第一章 专题十 直线与圆-【艺考生】2024年新高考文化课冲刺点金数学

专题十 ! 直线与圆 !考试内容" ! 直线方程!圆的方程!直线与圆的位置关系!圆与圆的关系 !近 ! 年全国卷考点统计" 试卷类型 "#$% "#$! "#$& "#$' "#"# "#"$ "#"" 全国卷!甲卷" ( ( 全国卷!乙卷" ( ( ( ( 新高考全国 ! 卷 ( ( 新高考全国 " 卷 ( ( 一#直线 $! 直线的倾斜角与斜率# 9)<=4 ! $直线的倾斜角 ! 一定存在$范围是- # $ ' " ! 当 ! )'#A 时$ 9 不 存在 ! 斜率的求法# ! $ "若直线方程为 "',# . ,$)# ! # 8 # "$则 9)* " # ! ! " "若直线的倾斜角为 ! $则 9)<=4 ! ! 8 '#A " ! ! + "若直线上两点 / ! ' $ $ .$ "$ ; ! ' " $ ." "$则 9) ." * .$ ' " *' $ ! ' " 8 ' $ " ! "! 直线方程的几种形式 ! $ "点斜式# . * .$ )9 ! '*' $ "!直线 8 过点 / $ ! ' $ $ .$ "$且斜率为 9 " ! ! " "斜截式# . )9',2 ! 2 为直线 8 在 . 轴上的截距" ! ! + "两点式#. * .$ ." * .$ ) '*' $ ' " *' $ !直线 8 过点 / $ ! ' $ $ .$ "$ / " ! ' " $ ." "$且 ' $ 8 ' " $ .$ 8 ." " ! ! - "截距式#' 0 , . 2 )$ ! 0 $ 2 不为零" ! ! ( "一般式# "',# . ,$)# !其中 " $ # 不同时为 # " ! +! 两条直线的位置关系 ! $ "若直线 8 $ # . )9 $ ',2 $ $ 8 " # . )9 " ',2 " ! # 8 $ < 8 " , 9 $ )9 " 且 2 $ 8 2 " % $ 8 $ = 8 " , 9 $ 9 " )*$! ! " "若直线 8 $ # " $ ',# $. ,$ $ )# $ 8 " # " " ',# ". ,$ " )# $且 " $ $ " " $ # $ $ # " 都不为零 ! # 8 $ < 8 " , " $ " " ) # $ # " 8 $ $ $ " % $ 8 $ = 8 " , " $ " " ,# $ # " )#! -! 基本公式 ! $ "两点间的距离# 4) ! ' " *' $ " " , ! ." * .$ "槡 " ! ( (% ( ! " "点到直线的距离 4) + "' # ,# .# ,$ + " " ,#槡 " !点 / ! ' # $ .# "$直线 8 # "',# . ,$)# " ! ! + "两条平行线间的距离#可转化为点到直线间的距离 ! 二#圆 $! 圆的方程 ! $ "圆的标准方程! '*0 " " , ! . *2 " " )B " ! ! " "圆的一般方程 ' " , . " ,6',< . ,=)# ! 6 " ,< " *-= 6 # " ! "! 点和圆的位置关系的判别$转化为点到圆心的距离与半径的大小关系比较 ! +! 圆上一点的切线方程#点 / ! ' # $ .# "在圆 ' " , . " )B " 上$那么过点 / 的切线方程为# ' # ', .#. )B " ! -! 过圆外一点作圆的切线$一定有两条$如果只求出了一条$那么另外一条就是与 ' 轴垂直 的直线 ! (! 直线与圆的位置关系$通常转化为圆心到直线的距离 4 与半径 B 的关系 ! 4 6 B , 相离 !! 4)B , 相切 !! 4 5 B , 相交 %! 圆与圆的位置关系$经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系 ! 设两圆的圆心距 为 4 $两圆的半径分别为 B $ G! 4 6 B,G , 两圆相离 4)B,G , 两圆相外切 + G*B +5 4 5 B,G , 两圆相交 4) + G*B +, 两圆相内切 4 5+ G*B +, 两圆内含 4)# $两圆同心 !! 两圆相交弦所在直线方程的求法# 圆 $ $ 的方程为# ' " , . " ,6 $ ',< $. ,= $ )# $ 圆 $ " 的方程为# ' " , . " ,6 " ',< ". ,= " )#! 把两式相减得相交弦所在直线方程为#! 6 $ *6 " " ', ! < $ *< " " . , ! = $ *= " " )#! $! 经过圆 ' " ,"', . " )# 的圆心 K $且与直线 ', . )# 垂直的直线方程是 ! !! " .5'* . ,$)# /5'* . *$)# 05', . *$)# 15', . ,$)# "! 过点! $ $ # "$且与直线 '*" . *")# 平行的直线方程是 ! !! " .!'*" . *$)# /!'*" . ,$)# 0!"', . *")# 1!'," . *$)# +! 设 0 " $ $则* 0)$ +是*直线 8 $ # 0'," . )# 与直线 8 " # ', ! 0,$ " . ,-)# 平行+的 ! !! " .5 充分不必要条件 /5 必要不充分条件 05 充分必要条件 15 既不充分也不必要条件 -! 过点 / ! $ $"的直线$将圆形区域&! ' $ . " + ' " , . " 4 - '分成两部分$使这两部分的面积之差 最大$则该直线的方程为 ! !! " .!', . *")# /! . *$)# 0!'