第一章 专题九 不等式（课件PPT）-【艺考生】2024年新高考文化课冲刺点金数学

艺考生 数学 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 专题九 不等式 【考试内容】 均值不等式;一元二次不等式的解法;二元一次不等式组;简单线性规划问题 【近7年全国卷考点统计】 试卷类型 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 全国卷(甲卷) 5 5 5     10 5 全国卷(乙卷) 5 5   5   10 5 新高考全国Ⅰ卷             新高考全国Ⅱ卷           5 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 重要考点回顾 一、均值不等式 两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 若a,b>0,则 (当且仅当a=b时取等号) 基本变形: 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 基本应用:求函数最值:注意:①一正二定三取等;②积定和小,和定积大. 当ab=p(常数),当且仅当a=b时,a+b最小值为 当 a+b=S(常数),当且仅当a=b时,a·b最大值为 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 二、常用的基本不等式 1.设a,b∈R,则a2≥0,(a-b)2≥0(当且仅当a=b时取等号) 2.|a|≥a(当且仅当a≥0时取等号);|a|≥-a(当且仅当a≤0时取等号) 3.a>b,ab>0⇒ 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 注意:(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法,此法尤其适用于不成立的命题. (2)另外需要特别注意: ①若ab>0,则 时,有a<b.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变. ②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论. ③图象法:利用有关函数的图象(指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象),直接比较大小. ④中介值法:先把要比较的代数式与“0”或“1”比,然后再比较它们的大小. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 三、不等式的解法 1.一元一次不等式: (1)ax>b(a≠0):①若a>0,则x> ;②若a<0,则x< ; (2)ax<b(a≠0):①若a>0,则x< ;②若a<0,则x> ; 2.一元二次不等式:一元二次不等式二次项系数小于零的,同解变形为二次项系数大于零; 注:要对Δ进行讨论. 3.绝对值不等式:若a>0,则|x|<a⇔-a<x<a;|x|>a⇔;x<-a或x>a. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 4.二次不等式与二次函数及二次方程的关系(a>0): 判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c的图象 二次方程 ax2+bx+c=0的根 二次不等式 ax2+bx+c>0 的解集 二次不等式 ax2+bx+c<0 的解集 Δ>0 有两相异实根x1,x2(x1<x2) {x|x<x1或x>x2}  {x|x1<x<x2} Δ=0 有两相等 实根 {x∈R| x≠ } ∅ Δ<0 没有实根 R ∅ 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 考点训练 1.设a,b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式中正确的是 (　　) A.b-a>0 B.a3+b3<0 C.b+a>0 D.a2-b2<0 【答案】C　 【解析】特殊值法,取a=2,b=-1, 经验证,只有C成立.故选C. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 2.设a>b>1,c<0,给出下列三个结论: ①>; ②ac<bc; ③logb(a-c)>loga(b-c), 其中所有的正确结论的序号是 (　　) A.① B.①② C.②③ D.①②③ 【答案】D　 【解析】特殊值法,取a=3,b=2,c=-1, 经验证①②③均成立.故选D. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 3.不等式<0的解集是 (　　) A.(1,+∞) B.(-∞,-2) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 【答案】C　 【解析】原不等式等价于(x-1)(x+2)<0,解得-2<x<1.故选C. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 4.不等式x2-5x+6≤0的解集为　　　　　.  【答案】[2,3]　 【解析】原不等式等价于(x-2)(x-3)≤0,解得2≤x≤3, 故解集为[2,3]. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 5.不等式|x-1|<1的解集是　　　　　. 【答案】(0,2)　 【解析】由-1<x-1<1,解得0<x<2, 故解集为(0,2). 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 6.设函数f(x)=则不等式f(x)>f(1)的解集是(　) A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3) 【答案】A　 【解析】因为f(1)=1-4+6=3, 所以不等式f(x)>f(1)的解集就是f(x)>3的解集. 于是有或 解得0≤x<1或x>3或-3<x<0, 即不等式f(x)>f(1)的解集是(-3,1)∪(3,+∞),故选A. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 7.定义在R上的运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为 (　　) A.(0,2) B.(-2,1) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2) 【答案】B　 【解析】由题意可得x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2, 由x2+x-2<0得-2<x<1.故选B. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 ※8.