第一章 数的整除 课件--2024-2025学年沪教版数学（五升六）小初衔接课程

2024秋季沪教版五升六 新课改小初衔接课 --数的整除 数的整除 1 从数的类型认识整数、整数的分类及自然数的意义．(重点) 在对具体问题的思考观察中概括、理解整除的概念，知道整除的条件，掌握整除的两种表述方法.(难点) 经历从现实世界中抽象出概念的过程，感受数学与生活的联系. 1 2 学习目标 3 通过操作长方形纸片的拼图过程,感受、体验求一个数的因数的方法． 理解因数与倍数的意义及它们之间的相互依存的关系，渗透对立统一的辩证唯物主义思想.(重点) 会求一个整数的因数和倍数，知道一个整数的因数有有限个，倍数有无限个，培养思维的有序化和条理化. (重点) 4 5 学习目标 6 掌握能被2，5整除的数的特征，会判断一个正整数能否被2、5整除．(重点、难点) 在具体情境中理解奇数和偶数的意义，会判断一个正整数是奇数还是偶数.(重点) 经历观察与思考的探究过程，感受从特殊到一般的思想方法，培养分析和思维能力. 7 8 学习目标 9 掌握素数和合数的概念，知道它们的联系和区别．(重点) 能正确判断一个数是素数还是合数，熟记20以内的素数． (难点) 进一步加深对整数的认识，理解整数的多种分类方法的异同，培养学生的数学分类思想. 10 11 学习目标 12 理解素因数和分解素因数的概念．(重点) 初步掌握分解素因数的方法． (难点) 经历概念形成的过程，通过分解素因数培养分析与推理能力. 13 14 学习目标 15 通过解决实际问题的活动，理解公因数、最大公因数和素因数意义．(重点) 经历对问题的分析，观察，找规律，讨论的过程，掌握求两个数的公因数，最大公因数的基本方法.(难点) 16 17 学习目标 经历实际问题的解决、抽象、概括的过程，理解公倍数和最小公倍数的意义，会根据几个数的倍数，找出它们的公倍数和最小公倍数． 理解用短除法求最小公倍数的计算原理，会用短除法求两个数的最小公倍数.(重点、难点) 会根据两数为倍数关系或互素的情况直接求它们的最小公倍数. 18 19 学习目标 20 新课导入 1．在数物体的时候，用来表示物体个数的数1，2，3，4,5,…叫做正整数. 2．在正整数1，2，3，4,5,…的前面添上“”号，得到的数1，2，3, 4,5,…叫做负整数. 3．0既不是正整数，也不是负整数. 那么0究竟是什么含义呢？ （1）0表示没有物体； （2）0表示计量过程中某种量的基准数，比如我们比较常见的是温度这个概念.我们说温度分为零上和零下，这里的0就是基准. 知识讲解 1.正整数、自然数、整数 1.零和正整数统称为自然数. 2.正整数、零和负整数统称为整数. 整数的分类 自然数 分类思想！ 集合思想！ 正整数 零 负整数 知识讲解 思考 （1）是否有最小的自然数?是什么？ （2）比5小的所有自然数有哪些? （3）共有多少个自然数呢? （4）最小的正整数是几？ （5）是否有最大的整数? 有最小的自然数，是0. 0,1,2,3,4 无数个 1 没有 知识讲解 例1 下列语句是否正确？正确的在（ ）内打“√”，错误的在（ ）内打“×”． （1）自然数的个数有有限个．----（ ） （2）没有最小的自然数，也没有最大的自然数．---------------------------（ ） （3）有最小的整数，也有最大的整数．-------------------------------------（ ） （4）有最小的正整数，也有最小的自然数．---------------------------------（ ） × 有无数个自然数． × 有最小的自然数0，但没有最大的自然数． × 没有最小的整数，也没有最大的整数． √ 有最小的正整数1，也有最小的自然数0． 知识讲解 2. 整除的意义与条件 思考: 1 5名学生参加夏令营,他们想分成人数相等的几个小组进行活动,可以怎样分? 如果平均分成3组,15÷3＝5，每组5人 如果平均分成5组，15÷5＝3，每组3人 为什么不能平均分成2组或者4组呢？ 知识讲解 下面两组算式中的被除数和除数都是整数，它们的运算结果有什么不同？ （1）24÷ 2 =12 （2） 6 ÷ 5 = 1.2 21÷ 3 = 7 17÷10 = 1.7 84÷21= 4 35÷ 6 = 5 … … 5 观察： 第（1）组算式中的商都是整数，余数为0. 