* . )# 1!',+ . *-)# (! 将圆 ' " , . " *"'*- . ,$)# 平分的直线是 ! !! " .!', . *$)# /!', . ,+)# 0!'* . ,$)# 1!'* . ,+)# %! 直线 . )',$ 与圆 ' " , . " )$ 的位置关系为 ! !! " .5 相切 /5 相交但直线不过圆心 05 直线过圆心 15 相离 ( %% ( !! 已知圆 $ # ' " , . " *-')# $ 8 是过点 / ! + $ # "的直线$则 ! !! " .!8 与 $ 相交 /!8 与 $ 相切 0!8 与 $ 相离 1! 以上三个选项均有可能 &! 圆 ' " , . " *"'*& . ,$+)# 的圆心到直线 0', . *$)# 的距离为 $ $则 0) ! !! " .5* - + /5* + - 槡05+ 15" '! 圆! '," " " , . " )- 与圆! '*" " " , ! . *$ " " )' 的位置关系为 ! !! " .! 内切 /! 相交 0! 外切 1! 相离 $#! 已知点 " ! $ $ *" "$ # ! 5 $ " "$且线段 "# 的垂直平分线方程是 '," . *")# $则实数 5 的 值是 ! !! " .5*" /5*! 05+ 15$ $$! 在平面直角坐标系 '7 . 中$直线 +',- . *()# 与圆 ' " , . " )- 相交于 " $ # 两点$则弦 "# 的长等于 ! !! " 槡 槡 槡.5+ + /5" + 05+ 15$ $"! 过点 / ! # $"且与圆 ' " , . " *"'*+)# 相交的所有直线中$被圆所截得的弦最长时的直线 方程是 ! !! " .5')# /5 . )$ 05', . *$)# 15'* . ,$)# $+! 已知圆 $ #! '*0 " " , ! . *" " " )- ! 0 6 # "及直线 8 # '* . ,+)#! 当直线 8 被圆 $ 截得的弦 长为 槡" +时$则0) !!!" 槡 槡 槡 槡.5" /5"* " 05"*$ 15",$ $-! 过原点 7 作圆 ' " , . " *%'*& . ,"#)# 的两条切线$设切点分别为 / $ ; $则线段 /; 的 长为 ! $(! 若圆 ' " , . " )- 与圆 ' " , . " ,"0 . *%)# ! 0 6 # "的公共弦长为 槡" +$则0) ! $%! 直线 ' 槡, +.*")#与圆' " , . " )- 相交于 " $ # 两点$则弦 "# 的长度等于 ! !! " 槡 槡 槡.5" ( /5" + 05+ 15$ $!! 以点! " $ *$ "为圆心$且与直线 ', . )% 相切的圆的方程是 ! $&! 设圆 $ 与圆 ' " , ! . *+ " " )$ 外切$与直线 . )# 相切$则圆 $ 的圆心轨迹为 ! !! " .5 抛物线 /5 双曲线 05 椭圆 15 圆 $'! 若圆心在 ' 轴上$半径为槡(的圆7位于.轴左侧$且与直线',".)#相切$则圆7的方 程是 ! !! " .5 ! ' 槡* (" " , . " )( /5 ! ' 槡, (" " , . " )( 05 ! '*( " " , . " )( 15 ! ',( " " , . " )( "#! 若圆 $ 的半径为 $ $圆心在第一象限$且与直线 -'*+ . )# 和 ' 轴相切$则该圆的标准方 程是 ! !! " .5 ! '*+ " " , . * ! " ! + " )$ /5 ! '*" " " , ! . *$ " " )$ 05 ! '*$ " " , ! . *+ " " )$ 15'* ! " + " " , ! . *$ " " )$ ( !% ( "$! 若圆 $ $ #! ',$ " " , ! . *$ " " )$ 与圆 $ " 关于直线 '* . *$)# 对称$则圆 $ " 的方程为 ! !! " .5 ! '," " " , ! . *" " " )$ /5 ! '*" " " , ! . ," " " )$ 05 ! '," " " , ! . ," " " )$ 15 ! '*" " " , ! . *" " " )$ ""! 圆心在 . 轴上$半径为 $ $且过点! $ $ " "的圆的方程为 ! !! " .5' " , ! . *" " " )$ /5' " , ! . ," " " )$ 05 ! '*$ " " , ! . *+ " " )$ 15' " , ! . *+ " " )$ "+! 已知圆 $ 与直线 '* . )# 及 '* . *-)# 都相切$圆心在直线 ', . )# 上$则圆 $ 的方 程为 ! !! " .5 ! ',$ " " , ! . *$ " " )" /5 ! '*$ " " , ! . ,$ " " )" 05 ! '*$ " " , ! . *$ " " )" 15 ! ',$ " " , ! . ,$ " " )" "-! 点 / ! - $ *" "与圆 ' " , . " )- 上任一点连线的中点轨迹方程是 ! !! " .5 ! '*" " " , ! . ,$ " " )$ /5 ! '*" " " , ! . ,$ " " )- 05 ! ',- " " , ! . *" " " )- 15 ! '," " " , ! . *$ " " )$ "(! 