专题2.7 直线与圆的位置关系【十大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.7 直线与圆的位置关系【十大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 判断直线与圆的位置关系】 2 【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】 2 【题型3 圆的切线长】 3 【题型4 圆的切线方程的求解】 4 【题型5 已知切线求参数】 4 【题型6 求圆的弦长与中点弦】 5 【题型7 已知圆的弦长求方程或参数】 6 【题型8 直线与部分圆的相交问题】 7 【题型9 直线与圆有关的最值问题】 8 【题型10 直线与圆的方程的实际应用】 9 【知识点1 直线与圆的位置关系及判定】 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组 解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的 实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 【题型1 判断直线与圆的位置关系】 【例1】（23-24高二下·陕西榆林·阶段练习）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【变式1-1】（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圆，直线，则下列结论中正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相切 C．直线与圆相交 D．直线与圆相离 【变式1-2】（23-24高二下·上海·期中）已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【变式1-3】（23-24高二下·上海·期末）已知圆的方程为，点，是圆内一点，设以为中点的弦所在的直线为，方程为的直线为，则（   ） A．，且与圆相交 B．，且与圆相离 C．，且与圆相交 D．，且与圆相离 【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】 【例2】（2024·山东烟台·三模）若圆与轴没有交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二下·四川达州·期中）“”是直线和圆 相交的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（2024·江西吉安·模拟预测）已知圆与直线有公共点，则整数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2-3】（23-24高二下·河南濮阳·阶段练习）已知直线与圆和圆都相切，则实数的值为（   ） A． B． C． D．或 【知识点2 圆的切线及切线方程】 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 【题型3 圆的切线长】 【例3】（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）由点向圆引的切线长是（    ） A．3 B． C． D．5 【变式3-1】（23-24高二上·北京平谷·期末）已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二上·重庆北碚·阶段练习）过点作圆的一条切线，切点为B，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式3-3】（2024·湖北·模拟预测）已知点为直线上的一点，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型4 圆的切线方程的求解】 【例4】（23-24高二下·北京·期中）已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二上·河南许昌·期末）直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D．或 【变式4-2】（23-24高二上·湖南长沙·期中）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式4-3】（23-24高二上·天津·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【题型5 已知切线求参数】 【例5】（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 【变式5-1】（23-24高二下·广东江门·期末）若直线与圆相切，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式5-2】（23-24高二下·江西·阶段练习）已知圆，直线的方程为，若在直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为点，使得为直角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【知识点3 圆的弦长】 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 【题型6 求圆的弦长与中点弦】 【例6】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知圆，过点的直线与圆交于两点，线段的中点为. (1)若点的坐标为，求； (2)若线段的垂直平分线经过点，求直线的方程. 【变式6-1】（23-24高二上·山东日照·期末）已知直线：与垂直，且经过点. (1)求的一般式方程； (2)若与圆：相交于两点，求. 【变式6-2】（23-24高二上·河南驻马店·期末）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中证明了平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点Q满足，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若，从中任选一个值，求此时相应的弦长． 【变式6-3】（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知圆C:，直线． (1)求m的取值范围； (2)当圆C的面积最大时，求直线l被圆C截得的弦长． 