重难点突破：与集合有关的新定义问题（3大题型）-2024-2025学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第一册）

重难点突破：与集合有关的新定义问题 一、关于集合新定义 （1）新定义问题就是在现有的运算性质和运算规律的基础上定义一种新的运算，并运用它解决相关的问题，可能以文字的性质出现，也可能以数学符号或数学式子的形式出现； （2）常见的新定义问题有定义新概念、新公式、新运算和性法则等类型； （3）解决此类问题的关键在于认真研读，仔细身体，将问题转化为熟悉的问题． 二、解决新定义问题的答题策略与步骤 （1）第一步：遇到新定义问题，要耐心读题，分析其特点，弄清其内涵与性质； （2）第二步：按照新定义的要求“照章办事”，逐步分析、验证、运算，使问题得以解决； （3）第三步：对于选择题，可以结合选项，通过验证、排除、对比、取特殊值等方法解决． 题型一 定义新集合（与集合定义类比） 【例1】（23-24高一上·江苏南通·月考）已知，对于，若且，则称k为A的“孤立元”.给定集合，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【解析】“孤立元”为的集合为，，，， “孤立元”为的集合为，， “孤立元”为的集合为， “孤立元”为的集合为，， “孤立元”为的集合为，，，， 综上：满足题意的集合有13个.故选：D 【变式1-1】（23-24高一上·北京·月考）若集合A同时具有以下三个性质：（1），；（2）若，则；（3）若且，则．则称A为“好集”．已知命题：①集合是好集；②对任意一个“好集”A，若，则．以下判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】D 【解析】对于①，因为，而， 所以集合不是好集，故①错误； 对于②，因为集合为“好集”，所以， 所以，故②正确， 所以①为假命题，②为真命题.故选：D. 【变式1-2】（22-23高一上·山东临沂·期中）（多选）给定数集，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是（    ） A．集合为闭集合 B．整数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合为闭集合，则为闭集合 【答案】AD 【解析】对于A：由于，但是， 故集合不为闭集合，故A错误； 对于B：由于整数加上整数或减去整数，所得结果仍是整数，所以整数集是闭集合，故B正确； 对于C：任取，则，则， 所以，， 所以集合为闭集合，故C正确； 对于D：由C可得为闭集合，同理为闭集合， 所以，则有， 但，则不为闭集合，故D错误；故选：AD． 【变式1-3】（23-24高一上·江西景德镇·月考）已知数集及定义在该数集上的某个运算（例如记为“*”），如果对一切，都有，那么就说，集合对运算“*”是封闭的． (1)设，判断对通常的实数的乘法运算是否封闭？ (2)设，且，问对通常的实数的乘法是否封闭？试证明你的结论． 【答案】(1)数集对通常的实数乘法运算封闭；(2)数集对通常的实数乘法运算不封闭，证明见解析． 【解析】（1）设是A中任意两个元素，其中， 那么． 因为，所以， 故数集A对通常的乘法运算封闭． （2）数集对通常的乘法运算不封闭，证明如下： 取，则，但， 故数集对通常的乘法运算不封闭. 【变式1-4】（23-24高一下·浙江·期中）设非空数集M，对于任意，如果满足：①属于M  ②属于M.③属于M  ④（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）. (1)判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）； (2)若M是一个数环，证明：；若S是一个数域，证明：； (3)设，证明A是数域. 【答案】(1)自然数集不是数环；整数集是数环，不是数域； 有理数集、实数集、复数集是数环也是数域；(2)证明见解析；(3)证明见解析. 【解析】（1）自然数集N不是数环，例如； 整数集Z是数环，不是数域，例如； 有理数集Q、实数集R、复数集C是数环也是数域. （2）若，则，即； 若，，则，即 （3）设，则，，， 则， 因为，所以，， 所以，满足条件①. ，因为， 所以，，所以，满足条件②. ，因为， 所以，，所以，满足条件③. ， 因为，，所以，， 所以，满足条件④. 综上所述，A是数域. 题型二 定义新关系（与集合间关系类比） 【例2】（23-24高一上·陕西榆林·期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，此时，即两个集合构成“鲸吞”， 当时，此时两个集合不能构成“鲸吞”， 则两个集合构成“蚕食”，所以或，解得或， 当时，两个集合构成“蚕食”， 当时，两个集合构成“蚕食”， 综上可得的取值集合为.故选：C 【变式2-1】（23-24高一上·广东东莞·月考）设，A与B是U的两个子集，若.