第09章 整式（二） 章节练习 （17个知识点+40题练习）-2024年新七年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第09章 整式（二） 章节练习 （17个知识点+40题练习） 知识点合集 知识点1．同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 知识点2．完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点3．完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 知识点4．平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 知识点5．平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 知识点6．整式的除法 整式的除法： （1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式． 关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式． （2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式． 知识点7．整式的混合运算 （1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． （2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． 知识点8．整式的混合运算—化简求值 先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值． 有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 知识点9．因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 知识点10．公因式 1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 知识点11．因式分解-提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 知识点12．因式分解-运用公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 　2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 知识点13．提公因式法与公式法的综合运用 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 知识点14．因式分解-分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 知识点15．因式分解-十字相乘法等 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2， 把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一 次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 知识点16．实数范围内分解因式 实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示）， 一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式． 例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解 x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣） 知识点17．因式分解的应用 1、利用因式分解解决求值问题． 2、利用因式分解解决证明问题． 3、利用因式分解简化计算问题． 【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用 1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分 试题练习 1． 同底数幂的除法 1．（2022秋•杨浦区期末）如果，那么下列四个选项中，正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•浦东新区校级期中）若，，则　　． 3．（2023秋•静安区校级月考）已知，，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 二．完全平方公式 4．（2023秋•崇明区期末）计算：． 5．（2023秋•宝山区期末）下列算式中，可用完全平方公式计算的是　　 A． B． C． D． 6．（2022秋•浦东新区校级期中）计算：　　． 三．完全平方公式的几何背景 7．（2022秋•嘉定区校级期末）一个正方形的边长为，若它的边长增加，则新正方形面积增加了　　． A．25 B． C． D． 8．（2022秋•虹口区校级月考）如图，两个正方形边长分别为、，如果，，则阴影部分的面积为 　　． 9．（2023秋•闵行区校级月考）如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为．如图1，小正方形摆放在边长为的内部右上角，其未叠合部分（阴影）的面积为；如图2，若再在图1中大正方形的右下角摆放小正方形，两个小正方形叠合部分（阴影）面积为；如图3，在大正方形的外部左下角摆放小正方形，形成阴影部分的面积为． （1）用含，的代数式分别表示、； （2）若，，求的值； （3）当时，求的值． 四．平方差公式 10．（2023秋•奉贤区期中）下列整式的乘法中，不能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•奉贤区期中）计算：　　． 12．（2023秋•宝山区期末） 五．平方差公式的几何背景 13．（2022秋•黄浦区期中）从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形（如图，然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图，上述操作能验证的等式是　　 A． B． C． D． 14．（•闵行区期中）如图（1）所示，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，如图（2）是由图（1）中阴影部分拼成的一个长方形． （1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：　　、　 　． （2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式？　 　． （3）试利用这个公式计算：． 六．整式的除法 15．（2022秋•闵行区校级期中）计算：． 16．（2023秋•浦东新区期末）计算：　　．（用科学记数法表示） 17．（2022秋•虹口区校级月考）一个长方形的面积为，且一边长为，则该长方形的周长为　　 A． B． C． D． 7． 整式的混合运算 18．（2023秋•杨浦区期末）计算：． 19．（2020秋•嘉定区期中）符号：“”称为二阶行列式，规定它的运算法则是，例如，那么　　． 八．整式的混合运算—化简求值 20．（2022秋•长宁区校级期中）四个学生一起做乘法，其中是正数，那么最后得出下列四个结果中正确的结果是　　 A． B． C． D． 21．（2023秋•青浦区期末）如果（其中为常数）成立，那么　　． 九．因式分解的意义 22．（2023秋•奉贤区期中）下列从左到右变形，是因式分解的是　　 A． B． C． D． 23．（杨浦区校级期末）已知的一个因式为，则　　． 一十．公因式 24．（清浦区校级期中）与有相同因式是　　 A． B． C． D． 25．（黄浦区校级期中）多项式中各项的公因式是　　． 