第一章 专题三 向量（课件PPT）-【艺考生】2024年新高考文化课冲刺点金数学

艺考生 数学 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 专题三 向量 【考试内容】 向量的概念;向量的表示法;向量的运算及运用 【近7年新课标卷考点统计】 试卷类型 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 全国卷(甲卷) 5 5 5 5 5 5 5 全国卷(乙卷) 5 10 5 5 5 5 5 新高考全国Ⅰ卷         5 5 5 新高考全国Ⅱ卷         5 5 5 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 重要考点回顾 一、平面向量 （一）向量的概念 1.向量:既有大小又有方向的量,向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. 2.零向量:长度为0的向量,记为0,其方向是任意的,0与任意向量平行. 3.单位向量:模为1个单位长度的向量. 4.平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量. 5.相等向量:长度相等且方向相同的向量. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 （二）向量的表示 1.几何表示:用一条有向线段表示向量.如 或a,b等. 2.坐标表示:在平面直角坐标系中,设向量 的起点O为坐标原点,终点A坐标为(x,y), 则(x,y)称为 的坐标,记为 =(x,y). 当向量起点不在原点时,向量 坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A(x1,y1),B(x2,y2), 则 =(x2-x1,y2-y1). 注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 （三）向量的运算 1.每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言. 主要内容列表如下: 运算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与 减法 实数与向量的乘积 =λa λ∈R 记a=(x,y) 则λa=(λx,λy) 两个向量的数量积 a·b=|a|·|b|cos<a,b> 记a=(x1,y1),b=(x2,y2) 则a·b=x1x2+y1y2 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 2.向量的运算律 加法:①a+b=b+a(交换律);②(a+b)+c=a+(b+c)(结合律) 实数与向量的乘积:①λ(a+b)=λa+λb;②(λ+μ)a=λa+μa; ③λ(μa)=(λμ)a 两个向量的数量积:①a·b=b·a;②(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b); ③(a+b)·c=a·c+b·c 注意:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算, 例如(a±b)2=a2±2a·b+b2 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 3.两个向量数量积的重要性质: ①a2=|a|2即|a|=(求向量的长度); ②求向量的夹角:已知两个非零向量a与b,作=a,=b, 则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角, cos θ=cos<a,b>== 特别注意:当且仅当两个非零向量a与b同方向时,θ=0°;当且仅当a与b反方向时,θ=180°.同时0与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 （四）向量的应用 1.两个向量平行的充要条件 符号语言:a∥b⇔a=λb(b≠0) 坐标语言为:设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔(x1,y1)=λ(x2,y2)⇔x1y2-x2y1=0 2.两个向量垂直的充要条件 符号语言:a⊥b⇔a·b=0 坐标语言:设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 二、空间向量 (一)空间向量及其运算 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量:在空间中,具有大小和方向的量; (2)相等向量:方向相同且模相等的向量; (3)共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合; (4)共面向量:平行于同一平面的向量. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b⇔存在λ∈R,使a=λb; (2)共面向量定理:若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y)使p=xa+yb; (3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组{x,y,z}使得p=xa+yb+zc,其中{a,b,c}叫做空间的一个基底. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 3.两个向量的数量积 (1)非零向量a,b的数量积a·b=|a||b|cos<a,b>. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律:(λa)·b=λ(a·b); ②交换律:a·b=b·a; ③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 4.