拓展1-3 集合与常用逻辑用语高频题型专攻-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点规避（人教A版2019必修第一册）

拓展1-3集合与常用逻辑用语高频题型专攻 一、元素与集合的关系 六、根据集合的交并补求参数 二、根据元素的个数求参数 七、集合与新定义 三、利用子集关系求参数 八、充分必要条件的判断 四、集合的交并补运算 九、利用充分必要条件求参数 五、韦恩图的应用 十、全称量词命题与特称量词命题 一、元素与集合的关系 【例1】已知集合，那么（　　） A． B． C． D． 【例2】设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（1）已知集合，则集合中元素的个数为 ． （2）若，则 ． 二、根据元素的个数求参数 【例3】已知集合中仅有3个整数，则的取值范围为 ． 【例4】若集合是单元素集，则实数a的值是 . 【变式2-1】，若中至多有一个元素，则= . 【变式2-2】（多选）关于的方程的解集是单元素集，则的可能值是（    ） A．0 B．27 C．2 D． 【变式2-3】已知集合中只有一个整数元素，则实数的取值范围为 三、利用子集关系求参数 【例5】设集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【例6】已知，非空集合． (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围． 【变式3-1】已知全集，集合，，且，则实数a的取值范围是 ． 【变式3-2】已知集合，. (1)当时，求； (2)若与之间存在包含关系，求的取值范围. 【变式3-3】设集合，. (1)若，求，； (2)若是的真子集，求实数的取值范围. 四、集合的交并补运算 【例7】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【例8】已知且，，求： (1)和； (2)． 【变式4-1】若集合，，，则集合（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知集合. (1)求； (2)求. 五、韦恩图的应用 【例9】如图，已知是全集，、、是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（　　） A． B． C． D． 【例10】如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【变式5-2】已知全集，能表示集合与关系的图是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】若全集，集合及其关系用韦恩图表示如图，则图中阴影表示为（    ） A． B． C． D． 六、根据集合的交并补求参数 【例11】已知集合，或，若且，则（    ） A． B． C． D． 【例12】已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【变式6-1】已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知全集取小于20的质数，且，，，则 . 【变式6-3】已知集合，集合. (1)求； (2)设，若，求实数的取值范围. 七、集合与新定义 【例13】我们称数集为数域，当且仅当数集中的任意两个元素经过加法、减法、乘法、除法（除数不为0）四则运算后，其运算结果仍在数集中，则下列数集能称作数域的是（     ）. A．自然数集 B．整数集 C．有理数集 D．无理数集 【例14】（多选）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为.即且.关于任意非空集合，下列说法错误的是（    ） A． B． C．Ü D． 【变式7-1】（多选）对于的两个非空子集，定义运算，则（    ） A． B． C．若，则 D．表示一个正方形区域 【变式7-2】设全集，集合A、B是I的子集，若，就称为“好集”，那么所有“好集”的个数为 ． 【变式7-3】对于集合和，定义运算：且，又．设，，求． 八、充分必要条件的判断 【例15】是的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【例16】已知集合，，则“”是“”的 .（请从“充分不必要条件”､“必要不充分条件”､“充要条件”､“既不充分也不必要条件”中选一个填在横线上） 【变式8-1】已知a，b为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式8-2】设集合，，则“”是“”的 条件． 【变式8-3】， 方程只有一个实根，则是的 条件（充分不必要，必要不充分，充要条件，既不充分也不必要） 九、利用充分必要条件求参数 【例17】（多选）设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．3 D． 【例18】已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【变式9-1】设条件：，：，若是的充分条件，则的最大值为 ，若是的必要条件，则的最小值为 ． 【变式9-2】已知，设；．