【题型7 已知圆的弦长求方程或参数】 【例7】（23-24高二下·安徽六安·期末）“”是“直线被圆截得的弦长为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 【变式7-1】（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知圆心为的圆与x轴交于A、B两点，，则该圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·贵州六盘水·三模）已知直线与圆相交于A，B两点，若，则（　　） A． B．1 C． D．﹣2 【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知圆，直线都经过原点，且，若与被圆所截得的弦长之比为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【题型8 直线与部分圆的相交问题】 【例8】（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高二下·重庆·阶段练习）直线与曲线有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）若直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高二上·山西朔州·期末）直线与曲线有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【知识点4 与圆有关的最值问题的解题策略】 1．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 【题型9 直线与圆有关的最值问题】 【例9】（2024·陕西汉中·二模）已知，直线为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2024·四川攀枝花·三模）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式9-2】（23-24高二下·湖南·期中）设A为直线上一点，P，Q分别在圆与圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2024·陕西西安·一模）已知圆的方程为：，点，，是线段上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，现有以下四种说法：①四边形的面积的最小值为1；②四边形的面积的最大值为；③的最小值为；④的最大值为．其中所有正确说法的序号为（   ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④ 【知识点5 直线与圆的方程的应用】 1．直线与圆的方程的应用 (1)解决实际问题的步骤： ①审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据； ②建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的坐标及已知条件，求出几何模型的方程； ③求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解； ④还原：将运算结果还原为对实际问题的解释. (2)建系原则 建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则： ①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可 以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐标轴. ②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形的三个顶点全部放在坐标轴上. 【题型10 直线与圆的方程的实际应用】 【例10】（23-24高二上·湖北武汉·期末）为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．    (1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围． 【变式10-1】（23-24高二上·吉林·期末）如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含地界和内部），长为12米，在边上距离B点5米的E处放置一只机器犬，在距离B点2米的F处放置一个机器人，机器人行走的速度为v，机器犬行走的速度为，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点P，则机器犬将被机器人捕获，点P叫成功点． (1)求在这个矩形场地内成功点P的轨迹方程； (2)若N为矩形场地边上的一点，若机器犬在线段上都能逃脱，问N点应在何处？ 【变式10-2】（23-24高二上·吉林长春·期末）某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C. (1)求圆C的方程. (2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由. 【变式10-3】（23-24高二上·安徽阜阳·期中）某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为1米，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示），建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示），观景直道与辅道距离米.在建筑物底面中心的北偏东方向米的点处，有一台全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度.请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题： (1)在西辅道上与建筑物底面中心距离2米处的游客，是否在摄像头监控范围内？ (2)求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.7 直线与圆的位置关系【十大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 判断直线与圆的位置关系】 2 【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】 4 【题型3 圆的切线长】 5 【题型4 圆的切线方程的求解】 7 【题型5 已知切线求参数】 9 【题型6 求圆的弦长与中点弦】 11 【题型7 已知圆的弦长求方程或参数】 14 【题型8 直线与部分圆的相交问题】 16 【题型9 直线与圆有关的最值问题】 19 【题型10 直线与圆的方程的实际应用】 22 【知识点1 直线与圆的位置关系及判定】 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组 解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的 实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 【题型1 判断直线与圆的位置关系】 【例1】（23-24高二下·陕西榆林·阶段练习）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【解题思路】根据直线经过定点，定点在圆内部即可判断直线与圆的位置关系. 