一十一．因式分解-提公因式法 26．（2020秋•浦东新区校级期中）把分解因式的结果为　　 A． B． C． D． 27．（2023秋•崇明区期末）分解因式：． 一十二．因式分解-运用公式法 28．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：　　． 29．（2021秋•黄浦区期末）分解因式：． 一十三．提公因式法与公式法的综合运用 30．（2022秋•嘉定区校级期中）下列因式分解的结果正确的是　　 A． B． C． D． 31．（2022•龙华区校级一模）因式分解：　　． 一十四．因式分解-分组分解法 32．（2023秋•普陀区校级期末）因式分解：． 33．（静安区校级期中）下列因式分解中正确的是　　 A． B． C． D． 一十五．因式分解-十字相乘法等 34．（2023秋•金山区期末）下列各等式中，因式分解正确的是　　 A． B． C． D． 35．（2023秋•浦东新区期末）因式分解：　　． 36．（2023秋•宝山区期末）分解因式：． 一十六．实数范围内分解因式 37．下面的多项式在实数范围内能因式分解的是　　 A． B． C． D． 38．在实数范围内分解因式：　　． 一十七．因式分解的应用 39．（2022秋•闵行区校级期中）已知，则代数式　　． 40．（2021秋•郸城县期末）在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证　　 A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09章 整式（二） 章节练习 （17个知识点+40题练习） 知识点合集 知识点1．同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 知识点2．完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点3．完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 知识点4．平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 知识点5．平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 知识点6．整式的除法 整式的除法： （1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式． 关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式． （2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式． 知识点7．整式的混合运算 （1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． （2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． 知识点8．整式的混合运算—化简求值 先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值． 有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 知识点9．因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 知识点10．公因式 1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 知识点11．因式分解-提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 知识点12．因式分解-运用公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 　2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 知识点13．提公因式法与公式法的综合运用 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 知识点14．因式分解-分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 知识点15．因式分解-十字相乘法等 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2， 把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一 次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 知识点16．实数范围内分解因式 实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示）， 一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式． 例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解 x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣） 知识点17．因式分解的应用 1、利用因式分解解决求值问题． 2、利用因式分解解决证明问题． 3、利用因式分解简化计算问题． 【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用 1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分 试题练习 1． 同底数幂的除法 1．（2022秋•杨浦区期末）如果，那么下列四个选项中，正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用合并同类项法则，同底数幂乘法及除法法则，幂的乘方法则逐项判断即可． 【解答】解：与不是同类项，无法合并，则不符合题意； ，则不符合题意； ，则不符合题意； ，则符合题意； 故选：． 【点评】本题考查幂的运算及合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 2．（2023秋•浦东新区校级期中）若，，则　　． 【分析】把化为，再把，代入进行计算即可． 【解答】解：，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键． 3．（2023秋•静安区校级月考）已知，，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可； （2）根据同底数幂除法运算法则进行计算即可； （3）根据同底数幂乘法和幂的乘方运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1），， ； （2），， ； （3），， ． 【点评】本题主要考查了幂的运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂乘除法和幂的乘方运算法则． 二．完全平方公式 4．（2023秋•崇明区期末）计算：． 【分析】利用完全平方公式及单项式乘多项式法则计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 5．（2023秋•宝山区期末）下列算式中，可用完全平方公式计算的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用完全平方公式和平方差公式对每个选项解析逐一判断即可得出结论． 【解答】解：符合平方差公式的特征，应用平方差公式计算， 选项不符合题意； ， 选项符合平方差公式的特征，应用平方差公式计算， 选项不符合题意； ， 选项符合平方差公式的特征，应用平方差公式计算， 选项不符合题意； ， 选项可用完全平方公式计算，符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，熟练掌握上述两个公式是解题的关键． 