第（2）组算式中的商都是小数，或除不尽. 知识讲解 （24能被2整除，21能被3整除，84能被21整除，也可以说， 2能整除24，3能整除21，21能整除84） 用两种方法读一下第一组式子 知识讲解 总结：整除的条件： 除数、被除数都是整数； 被除数除以除数，商是整数而且余数为零. 例2 下列哪个算式的被除数能被除数整除？为什么？ 10÷3， 48÷8， 6÷4. 解：因为10÷3=3……1， 48÷8=6, 6÷4=1.5. 所以，被除数能被除数整除的算式是 48÷8. 3.区别“整除”与“除尽”的概念 知识讲解 归纳：整除是除尽的 一种特殊形式. 随堂训练 1.判断： （1）自然数的个数是有限的.（ ） （2）2.5能被5整除.（ ） （3）0既不是正整数，也不是负整数.（ ） （4）a÷b=11,则b一定能整除a.（ ） （5）最小的整数是1.（ ） × × √ × × 2. 37÷4=9.25表示（ ） A 37能被4整除       B.4整除37         C 37不能被4整除             D 37不能被4除尽 3.下列算式中，被除数能被除数整除的是（ ） A 18÷4              B 12÷0.4       C 1.8÷1.8       D 4÷4 4.已知M能整除71，那么M是（ ） A 142                B 11                C 1或71         D 213 5.算式3÷5=0.6，表示3能被5________. C 随堂训练 D C 除尽 随堂训练 知识回顾 1．什么叫整除？ 2．如果12÷3=4，我们就说 能被 整除，或者说 能整除 ． 知识讲解 因数和倍数 思考 如果用12块边长是1个单位长度的正方形分别可以拼成形状不同的长方形，在平面上有多少种不同的摆法？它们的长和宽各是多少个单位？ 知识讲解 知识讲解 面积 ÷ 长 = 宽 12 ÷ 1 = 12 12 ÷ 2 = 6 12 ÷ 3 = 4 12 ÷ 4 = 3 12 ÷ 6 = 2 12 ÷ 12 = 1 这里的1，2，3，4，6，12都能整除12，可以说它们都是12的因数，而12是它们的倍数. 知识讲解 整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数(也称为约数）. 注意：因数和倍数是相互依存的,不能说某个数是因数，某个数是倍数．如因为4÷2=2，所以4是倍数，2是因数的说法是错误的. 知识讲解 例1 分别写出16和13的因数． 解：因为16÷1=16，16÷16=1，16÷2=8，16÷8=2，16÷4=4． 13÷1=13，13÷13=1．所以16的因数有1，2，4，8，16．13的因数有1，13． 知识讲解 例2 写出2和5的倍数. 解：能被2整除的数都是2的倍数．所以2与正整数1，2，3，4，5，…的积都能被2整除，因此，2的倍数有2，4，6，8，16，…； 同理，能被5整除的数都是5的倍数．所以5与正整数1，2，3，4，5，…的积都能被5整除，因此，5的倍数有5，10，15，20，25，…． 知识讲解 总结： 一个数因数的特征 一个数因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身. 一个数倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，它的最小倍数是它本身，没有最大倍数 . 用表格表示如下： 随堂训练 1.判断： （1）15的倍数一定大于15.（ ） （2）一个数的最大因数和它的最小倍数相等.（ ） （3）36的最小倍数和最小因数分别是36和2.（ ） （4）1没有因数.（ ） （5）40以内6的倍数有12、18、24、30、36这五个.（ ） × × √ × × 2.已知12÷4＝3，根据此式，判断下列说法中，不正确的是（　　） A.12 是4的倍数 B.12是倍数 C.4 是12的因数 D.4是12的约数 B 随堂训练 随堂训练 3. 写出 48 的因数 . 