【解答过程】直线恒过定点，将定点代入圆的方程， 发现，则定点在圆内部， 所以直线与圆必相交. 故选:B. 【变式1-1】（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圆，直线，则下列结论中正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相切 C．直线与圆相交 D．直线与圆相离 【解题思路】求出圆的圆心和半径，直线所过的定点，再由该定点与圆的位置关系判断直线与圆的位置即可. 【解答过程】圆的圆心，半径， 直线恒过定点， 显然， 因此点在圆内，直线与圆相交，ABD错误，C正确. 故选：C. 【变式1-2】（23-24高二下·上海·期中）已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【解题思路】利用点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系求解. 【解答过程】圆心到直线的距离， 若点在圆上， 则，所以， 则直线与圆相切，故A正确; 若点在圆内， 则，所以， 则直线与圆相离，故B正确； 若点在圆外， 则，所以， 则直线与圆相交， 故C错误； 若点在直线上， 则，即，所以直线与圆相切， 故D正确， 故选：C． 【变式1-3】（23-24高二下·上海·期末）已知圆的方程为，点，是圆内一点，设以为中点的弦所在的直线为，方程为的直线为，则（   ） A．，且与圆相交 B．，且与圆相离 C．，且与圆相交 D．，且与圆相离 【解题思路】先计算出直线的斜率，由，可得出直线的斜率，再由点斜式可得出直线的方程，由点在圆内得出，据此可判断直线、是平行关系，再利用点到直线的距离可计算出圆心到直线的距离，并与作大小比较，即可得出直线与圆的位置关系． 【解答过程】如图：    直线的斜率为，由垂径定理可知，，所以，直线的方程为，即， 由于点是圆内一点，则， 又直线的方程为：， 所以，. 圆心到直线的距离为，因此，直线与圆相离. 故选：B. 【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】 【例2】（2024·山东烟台·三模）若圆与轴没有交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出圆心坐标利用几何法得到不等式，解出即可. 【解答过程】即， ，解得或， 且其圆心坐标为，若该圆与轴没有交点， 则，解得 故选：C. 【变式2-1】（23-24高二下·四川达州·期中）“”是直线和圆 相交的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】先求出直线与圆相交时的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【解答过程】圆 的圆心，半径为， 若直线和圆 相交， 则，解得， 所以“”是直线和圆相交的必要不充分条件. 故选：B. 【变式2-2】（2024·江西吉安·模拟预测）已知圆与直线有公共点，则整数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【解题思路】求出圆心和半径，由点到直线距离得到不等式，求出答案. 【解答过程】由题意可知圆的标准方程为，圆心为，半径， 所以，得，即， 可得，又，故. 故选：B. 【变式2-3】（23-24高二下·河南濮阳·阶段练习）已知直线与圆和圆都相切，则实数的值为（   ） A． B． C． D．或 【解题思路】由已知可得，可求，根据直线和圆相切，可求实数的值. 【解答过程】因为直线与圆相切，所以，解得， 由直线和圆相切， 所以或，解得或， 故实数的值为或. 故选：D. 【知识点2 圆的切线及切线方程】 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 【题型3 圆的切线长】 【例3】（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）由点向圆引的切线长是（    ） A．3 B． C． D．5 【解题思路】将圆的方程化为标准形式，求出点到圆心的距离，结合勾股定理即可得解. 【解答过程】圆即圆的圆心半径分别为， 点到圆心的距离为， 所以点向圆引的切线长是. 故选：A. 【变式3-1】（23-24高二上·北京平谷·期末）已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 根据题意，求得圆心的轨迹方程为圆，得到圆上到点的最大距离为，结合圆的切线长公式，即可求解. 【解答过程】设圆的圆心坐标为， 因为圆的半径为，且过点，可得， 即，即圆心的轨迹表示以为圆心，半径为1的圆， 可得，则圆上的点到点的最大距离为， 又由切线长公式，可得切线长的最大值为. 故选：A. 【变式3-2】（23-24高二上·重庆北碚·阶段练习）过点作圆的一条切线，切点为B，则（    ） A．3 B． C． D． 【解题思路】先求得圆的圆心坐标和半径，再利用切线长定理即可求得的值. 【解答过程】因为圆， 所以圆的圆心为，半径为， 因为与圆相切，切点为B， 所以，则， 因为， 所以. 故选：B. 【变式3-3】（2024·湖北·模拟预测）已知点为直线上的一点，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】分析可知，由勾股定理可得，当取小值时，，求出圆心到直线的距离，作为的最小值，结合勾股求解即可. 【解答过程】由题意可知，圆的圆心为，半径为， 由圆的几何性质可知，， 由勾股定理可得, 所以要使切线长取最小值，只需取最小值即可. 当直线与直线垂直时，取最小值， 则的最小值是. 故选：A. 【题型4 圆的切线方程的求解】 【例4】（23-24高二下·北京·期中）已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】点斜式设出方程，利用相切可求答案. 【解答过程】显然斜率不存在时，不合题意；斜率存在时，设方程为， 圆心到直线的距离为，因为与圆相切，所以， 即，解得，即的方程为. 故选：A. 【变式4-1】（23-24高二上·河南许昌·期末）直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D．