第二章 有理数的运算 重难点检测卷-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

第二章 有理数的运算 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24七年级下·云南玉溪·期末）近日，教育部公布了首批通过国家验收的56个2023年全国义务教育优质均衡发展县（市、区）名单，玉溪市红塔区名列其中．红塔区义务教育阶段现有班级1429个，在校学生约55900人，红塔区完成了从“有学上”到“上好学”的跃变．将数字“55900”用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）某商店在“双11”期间所有商品按8折销售，如图，该商品的售价是（   ） A．225 B．217 C．180 D．145 4．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若有理数“m，n”满足，则称“m，n”为“等效有理数对”，例如：“2，2”，因为，所以“2，2”是“等效有理数对”．下列为“等效有理数对”的是（    ） A．“，” B．“0，” C．“，” D．“1，1” 5．（24-25七年级上·全国·随堂练习）是应用了（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法的交换律与结合律 6．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·福建莆田·期末）将，，，0，1，2，3，4，5，6这10个数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于，则的最大值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 8．（23-24七年级下·广东深圳·期中）下图是根据某地4月6日至12日的天气情况绘制的气温与日期的表格，根据表格中的信息，下列说法不正确的是（    ） 日期 4月6日 4月7日 4月8日 4月9日 4月10日 4月11日 4月12日 气温℃ A．4月8日的最低气温是，最高气温是 B．日期是自变量，气温是因变量 C．气温随着日期的增加而逐渐升高 D．4月12日温差最大 9．（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1，即如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的数的和是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知：，且，，则的值等于（     ） A．1或 B．3或 C．3或1 D．或 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）计算： ． 12．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）大于且不大于的所有整数的和是 ． 13．（21-22七年级上·江苏盐城·期末）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴向右无滑动地滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是 ． 14．（22-23七年级上·山东青岛·阶段练习）5个城市的国际标准时间(单位：时)在数轴上表示如图所示，如果在纽约当地时间10日有一场篮球比赛，则北京时间是 ． 15．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）用符号表示a，b两数中的较大者，用符号表示a，b两数中的较小者，则的值为 ． 16．（23-24七年级上·北京·期中）德胜中学在劳动节中组织学生进行农作物种植实践活动．已知某种农作物种植完成共需A、B、C、D、E、F、G七个步骤，种植要求如下： ①步骤C、D须在步骤A完成后进行，步骤E须在步骤B、D都完成后进行，步骤F须在步骤C、D都完成后进行； ②一个步骤只能由一名学生完成，此步骤完成后该学生才能进行其他步骤； ③各个步骤所需时间如下表所示： 步骤 A B C D E F G 所需时间t分钟 10 10 8 10 8 11 4 在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此种农作物种植，则需要 分钟；若由两名学生合作完成此种农作物种植，则最少需要 分钟． 17．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知数轴上两点对应的数分别为，y，且y是的最小值，点P为数轴上一点，且原点O是的中点，点C是的三等分点，则点C在数轴上表示的数是 ． 18．（2024·山东临沂·二模）观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是 ． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）计算 (1)； (2)． 20．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期末）计算，能简算的要简算 (1) (2) (3) (4) 21．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知，且，求的值． 22．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）． (1)你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？ (2)如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度． 23．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）六月份某天，利民生鲜超市以每千克6元的价格从批发市场购进一批香瓜．连续销售6天后还剩余18千克因质量不佳无法继续售卖（其他损耗不计）．若按平均每天出售120千克香瓜为标准，超过的数量记为“”，不足的数量记为“”，下表记录的是该超市连续六天香瓜销售量情况： 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 销售量（千克） (1)根据记录可知，销售量最多的一天比销售量最少的一天多出售多少千克香瓜？ (2)利民超市这次共购进香瓜多少千克？ (3)若利民超市以每千克12元的价格开始出售这批香瓜，销售四天后，最后两天决定按原售价打7.5折让利销售．试计算利民超市在这批香瓜销售过程中共获得利润多少元？ 24．（23-24六年级下·全国·假期作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 25．