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【变式9-3】已知p：关于x的方程（）无实数根． (1)若p是假命题，求实数m的取值范围； (2)已知条件q：，，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 十、全称量词命题与特称量词命题 【例19】（多选）使命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【例20】已知命题：“”，命题：“”，若是真命题，是假命题，求实数的取值范围． 【变式10-1】已知命题为真命题. (1)求实数的取值范围； (2)命题：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【变式10-2】 已知命题: 命题: (1)写出命题. (2)若命题为假命题，命题为真命题，求实数的取值范围. 【变式10-3】设集合，集合. (1)若“，”为假命题，求实数m的取值范围； (2)若中有只有三个整数，求实数m的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展1-3集合与常用逻辑用语高频题型专攻 一、元素与集合的关系 六、根据集合的交并补求参数 二、根据元素的个数求参数 七、集合与新定义 三、利用子集关系求参数 八、充分必要条件的判断 四、集合的交并补运算 九、利用充分必要条件求参数 五、韦恩图的应用 十、全称量词命题与特称量词命题 一、元素与集合的关系 【例1】已知集合，那么（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，“”表示集合与集合间关系，而“0”是元素，故A错； 对于BC，“”表示元素与集合间关系， 而0是集合中的元素，为集合，故B正确，C错误； 对于D，集合中，所以D错. 故选：B. 【例2】设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，， 所以，所以A选项正确，BCD选项错误. 故选：A 【变式1-1】已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由知， ，不同时在集合中，必在集合之一中， 集合中都不含0. 故选：D． 【变式1-2】若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A：因为，但，不符合题意，故A错误； 对于选项B：因为，但无意义，不符合题意，故B错误； 对于选项C：例如，但，不符合题意，故C错误， 对于选项D：对任意，均有，符合题意，故D正确； 故选：D. 【变式1-3】（1）已知集合，则集合中元素的个数为 ． （2）若，则 ． 【答案】 5 【详解】解析：（1）①当时，，此时的值分别为0，，； ②当时，，此时的值分别为1，0，； ③当时，，此时的值分别为2，1，0． 综上可知，的可能取值为，，0，1，2，共5个， （2）由题意知，或． ①当时，．把代入，得集合的三个元素为，，12，不满足集合中元素的互异性； ②当时，或（舍去），当时，集合的三个元素为，，12，满足集合中元素的互异性，由①②知， 故答案为：;． 二、根据元素的个数求参数 【例3】已知集合中仅有3个整数，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，所以在数轴上集合A的端点关于点1对称， 从而A中的三个整数为， 所以，且，解得． 即实数a的取值范围为 故答案为： 【例4】若集合是单元素集，则实数a的值是 . 【答案】或 【详解】由已知可得，方程只有一个解. 当，即时，方程可化为，此时有，满足题意； 当，即时，应有，此时有. 综上所述，或. 故答案为：或. 【变式2-1】，若中至多有一个元素，则= . 【答案】或 【详解】集合中至多有一个元素， 当时，，合题意， 当时，，解得， 综上可得或． 故答案为：或． 【变式2-2】（多选）关于的方程的解集是单元素集，则的可能值是（    ） A．0 B．27 C．2 D． 【答案】BD 【详解】由，得，即， 因为方程的解集为单元素集， 所以，或方程有一个根为3， 当时，得，此时方程的解为，符合题意， 当方程有一个根为3时，得，此时方程为， ，解得（舍去），或，符合题意， 综上，或， 故选：BD. 【变式2-3】已知集合中只有一个整数元素，则实数的取值范围为 【答案】 【详解】集合中只有一个整数元素， 则，，即，此时，故，解得. 故. 故答案为：. 三、利用子集关系求参数 【例5】设集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，即，此时， 由，得，而，所以. 故选：A 【例6】已知，非空集合． (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为非空集合， 由，得，则， 又，当时，， 所以. （2）因为，，所以， 故实数a的取值范围为． 【变式3-1】已知全集，集合，，且，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，又因为，所以. 故答案为：. 【变式3-2】已知集合，. (1)当时，求； (2)若与之间存在包含关系，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，. （2）若，则. 则，即. 若，则，解得. 综上的取值范围是. 【变式3-3】设集合，. (1)若，求，； (2)若是的真子集，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）∵，， ∴，或， ∴，. （2）∵，∴， 由题意，，， ∴，解得, 所以实数的取值范围为. 