解：方法 1 ：列乘法算式 1×48 ＝ 48，1 和 48 是 48 的因数； 2×24 ＝ 48，2 和 24 是 48 的因数； 3×16 ＝ 48，3 和 16 是 48 的因数； 4×12 ＝ 48，4 和 12 是 48 的因数； 6×8 ＝ 48，6 和 8 是 48 的因数 . 所以 48 的因数有 1，2，3，4，6，8，12，16，24，48. 方法 2 ：列除法算式 48÷1 ＝ 48，1 和 48 是 48 的因数； 48÷2 ＝ 24，2 和 24 是 48 的因数； 48÷3 ＝ 16，3 和 16 是 48 的因数； 48÷4 ＝ 12，4 和 12 是 48 的因数； 48÷6 ＝ 8，6 和 8 是 48 的因数 . 所以 48 的因数有 1，2，3，4，6，8，12，16，24，48. 随堂训练 4. 按要求写出下列各数的倍数： （1）5（51 以内）；（2）12（100 以内）. 解：（1）因为 5×1 ＝ 5，5×2 ＝ 10，5×3 ＝ 15，5×4 ＝ 20，5×5＝ 25，5×6 ＝ 30，5×7 ＝ 35，5×8 ＝ 40，5×9 ＝ 45，5×10 ＝ 50.所以 51 以内 5 的倍数为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50. （2）因 为 12×1 ＝ 12，12×2 ＝ 24，12×3 ＝ 36，12×4 ＝ 48， 12×5 ＝ 60，12×6 ＝ 72，12×7 ＝ 84，12×8 ＝ 96，所以 100 以内 12 的倍数为12，24，36，48，60，72，84，96. 随堂训练 5. 有一个数，它既是 40 的因数，又是 5 的倍数，这个数可能是多少？最大是多少？ 解：40 的因数有 1，2，4，5，8，10，20，40. 40 以内（包括 40）5 的倍数有 5，10，15，20，25，30，35，40. 所以既是 40 的因数，又是 5 的倍数的数有 5，10，20，40. 其中最大的数是 40. 情景导入 生活中我们接触到的许多事物都是成对出现的，如一双鞋子、一双筷子……如果小明的家中有3人用餐，那么他要从筷笼中抽出6根筷子；如果小明家来了客人，那么他抽出的筷子的根数一定是2的倍数，即这个数是能被2整除的数. 这节课我们一起研究能被2、5整除的数的特征. 知识讲解 1.能被2整除的数的特征 思考 能被2整除的数有什么特征呢？ 知识讲解 观察 在下图右圈里的数都是2的倍数，这些数都是能被2整除的数. 归纳 能被2整除的数的特征 个位上是0，2，4，6，8的整数都能被2整除. 知识讲解 【分析】判断一个数是不是 2 的倍数，不管这个数有多大，只要看这个数的个位是不是 0，2，4，6，8，如果是这几个数字中的一个，那么这个数就是 2 的倍数；反之则不是 .9 736 和 98 的个位分别是 6 和 8，41，3 429，49 887 的个位分别是 1，9，7.. 例1 判断下面的数哪些是 2 的倍数 . 9 736，41，98，3 429，49 887. 解：9 736，98 是 2 的倍数． 知识讲解 2. 奇数和偶数的意义 翻开你的数学课本，所有左边的页码都能被2整除吗？所有右边的页码都能被2整除吗？左边和右边页码个位上的数各有什么特征？ 所有左边的页码都能被2整除，所有右边的页码都不能被2整除；左边页码个位上的数只有2，4，6，8，0；右边页码个位上的数只有1，3，5，7，9. 知识讲解 归纳 奇数、偶数的定义 能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数. 正整数按照能否被2整除分类 正整数 说明：这里所说的奇数和偶数是指正奇数和正偶数.当研究的数从正整数范围扩大到整数范围时，…， 等也是偶数，…， 等也是奇数. 知识讲解 （1）奇数的个位上的数有什么特点呢？ （2）在连续的正整数中（除了1外），与奇数相邻的两个数是奇数还是偶数？与偶数相邻的两个数呢？ 问题 解：（1）奇数的个位上的数是奇数. （2）与奇数相邻的两个数是偶数，与偶数相邻的两个数是奇数. 知识讲解 例2 从下列各数中找出适当的数填入相应的圈内 . 30，1，0，24，8，15，124，135，69，53，98，12.6，0.3． 