第一章 专题一 集合与逻辑用语（课件PPT）-【艺考生】2024年新高考文化课冲刺点金数学

艺考生 数学 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 专题一 集合与逻辑用语 【考试内容】 集合;子集;补集;交集;并集;逻辑联结词;四种命题;充分条件;必要条件 【近7年全国卷考点统计】 试卷类型 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 全国卷(甲卷) 5 5 5 5 5 5 5 全国卷(乙卷) 5 5 5 5 10 5 5 新高考全国Ⅰ卷         5 5 5 新高考全国Ⅱ卷         5 5 5 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 重要考点回顾 一、常用符号及其含义 1.元素与集合的关系是:属于或不属于关系,用符号∈或∉表示. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 2.集合与集合的关系:用⊆,⫋,=表示;A是B的子集记为A⊆B; A是B的真子集记为A⫋B.特别地: ①任何一个集合是它本身的子集,记为A⊆A; ②空集是任何集合的子集,记为∅⊆A;空集是任何非空集合的真子集; ③如果A⊆B,同时B⊆A,那么A=B;如果A⊆B,B⊆C,那么A⊆C. ④n个元素的集合子集有2n个;n个元素的集合真子集有2n-1个; n个元素的集合非空真子集有2n-2个. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 3.常用数集的符号 名称 非负整数集 (自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N+ Z Q R 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 二、集合的运算 特别地,集合运算中常用到以下结论: ①A⊆B⇔A∩B=A;A⊆B⇔A∪B=B;A∩A=A;A∩∅=∅ ②A∪B⊇A;A∪B⊇B;A∪A=A;A∪∅=A ③A∪(∁UA)=U;∁UU=∅ 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 A∪B A∩B 若全集为U,则集合A的补集为∁UA 图形 表示 意义 {x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B} ∁UA={x|x∈U且x∉A} 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 三、命题与简易逻辑 1.充要条件的判断:如果p⇒q,则p是q的充分条件; 如果q⇒p,则p是q的必要条件; 如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作p⇔q,则p是q的充要条件. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 2.且、或、非 p或q 记作p∨q p且q 记作p∧q 非p(命题的否定) 记作﹁ p 记忆:“同假为假” “同真为真” “真假相反” (其余为真) (其余为假) p q p或q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 p q p且q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 p 非p 真 假 假 真 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 3.四种命题 ①若p为原命题条件,q为原命题结论.则: 原命题:若p则q 逆命题:若q则p 否命题:若﹁p则﹁q 逆否命题:若﹁q则﹁p ②四种命题关系:原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有相同的真假性. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 4.量词 ①全称量词:“任意:∀”;存在量词:“存在:∃”. ②含有全称量词的命题称为全称命题;含有存在量词的命题称为特称命题. ③含有量词的命题的否定: 全称命题p:∀x∈M,p(x),它的否定﹁p:∃x0∈M,﹁p(x0) 存在性命题p:∃x0∈M,p(x0),它的否定﹁p:∀x∈M,﹁p(x) 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 1.设集合S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2-2x=0,x∈R},则S∩T=(　) A.{0} B.{0,2} C.{0,-2} D.{2,0,-2} 考点训练 【答案】 A　 【解析】　∵集合S={x|x2+2x=0}={0,-2},T={x|x2-2x=0}={0,2}, ∴S∩T={0}.故选A. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 【答案】 A　 【解析】　∵集合B={x|x=n2,n∈A}={1,4,9,16}, ∴A∩B={1,4}.故选A. 2.已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B= (　　) A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2} 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 3.已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩(Venn)图是 (　　) A 　　　 B 　　　 C 　　　 D 【答案】 B　 【解析】　由集合N={x|x2+x=0}={0,-1},可知N⊆M.故选B. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 4.若集合A={0,1,2,3},B={1,2,4},则A∪B= (　　) A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{1,2} D.