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________． (2)数轴上点用数表示，则 ①若，那么的值是_________． ②有最小值，最小值是_________； ③求的最小值． 26．（23-24七年级上·河南南阳·期中）折叠数轴，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题：    (1)数轴上9表示的点与　 　表示的点重合． (2)若数轴上M、N两点之间的距离为2024（M在N的左侧），且M、N两点经折叠后重合，求M、N两点表示的数各是多少？ (3)如图，边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处，将正方形在数轴上向右滚动（无滑动），正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动100次后，落在数轴上一边的右端点表示的数与折叠后的哪个数重合？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 有理数的运算 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24七年级下·云南玉溪·期末）近日，教育部公布了首批通过国家验收的56个2023年全国义务教育优质均衡发展县（市、区）名单，玉溪市红塔区名列其中．红塔区义务教育阶段现有班级1429个，在校学生约55900人，红塔区完成了从“有学上”到“上好学”的跃变．将数字“55900”用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法，根据有理数加法法则即可得出答案．解题的关键是掌握有理数的加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得；③一个数同相加仍得这个数． 【详解】解：． 故选：B． 3．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）某商店在“双11”期间所有商品按8折销售，如图，该商品的售价是（   ） A．225 B．217 C．180 D．145 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数乘法的实际应用，用标价乘以折扣即可得到答案． 【详解】解：元， ∴该商品的售价为180元， 故选：C． 4．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若有理数“m，n”满足，则称“m，n”为“等效有理数对”，例如：“2，2”，因为，所以“2，2”是“等效有理数对”．下列为“等效有理数对”的是（    ） A．“，” B．“0，” C．“，” D．“1，1” 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的运算，分别计算每个选项的结果，再进行判断即可 【详解】解：A.∵,所以，“，”不是“等效有理数对”． B.∵，所以，“0，”不是“等效有理数对”． C. ∵，所以，“，”是“等效有理数对”． D. ∵,所以，“1，1”不是“等效有理数对”． 故选：C 5．（24-25七年级上·全国·随堂练习）是应用了（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法的交换律与结合律 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算律是解答本题的关键． 【详解】 解：是应用了加法的交换律与结合律， 故选：D． 6．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据选项所给式子，逐个求解得到结果判定即可得到答案，熟练掌握有理数的乘法运算是解决问题的关键． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，错误，不符合题意； 故选：A． 7．（23-24七年级下·福建莆田·期末）将，，，0，1，2，3，4，5，6这10个数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于，则的最大值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了整数运算的综合运用，解题的关键是明确三个田字格的所有数字之和中，有两个数被重复计算了．先求出所有数字之和，得出，且n为整数，则，进而推出当时，n有最大值，即可解答． 【详解】解：， ∵所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于， ∴，且n为整数， 整理得：， ∴当最大时，n有最大值， ∵n为整数， ∴当时，n有最大值， 此时， 故选：A． 8．（23-24七年级下·广东深圳·期中）下图是根据某地4月6日至12日的天气情况绘制的气温与日期的表格，根据表格中的信息，下列说法不正确的是（    ） 日期 4月6日 4月7日 4月8日 4月9日 4月10日 4月11日 4月12日 气温℃ A．4月8日的最低气温是，最高气温是 B．日期是自变量，气温是因变量 C．气温随着日期的增加而逐渐升高 D．4月12日温差最大 【答案】C 【分析】本题考查了有理数减法的应用，自变量因变量的意义，有理数大小的比较，根据有理数大小的比较，自变量因变量的定理，有理数减法的应用，等知识逐项判断即可． 【详解】解：A、由表格可知4月8日的最低气温是，最高气温是，正确，不符合题意； B、日期是自变量，气温是因变量，正确，符合题意； C、气温随着日期的增加有时升高，有时下降，故题中说法错误，符合题意； D、4月12日最高温度是这几天最高的，最低气温也是最低的，温差，最大，正确，不符合题意； 故选：C． 9．（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1，即如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据题意分类讨论是解题的关键． 由题意知，第3步的运算结果为，当为偶数，且第1步到第3步运算结果均为偶数时，；当为偶数，第2步的运算结果为奇数5时，；当为奇数，且第1步到第3步运算结果均为偶数时，；当为奇数，且第2步的运算结果为奇数5时，，然后求和即可． 【详解】解：由题意知，第3步的运算结果为， 当为偶数，且第1步到第3步运算结果均为偶数时，， 当为偶数，第2步的运算结果为奇数5时，， 当为奇数，且第1步到第3步运算结果均为偶数时，， 当为奇数，且第2步的运算结果为奇数5时，， ∴所有符合条件的数的和是， 故选：D． 10．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知：，且，，则的值等于（     ） A．1或 B．3或 C．3或1 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，本题解题的关键在于，理解一个数的绝对值的含义是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离．