【分析】根据个位数字是 0，2，4，6，8 的数为偶数，个位数字是 1，3，5，7，9 的是奇数分类. 知识讲解 3.能被5整除的数的特征 思考 能被5整除的数有什么特征呢？ 知识讲解 观察 在下图右圈里的数都是5的倍数，这些数都是能被5整除的数. 归纳 能被5整除的数的特征 个位上是0，5的整数都能被5整除. 由能被2整除的数的特征和能被5整除的数的特征可知，能同时被2和5整除的数的特征是这个整数的个位数字是0. 知识讲解 例3 （1）在 □ 内填一个数字，使三位数 23 □ 能被 2 整除，但不能被 5 整除，可填的数字有（　　）. A.1 个　　　B.2 个　　　　C.3 个　　　D.4 个 （2）在 □ 内填一个数字，使三位数 23 □ 能被 5 整除，但不能被 2整除，可填的数字是（　　）. A.0　　　　　B.5　　　　　C.1　　　　　D.2 【解析】一个三位数的个位数字可以是 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这10 个数字中的 1 个，其中能被 2 整除的数个位数字是 0，2，4，6，8，能被 5 整除的数的个位数字是 0，5. （1）能被 2 整除，但不能被 5 整除，所以个位数字是 2，4，6，8 的数符合，故 232，234，236，238 符合； （2）能被 5 整除，但不能被 2 整除，所以个位数字是 5 的数符合，故235 符合 . D B 随堂训练 1.判断： （1）因为 90.4 能除尽 2，所以 90.4 是偶数.（ ） （2）一个末位数字是 5 的数一定是 5 的倍数.（ ） × × 2. 下列说法中错误的是（　　） A. 任何一个偶数加上 1 之后，得到的都是一个奇数 B. 一个正整数，不是奇数就是偶数 C. 能被 5 整除的数一定能被 10 整除 D. 两个偶数的和仍是偶数 C 随堂训练 3. 五个连续偶数的和是 100，则其中最大的一个偶数是（　　） A.22 B.24 C.26 D.28 4.一个三位数能被5整除，这个三位数最小是　　　　. B 100 随堂训练 5. 已知 a 既是 2 的倍数，又是 5 的倍数 . （1）如果 a 是非零自然数，那么 a 最小可取多少？ （2）如果 a 是两位数，那么 a 最大可取多少？ （3）如果 a 是三位数，那么 a 最小可取多少？ 解：因为 2 的倍数的个位数字为 0，2，4，6，8 ；5 的倍数的个位数字为 0，5，所以既是 2 的倍数又是 5的倍数的数个位数字为 0. （1）a 是非零自然数，所以 a 最小可取 10 ； （2）a 是两位数，所以 a 最大可取 90 ； （3）a 是三位数，所以 a 最小可取 100. 知识回顾   因数 因数的个数 1     2     3     4     5     6     7     8     9     10     11     12     13     14     写出下列每个数各含有几个因数，并完成表格 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14. 知识讲解 1.素数、合数 思考 我们会求一个正整数的因数，那么一个正整数有几个因数呢？ 知识讲解   因数 因数的个数 1 1  1 2  1，2 2  3  1，3 2  4  1,2，4 3  5  1,5 2  6  1,2,3,6 4  7  1,7 2  8  1,2,4,8 4  9  1,3,9 3  10 1,2,5,10  4  11  1,11 2  12  1,2,3,4,6,12 6  13  1,13 2  14  1,2,7,14 4  知识讲解 由表格可以看出，共有三类数：第一类数的因数只有1；第二类数的两个因数是1和它本身；第三类数的因数除了1和它本身还有别的因数． 归纳：素数、合数的定义 一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数．素数也叫做质数．一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数．1既不是素数，也不是合数. 