空间向量的坐标表示及其应用 设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 (1)a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2); (2)a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2); (3)λa=(λx1,λy1,λz1); (4)a·b=x1x2+y1y2+z1z2; (5)若a,b为非零向量,且a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0; (6)若b≠0,且a∥b⇔a=λb⇔x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2; (7)|a|= = ; (8)cos<a,b>= 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 (9)点A=(x1,y1,z1),B=(x2,y2,z2), 则dAB=| |= (10)共面向量定理:p,a,b共面⇔p=xa+yb(x,y∈R); P,A,B,C四点共面 (11)空间向量基本定理p=xa+yb+zc(x,y,z∈R)(不共面的三个向量a,b,c构成一组基底,任意两个向量都共面). 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 (二)立体几何中的向量方法 1.设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为u,v,则 (1)平行: 线线平行:m∥l⇔a∥b⇔a=kb(k∈R且k≠0) 线面平行:l∥α⇔a⊥u⇔a·u=0 面面平行:α∥β⇔u∥v⇔u=kv(k∈R且k≠0) (2)垂直: 线线垂直:l⊥m⇔a⊥b⇔a·b=0 线面垂直:l⊥α⇔a∥u⇔u=ka(k∈R且k≠0) 面面垂直:α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 2.空间角的求法 (1)异面直线所成的角 设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则 (2)求直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,则sin θ=|cos<a,n>|= a与b的夹角β l1与l2所成的角θ 范围 (0,π) 求法 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 (3)求二面角的大小 ①如图(a),AB,CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=< >. 　 图(a)　　　　　　　图(b) 　　　　　　图(c) ②如图(b)(c),n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cos θ|=|cos<n1,n2>|,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角). 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 3.用向量法求空间距离 (1)点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为μ,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.设=a,则向量在直线l上的投影向量=(a·μ)μ.点P到直线l的距离为PQ=. (2)点到平面的距离 已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则点P到平面α的距离为PQ=. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 考点训练 1.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量= (　　) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4) 【答案】 A　 【解析】　∵=-=(3,1),∴=-=(-7,-4).故选A. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 2.若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则a·a+a·b=(　　) A. B. C.1+ D.2 【答案】 B　 【解析】　a·a+a·b=|a|2+|a|·|b|cos 60°=1+=.故选B. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 3.若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)·c=30,则x=(　　) A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】 C　 【解析】　(8a-b)·c=30,8a·c-b·c=30, 即8(1×3+x)-(2×3+5x)=30, 24+8x-6-5x=30, 3x=12, x=4.故选C. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 4.如图,设P是△ABC所在平面内的一点,+=2,则 (　　) A.+=0 B.+=0 C.+=0 D.++=0 【答案】 B　 【解析】　∵-=-, ∴=,-=0,即+=0.故选B. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 5.如图,△ABC中,AB边的高为CD,若=a,=b,a·b=0,|a|=1, |b|=2,则= (　　) A.a-b B.a-b C.a-b D.a-b 【答案】D　 【解析】　如图,∵a·b=0, ∴⊥.在直角三角形中,CB=1,CA=2,AB=,则CD=, ∴AD===, ∴=,即==(a-b)=a-b.故选D. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 6.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d, 那么 (　　) A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向 C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向 【答案】 D　 【解析】　∵向量a=(1,0),b=(0,1), 若k=1,则c=a+b=(1,1),d=a-b=(1,-1), 显然,c与d不平行,排除A,B. 