1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（6大题型）-2024-2025学年高二数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示 1、点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2、直线的向量表示 （1）直线的方向向量 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量． 【注意】①在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量；②在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算． （2）直线的向量表示式 直线l的方向向量为，且过点A．如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①，把代入①式得②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 3、平面的向量表示 如图（1），设两条直线相交于点，它们的方向向量分别为和，为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得．这样，点与向量和不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点． 进一步地，如图（2），取定空间任意一点，可以得到，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，使（*）.我们把（*）式称为空间平面的向量表示式． 知识点2 平面的法向量 1、平面法向量的定义 如图，若直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量；过点A且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． 2、平面法向量的性质 （1）平面的一个法向量垂直于平面内的所有向量； （2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 3、利用待定系数法求平面法向量的步骤 （1）设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)； （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量，； （3）列方程组：由列出方程组； （4）解方程组： （5）赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)； （6）得结论：得到平面的一个法向量． 知识点3 空间中直线、平面的平行 1、线线平行：若分别为直线的方向向量，则使得． 2、线面平行 法1：设直线的方向向量，是平面的法向量，，则． 法2：在平面内取一个非零向量，若存在实数，使得，且，则． 法3：在平面内取两个不共线向量，若存在实数，使得，且，则． 3、面面平行：设分别是平面的法向量，则，使得． 知识点4 空间中直线、平面的垂直 1、线线垂直：若分别为直线的方向向量，则． 2、线面垂直 法1：设直线的方向向量，是平面的法向量，则，使得． 法2：在平面内取两个不共线向量，若.则． 3、面面垂直：设分别是平面的法向量，则． 1、求平面法向量的三个注意点 （1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量； （2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量； （3）注意：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0． 2、向量法证明直线与平面平行的思路 证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量共线，再说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量的运算． 3、向量法证明面面垂直的思路 （1）利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径 一是利用两个平面垂直的判定定理，将面面垂直问题转化为线面垂直，进而转化为线线垂直； 二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直得面面垂直. （2）向量法证明面面垂直的优点主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，降低了思维难度. 题型一 直线方向向量的求解与应用 【例1】（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二上·浙江杭州界·月考）已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则等于（    ） A．0 B．1 C． D．3 【变式1-2】（23-24高二上·湖北武汉·期中）两条不同直线，的方向向量分别为，，则这两条直线（    ） A．相交或异面 B．相交 C．异面 D．平行 【变式1-3】（23-24高二上·广东湛江·期中）直线与的方向向量分别为和，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．重合 【变式1-4】（23-24高二上·江西赣州·期中）已知直线的方向向量是，直线的方向向量是，若，且，则的值是（     ） A．-4或0 B．4或1 C．-4 D．0 题型二 平面法向量的求解 【例2】（23-24高二上·浙江绍兴·期中）（多选）直线的方向向量是，若，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·湖南益阳·月考）（多选）已知平面的一个法向量为，点在内，则下列点也在内的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·安徽蚌埠·月考）已知点，则下列向量可作为平面的一个法向量的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一上·江苏·月考）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系”，则平面的一个法向量为 . 【变式2-4】（23-24高二上·安徽阜阳·月考）在棱长为1的正方体中，求平面的法向量和单位法向量. 题型三 利用向量判断线面位置关系 【例3】（23-24高二上·江西九江·期末）若平面外的直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A． B． C． D．与斜交 【变式3-1】（23-24高二下·广西·月考）（多选）已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23高二下·福建漳州·期中）（多选）设是不重合的两个平面，分别为平面的法向量，为直线的方向向量，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二上·安徽淮北·月考）（多选）给出下列命题，其中是假命题的是（    ） A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与平行 B．