知识讲解 巩固练习 填空： 20以内的正整数中，既不是素数，也不是合数的数是（ ），最小的素数是（ ），它还是（ ）数；最小的合数是（ ）；一个数既是合数，又是奇数，这个数最小是（ ）. 1 2 偶 4 9 知识讲解 2.正整数按它的因数的个数的分类情况 正整数按它的因数的个数可以分成素数、合数和1． 用图示表示如下： 知识讲解 【例】判断27，29，35和37是素数还是合数． 【解】27的因数有1、3、9、27，共四个，是合数； 29的因数有1、29，共两个，是素数； 35的因数有1、5、7、35，共四个，是合数； 37的因数有1、37，共两个，是素数． 【问题探索】利用整除的特征来判断，也可以通过直接数因数的个数来进行判断． 知识讲解 100以内的素数表 随堂训练 C 1.25的因数（ ） A.一定都是素数 B.不是素数就是合数 C.有素数，也有合数 D.有奇数，也有偶数 2.以下说法正确的是（ ） ①最小的素数是1；② 2既是偶数，又是素数；③两个素数的积一定是合数；④合数一定是偶数． A.①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ B 3.如果两个不同素数的积是小于10的偶数，那么这两个素数是 ． 4.最小的自然数与最小的合数的和等于 ． 随堂训练 2和3 4 随堂训练 5.小方家的电话号码是8位数，8个数字从左到右依次是： （1）5 的最小倍数； （2）28 的最大素因数； （3）最小的自然数； （4）不是素数也不是合数； （5）只有一个因数； （6）奇数且有三个因数； （7）最小奇数和最小素数的和； （8）最小的合数． 小方家的电话号码是多少？ 解：因为5的最小倍数是5，28的最大素因数是7，最小的自然数为0，不是素数也不是合数的数是1，只有一个因数的数是1，奇数且有三个因数的是9，最小奇数与最小素数的和为1+2＝3，最小合数为4，所以小方家的电话号码是570 119 34． 知识回顾 1.什么叫素数？什么叫合数？ 2.在1至20中，素数有哪些？合数有哪些？ 3.判断下面哪几个数是合数？ 5、6、23、28、31、60 4.第3问中的合数我们能不能写成几个素数相乘的形式？ 知识讲解 素因数、分解素因数 思考 6，28和60可以写成哪几个素数相乘的形式？ 6＝2×3 28＝2×2×7 60＝2×2×3×5 知识讲解 提示：把一个合数写成分解素因数的形式，要分解的合数写在等号左边，把它的素因数相乘的形式写在等号右边，通常把几个素因数按照从小到大的顺序排列． 每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数． 把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数，这种表示形式像树枝，我们把这种表示方法叫做树枝分解法． 知识讲解 把48分解素因数. 所以，48＝2×2×2×3. 这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”. 知识讲解 总结 短除法分解素因数的步骤 1.先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除． 2.得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止． 3.然后把各个除数和最后的商按照从小到大的顺序写成连乘的形式． 知识讲解 巩固练习 把56分解素因数的正确算式是（ ） A.56＝1×2×2×2×7 B.56＝7×8 C.56＝2×2×2×7 D.2×4×7＝56 C 知识讲解 【例】有10张标有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29 的纸牌，从中抽取一张，记住其数字之后放回去重洗，再抽取一张又放回去…如此进行四次，记住四个数字的乘积为P，那么136，198，455，1 925，2 001五个数中不能等于P的是哪个？ 【问题探索】将136，198，455，1 925，2 001 五个数分解素因数，找到其中素因数个数不是4的数即为所求． 知识讲解 【解】因为136＝2×2×2×17，为4个数的乘积； 198＝2×3×3×11，为4个数的乘积； 455＝5×7×13，只有3个数不可能为4个数的乘积； 1 925＝5×5×7×11，为4个数的乘积； 2 001＝3×23×29，只有3个数不可能为4个数的乘积． 