若k=-1,则c=-a+b=(-1,1),d=a-b=(1,-1),即c∥d且c与d反向,排除C.故选D. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 7.设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|= (　　) A. B. C.2 D.10 【答案】 B　 【解析】　因为a⊥b,所以有a·b=x-2=0,得x=2,则a+b=(3,-1), 故|a+b|==.故选B. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 8.若向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为,则|a+b|=　　　　. 【答案】 　 【解析】　 因为|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=1+4+2×1×2×cos=7, 故|a+b|=. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 9.已知向量|a|=3,|b|=2.若a·b=-3,则a与b夹角的大小为　　　　. 【答案】 　 【解析】　设a与b的夹角为θ,则有cos θ===-, 又0≤θ≤π,所以θ=. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 10.已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|= (　　) A. B. C.5 D.25 【答案】 C　 【解析】　∵50=|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=5+20+|b|2, ∴|b|=5.故选C. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 11.平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|= (　　) A. B.2 C.4 D.12 【答案】 B　 【解析】　因为|a+2b|=== =2.故选B. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 12.已知向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b= (　　) A.(-5,-10) B.(-4,-8) C.(-3,-6) D.(-2,-4) 【答案】 B　 【解析】　因为向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b, 所以1×m-2×(-2)=0,所以m=-4, 于是2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8).故选B. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 13.已知向量=,=,则∠ABC= (　　) A.30° B.45° C.60° D.120° 【答案】A　 【解析】　由题意得cos∠ABC===, 所以∠ABC=30°.故选A. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 14.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ为实数,(a+λb)∥c,则λ=(　　) A. B. C.1 D.2 【答案】 B　 【解析】　因为a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2), 又(a+λb)∥c,于是3×2-4·(1+λ)=0, 所以λ=.故选B. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 15.已知向量a=(1,0),b=(1,1),则与2a+b同向的单位向量的坐标表示为　　　　　.  【答案】 　 【解析】　由向量a=(1,0),b=(1,1),得2a+b=(3,1). 设与2a+b 同向的单位向量为c=(x,y), 则且x,y>0,解得故c=, 即与2a+b同向的单位向量的坐标为. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 16.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使=成立的充分条件是 (　　) A.|a|=|b|且a∥b B.a=-b C.a∥b D.a=2b 【答案】 D　 【解析】　,分别是与a,b同向的单位向量,=成立的充要条件是a与b同向.故选D. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 17.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c= (　　) A. B. C. D. 【答案】 D　 【解析】　c+a=(x+1,y+2),因为(c+a)∥b,所以=　①, a+b=(3,-1),因为c⊥(a+b),所以3x-y=0　②, 由①②得x=-,y=-.故选D. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 18.已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),λa+b与a垂直,则λ= (　　) A.-1 B.1 C.-2 D.2 【答案】 A　 【解析】　λa=(λ,-3λ),λa+b=(λ+4,-3λ-2), 因为λa+b与a垂直,所以(λa+b)·a=0, 即(λ+4)·1+(-3λ-2)·(-3)=0,解得λ=-1.故选A 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 19.设向量a=(1,cos θ)与b=(-1,2cos θ)垂直,则cos 2θ等于 (　　) A. B. C.0 D.-1 【答案】 C　 【解析】　因为向量a=(1,cos θ)与b=(-1,2cos θ)垂直, 所以1×(-1)+cos θ·2cos θ=0, 2cos2θ-1=0, cos 2θ=0.