{0} 【答案】 A　 【解析】　集合A={0,1,2,3}与B={1,2,4},集合A与集合B的并集是{0,1,2,3,4}.故选A. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 5.已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1},集合B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】 C　 【解析】　由题意可知,A∩B的元素个数即为圆x2+y2=1与直线x+y=1的交点的个数,如图可知圆与直线有两个交点.故选C. 本题也可以通过方程组的解的个数来确定. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 6.已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则A∩B中的元素个数为 (　　) A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】 D　 【解析】　由条件知, 当n=2时,3n+2=8; 当n=4时;3n+2=14. 故A∩B={8,14}.故选D.　 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 7.集合U={1,2,3,4,5,6},S={1,4,5},T={2,3,4},则S∩(∁UT)等于(　　) A.{1,4,5,6} B.{1,5} C.{4} D.{1,2,3,4,5} 【答案】 B　 【解析】　由题意得∁UT={1,5,6},所以S∩(∁UT)={1,5}.故选B. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 8.已知集合P={x|x2≤1},M={a},若P∪M=P,则a的取值范围是(　) A.(-∞,-1] B.[1,+∞) C.[-1,1] D.(-∞,-1]∪[1,+∞) 【解析】 C　 【解析】　化简得集合P={x|-1≤x≤1},又P∪M=P,所以M⊆P, 所以-1≤a≤1.故选C. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 9.集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 【答案】 D　 【解析】　∵集合A={0,2,a},B={1,a2},A∪B={0,1,2,4,16}, ∴∴a=4.故选D. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 10.设集合A={x|-3≤2x-1≤3},集合B为函数y=lg(x-1)的定义域,则A∩B= (　　) A.(1,2) B.[1,2] C.[1,2) D.(1,2] 【答案】 D　 【解析】　因为集合A中x的取值范围是[-1,2], 而从集合B可以得出x∈(1,+∞). 所以集合A与B的交集是(1,2].故选D. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 11.已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则 (　　) A.A⫋B B.B⫋A C.A=B D.A∩B=∅ 【答案】 B　 【解析】　因为集合A={x|x2-x-2<0}={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},所以B是A的真子集.故选B. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 12.已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},则A∪B= (　　) A.(-1,3) B.(-1,0) C.(0,2) D.(2,3) 【答案】 A　 【解析】　∵集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3}, ∴A∪B={x|-1<x<3}.故选A. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 13.已知集合M={x|lg x>0},N={x|x2≤4},则M∩N= (　　) A.(1,2) B.[1,2) C.(1,2] D.[1,2] 【答案】 C　 【解析】　因为集合M={x|x>1},N={x|-2≤x≤2}, 所以M∩N={x|1<x≤2}.故选C. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 14.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 D　 【解析】　因为集合A={1,2},B={1,2,3,4}, 所以集合C可以是{1,2}{1,2,3}{1,2,4}{1,2,3,4}.故选D. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 15.若集合A={x|2x-1>0},B={x},则A∩B=　　　　　.  【答案】 {x|<x≤1}　 【解析】　因为集合A={x|x>},B={x|-1≤x≤1}, 所以A∩B={x|<x≤1}. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 16.集合A={x∈R||x-2|≤5}中的最小整数是　　　　　.  【答案】 -3　 【解析】　因为集合A={x|-3≤x≤7},所以集合A中的最小整数是-3. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 17.若集合M={x|-2<x≤4},N={x|4≤x≤6},则 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.M⊆N B.M∩N={4} C.M⊇N D.M∪N={x|-2<x<6} 【答案】 B　 【解析】　因为集合M={x|-2<x≤4},N={x|4≤x≤6}, 所以M∩N={4},M∪N={x|-2<x≤6}. 又M,N相互没有包含关系.