6．（2022秋•浦东新区校级期中）计算：　　． 【分析】根据完全平方公式计算即可． 【解答】解：原式． 故答案为：． 【点评】【本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键． 三．完全平方公式的几何背景 7．（2022秋•嘉定区校级期末）一个正方形的边长为，若它的边长增加，则新正方形面积增加了　　． A．25 B． C． D． 【分析】完全平方公式的应用． 【解答】解：原正方形的面积 新正方形的面积 所以增加的面积． 故本题选． 【点评】本题主要是考查了完全平方公式的应用． 8．（2022秋•虹口区校级月考）如图，两个正方形边长分别为、，如果，，则阴影部分的面积为 　144　． 【分析】因阴影部分是不规则图形，所以运用转化的思想求阴影部分的面积．由阴影部分的面积等于整个图形面积减去空白部分的面积，可得阴影部分面积等于，故求得阴影部分面积为144． 【解答】解：，， ． 故答案为：144． 【点评】本题主要考查正方形面积公式、三角形的面积公式以及整式的运算，熟练掌握正方形的面积公式、三角形的面积公式以及整式的运算是解题的关键． 9．（2023秋•闵行区校级月考）如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为．如图1，小正方形摆放在边长为的内部右上角，其未叠合部分（阴影）的面积为；如图2，若再在图1中大正方形的右下角摆放小正方形，两个小正方形叠合部分（阴影）面积为；如图3，在大正方形的外部左下角摆放小正方形，形成阴影部分的面积为． （1）用含，的代数式分别表示、； （2）若，，求的值； （3）当时，求的值． 【分析】（1）根据大正方形减小正方形面积求出阴影部分面积即可； （2）根据图形列出面积的代数式，然后根据完全平方公式整理求值即可； （3）根据图形列出面积的代数式，然后根据完全平方公式整理求值即可； 【解答】解：（1）由图可得，，； （2）， ，， ； （3）由图可得，， ， ． 【点评】本题主要考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 四．平方差公式 10．（2023秋•奉贤区期中）下列整式的乘法中，不能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 【分析】将各项计算后进行判断即可． 【解答】解：，则不符合题意； ，则不符合题意； ，则符合题意； ，则不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查平方差公式，熟练掌握此公式是解题的关键． 11．（2023秋•奉贤区期中）计算：　　． 【分析】原式利用平方差公式化简即可得到结果． 【解答】解：原式． 故答案为：． 【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 12．（2023秋•宝山区期末） 【分析】原式后两个因式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开即可得到结果． 【解答】解：原式． 【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 五．平方差公式的几何背景 13．（2022秋•黄浦区期中）从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形（如图，然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图，上述操作能验证的等式是　　 A． B． C． D． 【分析】分别求出从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形后剩余部分的面积和拼成的矩形的面积，根据剩余部分的面积相等即可得出算式，即可选出选项 【解答】解：从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形，剩余部分的面积是：， 图2拼成的是长为，宽为的矩形，因此面积为， 根据剩余部分的面积相等得：， 故选：． 【点评】本题考查了平方差公式的运用，解此题的关键是用算式表示图形的面积，用的数学思想是转化思想，即把实际问题转化成用数学式子表示出来． 14．（•闵行区期中）如图（1）所示，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，如图（2）是由图（1）中阴影部分拼成的一个长方形． （1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：　　、　 　． （2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式？　 　． （3）试利用这个公式计算：． 【分析】（1）求出大正方形及小正方形的面积，作差即可得出阴影部分的面积，图（2）所示的长方形的长和宽分别为、，由此可计算出面积； （2）根据阴影部分的面积相等可得出平方差公式； （3）利用原式补项，进而利用平方差公式求出答案． 【解答】解：（1）大正方形的面积为，小正方形的面积为， 故图（1）阴影部分的面积值为：，图（2）阴影部分的面积值为：． 故答案为：，； （2）以上结果可以验证乘法公式：． 故答案为：； （3）原式 ． 【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，注意几次分割后边的变化情况是关键． 六．整式的除法 15．（2022秋•闵行区校级期中）计算：． 【分析】直接利用整式的除法运算法则以及多项式乘多项式计算，再合并同类项得出答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题主要考查了整式的除法运算、多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 16．（2023秋•浦东新区期末）计算：　　．（用科学记数法表示） 【分析】利用单项式除以单项式的法则进行计算，即可解答． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了整式的除法，科学记数法表示较大的数，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17．（2022秋•虹口区校级月考）一个长方形的面积为，且一边长为，则该长方形的周长为　　 A． B． C． D． 【分析】先求得长方形的另一边长，然后再计算长方形的周长． 【解答】解：由题意，长方形的另一边长为： ， 长方形的周长为， 故选：． 【点评】本题考查整式的应用，掌握长方形面积和周长的计算公式以及整式除法的运算法则是解题关键． 7． 整式的混合运算 18．（2023秋•杨浦区期末）计算：． 【分析】先计算同底数幂的乘除法，然后计算加减法． 【解答】解： ． 【点评】本题主要考查整式的混合运算，有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 19．（2020秋•嘉定区期中）符号：“”称为二阶行列式，规定它的运算法则是，例如，那么　　． 【分析】先列出算式，再根据单项式乘单项式法则算乘法，最后合并同类项即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的混合运算和整式的混合运算，能熟记单项式乘单项式法则是解此题的关键． 八．整式的混合运算—化简求值 20．（2022秋•长宁区校级期中）四个学生一起做乘法，其中是正数，那么最后得出下列四个结果中正确的结果是　　 A． B． C． D． 【分析】利用多项式与多项式相乘的法则求解即可． 【解答】解：， ， ， 结合各选项可知， ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，求出的值． 21．（2023秋•青浦区期末）如果（其中为常数）成立，那么　　． 【分析】根据完全平方公式把原式变形，进而得到答案． 