故选C. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 20.已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为(　　) A.- B. C. D. 【答案】 B　 【解析】　设=a,=b,∴==(b-a),==(b-a), =+=-a+(b-a)=-a+b, ∴·=-a·b+b2=-+=. 故选B. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 21.空间直角坐标系中,已知点P(3,-2,-5),点Q与点P关于平面xOz对称,则点Q的坐标是 (　　) A.(-3,2,5) B.(3,-2,5) C.(3,2,-5) D.(-3,-2,-5) 【答案】 C　 【解析】　空间直角坐标系中,点P(3,-2,-5), ∵点Q与点P关于平面xOz对称, ∴Q点的坐标是(3,2,-5).故选C. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 22.已知直线l的一个方向向量m=(2,-1,3),且直线l过A(0,y,3)和 B(-1,2,z)两点,则y-z= (　　) A.0 B.1 C. D.3 【答案】 A　 【解析】　=(-1,2-y,z-3).∴=km. ∴-1=2k,2-y=-k,z-3=3k. 解得k=-,y=z=. ∴y-z=0.故选A. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 23.已知向量a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ).若a∥b,则λ与μ的值可以 是 (　　) A.2, B.-, C.-3,2 D.2,2 【答案】 A　 【解析】　因为向量a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),a∥b, 所以2μ-1=0,解得μ=,=,解得λ=2或λ=-3. 所以λ与μ的值可以是2,或-3,.故选A. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 24.在三棱锥P-ABC中,M为PA的中点,N在BC上,且BN=2NC,则(　) A.=-++ B.=--+ C.=-+ D.=-+- 【答案】 A　 【解析】　由M为PA的中点,N在BC上,且BN=2NC, =++=++=+(-)+(-) =-++.故选A. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 25.若向量a=(2,-3,1)和b=(1,x,4)满足条件a·b=0,则x的值是(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】 D　 【解析】　因为向量a=(2,-3,1)和b=(1,x,4)满足条件a·b=0, 即2-3x+4=0,解得x=2.故选D. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 26.在下列条件中,使点M与A,B,C一定共面的是 (　　) A.=-- B.=++ C.++=0 D.+++=0 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 【答案】 C　 【解析】　对于A,由=--,得1-1-1=-1≠1, 不能得出M,A,B,C四点共面; 对于B,由=++,得++≠1, 所以M,A,B,C四点不共面; 对于C,由++=0,得=--, 则,,为共面向量,即M,A,B,C四点共面; 对于D,由+++=0,得=-(++),其系数和不为1,所以M,A,B,C四点不共面.故选C. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 27.在四面体OABC中,空间的一点M满足=++λ,若,,共面,则λ= (　　) A. B. C. D. 【答案】 D　 【解析】　由,,共面知,++λ=1,解得λ=.故选D. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 28.已知空间三点A(0,1,2),B(1,3,5),C(2,5,4-k)在一条直线上,则实数k的值是 (　　) A.2 B.4 C.-4 D.-2 【答案】C　 【解析】　=(1,2,3),=(2,4,2-k), ∵空间三点A(0,1,2),B(1,3,5),C(2,5,4-k)在一条直线上, 则存在实数m,使得=m, ∴解得m=2,k=-4.故选C. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 29.已知向量a=(0,3,3)和b=(-1,1,0)分别是直线l和m的方向向量,则直线l与m所成的角为 (　　) A. B. C. D. 【答案】 C　 【解析】　∵向量a=(0,3,3)和b=(-1,1,0)分别是直线l和m的方向向量, ∴cos<a,b>===, ∴<a,b>=,∴直线l与m所成的角为.故选C. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 30.若向量a=(1,-1,2),b=(2,1,-3),则|a+b|= (　　) A. B.2 C.3 D. 【答案】 D　 【解析】　∵向量a=(1,-1,2),b=(2,1,-3), ∴a+b=(3,0,-1), ∴|a+b|==.故选D. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 31.长方体ABCD -A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形,高为2,M,N分别是四边形BB1C1C和正方形A1B1C1D1的中心,则向量与的夹角的余弦值是 (　　) A. B. C. D. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 【答案】 B　 【解析】　以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,B(1,1,0),M,D(0,0,0),N, =,=, 设向量与的夹角为θ, 则cos θ===. 故向量与的夹角的余弦值为.故选B. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 32.