故选B. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 18.若集合M={x|<4},N={x|y=},则M∩N= (　　) A.{x|0≤x<2} B.{x|≤x<2} C.{x|3≤x<16} D.{x|≤x<16} 【答案】 D　 【解析】　∵由<4,得0≤x<16, 则集合M={x|<4}={x|0≤x<16}; 由3x-1≥0,得x≥,则集合N={x|3x≥1}={x|x≥}. ∴M∩N={x|0≤x<16}∩{x|x≥}={x|≤x<16}.故选D. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 19.若集合A={x|x2≤1},B={x|<0},则A∩B= (　　) A.{x|0≤x<1} B.{x|0<x<1} C.{x|-1≤x<1} D.{x|-1≤x≤1} 【答案】 B　 【解析】　集合A={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1}, B={x|<0}={x|0<x<1}, 则A∩B={x|0<x<1}.故选B. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 20.命题“∀x∈R,∃n0∈N*,使得n0≥x2”的否定形式是 (　　) A.∀x∈R,∃n0∈N*,使得n0<x2 B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 C.∃x0∈R,∃n0∈N*,使得n0< D.∃x0∈R,∀n∈N*,使得n< 【答案】 D　 【解析】　“∀x∈R,∃n0∈N*,使得n0≥x2”的否定形式是“∃x0∈R,∀n∈N*,使得n< ”.故选D. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 21.“x>0”是“>0成立”的 (　　) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.非充分非必要条件 D.充要条件 【答案】 A　 【解析】　显然当x>0时,>0成立, 但是,当x<0时,>0也成立,故反之不成立. 故选A. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 22.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是 (　　) A.所有不能被2整除的数都是偶数 B.所有能被2整除的数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的数是偶数 D.存在一个能被2整除的数不是偶数 【答案】 D　 【解析】　由于全称量词的否定是特称量词.故选D. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 23.若a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的 (　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】 A　 【解析】　因为a=2⇒(a-1)(a-2)=0成立; 而(a-1)(a-2)=0时a=2或a=1, 于是(a-1)(a-2)=0时,a=2不一定成立. 所以“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的充分而不必要条件.故选A. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 24.命题“存在实数x0,使x0>1”的否定是 (　　) A.对任意实数x,都有x>1 B.不存在实数x,使x≤1 C.对任意实数x,都有x≤1 D.存在实数x,使x≤1 【答案】 C　 【解析】　命题“存在实数x0,使x0>1”的否定是“对任意实数x,都有x≤1”.故选C. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 25.设x∈R,则“x>”是“2x2+x-1>0”的 (　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 A　 【解析】　2x2+x-1>0的解集为{x|x<-1或x>}.故选A. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 26.(多选题)设全集U=R,集合A={y|y=x-2,x∈R},集合B={x|x2+x-2<0,x∈R},则 (　　) A.A∩B=(0,1) B.A∪B=(-2,+∞) C.A∩(∁RB)=(0,+∞) D.A∪(∁RB)=R 【答案】 AB　 【解析】　集合A={y|y>0},B={x|-2<x<1}, ∴A∩B=(0,1),A∪B=(-2,+∞),∁RB={x|x≤-2或x≥1}, A∩(∁RB)=[1,+∞),A∪(∁RB)={x|x≤-2或x>0}≠R.故选AB. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 27.(多选题)设集合M={x|x2+x-2≤0},N={x|log2x<1},若实数a∈(M∩N),则a的值可以是(　　) A.1 B.-2 C.0.5 D.1.5 【答案】 AC　 【解析】　集合M={x|-2≤x≤1},N={x|0<x<2}, ∴M∩N={x|0<x≤1}. 又a∈(M∩N), ∴a的值可以是1或0.5.故选AC. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 28.(多选题)已知集合A=[2,5),B=(a,+∞).若A⊆B,则实数a的值可能是 (　　) A.-3 B.1 C.2 D.5 【答案】 AB　 【解析】　∵A⊆B,∴a<2.故选AB. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 29.(多选题)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的是(　) A.若两直线的斜率相等,则两直线平行 B.若x>5,则x>10 C.若ac=bc,则a=b D.