或 【解题思路】设出切线斜率，分类讨论推出斜率一定存在，在利用圆心到直线的距离和半径相等列出方程求解参数，最后得到方程即可. 【解答过程】设斜率为，圆心到直线的距离为， 当不存在时，直线方程为，此时与圆不相切，故排除， 即直线斜率一定存在，设直线方程为，化简得， 由题意得，可得，解得或， 即切线方程为或，显然D正确. 故选：D. 【变式4-2】（23-24高二上·湖南长沙·期中）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【解题思路】分2种情况讨论：①直线l的斜率不存在，则其方程为，易得其与圆相切；②直线l的斜率存在，设其方程为，根据直线l与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，求出k的值即可． 【解答过程】圆化为标准方程为，得圆心，半径为2， 当直线l的斜率不存在时，直线， 此时直线l与圆相切，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 圆心到直线l的距离为， 由相切得， 所以，平方化简得，求得直线方程为， 综上，直线l的方程为或 故选：B. 【变式4-3】（23-24高二上·天津·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解. 【解答过程】圆， 即圆的圆心坐标，半径分别为， 显然过点且斜率不存在的直线为，与圆相切，满足题意； 设然过点且斜率存在的直线为，与圆相切， 所以，所以解得， 所以满足题意的直线方程为或. 故选：D. 【题型5 已知切线求参数】 【例5】（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 【解题思路】借助圆心到切线的距离等于半径，计算即可得. 【解答过程】由圆心为，半径为， 即， 则， 解得或. 故选：C. 【变式5-1】（23-24高二下·广东江门·期末）若直线与圆相切，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【解题思路】 求出圆的圆心和半径，再利用圆的切线性质求解作答. 【解答过程】圆 的圆心，半径， 依题意，，解得， 所以. 故选：A. 【变式5-2】（23-24高二下·江西·阶段练习）已知圆，直线的方程为，若在直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为点，使得为直角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由圆的对称性及切线的性质进行转化，将问题转化为点到直线的距离求解. 【解答过程】 连接，如图，    则由圆的对称性及切线的性质，可得四边形为正方形， 又， 所以点到直线的距离必须小于或等于， 即，所以， 故选：D. 【变式5-3】（23-24高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【解题思路】根据切线夹角分析出，由圆心到直线的距离不大于4列出不等式求解可得． 【解答过程】设两切点为，则，，所以, 因此只要直线上存在点，使得即可满足题意． 圆心，所以圆心到直线的距离，解得或． 故选：C． 【知识点3 圆的弦长】 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 【题型6 求圆的弦长与中点弦】 【例6】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知圆，过点的直线与圆交于两点，线段的中点为. (1)若点的坐标为，求； (2)若线段的垂直平分线经过点，求直线的方程. 【解题思路】（1）先求的直线方程，再求圆心到直线的距离，在根据勾股定理计算弦长； （2）先考虑直线的斜率不存在的情况，当直线的斜率存在时，计算出点坐标，再计算出的中垂线方程，把点代入中垂线方程即可求解. 【解答过程】（1）因为，，所以直线的方程为， 圆的方程可化为：，则圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离为，根据勾股定理可知：； （2）设的中点为， 当直线的斜率不存在时，由（1）可知，的坐标为， 则的中点的坐标为，，所以与不垂直，不合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 联立，得， 故，， 则 ， 所以的坐标为， 的中点的坐标为， 所以的中垂线方程为， 由于的中垂线经过点， 把代入的中垂线方程，得， 整理得：， 把代入联立后的一元二次方程得：， 此时，所以复合题意， 所以直线的方程为，即. 【变式6-1】（23-24高二上·山东日照·期末）已知直线：与垂直，且经过点. (1)求的一般式方程； (2)若与圆：相交于两点，求. 【解题思路】 （1）由直线的方程和垂直关系可得的斜率为，由点斜式方程整理可得结果； （2）求出圆心C到直线的距离为，再由圆的弦长公式即可求得. 【解答过程】（1）由直线：，可得斜率， 因为，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以直线的方程为， 即. （2）由圆C：，可得圆心，半径， 则圆心C到直线：的距离为， 又由圆的弦长公式可得弦长. 【变式6-2】（23-24高二上·河南驻马店·期末）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中证明了平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点Q满足，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若，从中任选一个值，求此时相应的弦长． 【解题思路】（1）设，由距离公式得到，整理即可得解； （2）根据所选的值确定直线的方程，再求出圆心到直线的距离，最后由弦长公式计算可得. 【解答过程】（1）设， 由，得， 整理得， 即曲线的方程为. （2）①如果选，此时直线的方程为 而圆的半径，圆心到直线的距离为， 故弦长， ②如果选，此时直线的方程为， 由，解得或， 则直线与圆的两个交点坐标为，， 故弦长. ③如果选，此时直线的方程为， 可知直线经过圆心，圆的半径， 所以弦长. 【变式6-3】（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知圆C:，直线． (1)求m的取值范围； (2)当圆C的面积最大时，求直线l被圆C截得的弦长． 【解题思路】（1）根据圆的一般方程化成标准方程，满足圆的条件即可求的取值范围； （2）根据圆C的面积最大确定圆的方程，然后根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可． 【解答过程】（1）圆的方程配方，得，由， 得．