故136，198，455，1 925，2 001五个数中不能等于P的是455和2 001． 【总结】根据素因数分解方法，将136，198，455，1 925，2 001 五个数分解素因数，再根据素因数个数作出判断． 随堂训练 D D 1.把A分解素因数：A＝a×b×c，（a、b、c 互不相等），A的因数有（ ） A.3个 B.6个 C.7个 D.8个 2.下列各式中，表示分解素因数的式子是（ ） A.2×15＝30 B.60＝2×5×6 C.12＝1×3×4 D.45＝3×3×5 随堂训练 3.用短除法分解素因数：80，132，165． 80＝2×2×2×2×5； 132＝2×2×3×11； 165＝3×5×11. 随堂训练 4.规定一种新运算，对于一个合数n，（n）表示不是n的素因数的最小素数，如（4）＝3，（12）＝5，那么（60）＋（84）的值是多少？ 解：根据新定义计算：因为60＝2×3×5，所以2，3，5是60的素因数，所以不是60的素因数的最小素数是7，因为84＝2×2×3×7，所以2，3，7是84的素因数，所以不是84的素因数的最小素数是5. 所以（60）＋（84）＝7＋5＝12. 知识讲解 24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24. 32的因数有1，2，4，8，16，32. 24和32公有的因数有1，2，4，8.其中最大的一个公有的因数是8. 情景导入 回忆什么叫因数？什么叫倍数？ 问题1：8和12的因数有哪些？ 问题2：这两个数的公共因数有哪些？最大的是几？ 知识讲解 公因数与最大公因数 思考 植树节这天，老师带领24名女生和32名男生到植物园种树，老师把这些学生分成人数相等的若干个小组，每个小组中的男生人数都相等，请问，这56名同学最多分成几组？ 分成的组数必须能同时整除24和32，也就是24和32的公有的因数，并且最大的是组数． 因此老师最多可以把这些学生分成8组，每组中分别有3名女生和4名男生． 几个整数公有的因数叫做这几个整数的公因数；其中最大的一个叫做这几个整数的最大公因数． 知识讲解 【分析】分别写出8和9的所有因数，根据最大公因数的定义写出这两个数的最大公因数，也可以根据图示求解. 例1 求8和9的所有公因数，并求它们的最大公因数. 解：8的因数有1，2，4，8， 9的因数有1，3，9， 8和9只有一个公因数1，因此8和9的最大公因数是1． 【总结】列举法表示一个数的因数时，要从最小的因数1开始列举，做到不重不漏． 如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素. 知识讲解 巩固练习 判断：3和9，4和9，3和7，7和14，14和15五对数中，哪几对是互素的？ 解：4和9，3和7，14和15是互素的． 素数与互素的区别：1.素数是指一个数，互素是指两个数； 2.素数是指只有1和本身两个因数的正整数； 3.互素是指两个正整数只有公因数1． 知识讲解 例2：求18和30的最大公因数． 解法1：先找18的因数，再找30的因数，然后找到两个数的公因数有1，2，3，6，所以最大公因数是6． 解法2：把18和30分别分解素因数，两个数全部公有的因数是2和3，因此2和3的乘积6是最大公因数． 总结：求几个整数的最大公因数，只要把它们所有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数． 解法3：短除法. 第一步：用公有的素因数2除； 第二步：用公有的素因数3除； 第三步：除到两个商互素为止． 18和30的最大公因数是2×3=6． . 知识讲解 例3：求48和60的最大公因数. 规律：两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数，如果这两个数互素，那么它们的最大公因数就是1． 问题： （1）3和15的最大公因数是 ； （2）18和36的最大公因数是 ； （3）6和7的最大公因数是 ； （4）8和15的最大公因数是 ． 3 18 1 1 知识讲解 1.下列说法正确的（ ） A.