已知圆 7 # ' " , . " )( 和点 " ! $ $ " "$则过 " 且与圆 7 相切的直线与两坐标轴围成的三角 形的面积等于 ! "%! 若直线 '* . ,$)# 与圆! '*0 " " , . " )" 有公共点$则实数 0 的取值范围是 ! !! " .5 - *+ $ *$ , /5 - *$ $ + , 05 - *+ $, 15 ! * 6 $ *+ , ( - $ $ , 6 " "!! 已知直线 8 # ' 槡* +.,%)#与圆' " , . " )$" 交于 " $ # 两点$过 " $ # 分别作 8 的垂线与 ' 轴交于 $ $ 6 两点$则 + $6 + ) ! "&! 若直线 5 被两平行线 8 $ # '* . ,$)# 与 8 " # '* . ,+)# 所截得的线段的长为 槡" "$则5 的倾斜角可以是 # $(A % $ +#A % % -(A % & %#A % ) !(A $其中正确答案的序号是 ! !写出所有 正确答案的序号" "'! 已知三点 " ! $ $ # "$ # ! # $槡+"$!"$槡+"$则>"#$外接圆的圆心到原点的距离为 !!!" .5 ( + /5 槡"$ + 05 槡"( + 15 - + +#! "多选题#已知直线 8 # 9'* . ,"9)# 和圆 7 # ' " , . " )B " $则 ! !! " .5 存在 9 使得直线 8 与直线 8 # # '*" . ,")# 垂直 /5 直线 8 恒过定点! " $ # " 05 若 B 6 - $则直线 8 与圆 7 相交 15 若 B)- $则直线 8 被圆 7 截得的弦长的取值范围为! 槡" +$&, +$! "多选题#设直线 8 # . )9',$ ! 9 " $ "与圆 $ # ' " , . " )( $则下列结论正确的为 ! !! " .58 与 $ 可能相离 /58 不可能将 $ 的周长平分 05 当 9)$ 时$ 8 被 $ 截得的弦长为 槡+ " " 158 被 $ 截得的最短弦长为 - ( &% ( +"! "多选题#已知圆 $ #! '*$ " " , ! . *" " " )"( $直线 8 #! "5,$ " ', ! 5,$ " . *!5*-)#! 则下列命题正确的有 ! !! " .5 直线 8 恒过定点! + $" /5 圆 $ 被 . 轴截得的弦长为 槡- % 05 直线 8 与圆 $ 恒相交 15 直线 8 被圆 $ 截得最短弦长时$直线 8 的方程为 "'* . *()# ++! "多选题#已知点 ; ! - $ # "$过圆! '*- " " , . " )$% 上的一动点 / 作圆! '*- " " , . " )- 的 两条切线 /" $ /# $切点分别为 " $ # $两个切点 " $ # 之间的线段 "# 称为切点弦 ! 则下列结论正 确的是 ! !! " .5/; = "# /5 + /" + 槡)" + 05 + "# + )+ 15 四边形 "/#; 的面积为 槡- + +-! "多选题#已知圆 $ $ # ' " , . " )B "与圆 $ " #! '*0 " " , ! . *2 " " )B " ! B 6 # $且 0 $ 2 不同时为 # " 交于不同的两点 " ! ' $ $ .$ "$ # ! ' " $ ." "$则下列结论正确的是 ! !! " .5"0' $ ,"2 .$ )0 " ,2 " /50 ! ' $ *' " " ,2 ! .$ * ." " )# 05' $ ,' " )0 $ .$ , ." )2 15 若 * $ - 为圆 $ " 上的两动点$且 + *- + 槡) +B$则+ 9: 7*, 9: 7- + 的最大值为 0 " ,2槡 ",B +(! "多选题#在平面直角坐标 '7 . 中$已知圆 7 过点 " ! + $ - "$ # $$且 9: #$) 9: 7" $则 ! !! " .5 直线 #$ 的斜率为+ - /5 ; "7$)%#A 05 > "#$ 的面积 槡"( + " 15 点 # $ 在同一象限内 +%! "多选题#已知点 / 在圆! '*( " " , ! . *( " " )$% 上$点 " ! - $ # "$ # ! # $ " "$则 ! !! " .! 点 / 到直线 "# 的距离小于 $# /! 点 / 到直线 "# 的距离大于 " 0! 当 ; /#" 最小时$ + /# + 槡)+ " 1!当;/#"最大时$+/#+ 槡)+ " +!! "多选题#已知直线 8 # 0',2 . *B " )# 与圆 $ # ' " , . " )B " $点 " ! 0 $ 2 "$则下列说法正确 的是 ! !! " .! 若点 " 在圆 $ 上$则直线 8 与圆 $ 相切 /! 若点 " 在圆 $ 内$则直线 8 与圆 $ 相离 0! 若点 " 在圆 $ 外$则直线 8 与圆 $ 相离 1! 若点 " 在直线 8 上$则直线 8 与圆 $ 相切 ( '% ( 对于 3 '由于 - . ' ' 2 . ' '且 -+2*!! 利用分析法1要证槡-+槡2+槡&成立'只需对关系式进行平方'整理得-+2+&槡-2+&'即&槡-2+!' 故槡-2+ ! & * -+2 & '当且仅当 -*2* ! & 时'等号成立 ! 故 3 正确 - 故选 (13! !/!. # #解析$ # 因为 0 # +! . ' '且 4 ! # " *0 # + - 0 # +! *0 # +!