则称为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：当时，与是两个不同的“理想配集”）的个数是（    ） A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】C 【解析】对子集分类讨论：若,此时集合可以为 共8个结果； 若,此时集合可以为共4个结果； 若,此时集合可以为共4个结果； 若,此时集合可以为共4个结果； 若,此时集合可以为共2个结果； 若,此时集合可以为共2个结果； 若,此时集合可以为共2个结果； 若,此时集合可以为共1个结果； 所以共有个结果，故选:C. 【变式2-2】（23-24高一上·重庆·月考）（多选）19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A、B满足：，则称为的二划分，例如，，则就是的一个二划分，则下列说法正确的是（    ） A．设，则为的二划分 B．设，则为的二划分 C．存在一个的二划分，使得对于；对于 D．存在一个的二划分，使得对于，则；，则 【答案】BCD 【解析】对于A，由于，故，不是的二划分，A错误； 对于B，， ， 显然，由于任意一个正整数M，都可写成形式， 其中为素数，，则M必为形式，其中k为正奇数，， 故可得，故B正确； 对于C，存在满足， 对于；对于，C正确； 对于D，选项B中集合， 使得对于，则； ，比如取3，5，则，D正确，故选：BCD 【变式2-3】（23-24高一上·山东青岛·月考）设集合，集合，如果对于任意元素，都有或，则称集合P为的自邻集．记为集合的所有自邻集中最大元素k的集合的个数． (1)直接判断集合和是否为的自邻集； (2)比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析；(2)，理由见解析. 【解析】（1）由，得和， 而，所以不是的自邻集， 又， 所以是的自邻集. （2）， 则其自邻集中最大元素为6的集合中必含5和6，则有，，， ，，，，，共9个，即， 其自邻集中最大元素为5的集合中必含4和5， 则有，，，，共5个， ， 其自邻集中最大元素为3的集合中必含2和3， 则有，共2个，， 所以. 【变式2-4】（23-24高一上·北京密云·期中）已知集合（且），，且．若对任意，当时，存在，使得，则称是的元完美子集． (1)判断下列集合是否是的3元完美子集，并说明理由； ①； ②． (2)若是的3元完美子集，求的最小值． 【答案】(1)不是的3元完美子集，是的3元完美子集，理由见解析；(2) 【解析】（1）①因为，且，所以不是的3元完美子集； ②因为，且，而， 是的3元完美子集． （2）不妨设． 若，则，且， 则集合的元素个数大于3个，这与3元完美子集矛盾； 若，则，而，符合题意， 此时，即,此时． 若，则，于是，，若存在3元完美子集， 则或，即，所以． 综上，的最小值是12． 题型三 定义新运算（与集合间的运算类比） 【例3】（23-24高一上·北京丰台·期中）定义集合的新运算如下：，若集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，，，， ∴，， ，，故选：B. 【变式3-1】（23-24高一上·天津南开·期中）已知有限集，，定义集合且，表示集合中的元素个数．若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】因为，， 所以，，所以， 则.故选：A 【变式3-2】（23-24高一上·湖北武汉·月考）用表示非空集合中的元素个数，定义，若，，且，设实数的所有可能取值组成的集合是，则等于（    ） A．5 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【解析】根据定义可知，又，所以可得或； 由方程可得或； 当时，方程只有一个实数根，此时，符合题意； 当时，必有，此时方程有两个不相等的实数根； 显然都不是方程的根， 则方程有两个相等的实数根，且异于， 此时，可得或，经检验均满足题意； 故可知，可得.故选：B 【变式3-3】（23-24高一上·北京·期中）已知两个数集和，定义，.则下列命题正确的个数是（    ） ①任意A，，都有成立； ②任意A，，都有成立； ③存在A，，使成立； ④存在A，，使成立. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】或 或， 则成立.故①判断正确； 或， 或， 则不成立.故②判断错误； 令，则，故③判断正确； 令，则，故④判断正确.故选：D 【变式3-4】（23-24高一下·北京·期中）设（为正整数），对任意的，，定义 (1)当时，，，求； (2)当时，集合，对于任意，，均为偶数，求A中元素个数的最大值； (3)集合，对于任意，，，均有，求A中元素个数的最大值． 【答案】(1)1；(2)4；(3) 【解析】（1）当时，； （2）因为均为偶数，所以结果为0或2， 若，则A中的任意两个元素乘积为0， 即共有四个元素， 若，则A中必有两个位置为1，即， 所以A中元素个数的最大值为4; （3），中的“1”变为“0”，“0”变为“1”， 得到，可得， 因为，，所以， 因为中有个元素，则A中元素个数最多有个， 所以A中元素个数的最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点突破：与集合有关的新定义问题 一、关于集合新定义 （1）新定义问题就是在现有的运算性质和运算规律的基础上定义一种新的运算，并运用它解决相关的问题，可能以文字的性质出现，也可能以数学符号或数学式子的形式出现； （2）常见的新定义问题有定义新概念、新公式、新运算和性法则等类型； （3）解决此类问题的关键在于认真研读，仔细身体，将问题转化为熟悉的问题． 