若sin α=sin β,则α=β 【答案】 BCD　 【解析】　A.两直线的斜率相等与两直线平行相互推不出. B.若x>5,则x>10,pq,但q⇒p. C.若ac=bc,则a=b,pq,但q⇒p. D.若sin α=sin β,则α=β,pq,但q⇒p. ∴只有B,C,D中p是q的必要条件.故选BCD. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 30.(多选题)下列命题中的真命题是 (　　) A.∀x∈R,2x-1>0 B.∀x∈N*,(x-1)2>0 C.∃x0∈R,lg x0<1 D.∃x0∈R,tan x0=2 【答案】 ACD　 【解析】　∵指数函数y=2t的值域为(0,+∞), ∴任意x∈R,均可得到2x-1>0成立,故A项正确; ∵当x∈N*时,x-1∈N,可得(x-1)2≥0,当且仅当x=1时取等号, ∴存在x∈N*,使(x-1)2>0不成立,故B项不正确; ∵当x=1时,lg x=0<1,∴存在x0∈R,使得lg x0<1成立,故C项正确; ∵正切函数y=tan x的值域为R,∴存在x0,使得tan x0=2成立,故D项正确.故选ACD. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 31.(多选题)若a,b,c∈R,则下列叙述中正确的是 (　　) A.“ab2>cb2”的充要条件是“a>c” B.“a>1”是“<1”的充分不必要条件 C.“ax2+bx+c≥0对x∈R恒成立”的充要条件是“b2-4ac≤0” D.“a<1”是“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 【答案】 BD　 【解析】　对于A,ab2>cb2成立时,b2>0,所以a>c,即充分性成立; a>c时,b2≥0,不能得出ab2>cb2,所以必要性不成立. 是充分不必要条件,故A错误. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 【解析】　对于B,a>1时,<1成立,即充分性成立; <1时,-1<0,解得a<0或a>1,即必要性不成立. 是充分不必要条件,故B正确. 对于C,ax2+bx+c≥0对x∈R恒成立时,或a=b=0,c≥0; b2-4ac≤0时,不等式ax2+bx+c≥0对x∈R不恒成立. 是既不充分也不必要条件,故C错误. 对于D,a<1时,方程x2+x+a=0不一定有实数根, 如a=,Δ=1-4×=-1<0,方程无实根,所以充分性不成立; 方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根时,a<0,所以a<1,必要性成立. 是必要不充分条件,故D正确.故选BD. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 32.(多选题)下列四个条件中,能成为x>y的充分不必要条件的 是 (　　) A.xc2>yc2 B.<<0 C.|x|>|y| D.ln x>ln y 【答案】 ABD　 【解析】　对于A,因为xc2>yc2,则c2≠0,则x>y, 反之x>y,当c=0时得不出xc2>yc2, 所以“xc2>yc2”是“x>y”的充分不必要条件,故A正确; 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 【解析】　对于B,因为由<<0可得y<x<0,即能推出x>y, 但x>y不能推出<<0(因为x,y的正负不确定,比如x=1,y=-1), 所以“<<0”是“x>y”的充分不必要条件,故B正确; 对于C,因为由|x|>|y|可得x2>y2,则(x+y)(x-y)>0,不能推出x>y, 由x>y也不能推出|x|>|y|(如x=1,y=-2), 所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分又不必要条件,故C错误; 对于D,因为ln x>ln y,则x>y,反之0>x>y,ln x,ln y无意义,得不出ln x>ln y, 所以“ln x>ln y”是“x>y”的充分不必要条件,故D正确. 故选ABD. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 33.(多选题)若a>0,b>0,则使a>b成立的充要条件是 (　　) A.a2>b2 B.a2b>ab2 C.> D.a+>b+ 【答案】 ABD　 【解析】　当a>0,b>0时,a>b等价为a2>b2,故A是充要条件,正确; ∵a>b,ab>0,∴a2b>ab2成立,故B是充要条件,正确; 由>得ab+b>ab+a,即b>a,故C不是等价条件,错误; 若a>b>0,则<,则a+>b+成立, 反之,若a+>b+得a-b+-=(a-b)+=(a-b)>0, 即a-b>0,得a>b成立,故D是充要条件,正确.故选ABD. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 34.(多选题)若∃x0∈,使得2-λx0+1<0成立是假命题,则实数λ可能取值是 (　　) A. B.2 C.3 D. 【答案】 AB　 【解析】　若∃x0∈,使得2-λx0+1<0成立是假命题, 故对∀x∈,2x2-λx+1≥0恒成立, 即2x+≥λ对任意的x∈恒成立,即≥λ. 因为2x+≥2,当且仅当x=时等号成立. 所以λ≤2.故选AB. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 35.(多选题)“关于x的不等式x2-2ax+a>0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是 (　　) A.0<a<1 B.0≤a≤1 C.0<a< D.a≥0 【答案】 BD　 【解析】　∵关于x的不等式x2-2ax+a>0的解集为R, ∴函数f(x)=x2-2ax+a的图象始终在x轴上方, 即方程x2-2ax+a=0的Δ<0, ∴由(-2a)2-4a<0,解得0<a<1. 又∵{a|0<a<1}⫋{a|0≤a≤1},{a|0<a<1}⫋{a|a≥0}, ∴“0≤a≤1”和“a≥0”是“关于x的不等式x2-2ax+a>0的解集为R”的必要不充分条件.故选BD. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 $$