【解答】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了整式的混合运算化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键． 九．因式分解的意义 22．（2023秋•奉贤区期中）下列从左到右变形，是因式分解的是　　 A． B． C． D． 【分析】因式分解就是将一个多项式化为几个整式积的形式，据此逐项判断即可． 【解答】解：与不相等，则不符合题意； ，它是乘法运算，不是因式分解，则不符合题意； 符合因式分解的定义，则符合题意； ，它是乘法运算，不是因式分解，则不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 23．（杨浦区校级期末）已知的一个因式为，则　9　． 【分析】直接利用多项式乘法将原式化简，进而得出关于的等式求出答案即可． 【解答】解：的一个因式为， ， ， ， 解得：， 即， 故答案为：9． 【点评】此题主要考查了因式分解的意义，十字相乘法的应用，正确利用多项式乘法是解题关键． 一十．公因式 24．（清浦区校级期中）与有相同因式是　　 A． B． C． D． 【分析】找几个多项式的公因式时，首先要对各个多项式进行因式分解，再确定它们的公因式． 【解答】解：， ， 它们的相同因式是． 故选：． 【点评】本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．本题采取公式分解即可． 25．（黄浦区校级期中）多项式中各项的公因式是　　． 【分析】确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 【解答】解：多项式中各项的公因式是， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了公因式，多项式中，各项都含有一个公共的因式，因式叫做这个多项式各项的公因式． 一十一．因式分解-提公因式法 26．（2020秋•浦东新区校级期中）把分解因式的结果为　　 A． B． C． D． 【分析】原式变形后，提取公因式即可． 【解答】解：原式 ． 故选：． 【点评】此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 27．（2023秋•崇明区期末）分解因式：． 【分析】先提取公因式，再利用分组分解即可得到答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查提取公式法因式分解及分组分解法，解题的关键是提取公因式后正确的分组． 一十二．因式分解-运用公式法 28．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：　　． 【分析】运用平方差公式分解因式的式子特点：两项平方项，符号相反．直接运用平方差公式分解即可．． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查因式分解．当被分解的式子只有两项平方项；符号相反，且没有公因式时，应首要考虑用平方差公式进行分解． 29．（2021秋•黄浦区期末）分解因式：． 【分析】首先利用多项式乘法计算出，再加上1后变形成，然后再利用完全平方公式进行分解即可． 【解答】解：原式， ， ． 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是熟练掌握完全平方公式：①，②． 一十三．提公因式法与公式法的综合运用 30．（2022秋•嘉定区校级期中）下列因式分解的结果正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】各式分解得到结果，即可作出判断． 【解答】解：、原式不能分解，不符合题意； 、原式，不符合题意； 、原式，符合题意； 、原式，不符合题意． 故选：． 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 31．（2022•龙华区校级一模）因式分解：　　． 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解． 【解答】解： （提取公因式） ． 故答案为：． 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底． 一十四．因式分解-分组分解法 32．（2023秋•普陀区校级期末）因式分解：． 【分析】先把后三项作为一组，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查的是利用分组分解法分解因式，熟练的分组是解本题的关键． 33．（静安区校级期中）下列因式分解中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据提公因式法、公式法和十字相乘法，对各选项分析判断即可． 【解答】解：．利用平方差公式：，故此选项不符合题意； ．利用十字相乘法：，故此选项不符合题意； ．利用提公因式法：，故此选项不符合题意； ．利用完全平方公式：，故此选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查因式分解，解题关键在于熟练掌握提公因式法、公式法和十字相乘法． 一十五．因式分解-十字相乘法等 34．（2023秋•金山区期末）下列各等式中，因式分解正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【解答】解：、，错误，故本选项不符合题意； 、，正确，故本选项符合题意； 、，故本选项错误，不符合题意； 、，错误，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 35．（2023秋•浦东新区期末）因式分解：　　． 【分析】多项式常数项12分为，利用完全平方公式变形后，再利用平方差公式分解即可得到结果． 【解答】解： （2） ． 故答案为：． 【点评】本题考查了实数范围内分解因式，掌握完全平方公式及平方差公式是解本题的关键． 36．（2023秋•宝山区期末）分解因式：． 【分析】直接利用十字相乘法进行因式分解即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查因式分解．熟练掌握十字相乘法是关键． 一十六．实数范围内分解因式 37．下面的多项式在实数范围内能因式分解的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用因式分解的方法，分别判断得出即可． 【解答】解；、，无法因式分解，故选项错误； 、，无法因式分解，故选项错误； 、，无法因式分解，故选项错误； 、，故选项正确． 故选：． 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用公式是解题关键． 38．在实数范围内分解因式：　　． 【分析】原式利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 一十七．因式分解的应用 39．（2022秋•闵行区校级期中）已知，则代数式　7　． 【分析】根据已知条件得到，将要求的代数式化简得到，两次代入求解即可． 【解答】解：， ， ， 将代入原式． 故答案为：7． 【点评】本题考查因式分解的应用，合理利用已知条件是关键． 40．（2021秋•郸城县期末）在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证　　 A． B． C． D． 【分析】第一个图形中阴影部分的面积是边长是的正方形的面积减去边长是的小正方形的面积，等于；第二个图形阴影部分是一个长是，宽是的长方形，面积是；这两个图形的阴影部分的面积相等． 【解答】解：图甲中阴影部分的面积，图乙中阴影部分的面积， 而两个图形中阴影部分的面积相等， 阴影部分的面积． 故选：． 【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式． 1 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