若直线的方向向量，平面的法向量，则 C．若平面的法向量分别为，则 D．若平面经过三点，向量是平面的法向量，则 题型四 利用向量法证明平行关系 【例4】如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明平面. 【变式4-1】如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，为的中点，求证：直线平面. 【变式4-2】（23-24高二上·新疆·期末）已知正方体的棱长为a，M，N，E，F分别是棱，，，的中点．求证：平面平面BDEF． 【变式4-3】（22-23高二上·湖南株洲·期中）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明： (1)平面； (2)平面平面． 题型五 利用向量法证明垂直关系 【例5】（23-24高二上·浙江·期中）如图，在正方体中，不能互相垂直的两条直线是（    ）    A．和 B．和 C．和 D．和 【变式5-1】（23-24高二下·江苏徐州·月考）已知直线是正方体体对角线所在直线，为其对应棱的中点，则下列正方体的图形中满足平面的是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（2）（4） 【变式5-2】（23-24高二上·安徽阜阳·月考）如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点.求证：平面PCD． 【变式5-3】（23-24高二上·四川成都·期中）已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M为PD中点，.求证：平面平面.（注：必须用向量法做，否则不得分） 题型六 空间中的探索性问题 【例6】（23-24高二上·福建泉州·期末）如图，在正四棱柱中，，点分别是的中点，点是线段上的动点，则下列说法错误的是（    ） A．当时，存在，使得平面 B．存在，使得平面 C．存在，使得平面平面 D．存在，使得平面平面 【变式6-1】（22-23高二上·天津蓟州·月考）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【变式6-2】（23-24高二上·河南焦作·月考）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，E为BC的中点. (1)证明：平面ABCD； (2)在线段AN上是否存在点S，使得平面AMN?如果存在，求出线段AS的长度；若不存在，请说明理由. 【变式6-3】（23-24高二下·湖北·期中）在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面. (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示 1、点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2、直线的向量表示 （1）直线的方向向量 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量． 【注意】①在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量；②在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算． （2）直线的向量表示式 直线l的方向向量为，且过点A．如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①，把代入①式得②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 3、平面的向量表示 如图（1），设两条直线相交于点，它们的方向向量分别为和，为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得．这样，点与向量和不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点． 进一步地，如图（2），取定空间任意一点，可以得到，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，使（*）.我们把（*）式称为空间平面的向量表示式． 知识点2 平面的法向量 1、平面法向量的定义 如图，若直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量；过点A且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． 2、平面法向量的性质 （1）平面的一个法向量垂直于平面内的所有向量； （2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 3、利用待定系数法求平面法向量的步骤 （1）设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)； （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量，； （3）列方程组：由列出方程组； （4）解方程组： （5）赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)； （6）得结论：得到平面的一个法向量． 知识点3 空间中直线、平面的平行 1、线线平行：若分别为直线的方向向量，则使得． 2、线面平行 法1：设直线的方向向量，是平面的法向量，，则． 法2：在平面内取一个非零向量，若存在实数，使得，且，则． 法3：在平面内取两个不共线向量，若存在实数，使得，且，则． 3、面面平行：设分别是平面的法向量，则，使得． 知识点4 空间中直线、平面的垂直 1、线线垂直：若分别为直线的方向向量，则． 2、线面垂直 法1：设直线的方向向量，是平面的法向量，则，使得． 法2：在平面内取两个不共线向量，若.则． 3、面面垂直：设分别是平面的法向量，则． 1、求平面法向量的三个注意点 （1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量； （2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量； （3）注意：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0． 2、向量法证明直线与平面平行的思路 证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量共线，再说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量的运算． 