二、解决新定义问题的答题策略与步骤 （1）第一步：遇到新定义问题，要耐心读题，分析其特点，弄清其内涵与性质； （2）第二步：按照新定义的要求“照章办事”，逐步分析、验证、运算，使问题得以解决； （3）第三步：对于选择题，可以结合选项，通过验证、排除、对比、取特殊值等方法解决． 题型一 定义新集合（与集合定义类比） 【例1】（23-24高一上·江苏南通·月考）已知，对于，若且，则称k为A的“孤立元”.给定集合，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式1-1】（23-24高一上·北京·月考）若集合A同时具有以下三个性质：（1），；（2）若，则；（3）若且，则．则称A为“好集”．已知命题：①集合是好集；②对任意一个“好集”A，若，则．以下判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【变式1-2】（22-23高一上·山东临沂·期中）（多选）给定数集，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是（    ） A．集合为闭集合 B．整数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合为闭集合，则为闭集合 【变式1-3】（23-24高一上·江西景德镇·月考）已知数集及定义在该数集上的某个运算（例如记为“*”），如果对一切，都有，那么就说，集合对运算“*”是封闭的． (1)设，判断对通常的实数的乘法运算是否封闭？ (2)设，且，问对通常的实数的乘法是否封闭？试证明你的结论． 【变式1-4】（23-24高一下·浙江·期中）设非空数集M，对于任意，如果满足：①属于M  ②属于M.③属于M  ④（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）. (1)判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）； (2)若M是一个数环，证明：；若S是一个数域，证明：； (3)设，证明A是数域. 题型二 定义新关系（与集合间关系类比） 【例2】（23-24高一上·陕西榆林·期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一上·广东东莞·月考）设，A与B是U的两个子集，若.则称为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：当时，与是两个不同的“理想配集”）的个数是（    ） A．25 B．26 C．27 D．28 【变式2-2】（23-24高一上·重庆·月考）（多选）19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A、B满足：，则称为的二划分，例如，，则就是的一个二划分，则下列说法正确的是（    ） A．设，则为的二划分 B．设，则为的二划分 C．存在一个的二划分，使得对于；对于 D．存在一个的二划分，使得对于，则；，则 【变式2-3】（23-24高一上·山东青岛·月考）设集合，集合，如果对于任意元素，都有或，则称集合P为的自邻集．记为集合的所有自邻集中最大元素k的集合的个数． (1)直接判断集合和是否为的自邻集； (2)比较和的大小，并说明理由． 【变式2-4】（23-24高一上·北京密云·期中）已知集合（且），，且．若对任意，当时，存在，使得，则称是的元完美子集． (1)判断下列集合是否是的3元完美子集，并说明理由； ①； ②． (2)若是的3元完美子集，求的最小值． 题型三 定义新运算（与集合间的运算类比） 【例3】（23-24高一上·北京丰台·期中）定义集合的新运算如下：，若集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一上·天津南开·期中）已知有限集，，定义集合且，表示集合中的元素个数．若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-2】（23-24高一上·湖北武汉·月考）用表示非空集合中的元素个数，定义，若，，且，设实数的所有可能取值组成的集合是，则等于（    ） A．5 B．3 C．2 D．4 【变式3-3】（23-24高一上·北京·期中）已知两个数集和，定义，.则下列命题正确的个数是（    ） ①任意A，，都有成立； ②任意A，，都有成立； ③存在A，，使成立； ④存在A，，使成立. A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-4】（23-24高一下·北京·期中）设（为正整数），对任意的，，定义 (1)当时，，，求； (2)当时，集合，对于任意，，均为偶数，求A中元素个数的最大值； (3)集合，对于任意，，，均有，求A中元素个数的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$