四、集合的交并补运算 【例7】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由集合，知，故错误； 或，或，故错误； ，不是的子集，，故错误，正确. 故选：. 【例8】已知且，，求： (1)和； (2)． 【答案】(1)或， (2) 【详解】（1）因为或或， 又， 所以或，. （2）因为或，， 所以. 【变式4-1】若集合，，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，， 所以，则. 故选：C 【变式4-2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 又因为， 所以. 故选：C 【变式4-3】已知集合. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 故， 所以 （2）易知， . 五、韦恩图的应用 【例9】如图，已知是全集，、、是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：结合韦恩图可知，先看为如下阴影部分表示的集合， 则题干阴影部分所表示的集合， 即集合为． 故选：D． 【例10】如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】图中阴影部分表示的集合为. 故选：D． 【变式5-1】已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得：， 可得， 所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：A. 【变式5-2】已知全集，能表示集合与关系的图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 因为，所以，C正确． 故选：C 【变式5-3】若全集，集合及其关系用韦恩图表示如图，则图中阴影表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】图中阴影表示的集合的元素属于集合B，但是不属于集合A，即为. 故选：C 六、根据集合的交并补求参数 【例11】已知集合，或，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以或， 因为或，所以， 因为且，所以. 故选：B 【例12】已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）集合，，， 则由交集的定义可知，且，解得. （2）当，即时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，或， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 【变式6-1】已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 又，且， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D 【变式6-2】已知全集取小于20的质数，且，，，则 . 【答案】 【详解】∵全集取小于20的质数， 且，，，    ∴由Venn图可知，， ∴. 故答案为：. 【变式6-3】已知集合，集合. (1)求； (2)设，若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【详解】（1）依题意，集合，集合， 所以或，. （2）由（1）得或， 而且， 所以，解得，所以的取值范围是. 七、集合与新定义 【例13】我们称数集为数域，当且仅当数集中的任意两个元素经过加法、减法、乘法、除法（除数不为0）四则运算后，其运算结果仍在数集中，则下列数集能称作数域的是（     ）. A．自然数集 B．整数集 C．有理数集 D．无理数集 【答案】C 【详解】对于A，不在自然数集里，不正确； 对于B，不是整数，不正确； 对于C，有理数经过加法、减法、乘法、除法四则运算后，仍为有理数，正确； 对于D，不在无理数集里，不正确. 故选：C. 【例14】（多选）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为.即且.关于任意非空集合，下列说法错误的是（    ） A． B． C．Ü D． 【答案】ABC 【详解】对于A，若，则，A错误； 对于B，若，则， 而，B错误； 对于C，若，则， ，，，C错误； 对于D，任取元素，则且，则且， 于是且，即， 反之若任取元素，则且， 因此且，即且， 所以，即，D正确. 故选：ABC 【变式7-1】（多选）对于的两个非空子集，定义运算，则（    ） A． B． C．若，则 D．表示一个正方形区域 【答案】BC 【详解】由题意知，表示以数集中的数为横坐标，数集中的数为纵坐标的点的集合，故，故A错误； 因为， 又， 所以，则B正确； 若，则，故C正确； 若，集合只包含一个点，故D错误． 故选：BC． 【变式7-2】设全集，集合A、B是I的子集，若，就称为“好集”，那么所有“好集”的个数为 ． 【答案】9 【详解】 . 故答案为：9 【变式7-3】对于集合和，定义运算：且，又．设，，求． 【答案】 【详解】∵，， ∴，， ∴． 八、充分必要条件的判断 【例15】是的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】当时，成立， 而当时，不一定成立， 如时，满足，而不成立， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 【例16】已知集合，，则“”是“”的 .