+ - 0 # +! "! / &槡-"!*%' 所以 -*. '经检验' 0 # *& 时等号成立 ! 故答案为 .! !#!$ # #解析$ # - . ' ' 2 . ' '且 -2*! '则! &- + ! &2 + 4 -+2 * -+2 &-2 + 4 -+2 * -+2 & + 4 -+2 / & -+2 & - 4 -+槡 2*$' 当且仅当-+2 & * 4 -+2 '即 - 槡*&+ 0'2 槡*&" 0或- 槡*&" 0'2 槡*&+ 0时取等号! 故答案为 $! !4! $ % # #解析$ # 方法一1由 %# & * & + * $ *! '可得 # & * !" * $ % * & ! 由 # & / ' '可得 * & ( ! ' ' ! * ! 则 # & + * & * !" * $ % * & + * & * !+$ * $ % * & * ! % $ * & + ! * ! " & / ! % =& $ * & - ! *槡 & * $ % '当且仅当 * & * ! & ' # & * 0 !' 时取等号 ! 可得 # & + * & 的最小值为$ % ! 方法二1由 $* ! %# & + * & "- $ * & + %# & + * & +$ * & ! " & & * &% $ ! # & + * & " & ' 故 # & + * & / $ % ' 当且仅当 %# & + * & *$ * & *& '即 * & * ! & ' # & * 0 !' 时取得等号 ! 可得 # & + * & 的最小值为$ % ! 故答案为$ % ! 专题十 # 直线与圆 !!( # #解析$ # 由题意知'圆的圆心为! "! '"'直线的斜率 9*"! '所以所求直线的斜率 9 ! *! ' 根据点斜式方程得 * "'*!= ) #" ! "! "*'整理成一般式为 #" * +!*'! 故选 (! &!( # #解析$ # 已知直线的斜率 9* ! & '根据点斜式方程得 * "'* ! & ! #"! "' 整理成一般式 #"& * "!*'! 故选 (! 0!( # #解析$ # 当 -*! 时'直线 = ! 的斜率 9 ! *" ! & '直线 = & 的斜率 9 & *" ! & '两直线平行 ! ! $ 题图" 若直线 = ! 与直线 = & 平行'则 9 ! *9 & '即 " - & *" ! -+! '解得 -*"& 或 -*!! 故选 (! $!( # #解析$ # 如图所示'该直线与 7, 所在的直线垂直时'两部分面积之差最大' 9 7, * !"' !"' *! '则 9 '% *"!! 则该直线方程为 * "!* ! "! "-! #"! "'得到 #+ * "&*'! 故选 (! %!2 # #解析$ # 已知圆的圆心为!' & "'将圆平分的直线经过圆心'验证各选项'只有 2 项符合 ! 故选 2! /!1 # #解析$ # 已知直线写成一般式为 #" * +!*' '已知圆的圆心为! ' '"'半径 E*! ' 圆心到直线的距离为 J* & '"'+! & ! & + ! "! "槡 & * 槡& & - !! 故选 1! #!( # #解析$ # 已知圆的圆心为! & '"'半径 E*& '点 , ! 0 '"到圆心的距离 J* ! 0"& " & + ! '"' "槡 &*!'则点,!0'"在圆 内'所以过点 , 的直线必与圆 . 相交 ! 故选 (- 4!( # #解析$ # 由 # & + * & "&#"4 * +!0*' 配方得! #"! " & + ! * "$ " & *$ ' , 圆心为!' $ "'半径 E*& ' ) 圆 # & + * & "&#"4 * +!0*' 的圆心到直线 -#+ * "!*' 的距离为 ! ' - $0 - , 由&-+$"!& - & +!槡 & *! '解得 -*" $ 0 ! 故选 (! .!1 # #解析$ # 因为圆! #+& " & + * & *$ 的圆心 7 ! ! "& '"'半径 G ! *& ( 圆! #"& " & + ! * "! " & *. 的圆心 7 & ! & ' ! "'半径 G & *0! 又因为 & 7 ! 7 & & * ! &+& " & + ! "' "槡 & 槡* !#' 而 !*G & "G ! -槡!#-G!+G&*%'所以可知两圆相交!故选1! !'!2 # #解析$ # 由题意可知线段 '% 的中点 . 在直线 #+& * "&*' 上'由中点坐标公式可得点 . 的坐标为 !+6 & ' ! " '代入 ! ! 题图" 直线方程得!+6 & "&*' '解得 6*0! 故选 2! !!!1 # #解析$ # 如图'因为圆 # & + * & *$ 的圆心 7 ! ' '"'半径 G*& ' 由点到直线的距离公式可得 & 7. & * & "% & 0 & +$槡 & *!! 于是由勾股定理得 & '. & * & 7' & & " & 7. &槡 &* &&"!槡 & 槡* 0' 所以弦 '% 的长等于 槡& 0!故选1! !&!2 # #解析$ # 过点 , ! ' ' ! "且与圆 # & + * & "&#"0*' 相交的所有直线中'被圆所截得的弦最长时 即为直径'此时所求的直线过圆心!'"'由直线方程的截距式可求得直线方程是 #+ * "!*'! 故选 2! ! 0 题图" !0!2 # #解析$ # 如图'由条件可知直线 = 被圆 . 