1、已知等腰三角形的一边长为5，一个内角为60°，则它的周长是　　 A．12 B．15 C．18 D．20 2、若一个三角形有一内角为60°，且有两边相等，则这个三角形一定是　　 A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 3、在△ABC中，已知AB=AC=6,且有一个内角为60°，则边BC的长度为（ ） A．4 B．6 C．3 D．10 第4题 第5题 第6题 4、如图，在等边△ABC中，CD是△ABC的中线，过点D作DE⊥AC，交AC于点E，且AE=2，则AB长为（ ）。 A．4 B．6 C．8 D．9 5（23-24江苏徐州·期中）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD，连接DE，若DE=5，则BD= 。 6（23-24江苏徐州·期中）如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB=AD．点E、点F分别是AC，BD的中点，EF=4，则AC的长为 。 7（23-24江苏徐州·期中）如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB=DE。 （1）求证：DE∥BC； （2）若∠A=65°，∠AED=45°，求∠EBC的度数。 8（23-24江苏徐州·期中）我们定义：从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个三角形为等腰三角形，另一个三角形的三个内角与原来三角形的三个内角分别相等，则称这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”。例如，等腰直角三角形斜边上的高就是这个等腰直角三角形的一条“等角分割线”。 （1）如图1，在△ABC中，D是边BC上一点，若∠B=30°、∠BAD=∠C=40°，则AD △ABC的“等角分割线”。（填“是”或“不是”）； （2）如图2，△ABC中，∠C=90°、∠B=30°； 利用直尺和圆规，作出△ABC的“等角分割线”（保留作图痕迹，不写做法） 若BC=6，则中画出的“等角分割线”的长度为 ； （4） 在△ABC中，∠A=42°，若△ABC存在“等角分割线”CD，且△ACD是等腰三角形，试求出所有符合要求的∠ACB的度数。 学科网（北京）股份有限公司 $$