精品解析：山东省菏泽市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

保密★启用前 2023—2024学年高一下学期教学质量检测 数学试题 2024.07 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断其虚部. 【详解】因为， 所以，故的虚部为. 故选：A. 2. 已知向量，，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用向量线性运算的坐标表示求得，再求其模. 【详解】根据题意，， 所以. 故选：A 3. 图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法不正确的是（ ） A. 这10年粮食年产量的极差为15 B. 这10年粮食年产量的平均数为31 C. 前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差 D. 这10年粮食年产量的中位数为29 【答案】C 【解析】 【分析】由折线图提供的数据进行计算估值判断． 【详解】由折线图知最大值是40，最小值是25，极差是15，A不符合题意； 平均数为，B不符合题意； 前5年数据波动比后5年数据波动要小， 因此前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差，C符合题意； 10年数据按从小到大排序为：， 中位数为，D不符合题意． 故选：C． 4. 已知直线a，b，c是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】由空间中直线与平面的位置关系，对各项进行分析即可． 【详解】若，则a，b可以是平行，也可以是相交或异面，故A错误； 若，则或，故B错误； 若且，当时，不能证明，C选项错误； 若，且，在上取一点，作， 由面面垂直的性质定理可得且，既与重合，可得，故D正确. 故选：D 5. 已知向量，，且与的夹角为，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据平面向量数量积的定义求出，结合投影向量的定义即可求解. 【详解】由题意知，， 所以在上的投影向量为. 故选：B 6. 某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两次抽奖奖金之和为200元分为第一次与第二次都中二等奖，第一次中一等奖，第二次中三等奖，第一次中三等奖，第二次中一等奖三种情况，然后利用古典概型求概率的公式计算. 【详解】由题意得，抽奖两次滚动盘上出现两个数字的情况为，，共36种情况， 两次抽奖奖金之和为200元包括三种情况：①第一次与第二次都中二等奖，其包含的情况为，概率为； ②第一次中一等奖，第二次中三等奖，其包含的情况为，概率为； ③第一次中三等奖，第二次中一等奖，其包含的情况为，概率为， 所以该顾客两次抽奖后获得奖金之和为200元的概率为. 故选：B. 7. 建盏是福建省南平市建阳区的特产，是中国国家地理标志产品，其多是口大底小，底部多为圈足且圈足较浅（如图所示），因此可将建盏看作是圆台与圆柱拼接而成的几何体.现将某建盏的上半部分抽象成圆台，已知该圆台的上､下底面积分别为和，高超过，该圆台上､下底面圆周上的各个点均在球的表面上，且球的表面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出图形，首先根据球的表面积公式计算得球的半径为，通过勾股定理得的值，进而得圆台的高，结合圆台的体积公式即可得解. 【详解】 设球的半径为，上､下底面分别为圆（这里上底面是指大的那个底面）， 依题意，，解得， 因为， 则，同理可得，，因为圆台的高超过，则该圆台的高为，该圆台的体积为. 故选：B. 8. 在中，角所对的边分别为，是上的点，平分，且，，则面积的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理可得，从而求得，即可求出角,利用即可解出，再结合基本不等式，即可求出的最小值，从而得解. 【详解】因为，由正弦定理得， 又 ，可得，即 ， 因为，所以， 平分，且，得， 整理得： ，所以，解得 所以，则，当且仅当时等号成立， 故面积的最小值为， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量，，则（ ） A. 当时， B. 若，则 C. 若，则 D. 若与的夹角为钝角，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量加法坐标公式计算可判断A；根据向量平行的坐标公式计算即可判断B；根据向量垂直坐标公式计算即可判断C；根据向量数量积坐标公式计算即可判断D. 【详解】对A，当时，，所以，故A正确； 对B，若，则，解得，故B错误； 对C，若，则，解得，故C正确； 对D，若与的夹角为钝角，则且与不共线， 解得且，即，故D正确， 故选：ACD 10. 一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（ ） A. A与D相互独立. B. A与B相互独立 C. B与D相互独立 D. A与C相互独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概念进行判定. 【详解】不放回依次取出两个，基本事件有， 共种， 事件“”； 事件“”； 事件“”； 事件“”. 事件，事件“”， 事件“”， 事件“”， 则，，， ，，，， 所以，所以A与D不相互独立； ，所以A与B相互独立； ，所以B与D相互独立； ，所以A与C相互独立； 故选：BCD 11. 如图，在正方体中，为棱上的动点，平面，为垂足，下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】连接，交于点，连接，对于A，可证得平面，进而有，所以在的中垂线上，可得，即可判断；对于B，由，而三棱锥的体积为定值，所以三棱锥的体积为定值，即可判断；对于C，在正方体中，由是正三角形，可得与所成的角为，即可判断；对于D，可证得平面，则，即可判断. 【详解】 对于A，在正方体中，连接，交于点，连接，则， 又平面，平面，所以， 因为平面， 所以平面，又平面，所以， 因为为的中点，所以在的中垂线上， 所以，故A正确； 对于B，在正方体中，平面，为棱上的动点， 所以点到平面的距离即为到平面的距离， 即为正方体的棱长，为定值，的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，又， 所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C，连接， 在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，所以即为与所成的角， 又是正三角形，所以与所成的角为，故C错误； 连接，则， 又在正方体中，平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：B选项，根据等体积法，所以三棱锥的体积为定值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若虚数是关于的实系数方程的一个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据虚根成对原理可知方程的另一个虚根为，再由韦达定理计算可得. 【详解】因为是关于的实系数方程的一个根， 所以方程的另一个虚根为， 所以，解得，. 故答案为：. 13. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长列出方程，即可求解. 【详解】设圆锥的母线长为， 由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则， 解得， 故答案为：. 14. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正余弦定理，结合三角恒等变换得到，再利用基本不等式即可得解. 【详解】由余弦定理得， 两式相减得， 因为，所以， 由正弦定理得， 即， 所以， 则， 因为在中，不同时为，，故， 所以， 又，所以，则，故，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 又，所以，即的最大值为. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，且. （1）证明：； （2）若，求的面积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）法一：根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算即可证明；法二：根据正弦定理和射影定理化简即可证明； （2）根据余弦定理和完全平方公式计算可得，结合同角的平方关系和三角形面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 法一：根据正弦定理， 整理得， 因为，所以， 由正弦定理可得； 法二：由， 由射影定理知（因为）， 故. 