若直线l的方向向量m=(x,-1,2),平面α的法向量n=(-2,-2,4),且直线l⊥平面α,则实数x的值是 (　　) A.1 B.5 C.-1 D.-5 【答案】 C　 【解析】　直线l的方向向量m=(x,-1,2), 平面α的法向量n=(-2,-2,4),且直线l⊥平面α, ∴==,解得x=-1. ∴实数x的值是-1.故选C. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 33.已知向量a=(-2,1,3),b=(-1,2,1)若a⊥(a-λb),则实数λ的值为(　) A.-2 B. C.- D.2 【答案】 D　 【解析】　a-λb=(-2+λ,1-2λ,3-λ). ∵a⊥(a-λb), ∴a·(a-λb)=-2(-2+λ)+(1-2λ)+3(3-λ)=0. 解得实数λ=2. 故选D. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 34.已知向量a=(0,2,1),b=(-1,1,m),若a,b分别是平面α,β的法向量,且α⊥β,则m= (　　) A.-1 B.1 C.-2 D.2 【答案】 C　 【解析】　∵向量a=(0,2,1),b=(-1,1,m),a,b分别是平面α,β的法向量,且α⊥β, ∴a·b=2+m=0,解得m=-2.故选C. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 35.在长方体ABCD -A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则直线BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 (　　) A. B. C. D. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 【答案】 D　 【解析】　在长方体ABCD -A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系, B(2,2,0),C1(0,2,1),D(0,0,0),D1(0,0,1), =(-2,0,1),=(2,2,0),=(0,0,1), 设平面BB1DD1的法向量n=(x,y,z), 则取x=1,得n=(1,-1,0), 设直线BC1与平面BB1DD1所成角为θ, 则直线BC1与平面BB1DD1所成角的正弦值为 sin θ===.故选D. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 36.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑,如下图,在鳖臑P -ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且PA=AB= BC=1,则二面角A-PC-B的大小是 (　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】 C　 【解析】　∵在鳖臑P -ABC中,PA⊥平面ABC, AB⊥BC,且PA=AB=BC=1, ∴以B为原点,BC为x轴,BA为y轴,过B作平面ABC的垂线为z轴建立空间直角坐标系,则A(0,1,0),C(1,0,0),B(0,0,0),P(0,1,1), =(0,0,-1),=(0,-1,-1),=(1,-1,-1), 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 【解析】　设平面PAC的法向量n=(x,y,z), 则取x=1,得n=(1,1,0), 设平面PBC的法向量m=(a,b,c), 则取b=1,得m=(0,1,-1), 设二面角A-PC-B的大小为θ, 则cos θ===,∴θ=60°. ∴二面角A-PC-B的大小为60°.故选C. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 37.(多选题)在△ABC中,AB=AC,BC=4,D为BC的中点,则以下结论正确的是 (　　) A.-= B.=(+) C.·=8 D.|+|=|-| 【答案】 BC　 【解析】　∵在△ABC中,AB=AC,BC=4,D为BC的中点, ∴-=+==-,故A错误; =(+),故B正确; ·=(+)·=·+·= 2=8,故C正确; ∵|+|=2||,|-|=||,D不一定成立.故选BC. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 38.(多选题)已知向量a=(2,-1),b=(-3,2),c=(1,1),则 (　　) A.a∥b B.(a+b)⊥c C.a+b=c D.c=5a+3b 【答案】 BD　 【解析】　∵向量a=(2,-1),b=(-3,2),c=(1,1),∴≠, ∴a,b不平行,故排除A; ∵(a+b)·c=(-1,1)·(1,1)=-1+1=0,故(a+b)⊥c,故B正确; ∵a+b=(-1,1),故C不正确; ∵5a+3b=(1,1),故D正确.故选BD. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 39.(多选题)已知正方形ABCD的边长为2,向量a,b满足=2a, =2a+b,则 (　　) A.|b|=2 B.a⊥b C.a·b=2 D.(4a+b)⊥b 【答案】AD　 【解析】由条件可得b=-=,所以|b|=||=2,故A正确; a=,与不垂直,故B错误;a·b=·=-2,故C错误; 4a+b=+=,根据正方形的性质有AC⊥BD,所以(4a+b)⊥b,故D正确.故选AD. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 40.(多选题)已知向量=(1,-3),=(-2,1),=(t+3,t-8),若点A,B,C能构成三角形,则实数t可以为 (　　) A.-2 B. C.1 D.-1 【答案】 ABD　 【解析】　∵向量=(1,-3),=(-2,1),=(t+3,t-8), ∴=(-2,1)-(1,-3)=(-3,4),=(t+3,t-8)-(1,-3)=(t+2,t-5), ∵点A,B,C能构成三角形,∴≠λ, ∴(-3,4)≠(λ(t+2),λ(t-5)),解得t≠1. ∴实数t可以为-2,,-1.故选ABD. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 41.