2.5.1 等腰三角形的轴对称性 学案 2024-2025学年苏科版数学八年级上册

2.5.1 等腰三角形的轴对称性 学案 复习回顾：1、什么三角形是等腰三角形？ 答：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 边：相等的两边叫做腰，另一条边叫做底边； 角：两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角。 2、等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，请画出对称轴。 知识点：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴。 一、等腰三角形的性质 性质一：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） 符号语言：（如右图） ∵在△ABC中，AB＝AC（已知）， ∴∠B＝∠C（等边对等角）。 注意：在同一个三角形中，等边对等角 例1：在△ABC中，AB＝AC。 （1）如果∠B＝50°，那么∠A＝ °，∠C＝ °。 （2）如果∠A＝80°，那么∠B＝ °，∠C＝ °。 （3）如果有一个角等于110°，那么∠A＝ °，∠B＝ °和∠C＝ °。 （4）如果有一个角等于40°，那么∠A＝ °。 （5）若两边长分别是4和5，则周长是 。 练习： 第1题 第2题 1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝75°，则∠A的度数是 。 2.如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠C＝25°，则∠B的度数为 。 3.已知等腰三角形的一边长为3cm，另一边长为6cm，则它周长是 。 性质二：等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合。 符号语言： ∵在△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2(已知)， ∴BD＝CD，AD⊥BC(等腰三角形三线合一)。 即：AD为顶角平分线→AD是底边中线和高 ∵在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD(已知)， ∴∠1＝∠2，AD⊥BC(等腰三角形三线合一)。 即：AD为底边中线→AD是顶角平分线和底边的高 ∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC(已知)， ∴BD＝CD，∠1＝∠2(等腰三角形三线合一)。 即：AD为底边的高→AD是底边中线和顶角平分线 注意：底角的平分线、腰上的中线和高不具备性质二。 例2： 在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上。 ⑴∵∠BAD＝∠CAD，∴AD⊥BC， ＝ ； ⑵∵BD＝CD，∴∠ ＝∠ ， ⊥ ； ⑶∵AD⊥BC，∴ ＝ ，∠ ＝∠ ； 练习：判断对错 （1）等腰三角形的两角相等。（ ） （2）等腰三角形的角平分线，边上的中线，边上的高都是它的对称轴。（ ） （3）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（ ） （4）等腰三角形的顶角平分线一定垂直平分底边。（ ） 二、用直尺和圆规作等腰三角形 课本P61操作： 例3：作等腰三角形△ABC，使底边BC＝，高AD＝。 1．作线段BC＝。 2．作线段BC的垂直平分线MN，MN交BC于点D（两弧法）。 3．在MN上截取线段DA，使AD＝。 4．连接AB、AC。 △ABC就是所求作的等腰三角形。 例4：（课本P61） 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD，求证: ∠ADB＝∠BAC。 要证∠ADB＝∠BAC 由于∠BAC＝∠BAD+∠CAD， ∠ADB＝∠C+∠CAD。 即要证∠BAD＝∠C。 即要找与∠BAD相等且与∠C也相等的角 练习： 2-1 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F。求证：DE＝DF。 2-2 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F。 求证：DE＝DF。 三、等腰三角形的判定 思考：写出“等腰三角形的两个底角相等”这个命题的逆命题，并判断它真命题还是假命题。 例5：如图：在△ABC中，∠B＝∠C，是说明△ABC为等腰三角形。 （见课本P62） 判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”） 基 本 图 形 等腰三角形的定义 等腰三角形的判定 ∵ ∵ ∴△ABC是等腰三角形 ∴ ∴△ABC是等腰三角形 总结： 等腰三角形的性质：1、等腰三角形是（ ）对称图形，有（ ）条对称轴。 2、 等腰三角形的（ ）相等，（ ）相等。 3、 等腰三角形的（ ）平分线、底边上的（ ）线和（ ）线重合。 练习： 3-1如图，下列推理正确吗? ∵∠1＝∠2, ∴ DC＝BC（等角对等边）。 3-2在△ABC中，∠B和∠C的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是(　 ) A.∠B＝60°，∠C＝70° B.∠B＝70°，∠C＝40° C.∠B＝30°，∠C＝80° D.∠B＝70°，∠C＝60° 四、达标检测： 1、以下列线段为边能组成等腰三角形的是（ ）。 A．2，2，4 B．6，3，3 C．4，4，5 D．1，2，1 第2题 第3题 第4题 2、已知，如图，△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，DE＝DF，则下列说法正确的有( )。 （1）AD平分∠EDF； （2）BD＝CD； （3）△EBD≌△FCD； （4）DE⊥AB。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，下列结论中不正确的是 ( 　)。 A. ∠B＝∠C B.AB＝2BD C. D是BC的中点 D. AD⊥BC 4、如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，正确的等式是（ ）。 A. AB＝AC B．∠BAE＝∠ADC C．BE＝AD D．BD＝DE 5、等腰三角形的一个内角为40°，则它的顶角的度数为 。 第6题 第7题 6、如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠C＝40°，则∠B的度数为 。 7、如图，AOB是一钢架，且∠AOB＝20°，为使钢架更加坚固，需在其内部添一些钢管EF、FM、MH……，添加的钢管长度都与OE相等，添加这样的钢管4根时，则∠AHB 的度数为 。 8、在△ABC中， AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为45°，则底角的大小为_______。 9、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，O是EF的中点。求证：DO⊥EF。    学科网（北京）股份有限公司 $$