两个合数的最大公因数不可能是1 B.两个数的最大公因数一定比这两个数小 C.17和51的最大公因数是1 D.两个数的最大公因数是1，那么这两个数互素 2.下列各组数中，最大公因数最小的是（ ） A.2和6 B.15和25 C.100和101 D.9和18 3.已知甲数＝2×3×5×m，乙数＝2×3×7×m，甲、乙两数的最大公因数是 30，则 m＝ ． 随堂训练 D C 5 随堂训练 4.求72和54的最大公因数． 解：方法1：列举法 72的因数有1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72， 54的因数有1，2，3，6，9，18，27，54． 所以72和54的公因数有1，2，3，6，9，18，最大公因数是18． 方法2：分解素因数法 72＝2×2×2×3×3 54＝2×3×3×3 可以看出72和54全部公有素因数是2，3，3， 因此2×3×3是72和54的最大公因数，即最大公因数是18． 方法3：短除法 因此72和54的最大公因数是2×3×3＝18． 情景导入 1.口答：说出下列各组数的最大公因数． 4和9，24和8，13和11，12和18. 2.用短除法求18和24的最大公因数． 3.说出下列各数的倍数．（从小到大写5个） 2，3，4，5，6 知识讲解 公倍数与最小公倍数 思考 在上海南站，地铁1号线每隔3分钟发车，轨道交通3号线每隔4分钟发车．如果地铁1号线和轨道交通3号线早晨6：00同时发车，那么至少再过多少时间它们又同时发车？ 早晨6点以后地铁1号线发车间隔的时间（分钟）是3的倍数，而轨道交通3号线发车的时间（分钟）是4的倍数，这个问题可以转化为求3和4的最小公倍数． 知识讲解 3的倍数有3，6，9，12，15，18，21，24，27，…. 4的倍数有4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，…. 3和4公有的倍数有12，24，….其中最小的一个是12. 所以12分钟后，地铁1号线和轨道3号线再次同时发车． 几个整数公有的倍数叫做这几个整数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个整数的最小公倍数． 知识讲解 巩固练习 找出下面每组数的公倍数和最小公倍数． （1）8和6；（2）7和8；（3）4和16． 解：（1）8和6的公倍数：24，48，…； 8和6的最小公倍数：24． （2）7和8的公倍数：56，112，…； 7和8的最小公倍数：56． （3）4和16的公倍数：16，32，48，64，…； 4和16的最小公倍数：16． 知识讲解 例1 求18和30的最小公倍数． 解：方法1：18的倍数有18，36，54，72，90，…； 30的倍数有 30，60，90，120，150，…． 所以18和30的最小公倍数是90． 方法2：把18和30分解素因数.18=2×3×3，30=2×3×5. 18和30的公倍数里，应当既包含18的所有素因数，又包括30的所有素因数，但相同的素因数可以只取一个，只要取出18，30的所有公有的素因数（1个2和1个3），再取各自剩余的素因数（3和5），将这些数连乘，所得的积2×3×3×5（90）就是30和18的最小公倍数． 所以18和30的最小公倍数是90（2×3×3×5）. 知识讲解 总结：求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数． 解法3：短除法. 第一步：用公有的素因数2除； 第二步：用公有的素因数3除； 第三步：除到两个商互素为止． 由此得到18和30的最小公倍数是2×3×3×5=90． . 知识讲解 例2：求24和42的最小公倍数． 解法1：列举法 24的倍数有：24，48，72，96，120，144，168，…； 42的倍数有：42，84，126，168，210，…， 所以24和42的最小公倍数是168． 解法2：分解素因数法 24＝2×2×2×3， 42＝2×3×7， 所以24和42的最小公倍数是2×2×2×3×7＝168． 知识讲解 解法3：短除法. 所以24和42的最小公倍数是2×3×4×7＝168． 