故的取值范围为． （2）， 故当时，圆的面积最大．此时，圆的方程为． 圆心到直线的距离，弦长为． 故当圆的面积最大时，直线被圆截得的弦长为． 【题型7 已知圆的弦长求方程或参数】 【例7】（23-24高二下·安徽六安·期末）“”是“直线被圆截得的弦长为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 【解题思路】先证明直线被圆截得的弦长为当且仅当或，然后根据充分条件和必要条件的定义即可判断. 【解答过程】要使直线被圆截得的弦长为， 当且仅当圆心到直线的距离. 此即，即，即或，即或. 显然，“”是“或”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式7-1】（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知圆心为的圆与x轴交于A、B两点，，则该圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设出圆的方程，令，得，得到两根之和，两根之积，根据弦长公式得到方程，求出，得到圆的方程. 【解答过程】由题意，可设圆的方程为， 令，得， 设，则，， ， 解得， ∴圆的方程是 ，即. 故选：C. 【变式7-2】（2024·贵州六盘水·三模）已知直线与圆相交于A，B两点，若，则（　　） A． B．1 C． D．﹣2 【解题思路】首先求出圆心到直线的距离，进一步利用垂径定理建立等量关系式，最后求出a的值． 【解答过程】圆与直线与相交于A，B两点，且． 则圆心到直线的距离， 利用垂径定理得，所以，解得． 故选：C． 【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知圆，直线都经过原点，且，若与被圆所截得的弦长之比为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得直线的斜率存在，且不为0，设的斜率为，则直线的斜率为，利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式列出式子，求解即可得到直线的斜率. 【解答过程】由题可得圆的圆心为，半径，显然直线的斜率存在，且不为0，设的斜率为，则直线的斜率为， 则直线的方程为：，直线的方程为：，记圆心到直线和的距离分别为， 则，，由题意可知，整理得，，所以，解得 故选：C. 【题型8 直线与部分圆的相交问题】 【例8】（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题可知曲线表示一个半圆，然后利用数形结合即得. 【解答过程】由曲线得，表示以原点为圆心，半径为的上半圆， 当直线与半圆相切时，，则，此时直线为， 当直线过点时，，此时直线为， 要使直线与曲线有两个交点，则b的取值范围是． 故选：C． 【变式8-1】（23-24高二下·重庆·阶段练习）直线与曲线有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意确定直线过定点，曲线是以为圆心，半径为1的半圆，借助数形结合确定直线与曲线有两个交点的临界状态，列出表达式求解即可. 【解答过程】由题意得，直线过定点， 曲线是以为圆心，半径为1的半圆（如图所示），曲线的下端点为. 要使直线与曲线有两个交点，则直线应位于直线和切线之间（可以与重合），此时直线的斜率存在， 且，即且圆心到直线的距离小于半径. 由得，由得，所以. 故选：B.    【变式8-2】（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）若直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】作出曲线，它是半圆，直线过定点，由图可知四条直线产生临界条件，两条过半圆的两个端点，两条是半圆的切线，求出其斜率后可得结论． 【解答过程】直线过定点， 又曲线可化为：，， 画出直线与曲线图象如图所示：    数形结合可得直线在，，，处产生临界条件， 设直线，，，的斜率分别为 则 设直线的方程为， 圆心到直线的距离为，解得舍去或， 要使两图象有个不同交点，则 故选：A． 【变式8-3】（23-24高二上·山西朔州·期末）直线与曲线有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先根据曲线的方程确定为以为圆心，2为半径的下半圆，进一步利用经过定点的直线系和曲线的交点确定直线的斜率，最后确定实数k的取值范围． 【解答过程】 ,所以直线恒过定点，且斜率为； 曲线，整理得， 故该曲线是以为圆心，2为半径的下半圆， 如图所示，令，代入，整理得，解得或； 故， ，所以直线与曲线有交点，只需或即可， 故选：B. 【知识点4 与圆有关的最值问题的解题策略】 1．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 【题型9 直线与圆有关的最值问题】 【例9】（2024·陕西汉中·二模）已知，直线为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意分析得当，分别为圆的切线，且最小时，最大，此时最小，再利用二倍角公式即可得解. 【解答过程】由题意得的标准方程为，所以圆心，半径为2， 所以圆心到直线的距离为，所以直线与相离， 所以当，分别为圆的切线，且最小时， 最大，又，则最大， 所以最大，此时最小， 此时. 故选：D. 【变式9-1】（2024·四川攀枝花·三模）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【解题思路】根据已知条件，求得，由此可知时，取得最小值，由此即可求解. 【解答过程】 由已知有：圆的圆心，半径为，直线的一般方程为， 设点到圆心的距离为，则有，所以， 所以取最小值时，取得最小值， 因为直线上点到圆心的距离最小值为圆心到直线的距离， 所以，故的最小值为. 故选：B. 【变式9-2】（23-24高二下·湖南·期中）设A为直线上一点，P，Q分别在圆与圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出关于直线对称的点的坐标，转化即可求解. 【解答过程】设关于直线对称的点的坐标为， 则，解得，， 即，由对称性可知， 对于圆，圆心，半径，， 当且仅当A，C，三点共线时等号成立， 由于，， 则. 故选A． 【变式9-3】（2024·陕西西安·一模）已知圆的方程为：，点，，是线段上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，现有以下四种说法：①四边形的面积的最小值为1；②四边形的面积的最大值为；③的最小值为；④的最大值为．