设x,y,z∈R*,若x-2y+3z=0,则的最小值为　　　　　.  【答案】3　 【解析】由x-2y+3z=0得y=(x+3z), 于是有==·=·, 因为x,z∈R*,由均值定理得+≥2=6, 所以有≥×(6+6)=3,当且仅当=时取等号.即的最小值为3. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 ※9.设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=2,则+的最大值是(　) A.2 B. C.1 D. 【答案】C　 【解析】由a>1,b>1,且ax=by=3得x=loga3,y=logb3, 于是有=log3a,=log3b, 从而有+=log3a+log3b=log3ab≤log3=log33=1. 当且仅当a=b时,上式等号成立,此时+取最大值1.故选C. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 10.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是 (　　) A. B. C.5 D.6 【答案】C　 【解析】由x+3y=5xy得+=5, 于是有3x+4y=(3x+4y)=≥=5. 故选C. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 11.下列不等式恒成立的是 (　　) A.a2+b2≤2ab B.a2+b2≥-2ab C.a+b≥2 D.a2+b2≤-2ab 【答案】B　 【解析】显然当a<0,b>0时,不等式a2+b2≤2ab不成立,故A错误; ∵(a+b)2≥0,∴a2+b2+2ab≥0,∴a2+b2≥-2ab,故B正确; 显然当a<0,b<0时,不等式a+b≥2不成立,故C错误; 显然当a>0,b>0时,不等式a2+b2≤-2ab不成立,故D错误. 故选B. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 12.若实数a,b满足a>b>0,则下列不等式中恒成立的是 (　　) A.a+b>2 B.a+b<2 C.+2b>2 D.+2b<2 【答案】A　 【解析】因为a>b>0,所以a+b≥2,当且仅当a=b时取等号. 又a>b>0,所以a+b>2,故A正确,B错误; +2b≥2=2,当且仅当=2b,即a=4b时取等号,故CD错误. 故选A. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 13.下列函数中最小值为4的是 (　　) A.y=x2+2x+4 B.y=|sin x|+ C.y=2x+22-x D.y=ln x+ 【答案】C 【解析】对于A,因为y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3, 所以函数的最小值为3.故A错误; 对于B,因为0<|sin x|≤1,所以y=|sin x|+≥2=4, 当且仅当|sin x|=,即|sin x|=2时取等号. 因为|sin x|≤1,所以等号取不到,所以y=|sin x|+>4.故B错误; 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 【解析】对于C,因为2x>0,所以y=2x+22-x=2x+≥2=4, 当且仅当2x=2,即x=1时取等号. 所以函数的最小值为4.故C正确; 对于D,因为当x=时,y=ln+=-1-4=-5<4, 所以函数的最小值不是4.故D错误. 故选C. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 14.已知两两不相等的x1,y1,x2,y2,x3,y3,同时满足①x1<y1,x2<y2,x3<y3;②x1+y1=x2+y2=x3+y3;③x1y1+x3y3=2x2y2,以下选项恒成立的是(　) A.2x2<x1+x3 B.2x2>x1+x3 C.<x1x3 D.>x1x3 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 【答案】A 【解析】设x1+y1=x2+y2=x3+y3=2m, 则有 根据题意,应该有且m2-a2+m2-c2=2(m2-b2)>0, 则有则x1+x3-2x2=(m-a)+(m-c)-2(m-b)=2b-(a+c). 因为(2b)2-(a+c)2=2(a2+c2)-(a+c)2>0,所以x1+x3-2x2=2b-(a+c)>0. 故A正确,B错误; x1x3-=(m-a)(m-c)-(m-b)2=(2b-a-c)m+ac-b2=(2b-a-c)m-, 而上面已证2b-a-c>0, 因为不知道m的正负,所以该式子的正负无法恒定. 故选A. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 15.(多选题)已知a>0,b>0,且a+b=1,则 (　　) A.a2+b2≥ B.2a-b> C.log2a+log2b≥-2 D.+≤ 【答案】ABD 【解析】对于A,已知a>0,b>0,且a+b=1,所以(a+b)2≤2a2+2b2, 则a2+b2≥,故A正确; 对于B,利用分析法:要证2a-b>,只需证明a-b>-1即可,即a>b-1, 由于a>0,b>0,且a+b=1,所以a>0,-1<b-1<0,故B正确; 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 【解析】对于C,log2a+log2b=log2ab≤log2=-2,故C错误; 对于D,由于a>0,b>0,且a+b=1. 利用分析法:要证+≤成立, 只需对关系式进行平方,整理得a+b+2≤2,即2≤1, 故≤=,当且仅当a=b=时,等号成立.故D正确. 故选ABD. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 16.已知函数f(x)=3x+(a>0)的最小值为5,则a=　　　　　.  【答案】9　 【解析】因为3x+1>0,且f(x)=3x+=3x+1+-1≥2-1=5, 所以a=9,经检验,3x=2时等号成立. 故答案为9. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 17.已知a>0,b>0,且ab=1,则++的最小值为　　　　　.  【答案】4　 【解析】a>0,b>0,且ab=1, 则++=+=+≥2=4, 当且仅当=, 即a=2+,b=2-或a=2-,b=2+时取等号. 故答案为4. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 18.已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是　　　　　.  【答案】 【解析】由5x2y2+y4=1,可得x2=. 由x2≥0,可得y2∈(0,1]. 则x2+y2=+y2==≥×2=, 当且仅当y2=,x2=时取等号. 可得x2+y2的最小值为. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 $$