截得的弦长 '% 为 槡& 0'过圆心.作.89'%于8' 则 8 为 '% 的中点'于是有 & '8 & * ! & & '% & 槡* 0!因为圆.的半径为&'故&'.&*&! 由勾股定理得 & .8 & * & '. & & " & '8 &槡 &*!'又圆心.!-'&"'代入点到直线的距离公式得 & -"&+0 & 槡& *! ' 因为 - . ' '所以 - 槡* &"!!故选2! !$!$ # #解析$ # 易知圆 # & + * & "/#"4 * +&'*' 可化为! #"0 " & + ! * "$ " & *% ' 于是有圆心 . ! 0 ' $ "'半径 G* & ., & 槡* %' 由两点间距离公式得 & 7. & * 0 & +$槡 &*%' 于是由勾股定理得 & 7, & * & 7. & & " & ., &槡 & 槡*& %' 由圆的对称性可知 ,< 9 7. '且 ' 为 ,< 的中点' 又 & ,' & * & 7, & - & ,. & & 7. & * 槡 槡& %= % % *& ' 故 & ,< & *&=&*$! ! $ 题图" ######## ! % 题图" !%! # #解析$ # 如图'圆 # & + * & *$ 的圆心 7 ! ! ' '"'半径 G*& ' 可知 7 ! '*& ' '.* ! & '% 槡* 0'7!.* 7!'&"'.槡 & *! ' 由两个圆的方程易得直线 '% 的方程为 - * "!*' ' ! / 题图" 代入点到直线的距离公式得&"!& -槡& *! '解得 -*!! !/!1 # #解析$ # 如图'易知圆 # & + * & *$ 的圆心 . ! ' '"'半径 G*& ' 代入点到直线的距离公式得 & .8 & * & "& & 槡!+0 *! ' 于是有 & '8 & * & '. & & " & .8 &槡 & 槡* 0' 从而有 & '% & *& & '8 & 槡*& 0!故选1! !#! ! #"& " & + ! * +! " & * &% & # #解析$ # 易知点! & ' "! "到直线 #+ * */ 的距离即为半径 G ' - %0 - 代入点到直线的距离公式得 G* & &"!"/ & ! & +!槡 & * 槡% & & ' 于是所求圆的方程为! #"& " & + ! * +! " & * &% & ! !4!( # #解析$ # 设圆 . 的圆心坐标为! # ' * "'因为圆 # & + ! * "0 " & *! 的圆心为! ' ' 0 "'半径为 ! ' 又圆 . 与已知圆外切'且与直线 * *' 相切'故所求圆必在 # 轴上方'且半径为 * ' 于是由题意可得 # & + ! * "0 "槡 &*!+*'化简得# & *4 * "4 '因此圆 . 的圆心轨迹为抛物线 ! 故选 (! !.!3 # #解析$ # 由圆心在 # 轴上'半径为槡%的圆7位于*轴左侧可知('2选项不合题意! 于是所求圆一定在 1 ' 3 选项中选 ! 由于点! "% '"到直线 #+& * *' 的距离是 J* & "% & ! & +&槡 & 槡* %'所以圆!#+%" & + * & *% 与直 线 #+& * *' 相切 ! 故选 3! &'!1 # #解析$ # 由圆心在第一象限'且与 # 轴相切可知' ( ' 2 选项不合题意 ! 于是所求圆一定在 1 ' 3 选项中选 ! 由于点! & ' ! "到直线 $#"0 * *' 的距离是 J* & $=&"0=! & $ & +0槡 & *! ' 所以圆! #"& " & + ! * "! " & *! 与直线 $#"0 * *' 相切 ! 故选 1! &!!1 # #解析$ # 由圆 . ! 1! #+! " & + ! * "! " & *! 与圆 . & 关于直线 #" * "!*' 对称可知'圆 . ! 与圆 . & 的半径相等'所以圆 . & 的半径为 !! 设圆 . & 的圆心坐标为! - ' 2 "'又 . ! ! "! ' ! "' 于是有 -"! & " 2+! & "!*' ' 2"! -+! *"! < = > ' 解得 -*& ' 2*"&! 故选 1! &&!( # #解析$ # 设圆心! ' ' 6 "'则有 # & + ! * "6 " & *! & ' 将!' & "代入上式得 !+ ! &"6 " & *! '即! &"6 " & *' '所以 6*& '所以圆心为! ' ' & " ! 故圆的方程是 # & + ! * "& " & *!! 故选 (! &0!1 # #解析$ # 设圆的方程为! #"- " & + ! * "2 " & *E & ! ) 圆 . 与直线 #" * *' 及 #" * "$*' 相切'圆心在直线 #+ * *' 上' , -+2*' ' & -"2 & 槡& *E ' & -"2"$ & 槡& *E < = > ' 解得 -*! ' 2*"! ' E 槡* &'则圆.的方程为!#"!" & + ! * +! " & *&! 故选 1! &$!( # #解析$ # 设 ' ! # ' ' *' "是圆 # & + * & *$ 上任一点' ,' 中点! # ' * "'又 , ! $ ' "& "' 则 #* # ' +$ & ' # ' *&#"$ ' * * *' "& & ' *' *& * +&! 