【小问2详解】 因为，由余弦定理可得， 即，又，故， 从而，解得， 因为，所以， 所以. 16. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流. （1）应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？ （2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示. （i）估计该直播平台商家平均日利润的75百分位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）； （ii）若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数. 【答案】（1）小吃类28家，生鲜类12家 （2）（i）75百分位数为487.5元，平均数为440元，（ii）个数为280 【解析】 【分析】（1）由题意求出小吃类所占的百分比，进而求出应抽取小吃类、生鲜类商家的数目； （2）（i）由频率分布直方图中各个小矩形的面积之和，求出，再由百分位数和平均数的计算公式求解即可；（ii）先求出平均日利润超过480元的商家所占的比列，即可得出答案. 【小问1详解】 根据分层抽样知： 应抽取小吃类家，生鲜类家， 所以应抽取小吃类28家，生鲜类12家. 【小问2详解】 （i）根据题意可得，解得， 设75百分位数为x，因为，第四组频率为0.2， 所以，解得， 所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元. 平均数为， 所以该直播平台商家平均日利润的平均数为440元. （ii）， 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280. 17. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是. （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色. （i）写出该试验的样本空间； （ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由. 【答案】（1）盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是； （2） （i） . （ii）游戏不公平，理由： 由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以 所以 因为，所以此游戏不公平. 【解析】 【分析】（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，根据为两两互斥事件， 由求解. （2）（i）根据红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，列举出来；（ii）由（i）利用古典概型的概率求解. 【小问1详解】 解：从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件， 因为为两两互斥事件， 由已知得， 解得. ∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是； 【小问2详解】 （i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点， 则样本空间 . （ii）略 18. 如图所示，矩形中，，.、分别在线段和上，，将矩形沿折起.记折起后的矩形为，且平面平面. （1）求证：平面； （2）若，求证：； （3）求四面体体积的最大值 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）2 【解析】 【分析】(1)要证线面平行，先证线线平行，先证四边形是平行四边形，即可. (2)要证线线垂直，先证线面垂直，先证平面即可. (3) 设,四面体的体积为,即可求最值. 【小问1详解】 证明：∵四边形，都是矩形， ∴，，∴四边形是平行四边形， ∴，∵平面，∴平面； 【小问2详解】 证明：连接，设，∵平面平面，且， ∴平面，∴， 又，∴四边形为正方形，∴， ∴平面，又平面，∴， 【小问3详解】 解：设，则，其中， 由（1）得平面， ∴四面体的体积为： ， 时，四面体的体积最大，其最大值为. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案； （2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案. （3）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 由已知中，即， 故，由正弦定理可得， 故直角三角形，即. 【小问2详解】 由（1），所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设，由得： ，整理得， 则 . 【小问3详解】 点为的费马点，则， 设， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 2023—2024学年高一下学期教学质量检测 数学试题 2024.07 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 3. 图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法不正确的是（ ） A. 这10年粮食年产量的极差为15 B. 这10年粮食年产量的平均数为31 C. 前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差 D. 这10年粮食年产量的中位数为29 4. 已知直线a，b，c是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 5. 已知向量，，且与的夹角为，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 建盏是福建省南平市建阳区的特产，是中国国家地理标志产品，其多是口大底小，底部多为圈足且圈足较浅（如图所示），因此可将建盏看作是圆台与圆柱拼接而成的几何体.现将某建盏的上半部分抽象成圆台，已知该圆台的上､下底面积分别为和，高超过，该圆台上､下底面圆周上的各个点均在球的表面上，且球的表面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角所对的边分别为，是上的点，平分，且，，则面积的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量，，则（ ） A. 当时， B. 若，则 C. 若，则 D. 若与的夹角为钝角，则 10. 一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（ ） A. A与D相互独立. B. A与B相互独立 C. B与D相互独立 D. A与C相互独立 11. 如图，在正方体中，为棱上的动点，平面，为垂足，下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若虚数是关于的实系数方程的一个根，则______． 13. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为______． 14. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，且. （1）证明：； （2）若，求的面积. 16. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流. （1）应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？ （2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示. （i）估计该直播平台商家平均日利润的75百分位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）； （ii）若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数. 17. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是. （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色. （i）写出该试验的样本空间； （ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由. 18. 如图所示，矩形中，，.、分别在线段和上，，将矩形沿折起.记折起后的矩形为，且平面平面. （1）求证：平面； （2）若，求证：； （3）求四面体体积的最大值 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $