专题01 利用空间向量研究探索性问题【常考压轴题】-2024-2025学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

专题01 利用空间向量研究探索性问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲解 2 类型一、平行关系中的探索性问题 2 类型二、垂直关系中的探索性问题 4 类型三、空间角中的探索性问题 6 类型四、空间距离中的探索性问题 8 压轴能力测试 10 一、与空间向量有关的探索性问题 一类是探索线面位置关系的存在性问题，即线面的平行与垂直， 另一类是探索线面的数量关系的存在性问题，即线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题。 二、利用空间向量解决立体几何的探索性问题思路： （1）根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。 （2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在。 三、动点的设法（减少变量数量） 在解决探索性问题中点的存在性四，经常需要设出点的坐标，而可表示空间中的任一点，使用三个变量设点需要列三个方程，导致运算量增大。为了减少变量数量，用以下设法。 1、直线（一维）上的点：用一个变量可以表示出所求点的坐标； 依据：根据平面向量共线定理—若，使得 【示例】已知，，那么直线上的某点坐标可用一个变量表示， 方法如下：， 因为在上，所以 ∴， 所以可设点. 2、平面（二维）上的点：用两个变量可以表示出所求点的坐标。 依据：平面向量基本定理—若，不共线，则平面上任意一个向量，均存在，，使得 【示例】已知，，，则平面上某点坐标可用两个变量表示， 方法如下：，， 故，即 所以可设点. 类型一、平行关系中的探索性问题 例．（23-24高二上·河南周口·期中）如图，在正三棱柱中，，，是的中点，，点在上，且. (1)是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. (2)若二面角的夹角为，求异面直线与所成角的余弦值. 【变式训练1】（23-24高二上·贵州安顺·期末）将矩形面绕边顺时针旋转得到如图所示几何体．已知，，点E在线段上，P为圆弧的中点． (1)当E是线段的中点时，求异面直线AE写所成角的余弦值； (2)在线段上是否存在点E，使得平面？如果存在，求出线段BE的长，如果不存在，说明理由． 【变式训练2】（23-24高二上·广东佛山·月考）如图，在正方体中，分别是的中点 (1)证明：平面. (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在.请说明理由. 【变式训练3】（22-23高二上·山东青岛·月考）如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，．    (1)求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 类型二、垂直关系中的探索性问题 例．（23-24高二上·上海普陀·月考）设常数．如图在矩形中，平面．若线段上存在点，使得，则的取值范围是 ． 【变式训练1】（23-24高二上·山西吕梁·月考）如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且. (1)若点满足，求证：平面； (2)底面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【变式训练2】（2024高二上·江苏·专题练习）如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在的平面互相垂直，已知，. (1)求证：； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式训练3】（23-24高二上·福建福州·月考）如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.    (1)求证：平面； (2)判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 类型三、空间角中的探索性问题 例．（23-24高二下·浙江宁波·期末）如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.面面. (1)求证：： (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由. 【变式训练1】（23-24高二上·广东·月考）已知正方形的边长为4（图1），、分别为、的中点，以为棱将正方形折成如图所示的二面角，且，点是线段上的动点（图2）．    (1)若为的中点，为的中点（图3），证明：直线平面； (2)是否存在点，使得直线与平面所成的角为；若存在，求此时点到平面的距离，若不存在，说明理由． 【变式训练2】（22-23高二上·湖南岳阳·期末）如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，相交于点，现沿着折成四棱锥（如图2） (1)当四棱锥的体积最大时，求点到平面的距离. (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式训练3】（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）图1是直角梯形，，，，，，在线段上，且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2． (1)求证：平面平面 (2)在棱上存在点，使得锐二面角的大小为，求到平面的距离． 类型四、空间距离中的探索性问题 例．（23-24高二上·安徽安庆·月考）图①是直角梯形，四边形是边长为2的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值：若不存在，请说明理由． 【变式训练1】（23-24高二上·云南昆明·期中）如图，三棱锥，，，. (1)求证：； (2)是否存在点Q，满足，且点Q到平面的距离为1?若存在，求直线与平面所成角的正弦值；若不存在，说明理由. 【变式训练2】（23-24高三上·北京昌平·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点. (1)证明：∥平面； (2)若，， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【变式训练3】（22-23高三上·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，为线段上一点. (1)若，求证：平面； (2)若，，异面直线与成角，二面角的余弦值为，在线段上是否存在点，使得点到直线的距离为，若存在请指出点的位置，若不存在请说明理由. 1．（23-24高二下·江苏南京·期中）如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论正确的是（    ） A．存在点E，使平面 B．三棱锥的体积随动点E变化而变化 C．直线与所成的角不可能等于 D．存在点E，使平面 2．（23-24高一下·浙江杭州·期中）（多选）在正方体中，点M为线段上的动点（含端点），则（    ） A．存在点M，使得平面 B．存在点M，使得平面 C．不存在点M，使得直线平面所成的角为 D．不存在点M，使得直线平面所成的角为 3．（23-24高二上·重庆·月考）（多选）如图所示几何体，是由正方形沿直线旋转得到，是圆弧的中点，是圆弧上的动点（含端点），则（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．存在点，使得平面 D．存在点，使得平面 4．（2024·云南楚雄·一模）（多选）在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则（    ） A．存在点，使 B．存在点，使点到直线的距离为 C．存在点，使直线与所成角的余弦值为 D．存在点，使点，到平面的距离之和为3 5．（22-23高二下·湖南长沙·期末）如图，在四棱锥中，平面PAD，△PAD为等边三角形，//，，平面PBC交平面PAD直线l，E、F分别为棱PD，PB的中点． (1)求证：∥； (2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值； (3)在棱PC上是否存在点G，使得∥平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由． 6．（23-24高二上·湖北随州·月考）如图所示，在三棱柱中，，是的中点. (1)用表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 7．（23-24高二上·云南昭通·期中）如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，是的中点 (1)求证：平面. (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. (3)若，线段上是否存在一点，使平面?若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 8．（23-24高二上·广东东莞·月考）在中，，，，、分别是、上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.    (1)求与平面所成角的大小； (2)在线段上是否存在点（不与端点、重合），使平面与平面垂直?若存在，求出与的比值；若不存在，请说明理由. 9．（23-24高二下·北京·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，点在棱上，且平面． (1)求证：为中点； (2)求二面角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，说明理由． 10．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面． (1)求证：； (2)若，在棱上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 利用空间向量研究探索性问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲解 2 类型一、平行关系中的探索性问题 2 类型二、垂直关系中的探索性问题 8 类型三、空间角中的探索性问题 13 类型四、空间距离中的探索性问题 19 压轴能力测试 26 一、与空间向量有关的探索性问题 一类是探索线面位置关系的存在性问题，即线面的平行与垂直， 另一类是探索线面的数量关系的存在性问题，即线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题。 二、利用空间向量解决立体几何的探索性问题思路： （1）根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。 （2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在。 三、动点的设法（减少变量数量） 在解决探索性问题中点的存在性四，经常需要设出点的坐标，而可表示空间中的任一点，使用三个变量设点需要列三个方程，导致运算量增大。为了减少变量数量，用以下设法。 1、直线（一维）上的点：用一个变量可以表示出所求点的坐标； 依据：根据平面向量共线定理—若，使得 【示例】已知，，那么直线上的某点坐标可用一个变量表示， 方法如下：， 因为在上，所以 ∴， 所以可设点. 2、平面（二维）上的点：用两个变量可以表示出所求点的坐标。 依据：平面向量基本定理—若，不共线，则平面上任意一个向量，均存在，，使得 【示例】已知，，，则平面上某点坐标可用两个变量表示， 方法如下：，， 故，即 所以可设点. 类型一、平行关系中的探索性问题 例．（23-24高二上·河南周口·期中）如图，在正三棱柱中，，，是的中点，，点在上，且. (1)是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. (2)若二面角的夹角为，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)不存在，理由见解析；(2) 【解析】（1）取的中点，连接，则，又平面平面， 平面平面，平面，所以平面， 如图建立空间直角坐标系，则，，，， ，，，， 所以，，， 因为， 所以， 因为，所以，则，则，方程组无解， 故不存在实数，使得. （2）由（1）可得，， 设平面的法向量为， 则，取， 平面的一个法向量为， 所以，解得或（舍去）， 所以，所以， 又， 设异面直线与所成角为，则， 所以异面直线与所成角的余弦值. 【变式训练1】（23-24高二上·贵州安顺·期末）将矩形面绕边顺时针旋转得到如图所示几何体．已知，，点E在线段上，P为圆弧的中点． (1)当E是线段的中点时，求异面直线AE写所成角的余弦值； (2)在线段上是否存在点E，使得平面？如果存在，求出线段BE的长，如果不存在，说明理由． 【答案】(1)；(2)存在； 【解析】（1）如图，以A为原点，以AC，AB，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz． 则，，，， 当E是线段的中点时，，，， 则， 所以异面直线AE与所成角的余弦值为． （2）设， 设平面的法向量为， 又，，， 所以，令，得， 若平面，则，解答． 所以在线段上存在点E，使得平面，此时． 【变式训练2】（23-24高二上·广东佛山·月考）如图，在正方体中，分别是的中点 (1)证明：平面. (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在.请说明理由. 【答案】(1)见解析；(2)存在，满足，理由见解析 【解析】（1）以D为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 由中点坐标公式可得， 则，，， ， ， ，， 即，， 又，平面， 平面. （2）假设存在，使平面，设， 则， 由（1）知，是平面的一个法向量， 则，解得， 故存在，满足，使平面. 【变式训练3】（22-23高二上·山东青岛·月考）如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，．    (1)求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)当点为的中点时，有平面. 【解析】（1）作平面，又，所以以的方向分别为轴，轴的正方向， 建立如下图所示的空间直角坐标系： 因为平面平面，平面平面，且，平面， 所以平面， 又因为为的中点，，且，，， 所以由题意有， 所以有 不妨设平面的法向量为， 所以有，即， 取，解得， 所以点到平面的距离为. （2）如图所示： 由题意有， 所以有 不妨设平面的法向量为， 所以有，即， 取，解得， 不妨设直线与平面所成角为， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 所以直线与平面所成角的余弦值为. （3）如图所示： 由题意有 所以， 由题意不妨设， 所以， 又由（2）可知平面的法向量为， 若平面，则， 即，解得， 所以当点为的中点时，有平面. 类型二、垂直关系中的探索性问题 例．（23-24高二上·上海普陀·月考）设常数．如图在矩形中，平面．若线段上存在点，使得，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 因为在矩形中，平面， 所以以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设，，其中或不符题意， 则，，， 则有， 由，得 即， 若线段上存在点，即方程在有解， 设函数为，，对称轴为， 则方程在有解需满足， 又因为，所以. 故答案为： 【变式训练1】（23-24高二上·山西吕梁·月考）如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且. (1)若点满足，求证：平面； (2)底面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，. 【解析】（1）以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴 建立空间直角坐标系，如图所示. 所以，，，，，， 所以，. 设平面的一个法向量， 所以， 令，解得，，所以平面的一个法向量. 若，则， 所以， 所以，， 又平面，所以平面. （2）假设底面内存在一点，使得平面， 设， 又，所以， 又平面的一个法向量，所以， 所以，解得，， 所以底面内存在一点，使得平面，此时. 【变式训练2】（2024高二上·江苏·专题练习）如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在的平面互相垂直，已知，. (1)求证：； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【解析】（1） 证明：∵平面平面，平面， ，平面，∴平面. ∵平面，∴， 过A作于H， 则， ∴，∴，∴. ∵，平面， ∴平面. ∵平面，∴. （2） 存在.理由：由（1）知，两两垂直， 以A为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合， 设，则， 由，可求得. 设平面PAC的一个法向量为，则， 由， 可得， 即，令，则，所以为平面PAC的一个法向量. 又， 设平面BCEF的一个法向量为， 则，可得， 所以为平面BCEF的一个法向量. 当，即时，平面平面，故存在满足题意的P， 此时. 【变式训练3】（23-24高二上·福建福州·月考）如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.    (1)求证：平面； (2)判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)在线段上不存在一点，使平面平面，理由见解析 【解析】（1），，， ，，平面， 平面，平面，， ，，平面，平面； （2）由题意，以，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 令， 则， 设，，则，， 设平面的法向量为，则，取， 平面平面， ，解得， ，在线段上不存在一点，使平面平面． 类型三、空间角中的探索性问题 例．（23-24高二下·浙江宁波·期末）如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.面面. (1)求证：： (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)或. 【解析】（1）由矩形，得，而平面平面，平面平面， 平面，则平面，又面，于是， 而，，平面， 因此平面，又平面，所以. （2）取的中点，作，连接，由（1）知，平面， 而平面，则，又，，则，即两两垂直， 以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系， 假定在线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，设， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 于是，整理得，解得或， 所以在线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，此时或. 【变式训练1】（23-24高二上·广东·月考）已知正方形的边长为4（图1），、分别为、的中点，以为棱将正方形折成如图所示的二面角，且，点是线段上的动点（图2）．    (1)若为的中点，为的中点（图3），证明：直线平面； (2)是否存在点，使得直线与平面所成的角为；若存在，求此时点到平面的距离，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)是靠近或的四等分点，此时点到平面的距离为. 【解析】（1）若是中点，连接交于，为的中点， 又为矩形，易知是中点， 由，则是平行四边形，又为的中点， 所以为中位线，即， 由面，面，故直线平面； （2）若为中点，作面，构建空间直角坐标系， 设，则， 所以，，， 令是面一个法向量，则， 若，则， 所以，则， 当，则，，故； 当，则，，故； 综上，是靠近或的四等分点，此时点到平面的距离为. 【变式训练2】（22-23高二上·湖南岳阳·期末）如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，相交于点，现沿着折成四棱锥（如图2） (1)当四棱锥的体积最大时，求点到平面的距离. (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在， 【解析】（1）在图1中，在中，， ，易知四边形为正方形，，即为中点， 在图2中，当四棱锥的体积最大时，即侧面⊥底面， 因为侧面，所以⊥底面， 以为原点，，，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示空间直角坐标系. 则，，，，， ， 方法1：设平面的一个法向量为， ，，， A点到平面的距离. 方法2：（等体积法） 由题意得为等边三角形，且， ，， 设A点到平面的距离为， ，， ，. （2）假设存在，且设， ， ，设平面的一个法向量为， ，，， 易知平面的一个法向量为， 平面与平面的夹角的余弦值为， ， 化简整理得，解得： 或（舍）， 线段上存在满足条件的点，且. 【变式训练3】（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）图1是直角梯形，，，，，，在线段上，且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2． (1)求证：平面平面 (2)在棱上存在点，使得锐二面角的大小为，求到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）在图1中，过作，所以， 又，所以，所以是等边三角形； 连接，可得：也是等边三角形. 在图2中取中点，连接，， 因为，，所以，所以. 且，，PO平面，平面，所以平面， 平面，所以平面平面. （2）因为，，两两垂直，可以以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，， 所以：，. 设，，所以 所以. 设平面的法向量， 则， 可取， 取平面的法向量. 锐二面角的大小为， 所以，即或（舍去）. 所以平面的法向量，. 所以点到平面的距离为：. 类型四、空间距离中的探索性问题 例．（23-24高二上·安徽安庆·月考）图①是直角梯形，四边形是边长为2的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明过程见解析；(2)存在，直线与平面所成角的正弦值为. 【解析】（1）取的中点，连接， 因为四边形是边长为2的菱形，并且， 所以均为等边三角形，故且， 因为，所以， 由勾股定理逆定理得：，又因为是平面内两条相交直线， 所以平面，即平面, 因为平面，所以平面平面； （2）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系，则， 设，故， 解得：，故， 设平面的法向量为， 则， 故， 令，则，故， 其中 则， 解得：,则， 设直线与平面所成角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 【变式训练1】（23-24高二上·云南昆明·期中）如图，三棱锥，，，. (1)求证：； (2)是否存在点Q，满足，且点Q到平面的距离为1?若存在，求直线与平面所成角的正弦值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）如图，取中点，连接， ，，， 则，， ，，， 平面，平面，则平面， 平面，. （2）由，，， ，， ，即，则两两垂直， 以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， ， 设，，平面的一个法向量为， ， 又，，解得， ， 设平面的一个法向量为， ， ，令，， ，， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为 【变式训练2】（23-24高三上·北京昌平·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点. (1)证明：∥平面； (2)若，， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)（i），（ii）存在点，. 【解析】（1）如图，取中点，连接，， 因为是中点，所以，， 又，，，， 所以四边形是平行四边形，， 又平面，平面，平面. （2），，又，， ，则， 又平面平面，平面平面， 平面， ，又， 所以，，两两互相垂直， 如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， （i）设平面的一个法向量为，则 ，即，令，可得，， ， 又平面的一个法向量为， ， 所以二面角的余弦值为. （ii）假设线段上存在点，使得点到平面的距离为， 设，，， ， 由（i）知平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为， 则，解得或， 又，所以， 即存在点到平面的距离为，且. 【变式训练3】（22-23高三上·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，为线段上一点. (1)若，求证：平面； (2)若，，异面直线与成角，二面角的余弦值为，在线段上是否存在点，使得点到直线的距离为，若存在请指出点的位置，若不存在请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)线段上存在点，为靠近或靠近的三等分点 【解析】（1）（1）过点作，交于点，连接， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴， 所以四边形为平行四边形，则， ∵平面，平面， ∴平面； （2）由异面直线与成角，即， ∵，，∴平面， ∵，过点作交于点， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为，、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 则， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 可得平面的一个法向量为， 由于二面角的余弦值为， 则，解得， 则， 假设线段上存在点，使得点到直线的距离为， 设， ∴， 则， ∴，， ∴点到直线的距离为，解得或， 所以线段上存在点，为靠近或靠近的三等分点时，使得点到直线的距离为. 1．（23-24高二下·江苏南京·期中）如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论正确的是（    ） A．存在点E，使平面 B．三棱锥的体积随动点E变化而变化 C．直线与所成的角不可能等于 D．存在点E，使平面 【答案】D 【解析】在正方体中，以点D为原点， 直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 由在线段上运动，设（），则， 平面的法向量，显然，则直线与平面不平行，A错误； ，设直线与所成角为，则， 显然当时，，，即存在点E使得直线与所成的角为，C错误； 设平面的法向量为，， 则，令，得， 当时，，因此平面，D正确； 点在正方体的对角面矩形的边上，则， 而平面平面，则，又， 可得平面，点到平面的距离为，则三棱锥的体积为定值，B错误. 故选：D 2．（23-24高一下·浙江杭州·期中）（多选）在正方体中，点M为线段上的动点（含端点），则（    ） A．存在点M，使得平面 B．存在点M，使得平面 C．不存在点M，使得直线平面所成的角为 D．不存在点M，使得直线平面所成的角为 【答案】BCD 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 设平面的法向量为， ， 则有，， 假设存在点M，使得平面，所以有， 所以有，方程无解，因此假设不成立，因此选项A不正确； 假设存在点M，使得∥平面， 所以有，解得，所以假设成立，因此B正确； 假设存在点M，使得直线与平面所成的角为，， 所以有， 解得，，所以假设不成立，故选项C正确； 假设存在点M，使得直线与平面所成的角为，， 所以有， 解得，，所以假设不成立，故选项D正确.故选：BCD 3．（23-24高二上·重庆·月考）（多选）如图所示几何体，是由正方形沿直线旋转得到，是圆弧的中点，是圆弧上的动点（含端点），则（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．存在点，使得平面 D．存在点，使得平面 【答案】BC 【解析】由题意可将图形补全为一个正方体，如图所示: 对于A，因为，若，则，又， 则重合，因为是圆弧上的动点，不可能重合， 所以不成立，故A错误； 对于B，因为平面，平面，所以， 所以当重合时，有，故B正确； 对于C，以为原点建立空间直角坐标系，设， 则，，，， 设，必有，故，，， 设面的法向量为， 则，，解得，，，故， 若平面，则，解得，即是的中点，故C正确； 对于D，由选项C可知，当时，平面， 则，解得，又，所以不成立， 所以不存在点，使得平面，故D错误.故选：BC 4．（2024·云南楚雄·一模）（多选）在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则（    ） A．存在点，使 B．存在点，使点到直线的距离为 C．存在点，使直线与所成角的余弦值为 D．存在点，使点，到平面的距离之和为3 【答案】AB 【解析】连接，则，故A正确； 点到直线的距离，故B正确； 以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，， 设，，则，， 假设存在点，使直线与所成角的余弦值为， 则， 整理得，解得，故C错误； 在平面中，过，分别作，，垂足为，， 则点，到平面的距离之和为． 设，则， 当点与重合时，点，到平面的距离之和最大， 所以不存在点，使点，到平面的距离之和为3，故D错误．故选：AB 5．（22-23高二下·湖南长沙·期末）如图，在四棱锥中，平面PAD，△PAD为等边三角形，//，，平面PBC交平面PAD直线l，E、F分别为棱PD，PB的中点． (1)求证：∥； (2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值； (3)在棱PC上是否存在点G，使得∥平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在， 【解析】（1）因为//，平面，平面，所以//平面， 又因为平面，平面平面直线l，所以∥. （2）取的中点，连接， 由题意可得：//，且， 则为平行四边形，可得//， 且平面PAD，则平面PAD， 由平面PAD，则， 又因为△PAD为等边三角形，则为的中点，可得， ，平面，则平面， 如图，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，即， 由题意可知：平面PAD的法向量， 可得， 所以平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值. （3）由（2）可得：， 设，，则， 可得，解得， 即，可得， 若∥平面AEF，则， 可得，解得， 所以存在点，使得∥平面AEF，此时. 6．（23-24高二上·湖北随州·月考）如图所示，在三棱柱中，，是的中点. (1)用表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在，时，. 【解析】（1） （2）假设存在点，使，设， 显然. 因为，所以， 即 . 设，又， 即，解得， 所以当时，. 7．（23-24高二上·云南昭通·期中）如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，是的中点 (1)求证：平面. (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. (3)若，线段上是否存在一点，使平面?若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)或；(3)存在， 【解析】（1）连结交于点. 因为四边形是正方形， 所以是的中点， 又是的中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，平面，所以． 因为四边形为正方形，所以． 又，平面，平面， 所以平面． 以点为坐标原点，过点作的平行线为轴，分别以、为轴， 建立空间直角坐标系， 设，则，，，，，， 设平面的法向量为，，，， 则，令，则，， 则， 设与平面所成角为， ，解得或， 所以的长度或. （3）存在，理由如下： 因为，结合（2），，， 所以，，， 令， 则， 所以，所以， 设平面法向量为， 则，令，则，，所以， 因为平面，所以， 所以有，解得，所以， 因为， 所以. 8．（23-24高二上·广东东莞·月考）在中，，，，、分别是、上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.    (1)求与平面所成角的大小； (2)在线段上是否存在点（不与端点、重合），使平面与平面垂直?若存在，求出与的比值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在， 【解析】（1）在中，因为，故， 故在四棱锥中，有，，， 而，且平面,平面 故平面， 因平面，所以， 而，故， 而，故可建立如图所示的空间直角坐标系： 在中，因为， ，， 故，，， 在中，， 则，，，，， 故，故，又，， 设平面的法向量为， 则即， 取，则，，故， 故， 故与平面所成角的正弦值为， 因为与平面所成角为锐角，故该角为. （2）假设点，设，则，故， 又，， ， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，，故， 设平面的法向量为， 则即， 取，则，， 故. 因为平面平面，故， 所以，故，所以, 所以线段上存在点，使平面与平面垂直，此时. 9．（23-24高二下·北京·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，点在棱上，且平面． (1)求证：为中点； (2)求二面角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在； 【解析】（1）连结交于点，连结， 因为底面是矩形，所以为中点， 因为平面，平面，平面平面, 所以， 又因为为中点，所以为中点. （2）取的中点，连结，， 因为底面为矩形，所以， 因为，为中点，所以，, 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，所以，所以，，两两垂直， 如图，建立空间直角坐标系，则由题意可得 ，，，，，， 则，，， 由上可知为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，，所以， 所以， 如图可知二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为， （3）假设在棱上存在点满足题意， 由（2），， 设，则， ， 设与平面所成角为， 则， 解得或，因为，故， 所以存在点满足题意，此时. 10．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面．    (1)求证：； (2)若，在棱上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，. 【解析】（1）在三棱柱中，由平面，平面，得， 在平面内过作于，由平面平面，平面平面， 得平面，而平面，则有， 显然平面，因此平面， 又平面，所以. （2）过点作，由，得， 由（1）知平面，平面，则，即直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，得，， 假定在棱上存在一点，使二面角的余弦值为， 令，则，， 设平面的一个法向量，则， 令，得，显然平面的一个法向量， 依题意，，解得，即， 所以在棱上存在一点，使二面角的余弦值为，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$