因为 ' ! # ' ' *' "在圆 # & + * & *$ 上' 所以 # ' & + *' & *$ '即! &#"$ " & + ! & * +& " & *$ '整理得! #"& " & + ! * +! " & *!! 故选 (! &%! &% $ # #解析$ # 连接 7' '设切线交 # 轴和 * 轴分别于 % 点和 . 点 ! 因为是切线'所以直线 '% 与 7' 垂直 ! 设过 7' 的直线方程为 * *9# !过原点' 2 为 ' "'把 ' !' & "代入上式得出 9*&! 所以切线的斜率为 " ! & '且此直线过点 ' !' & "' 所以切线方程为 * *" ! & #+ % & '则 % 点坐标为! % '"' . 点坐标为 ' ' ! " % & ' 所以三角形的面积 * ! & = 底 = 高 * ! & - & 7% & - & 7. & * ! & =%= % & * &% $ ! &/!2 # #解析$ # 将直线方程 #" * +!*' '即 * *#+! 代入! #"- " & + * & *& 得! #"- " & + ! #+! " & *& ' 化简得 &# & " ! &-"& " #+- & "!*'! 因为直线与圆有公共点'所以 # * ! &-"& " & "$=& ! - & "! " / ' '化简解得 "0 + - + !! 故选 2! !本题亦可利用点到直线的距离公式'圆心! - '"到直线 #" * +!*' 的距离不大于半径槡&而求得!" &#!$ # #解析$ # 由 # 槡" 0*+/*''得# 槡* 0*"/'代入圆的方程'并整理得* & 槡"0 0*+/*''解得*! 槡*& 0'*& 槡* 0! ,# ! *' ' # & *"0 ' , & '% & * ! # ! "# & " & + ! *! " *& "槡 & 槡*& 0! 又直线 = 的倾斜角为 0'B '由平面几何知识知在梯形 '%8. 中' & .8 & * & '% & @A60'B *$! - /0 - &4! "'# #解析$ # 本小题考查直线的斜率2直线的倾斜角2两条平行线间的距离'考查数形结合的思想 ! ! &4 题图" 两平行线间的距离为 J* & 0"! & 槡!+! 槡* &' 由图知直线 6 与 = ! 的夹角为 0'B ' = ! 的倾斜角为 $%B ' 所以直线 6 的倾斜角等于 0'B+$%B*#%B '如图中直线 6 ! ( 或 $%B"0'B*!%B '如图中直线 6 & ! 故答案为 "' ! &.!1 # #解析$ #? '%. 外接圆圆心在直线 %. 垂直平分线'即直线 #*! 上 ! 设圆心 8 !' 2 "'由 8'*8% 得 & 2 & * !+ ! 2 槡" 0"槡 & '解得 2* 槡& 0 0 ' 所以圆心到原点的距离 J* ! & + 槡& 0 ! " 0槡 & * 槡&! 0 ! 故选 1! 0'!(2 # #解析$ # 对于 ( '直线 = ' 1 #"& * +&*' 的斜率为! & '则当 9*"& 时'满足直线 = 与直线 = ' 1 #"& * +&*' 垂直'故 ( 正确( 对于 1 '由 = 1 9#" * +&9*' '得 9 ! #+& " " * *' '令 #+&*' ' " * *' % ' 解得 #*"& ' * *' % ' 则直线 = 恒过定点! "& '"'故 1 错误( 对于 2 '若 E . $ '则直线 = 所过定点! "& '"在圆 7 内部'则直线 = 与圆 7 相交'故 2 正确( 对于 3 '若 E*$ '则直线 = 被圆 7 截得的弦长的最大值为 4 '最小值为 & $ & "&槡 & 槡*$ 0' 即直线 = 被圆 7 截得的弦长的取值范围为)槡$ 0'4*'故3错误!故选(2! 0!!13 # #解析$ # 对于 ( '直线 = 1 * *9#+! ! 9 ( ! "恒过点! ' ' ! "'且点在圆内'则直线与圆相交'故 ( 错误( 对于 1 '若直线平分圆的周长'则直线必经过圆的圆心'此时直线的倾斜角为 .'B '与已知矛盾'所以直线不可能平分圆的周长' 故 1 正确( 对于 2 '当 9*! 时'直线方程可化为 #" * +!*' '圆心到直线的距离为 J* ! 槡& '则弦长为 & %"槡 ! & 槡*0 &'故2错误( ! 0& 题图" 对于 3 '定点与圆心的距离为 ! '最短弦长为 槡& %"!*$'故3正确!故选13! 0&!(123 # #解析$ # 对于 ( '将 = 的方程整理为! #+ * "$ " +6 ! &#+ * "# " *' ' 由 #+ * "$*' '且 &#+ * "#*' '解得 #*0 ' * *! ' 则无论 6 为何值'直线 = 恒过定点 8 ! 0 ' ! "'故 ( 正确( 对于 1 '令 #*' '则由! * "& " & *&$ '解得 * 槡*&?& /' 故圆 . 被 * 轴截得的弦长为 槡$ /'故1正确( 对于 2 '因为! 0"! " & + ! "& " & *% - &% '所以点 8 在圆 . 的内部'直线 = 与圆 . 恒相交'故 2 正确( 对于 3 '圆心 . !' & "'半径为 % ' & .8 & 槡* %'当截得的弦长最小时'=9.8'由于9.8 *" ! & ' 则 = 的斜率为 & '此时直线的方程为 * "!*& ! #"0 "'即 &#" * "%*' '故 3 正确 ! 故选 (123! 00!