3、向量法证明面面垂直的思路 （1）利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径 一是利用两个平面垂直的判定定理，将面面垂直问题转化为线面垂直，进而转化为线线垂直； 二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直得面面垂直. （2）向量法证明面面垂直的优点主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，降低了思维难度. 题型一 直线方向向量的求解与应用 【例1】（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得直线的方向向量与共线， 而，所以是该直线的方向向量.故选：D. 【变式1-1】（23-24高二上·浙江杭州界·月考）已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则等于（    ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】A 【解析】因为A，B点在直线l上，必有 ， ， ， ，解得： ；故选：A. 【变式1-2】（23-24高二上·湖北武汉·期中）两条不同直线，的方向向量分别为，，则这两条直线（    ） A．相交或异面 B．相交 C．异面 D．平行 【答案】A 【解析】令，即， 则，此方程组无解，则直线，不平行，即相交或异面.故选：A． 【变式1-3】（23-24高二上·广东湛江·期中）直线与的方向向量分别为和，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．重合 【答案】B 【解析】因为直线与的方向向量分别为和， 则，所以，，则.故选：B. 【变式1-4】（23-24高二上·江西赣州·期中）已知直线的方向向量是，直线的方向向量是，若，且，则的值是（     ） A．-4或0 B．4或1 C．-4 D．0 【答案】A 【解析】由题设可得，解得或， 故或，故选：A. 题型二 平面法向量的求解 【例2】（23-24高二上·浙江绍兴·期中）（多选）直线的方向向量是，若，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】，故直线的方向向量与面的法向量平行， A选项，与平行，满足要求， B选项，，故与平行，满足要求， C选项，，故与垂直，不合要求； D选项，，故与垂直，不合要求，故选：AB 【变式2-1】（23-24高二上·湖南益阳·月考）（多选）已知平面的一个法向量为，点在内，则下列点也在内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】若为内的点且与P不重合，则， 又平面的一个法向量为，则， 即，显然、不满足，、满足.故选：BC 【变式2-2】（23-24高二上·安徽蚌埠·月考）已知点，则下列向量可作为平面的一个法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由知， 设平面的一个法向量为，所以， 取，解得，选项D符合， 另外选项ABC中的向量与选项D中的向量不共线.故选：D 【变式2-3】（23-24高一上·江苏·月考）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系”，则平面的一个法向量为 . 【答案】（答案不唯一） 【解析】根据题意，设，则, ,， 则,， 设平面的一个法向量为,,， 则有，令，可得，则， 故答案为：（答案不唯一） 【变式2-4】（23-24高二上·安徽阜阳·月考）在棱长为1的正方体中，求平面的法向量和单位法向量. 【答案】，或 【解析】如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，，. 设平面的法向量， 则有. 取，可得. 与同向的单位法向量； 与同向的单位法向量. 题型三 利用向量判断线面位置关系 【例3】（23-24高二上·江西九江·期末）若平面外的直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A． B． C． D．与斜交 【答案】B 【解析】根据题意，直线的方向向量为， 平面的法向量为，易得， 又直线在平面外，则有．故选：B． 【变式3-1】（23-24高二下·广西·月考）（多选）已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于：∵，所以正确； 对于：， ∴，所以不垂直，所以不正确； 对于：，，所以正确； 对于：，， 而，∴不平行于；所以不正确.故选：. 【变式3-2】（22-23高二下·福建漳州·期中）（多选）设是不重合的两个平面，分别为平面的法向量，为直线的方向向量，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对A，若一直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线垂直于该平面， 所以若，则，A错误； 对B，若一直线的方向向量与一平面的法向量垂直，则该直线平行于该平面或者在该平面内， 所以若，则或， B错误； 对C，若两个不同的平面的法向量互相平行，则两个平面互相平行， 所以若，则， C正确； 对D，若两个平面的法向量互相垂直，则两个平面垂直， 所以若，则， D错误.故选：ABD． 【变式3-3】（23-24高二上·安徽淮北·月考）（多选）给出下列命题，其中是假命题的是（    ） A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与平行 B．若直线的方向向量，平面的法向量，则 C．若平面的法向量分别为，则 D．若平面经过三点，向量是平面的法向量，则 【答案】ABC 【解析】对于A，因为，所以直线与直线不平行，故A错误； 对于B，因为，所以向量与向量不平行，则直线与平面不垂直，故B错误； 对于C，因为，所以与不垂直，故C错误； 对于D，，因为向量是平面的法向量， 所以，解得，则，故D正确.故选：ABC. 题型四 利用向量法证明平行关系 【例4】如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明平面. 【答案】证明见解析 【解析】由题意可知底面为正方形， 因为平面，平面，所以两两垂直， 如图以为原点，以为方向向量建立空间直角坐标系， 则有关点及向量的坐标为： ，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取可得平面的一个法向量为， 因为，又在平面外， 所以平面. 【变式4-1】如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，为的中点，求证：直线平面. 【答案】证明见解析 【解析】因为底面为矩形，底面，所以AB，AD，AO两两互相垂直， 所以分别以AB，AD，AO所在直线为 轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，， 设平面的法向量为， 则，即 ，取，得 所以 又平面，所以直线平面 【变式4-2】（23-24高二上·新疆·期末）已知正方体的棱长为a，M，N，E，F分别是棱，，，的中点．求证：平面平面BDEF． 【答案】证明见解析 【解析】证明：如图，以点D为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 建立空间直角坐标系，则，，， ，，，． 于是，，，． 设是平面AMN的法向量，则 取，得，，则． 