其中所有正确说法的序号为（   ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④ 【解题思路】利用数形结合，将面积的最值转化为求的最值，即可判断①②；利用数量积和三角函数表示，再转化为利用对勾函数的单调性求最值. 【解答过程】如图，当点是的中点时，此时，最短，最小值为， 当点与点或点重合时，此时最长，最大值为2， 因为是圆的切线，所以，， 则四边形的面积为， 所以四边形的面积的最小值为，最大值为，故①②正确； , ， ，， 设，函数单调递增，最小值为0，最大值为，故③错误，④正确. 故选：B. 【知识点5 直线与圆的方程的应用】 1．直线与圆的方程的应用 (1)解决实际问题的步骤： ①审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据； ②建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的坐标及已知条件，求出几何模型的方程； ③求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解； ④还原：将运算结果还原为对实际问题的解释. (2)建系原则 建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则： ①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可 以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐标轴. ②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形的三个顶点全部放在坐标轴上. 【题型10 直线与圆的方程的实际应用】 【例10】（23-24高二上·湖北武汉·期末）为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．    (1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围． 【解题思路】（1），有，化简并整理即可求解. （2）直线截距式方程为，结合点到直线的距离公式列出不等式求解即可. 【解答过程】（1）根据已知条件设且，， 由，有， ， ， ， 整理有，它是以为圆心，8为半径的圆． 所以曲线的方程为：． （2）   ，过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直， 所以直线截距式方程为， 化为一般式方程为， 根据题意，且，解得， 所以综上可知的取值范围为． 【变式10-1】（23-24高二上·吉林·期末）如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含地界和内部），长为12米，在边上距离B点5米的E处放置一只机器犬，在距离B点2米的F处放置一个机器人，机器人行走的速度为v，机器犬行走的速度为，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点P，则机器犬将被机器人捕获，点P叫成功点． (1)求在这个矩形场地内成功点P的轨迹方程； (2)若N为矩形场地边上的一点，若机器犬在线段上都能逃脱，问N点应在何处？ 【解题思路】（1）分别以，所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，由题意，利用两点间的距离公式可得答案. （2）利用三角函数得到极端情况时点的横坐标即可得到答案. 【解答过程】（1）如图，分别以，所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则，， 设成功点，可得，即， 化简得． 因为点P需在矩形场地内，所以， 故所求轨迹方程为． （2）当线段与（1）中的圆相切时，， 所以，所以． 若机器犬在线段上都能逃脱，则N点横坐标的取值范围是． 【变式10-2】（23-24高二上·吉林长春·期末）某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C. (1)求圆C的方程. (2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由. 【解题思路】（1）设圆的一般方程用待定系数法将三个点代入求解. （2）根据题意写出小汽车行驶轨迹的直线方程，求出圆心到直线的距离 与半径做比较并判断直线与圆的位置关系，从而得到答案. 【解答过程】（1）由题意得,, 设圆C的方程为,因为圆C经过O,A,B三点, 所以解得 所以圆C的方程为；（或） （2）圆C化成标准方程为,圆心为C,半径, 因圆C到直线的距离. 所以直线与圆C相交,即小次车会进入安全预警区. 【变式10-3】（23-24高二上·安徽阜阳·期中）某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为1米，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示），建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示），观景直道与辅道距离米.在建筑物底面中心的北偏东方向米的点处，有一台全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度.请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题： (1)在西辅道上与建筑物底面中心距离2米处的游客，是否在摄像头监控范围内？ (2)求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度. 【解题思路】（1）建立坐标系，利用直线和圆的位置关系可以判断； （2）根据直线和圆相切求出切线，利用切线和观景直道所在直线的交点可得范围. 【解答过程】（1）设为原点，正东方向为轴，建立平面直角坐标系，， 因为，则， 依题意得，游客所在位置为，即， 则直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，所以游客在该摄像头的监控范围内. （2）由图知，过的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物挡住， 所以设直线过点且和圆相切， ①若直线垂直于轴，则直线不会和圆相切； ②若直线不垂直于轴，设，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得或， 所以或， 即或， 观景直道所在直线方程为， 设两条直线与的交点为， 由，解得， 由，解得， 所以， 即观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为4.375米. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$