(多选题)若向量a=(-1,λ,-2),b=(2,-1,1),a与b的夹角为120°,则λ的值为(　　) A.17 B.-17 C.-1 D.1 【答案】 AC　 【解析】　∵向量a=(-1,λ,-2),b=(2,-1,1),a与b的夹角为120°, ∴cos 120°==,解得λ=-1或λ=17.故选AC. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 42.(多选题)已知v为直线l的方向向量,n1,n2分别为平面α,β的法向量(α,β不重合),那么下列选项中,正确的是 (　　) A.n1∥n2⇔α∥β B.n1⊥n2⇔α⊥β C.v∥n1⇔l∥α D.v⊥n1⇔l∥α 【答案】 AB　 【解析】　v为直线l的方向向量,n1,n2分别为平面α,β的法向量(α,β不重合), 则n1∥n2⇔α∥β,n1⊥n2⇔α⊥β,v∥n1⇔l⊥α,v⊥n1⇔l∥α或l⊂α. 因此AB正确.故选AB. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 43.(多选题)正三棱柱ABC -A1B1C1中,AA1=AB,则 (　　) A.AC1与底面ABC所成角的正弦值为 B.AC1与底面ABC所成角的正弦值为 C.AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为 D.AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 【答案】 BC　 【解析】　如图,取A1C1中点为E,AC中点为F,并连接EF,则EB1, EC1,EF三条直线两两垂直,则分别以这三条直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系. 设AB=2,则AA1=2. ∴A1(0,-1,0),C1(0,1,0),A(0,-1,2),C(0,1,2),B1(,0,0), ∴=(0,2,-2). 底面ABC的其中一个法向量为m=(0,0,2), ∴AC1与底面ABC所成角的正弦值为|cos<m,>|===. 故A错B对. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 【答案】 BC　 【解析】　取A1B1中点为K,则点K的坐标为, ∴侧面AA1B1B的其中一个法向量为=. ∴AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为|cos<,>|===. 故C对D错.故选BC. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 44.(多选题)已知点P为△ABC所在平面内一点,且+2+3 =0,若E为AC的中点,F为BC的中点,则下列结论正确的是 (　　) A.向量与可能平行 B.向量与可能垂直 C.点P在线段EF上 D.PE∶PF=1∶2 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 【答案】 BC　 【解析】　∵+2+3=0, ∴++2(+)=0. ∵E为AC的中点,F为BC的中点, ∴2+2×2=0,∴=-2. ∴P为FE的三等分点(靠近点F),即PE∶PF=2∶1,故C正确,D错误; ∴向量与不可能平行,故A错误; 当||=2||=||=||时,向量与垂直,故B正确. 故选BC. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 45.(多选题)已知向量e1,e2是平面α内的一组基向量,O为α内的定点,对于α内任意一点P,当=xe1+ye2时,则称有序实数对(x,y)为点P的广义坐标.若点A,B的广义坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),关于下列命题正确的是 (　　) A.线段AB的中点的广义坐标为 B.A,B两点间的距离为 C.向量平行于向量的充要条件是x1y2=x2y1 D.向量垂直于的充要条件是x1x2+y1y2=0 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 【答案】 AC　 【解析】　根据题意得,由中点坐标公式知A正确; 只有在平面直角坐标系中,两点间的距离公式才如B项所表达的. 当向量e1与e2的夹角不是时, ||=|-|=|(x2-x1)e1+(y2-y1)e2| =, 只有当向量e1与e2的夹角是时, A,B两点间的距离才为,故B错误; 由向量平行的充要条件得C正确; 当向量e1,e2是相互垂直的单位向量时,与垂直的充要条件为x1x2+y1y2=0,故D错误.故选AC. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 46.(多选题)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,AA1=2,BC1与B1C交于点F,点E是线段A1B1上的动点,则下列结论正确的是 (　　) A.=++ B.存在点E,使得AF⊥BE C.三棱锥B -AEF的体积为 D.直线AF与平面BCC1B1所成角的余弦值为 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 【答案】 AC　 【解析】　由题意可画出正三棱柱ABC -A1B1C1,如图所示. 向量=+=+(+)=+(-)+ =++,故A正确; 假设存在点E,设=λ,0≤λ≤1, 所以=-=+-=+λ-=+(λ-1). 因为AF⊥BE, 所以·=·[+(λ-1)] =(λ-1)++(λ-1)· =(λ-1)+×22+(λ-1)×1×1×=0, 解得λ=-,与前设矛盾,故B错误; 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 【答案】 AC　 【解析】　因为正三棱柱ABC -A1B1C1,所以AB∥A1B1, 所以V三棱锥E-ABF== ===×××1×1××2=, 所以V三棱锥B-AEF=V三棱锥E-ABF=,故C正确; 设BC中点为O,所以AO⊥BC, 因为三棱柱ABC -A1B1C1是正三棱柱, 所以AO⊥平面BB1C1C, 所以∠AFO即为AF与平面BB1C1C所成的角, cos∠AFO===,故D错误.故选AC. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 $$