设是平面BDEF的法向量， 则 取，得，，则． 又平面AMN与平面BDEF不重合， 故平面平面BDEF． 【变式4-3】（22-23高二上·湖南株洲·期中）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则，，，，，． 由正方体的性质，知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于，则，所以． 又平面，所以平面． （2）证明：因为为平面的一个法向量， 由于，， 则， 即也是平面MNP的一个法向量， 所以平面平面． 题型五 利用向量法证明垂直关系 【例5】（23-24高二上·浙江·期中）如图，在正方体中，不能互相垂直的两条直线是（    ）    A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【解析】在正方体中，以点为坐标原点， 、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设该正方体的棱长为，则、、、、、 、、. 对于A选项，，，则，故； 对于B选项，，，故，B对； 对于C选项，，，故和不垂直，C错； 对于D选项，，，故，D对,故选：C. 【变式5-1】（23-24高二下·江苏徐州·月考）已知直线是正方体体对角线所在直线，为其对应棱的中点，则下列正方体的图形中满足平面的是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（2）（4） 【答案】B 【解析】设正方体的边长为2，对于图（1），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，直线的方向向量为， ，， 因为，， 所以，，，平面， 所以平面，故图（1）正确； 对于图（2），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，直线的方向向量为， 则，因为，所以与不垂直， 所以与平面不垂直，故图（2）错误； 对于图（3），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 直线的方向向量为，因为，， 所以，，，平面， 所以平面，故图（3）正确； 对于图（4），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 直线的方向向量为，因为， 所以与不垂直，所以与平面不垂直，故图（4）正确. 综上，正确的有图（1）（3）.故选：B. 【变式5-2】（23-24高二上·安徽阜阳·月考）如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点.求证：平面PCD． 【答案】证明见解析 【解析】如图，因平面ABCD，底面ABCD为正方形， 故可以分别为的正方向建立空间直角坐标系. 又PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点， 则, , 于是， 不妨设平面PCD的法向量为， 则有令，故可取， 因，则平面PCD. 【变式5-3】（23-24高二上·四川成都·期中）已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M为PD中点，.求证：平面平面.（注：必须用向量法做，否则不得分） 【答案】证明见解析 【解析】证明：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面， 以A为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， ，则， 故, 设平面的法向量为，则, 令，则， ， 设平面的法向量为，则, 令，则， 则， 故平面平面. 题型六 空间中的探索性问题 【例6】（23-24高二上·福建泉州·期末）如图，在正四棱柱中，，点分别是的中点，点是线段上的动点，则下列说法错误的是（    ） A．当时，存在，使得平面 B．存在，使得平面 C．存在，使得平面平面 D．存在，使得平面平面 【答案】A 【解析】以D为原点，分别为建立空间直角坐标系，如图： 设，则，则， 因为点分别是的中点，所以， 对于选项B：设平面的一个法向量为， 因为， 可得，取，解得， 设， 因为，则，可得，即， 则， 若∥平面，则， 可得，且，解得，即为的中点，故B正确； 对于选项A：由B可知：， 若平面，则，则，当且仅当时成立，故A错误； 对于选项D：由B可知：，则， 因为，则， 设平面的法向量为， 则，取，得， 若平面平面，则，故D正确； 对于选项C：  当与D重合时，因为分别是的中点， 则，且平面，平面，可得平面， 同理可得：平面， 且，平面， 所以此时平面平面，故C正确； 故选：A. 【变式6-1】（22-23高二上·天津蓟州·月考）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，P为线段的中点 【解析】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点P使得平面，. 由（1）得，，平面的一个法向量为， 所以. 所以，解得. 所以当P为线段的中点时，平面. 【变式6-2】（23-24高二上·河南焦作·月考）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，E为BC的中点. (1)证明：平面ABCD； (2)在线段AN上是否存在点S，使得平面AMN?如果存在，求出线段AS的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【解析】（1）证明：连接BD，如图(1). 因为平面，平面ABCD，所以. 因为，所以四边形MDBN为平行四边形，所以. 又平面，平面ABCD，所以平面ABCD. （2）由题意知DM，DC，DA两两垂直. 以点D为原点，DA，DC，DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴 建立如图(2)的空间直角坐标系， 则，，，，， 假设在线段AN上存在点S，使得平面AMN，连接AE. 易知，，. 设，，则. 由平面AMN，得即，解得. 此时，所以. 故在线段AN上存在点S，使得平面AMN，此时线段AS的长度为. 【变式6-3】（23-24高二下·湖北·期中）在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面. (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在点，点在直线（点在直线上且）上 【解析】（1）在中，点D、E分别为边AC、AB的中点， 且. 又平面平面，平面平面平面， 平面. 又平面. （2）由（1）知，. 以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. ， 设为平面的一个法向量， 则，取，则. 假设在平面内存在点，使得平面平面.连接. 若，则设.设平面的一个法向量为. 由，取，则. 平面的法向量.由知，此情况不成立. 若与不共线，设，连接. 设，则. 当，即时，. 又平面，即平面平面，也即平面平面. 所以在平面内存在点，当点在直线（点在直线上且）上时， 平面平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$