(13 # #解析$ # 因为 < ! $ '"为两已知圆的圆心'由几何性质可知 & ,' & * & ,% & ' & <' & * & <% & '所以 ,< 9 '% '故 ( 正确( 因为 & ,< & *$ ' & '< & * & %< & *& '所以 & ,% & * & ,' & * & <, & & " & <' &槡 & 槡*& 0'故1正确( 因为 678 ; ',<* & '< & & ,< & * ! & '又 ; ',< 为锐角'所以 ; ',<*0'B '同理可得 ; %,<*0'B! 所以 ; ',%*/'B '则 ? ',% 为等边三角形'所以 & '% & 槡*& 0'故2错误( " ',%< *&" ? ',< * & ,' & - & '< & 槡*$ 0'故3正确-故选(13! 0$!(12 # #解析$ # 根据题意' ) 圆 . ! 1 # & + * & *E & 和圆 . & 1! #"- " & + ! * "2 " & *E & ! E . ' "交于不同的两点 ' ' % ' , 两圆方程相减可得直线 '% 的方程为 - & +2 & "&-#"&2 * *' '即 &-#+&2 * "- & "2 & *' ' 分别把点 ' ! # ! ' *! "' % ! # & ' *& "两点坐标代入 &-#+&2 * "- & "2 & *' 得 &-# ! +&2 *! "- & "2 & *' ' &-# & +&2 *& "- & "2 & *' '故 ( 正确( 上面两式相减得 &- ! # ! "# & " +&2 ! *! " *& " *' '即 - ! # ! "# & " +2 ! *! " *& " *' '故 1 正确( ) 两圆的半径相等' , 由圆的性质可知'线段 '% 与线段 . ! . & 互相平分'则有 # ! +# & & * '+- & * - & ' *! + *& & * '+2 & * 2 & ' 变形可得 # ! +# & *- ' *! + *& *2 '故 2 正确( ) ' ( 为圆 . & 上的两动点'且 & )( & 槡* 0E'设)( 的中点为8! 因为 . & 8 9 )( '所以 . & 8* E & " 槡0 & ! " E槡 & * ! & E! - #0 - 所以 )( 的中点 8 的轨迹为以 . & ! - ' 2 "为圆心'! & E 为半径的圆' 所以 )( 的中点 8 的轨迹方程为! #"- " & + ! * "2 " & * ! $ E & ' 又 & 78 7)+ 78 7( & *& & 78 78 & ' 所以 & 78 7)+ 78 7( & 的最大值为 & - & +2槡 &+ ! & ! " E *& - & +2槡 &+E'故3错误-故选(12! 0%!13 # #解析$ # 如图' ) 点 ' ! 0 ' $ "' , 78 7'* ! 0 ' $ " *0 ! ' ! " $ 0 ! 而 78 %.* 78 7' ' , 直线 %. 的斜率为$ 0 '故 ( 错误( 由题意可知' & 78 7' & * & 78 7% & *% ' 又 78 %.* 78 7' ' , 四边形 7%.' 为菱形 ! 又 & 78 7. & *% ' , ; '7.*/'B '故 1 正确( ! 0% 题图" " ? '%. * ! & =%=%=678!&'B* ! & =%=%= 槡0 & * 槡&% 0 $ '故 2 错误( 设 %. 所在直线方程为 * * $ 0 #+2 '即 $#"0 * +02*'! ) & %. & *% ' , 点 7 到 %. 的距离为 槡% 0 & '即 &02& $ & + ! "0 "槡 & * & 02 & % * 槡% 0 & ' 解得 2*? 槡&% 0 / ! 当 2* 槡&% 0 / 时'由 * * $ 0 #+ 槡&% 0 / '取 * *' '可得 #*" 槡&% 0 4 - "% '则 % ' . 均在第二象限( 当 2*" 槡&% 0 / 时'由 * * $ 0 #" 槡&% 0 / '取 * *' '可得 #* 槡&% 0 4 . % '则 % ' . 均在第四象限 ! , 点 % ' . 在同一象限内'故 3 正确 ! 故选 13! 0/!(23 # #解析$ # ) 点 ' ! $ '"' % ! ' ' & "' ! 0/ 题图" , 过点 ' ' % 的直线方程为# $ + * & *! '即 #+& * "$*'! ) 圆! #"% " & + ! * "% " & *!/ 的圆心坐标为! % ' % "'半径 E*$! 圆心到直线 #+& * "$*' 的距离 J* & !=%+&=%"$ & ! & +&槡 & * !! 槡% * 槡!! % % . $ ' , 点 , 到直线 '% 的距离的范围为 槡!! % % "$ ' 槡!! % % ) * +$ ! ) 槡!! % % - % ' , 槡!! % % "$ - ! ' 槡!! % % +$ - !'! , 点 , 到直线 '% 的距离小于 !' '但不一定大于 & '故 ( 正确' 1 错误( 如图'当过 % 的直线与圆相切时'满足 ; ,%' 最小或最大! , 点位于 , ! 时 ; ,%' 最小'位于 , & 时 ; ,%' 最大"' 此时 & %. & * ! %"' " & + ! %"& "槡 & 槡 槡* &%+.* 0$' , & ,% & * & %. & & "$槡 & 槡 槡* !4*0 &!故23正确- 故选 (23! 0#!(13 # #解析$ # ) 点 ' 在圆 . 