再就是两数乘积小于0，则这两个数一正一负，异号；若两个数乘积大于0，则这两数同正或者同负，同号． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵，即：，同号， ∴当时，，此时：， 当时，，此时：， 故的值为1或， 故选：A． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法运算，熟练掌握加法法则是解题关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）大于且不大于的所有整数的和是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，先写出大于且不大于的所有整数，然后求和即可． 【详解】解：∵大于且不大于的所有整数为，，，0，1，2，3，4， ∴大于且不大于的所有整数和为： ． 故答案为：4． 13．（21-22七年级上·江苏盐城·期末）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴向右无滑动地滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴、圆的周长．求出圆的周长，再根据实数与数轴上的点的对应关系即可得到答案． 【详解】解：由题意得，圆的周长为， 表示的数是， 故答案为：． 14．（22-23七年级上·山东青岛·阶段练习）5个城市的国际标准时间(单位：时)在数轴上表示如图所示，如果在纽约当地时间10日有一场篮球比赛，则北京时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减运算，根据北京和纽约的时差加上纽约时间，即可得出结果． 【详解】解：， 故答案为：． 15．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）用符号表示a，b两数中的较大者，用符号表示a，b两数中的较小者，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数大小比较，有理数减法运算．根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 则 ， 故答案为：． 16．（23-24七年级上·北京·期中）德胜中学在劳动节中组织学生进行农作物种植实践活动．已知某种农作物种植完成共需A、B、C、D、E、F、G七个步骤，种植要求如下： ①步骤C、D须在步骤A完成后进行，步骤E须在步骤B、D都完成后进行，步骤F须在步骤C、D都完成后进行； ②一个步骤只能由一名学生完成，此步骤完成后该学生才能进行其他步骤； ③各个步骤所需时间如下表所示： 步骤 A B C D E F G 所需时间t分钟 10 10 8 10 8 11 4 在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此种农作物种植，则需要 分钟；若由两名学生合作完成此种农作物种植，则最少需要 分钟． 【答案】 61 31 【分析】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据种植要求得出种植步骤是解题的关键． 将所有步骤需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做步骤A，乙学生同时做步骤B；然后甲学生做步骤D，乙学生同时做步骤C，乙学生步骤C完成后接着做步骤G；最后甲学生做步骤F，乙学生同时做步骤E，然后可得答案． 【详解】解：由题意，得：(分钟)， 即：一名学生单独完成需要分钟， 假设这两名学生为甲、乙， ∵步骤C，D须在步骤A完成后进行，步骤E须在步骤B，D都完成后进行，且步骤A，B都需要10分钟完成， ∴甲学生做步骤A，乙学生同时做步骤B，需要10分钟，然后甲学生做步骤D，乙学生同时做步骤C，乙学生步骤C完成后接着做步骤G，需要12分钟，但此时甲同学后面多两分钟剩余，最后甲学生做步骤F，乙学生同时做步骤E，还需要9分钟(减去前面剩余2分钟)， 如下图所示： ∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要(分钟)， 故答案为：61，31． 17．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知数轴上两点对应的数分别为，y，且y是的最小值，点P为数轴上一点，且原点O是的中点，点C是的三等分点，则点C在数轴上表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何意义，有理数的加减计算，先根据绝对值的几何意义求出的最小值为2，即，进而求出点P表示的数为，再分当点C是靠近点A的三等分点时，当点C是靠近点B的三等分点时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵表示的是数轴上表示x的数到表示和表示的数的距离之和， ∴当时有最小值，最小值为， ∴， ∵原点O是的中点， ∴点P表示的数为， ∴， ∵点C是的三等分点， ∴当点C是靠近点A的三等分点时，点C表示的数为， 当点C是靠近点B的三等分点时，点C表示的数为， 综上所述，点C表示的数为或， 故答案为：或． 18．（2024·山东临沂·二模）观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数乘方的规律型问题，根据已知等式正确发现个位数字的变化规律是解题关键． 先根据已知等式发现个位数字是以为一循环，再根据即可得． 【详解】因为，，，，，，…， 所以个位数字是以为一循环，且， 又因为，， 所以的结果的个位数字是1， 故答案为：1． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)24 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键． （1）利用乘法分配律计算即可； （2）先算乘方并把除法转化为乘法，然后算乘法，再算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期末）计算，能简算的要简算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)10 (2)3.5 (3)31 (4) 【分析】本题考查了乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把拆成，再运用乘法结合律进行简便运算，即可作答． （2）先算，再算，即可作答． （3）运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （4）运用乘法分配律，再算加法，最后运算除法，即可作答． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 21．