（请从“充分不必要条件”､“必要不充分条件”､“充要条件”､“既不充分也不必要条件”中选一个填在横线上） 【答案】必要不充分条件 【详解】因为，， 所以， 则由推不出，故充分性不成立， 由推得出，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分条件 【变式8-1】已知a，b为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】命题“若则”为假命题，∵取，则，但不成立.所以“”不是“”的充分条件； 命题“若则”为假命题，因为取，则，但不成立.所以“”不是“”的必要条件. 综上：“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【变式8-2】设集合，，则“”是“”的 条件． 【答案】必要非充分 【详解】由已知， 所以， 即“”是“”的必要非充分条件， 故答案为：必要非充分. 【变式8-3】， 方程只有一个实根，则是的 条件（充分不必要，必要不充分，充要条件，既不充分也不必要） 【答案】既不充分也不必要 【详解】对于命题， 方程只有一个实根，则或， 所以是的既不充分也不必要条件. 故答案为：既不充分也不必要 九、利用充分必要条件求参数 【例17】（多选）设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】ABD 【详解】因为的两个根为3和5，所以， 是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以或或， 当时，满足即可， 当时，满足，所以， 当，满足，所以， 所以的值可以是0，，. 故选：ABD. 【例18】已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）因为p：，所以p：，即， 因为p是q的充分条件，所以或， 解得或，即实数的取值范围是或； （2）依题意，：，由（1）知p：， 又p是的必要不充分条件，所以， 解得，即实数m的取值范围是． 【变式9-1】设条件：，：，若是的充分条件，则的最大值为 ，若是的必要条件，则的最小值为 ． 【答案】 1 4 【详解】因为，所以 ①由是的充分条件，得， 解得，所以的最大值为1， ②由是的必要条件，得， 解得，所以的最小值为4． 故答案为：；. 【变式9-2】已知，设；．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】若是的充分不必要条件，则，， 故有，解得，又，故. 故答案为： 【变式9-3】已知p：关于x的方程（）无实数根． (1)若p是假命题，求实数m的取值范围； (2)已知条件q：，，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知p是假命题，则可得关于x的方程（）有实数根， 即，即， 解得或； 则实数m的取值范围为. （2）p：关于x的方程（）无实数根， 则，即， 解得， 设命题p相应的集合为，命题q相应的集合为， 若p是q的必要不充分条件，则有， 当为空集时，，符合题意； 当不为空集时，需满足，等号不能同时成立， 解得，验证时符合题意， 综上可得实数a的取值范围为. 十、全称量词命题与特称量词命题 【例19】（多选）使命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由于命题“”是真命题， 令，则. ，故， 所以，则的充分不必要条件， 即的真子集可以是，. 故选：AB. 【例20】已知命题：“”，命题：“”，若是真命题，是假命题，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】由，可得，即； 由，可得， 解之得； 由是真命题，是假命题，可得，解之得 故实数的取值范围为. 【变式10-1】已知命题为真命题. (1)求实数的取值范围； (2)命题：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由命题是真命题， 可得，， 整理可得， 解得，所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，， 设，， 由是的必要不充分条件，可得， 所以有，解得. 【变式10-2】 已知命题: 命题: (1)写出命题. (2)若命题为假命题，命题为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为命题: 所以：. （2）命题为假命题，    ：为真命题， 即有实数根， ，               又命题q为真命题， 有实数根， ，                             m的取值范围是. 【变式10-3】设集合，集合. (1)若“，”为假命题，求实数m的取值范围； (2)若中有只有三个整数，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题意，知，则 ①，即，得； ②，则，此时有或，解得，此时m无解； 综上：m的取值范围为. （2）因，故中有只有三个整数时，可能为，0，1或0，1，2， 当时，，解得，即； 当时，，解得，无解； 综上：m的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$