上' ,- & +2 & *E & ! ) 圆心 . ! ' '"到直线 = 的距离为 J* & ' - -+' - 2"E & & - & +2槡 & * & E & & - & +2槡 & *E ' , 直线与圆 . 相切'故 ( 正确( ) 点 ' 在圆 . 内' ,- & +2 & - E & ! ) 圆心 . ! ' '"到直线 = 的距离为 J* & ' - -+' - 2"E & & - & +2槡 & * & E & & - & +2槡 & . E ' , 直线与圆 . 相离'故 1 正确( ) 点 ' 在圆 . 外' ,- & +2 & . E & ! ) 圆心 . ! ' '"到直线 = 的距离为 J* & ' - -+' - 2"E & & - & +2槡 & * & E & & - & +2槡 & - E ' , 直线与圆 . 相交'故 2 错误( ) 点 ' 在直线 = 上' ,- & +2 & *E & ! - 40 - ) 圆心 . ! ' '"到直线 = 的距离为 J* & ' - -+' - 2"E & & - & +2槡 & * & E & & - & +2槡 & *E ' , 直线与圆 . 相切'故 3 正确 - 故选 (13! 专题十一 # 圆锥曲线 !!1 # #解析$ # 由题意可知 &-+&1*& - &2 '化简得 -+1*&2 ' 两边平方得! -+1 " & *$2 & '! -+1 " & *$ ! - & "1 & "' 0- & "&-1"%1 & *' '即! -+1 "! 0-"%1 " *' ' 因为 -+1 4 ' '于是有 0-*%1 '即 P* 0 % ! 故选 1! &!1 # #解析$ # 由已知得 &- 槡* &-&2'即- & *&2 & ! )- & *2 & +1 & '得到 1 & *2 & ' ! 0 题图" , 由 P & * 1 & - & * 2 & &2 & * ! & '解得 P* 槡& & ! 故选 1! 0!2 # #解析$ # 由椭圆的方程可知 - & *$ ' 2 & *! '求得 1 & *0! 如图所示'可求得 , 点坐标为 槡" 0' ! " ! & ' & ,; ! & * ! & ! 根据椭圆的定义可知' & ,; ! & + & ,; & & *&-*$ ' 解得 & ,; & & *$" & ,; ! & *$" ! & * # & ! 故选 2! $!1 # #解析$ # 由题意可知 - & *9+! ' 2 & *0"9 ' 则 9+! . 0"9 . ' '解得 ! - 9 - 0! 故选 1! ! / 题图" %!1 # #解析$ # 由椭圆性质可知 & '; ! & *-"1 ' & ; ! ; & & *&1 ' & ; ! % & *-+1! 因为三者成等比数列'所以! &1 " & * ! -"1 "! -+1 "' 化简得 %1 & *- & '解得 P* 槡% % ! 故选 1! /!2 # #解析$ # 如图'由题意可知 & ,; & & * & ; ! ; & & *&1 ' & ; & ' & * 0- & "1! 因为 ; ; & ; ! ,* ; ; & ,; ! *0'B '所以有 ; ,; & '*/'B! 又 ,' 9 ; & ' '于是有 ; ; & ,'*0'B '故有 & ,; & & *& & '; & & ' 即 &1*& 0- & " ! " 1 '化简得 $1*0- ' 于是 P* 1 - * 0 $ ! 故选 2! #!3 # #解析$ # 由双曲线的离心率可得 - &槡 +0 - *& '解得 -*!! 故选 3! 4!2 # #解析$ # )P* 槡% & ' , 1 - * 槡% & '即1 & - & * % $ !)1 & *- & +2 & ' , 2 & - & * ! $ !, 2 - * ! & ! , 双曲线的渐近线方程为 * *? 2 - #*? ! & #! 故选 2! .!3 # #解析$ # 因为抛物线 * & *"4# 的焦点为! "& '"'即双曲线的一个顶点为! "& '"'于是有 -*& ' 又 P* 1 - *& '所以 1*$ '从而有 2* 1 & "-槡 & 槡*& 0! 故双曲线方程为# & $ " * & !& *!! 故选 3! !'!2 # #解析$ # 由双曲线 # & " * & *& 可得 - 槡* &'2 槡* &'1*&! 由双曲线的定义可知' & ,; ! & " & ,; & & *& & ,; & & " & ,; & & * & ,; & & *&- 槡*& &' 于是有 & ,; ! & *& & ,; & & 槡*$ &'又&;!;&&*&1*$' 由余弦定理可得 @A6 ; ; ! ,; & * & ,; ! & & + & ,; & & & " & ; ! ; & & & & & ,; ! && ,; & & * 0&+4"!/ 槡 槡&=$ &=& & * 0 $ ! 故选 2! !!!( # #解析$ # 双曲线 . 的其中一条渐近线方程为 * * 2 - # '点 , ! & ' ! "在该条直线上'可得2 - * ! & ' 由题意可知 &1*!' 且 - & +2 & *1 & '解得 2 & *% ' - & *&'! 故选 (! !&! ( & # #解析$ # 由双曲线 . & 的渐近线方程为 * *?&# '可知双曲线 . ! 中2 - *& ' - .0 -