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知，且，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值，有理数的加法，熟练掌握其运算规则，利用分类讨论思想是解题的关键．先根据，求出的值，再根据分情况讨论计算即可． 【详解】解：， ，， ， 当时，； 当时，； 故的值为：或． 22．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）． (1)你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？ (2)如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度． 【答案】(1)层数 (2)6.4毫米 【分析】本题考查了有理数的乘方，通过例举寻找规律是解题的关键． （1）由于把纸对折1次时，可以得到2层；当对折2次时，可以得到4-2层；当对折3次时，可以得到8-23层，由此即可得到层数5和折纸的次数之间的关系； （2）利用（1）的结论代入其中计算即可求解． 【详解】（1）解：∵对折1次，层数， 对折2次，层数， 对折3次，层数， ∴对折n次，层数； （2）解： （毫米）， 答：对折7次时纸的总厚度的总厚度为6.4毫米． 23．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）六月份某天，利民生鲜超市以每千克6元的价格从批发市场购进一批香瓜．连续销售6天后还剩余18千克因质量不佳无法继续售卖（其他损耗不计）．若按平均每天出售120千克香瓜为标准，超过的数量记为“”，不足的数量记为“”，下表记录的是该超市连续六天香瓜销售量情况： 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 销售量（千克） (1)根据记录可知，销售量最多的一天比销售量最少的一天多出售多少千克香瓜？ (2)利民超市这次共购进香瓜多少千克？ (3)若利民超市以每千克12元的价格开始出售这批香瓜，销售四天后，最后两天决定按原售价打7.5折让利销售．试计算利民超市在这批香瓜销售过程中共获得利润多少元？ 【答案】(1)41千克 (2)760千克 (3)3618元 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，正负数的意义，根据题意正确列出算式是解答本题的关键． （1）根据表格提供的数据可知：销售数量最多的一天是第二天，销售数量最少的一天是第一天，故用表格中第二天的销售数量减去第一天的销售数量即可算出答案； （2）先计算出6天的销售数再加上因质量不佳无法继续售卖的即可得出答案． （3）先计算出前四天的销售额，再计算后两天打折后的销售额，把六天的销售额加起来再减去成本即可得出答案． 【详解】（1）解：（千克） 答：销售量最多的一天比销售量最少的一天多出售41千克香瓜． （2）（千克） 答：利民超市这次共购进香瓜760千克． （3）， 元 元 元 元 答：利民超市在这批香瓜销售过程中共获得利润3618元． 24．（23-24六年级下·全国·假期作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，解题的关键是理解题中所给运算方法．设，然后两边同乘以3，进而按照题中所给方法进行求解即可． 【详解】解：设 则 所以， 即． 25．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________． (2)数轴上点用数表示，则 ①若，那么的值是_________． ②有最小值，最小值是_________； ③求的最小值． 【答案】(1)， (2)①或；②；③ 【分析】本题考查绝对值的性质、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式求解即可； （2）①利用绝对值的定义可得或，即可求解；②由表示：数轴上表示数的点到的距离与表示数的点到的距离之和，根据两点间线段最短即可求解；③该式子表示数轴上点到、、、、的 距 离 之 和，根据两点之间线段最短和绝对值的意义可知：当时，原式有最小值，然后去取绝对值，利用求和公式计算即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是：， 数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是：， 故答案为：，； （2）①若，那么或， 解得：或， 故答案为：或； ②表示：数轴上表示数的点到的距离与表示数的点到的距离之和， 由两点间线段最短可知：当时，有最小值，最小值是， 故答案为：； ③的中间一项是， 当时，原式有最小值， 的最小值是． 26．（23-24七年级上·河南南阳·期中）折叠数轴，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题：    (1)数轴上9表示的点与　 　表示的点重合． (2)若数轴上M、N两点之间的距离为2024（M在N的左侧），且M、N两点经折叠后重合，求M、N两点表示的数各是多少？ (3)如图，边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处，将正方形在数轴上向右滚动（无滑动），正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动100次后，落在数轴上一边的右端点表示的数与折叠后的哪个数重合？ 【答案】(1) (2)M、N两点表示的数分别是，1014 (3) 【分析】本题考查了有理数与数轴，数轴上点的距离，有理数混合运算，解决本题的关键是根据题意得到折痕所对应的数． （1）先求出和5的中点，进而得到结论； （2）根据中点定义求出的一半，然后分别列式计算即可； （3）根据边长为2的正方形有一顶点A落在数轴上表示的点处，正方形滚动一次后一个顶点落在表示3的点处，正方形滚动2次后一个顶点落在表示5的点处，正方形滚动3次后一个顶点落在表示7的点处，即可求出正方形滚动100次后一边右端点的位置，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵折叠数轴，在数轴上表示的点与5表示的点重合， ∴， ∴在数轴上表示的点与5表示的点的中点是2表示的点， ∴数轴上9表示的点与表示的点重合． 故答案为：． （2）解：∵数轴上M、N两点之间的距离为2024（M在N的左侧）， ∴ ∴， ∴M点表示的数是，N点表示的数是1014． ∴M、N两点表示的数分别是，1014； （3）解：∵边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处， ∴正方形在数轴上向右滚动一次后落在数轴上一边的右端点表示的数是； 正方形在数轴上向右滚动2次后落在数轴上一边的右端点表示的数是； 正方形在数轴上向右滚动3次后落在数轴上一边的右端点表示的数是； …… ∴正方形在数轴上向右滚动100次后落在数轴上一边的右端点表示的数是   ∵ ∴正方形滚动100次后，落在数轴上一边的右端点表示的数与折叠后的－197重合． 学科网（北京）股份有限公司 $$