【总结】（1）列举法求最小公倍数适合求较小两数的最小公倍数，列举时从一倍开始；（2）分解素因数法把公有的素因数只记算一次，不能重复计算；（3）用短除法求最小公倍数，可以直接用这两个数除以较大因数． 知识讲解 例3 求30和45的最大公因数和最小公倍数. 知识讲解 规律：如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数，如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数． 问题： （1）3和15的最小公倍数是 ； （2）18和36的最小公倍数是 ； （3）8和9的最小公倍数是 ； （4）8和15的最小公倍数是 ． 15 36 72 120 随堂训练 A B 1.72是18和12的（ ） A.公倍数 B.最小公倍数 C.公因数 D.最大公因数 2.下列说法中正确的是（ ） A.互素的两个数没有最大公因数 B.两个数的最大公因数与最小公倍数的积等于这两数的积 C.两个数的公因数一定比这两个数小 D.两个数的公倍数一定比这两个数大 随堂训练 3.如果正整数A是正整数B的因数，那么它们的最小公倍数是 ，3和18的最小公倍数是 ． 4.如果A＝2×2×3，B＝2×3×7，那么A和B的最小公倍数是 ，它们的最小公倍数是最大公因数的 倍． B 18 84 14 随堂训练 5. （1）用分解素因数法求下列两组数的最小公倍数． 8和20 24和60 （2）用短除法求下列两组数的最小公倍数和最大公因数． 18和30 42和63 解:（1）8＝2×2×2，20＝2×2×5， 所以8和20的最小公倍数为2×2×2×5＝40，24＝2×2×2×3，60＝2×2×3×5， 所以24和60的最小公倍数为2×2×2×3×5＝120． (2) 所以18和30的最小公倍数是2×3×3×5＝90，最大公因数是2×3＝6． 随堂训练 所以42和63的最小公倍数是3×7×2×3＝126，最大公因数是3×7＝21． 课堂小结 1.正整数和零统称为自然数.正整数、零和负整数统称为整数. 2.整数a除以整数b,如果除得的商是整数而余数为零,我们就说a能被b整除;或者说b能整除a. 整除的条件： （1）除数、被除数都是整数； （2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零. 3. 区别“整除”与“除尽”的概念 课堂小结 1. 整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数． 2. 一个数因数、倍数的特征 课堂小结 1. 能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数. 正整数按照能否被2整除分类： 正整数 2. 个位上是0，2，4，6，8的整数都能被2整除；个位上是0，5的整数都能被5整除；个位上是0的整数能同时被2和5整除. 课堂小结 1.一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素 数．素数也叫做质数．一个正整数，如果除了1和它本身以外还 有别的因数，这样的数叫做合数．1既不是素数，也不是合数. 2. 正整数按它的因数的个数的分类情况： 课堂小结 1.素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数． 分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数． 2.分解素因数的方法：树枝分解法、短除法、口算、计算器. 课堂小结 1.公因数和最大公因数的概念：几个整数公有的因数叫做这几个整数的公因数；其中最大的一个叫做这几个整数的最大公因数． 2.互素的概念：如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素． 3.求最大公因数的方法：列举法、分解素因数法、短除法. 课堂小结 1.公倍数与最小公倍数的概念：几个整数公有的倍数叫做这几个整数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个整数的最小公倍数． 2.求最小公倍数的方法：列举法、分解素因数法、短除法. 103 $$