专题04 充分条件和必要条件重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第一册）

专题04 充分条件和必要条件重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 判断命题的真假 题型二 充分条件的判定及性质 题型三 必要条件的判定及性质 题型四 判断命题的充分不必要条件 题型五 根据充分不必要条件求参数 题型六 判断命题的必要不充分条件 题型七 根据必要不充分条件求参数 题型八 充要条件的证明 题型九 探求命题为真的充要条件 题型十 根据充要条件求参数 题型十一 既不充分也不必要条件 知识点01：充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 知识点2：充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点3：从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点4：充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 【经典例题一 判断命题的真假】 【例1】（22-23高三上·上海浦东新·期中）十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数时，关于，，的方程没有正整数解”．经历三百多年，于二十世纪九十年代中期由美国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理根据前面叙述，则下列命题正确的个数为（    ） （1）存在至少一组正整数组是关于，，的方程的解； （2）关于，的方程有正有理数解； （3）关于，的方程没有正有理数解； （4）当整数时关于，，的方程有正实数解 A．0 B．1 C．2 D．3 1．（22-23高三下·北京·开学考试）在实数集R中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：（1）对任意，；（2）对任意a，，；（3）对任意a，b，，.给出下列三个结论： ①； ②对任意a，b，，； ③存在a，b，，； 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（22-23高一上·宁夏·阶段练习）下列说法正确的是 .（填序号） ①空集是任何集合的真子集； ②函数的值域是，则函数的值域是； ③既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个； ④若，则. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列命题的真假并说明理由： (1)如果一元二次方程满足，那么这个方程有实数根； (2)如果一元二次方程有实数根，那么． 【经典例题二 充分条件的判定及性质】 【例2】（23-24高一上·江苏连云港·开学考试）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23·上海徐汇·二模）对于实数，，，且是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2．（22-23高一上·河南驻马店·阶段练习）已知集合，,“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是 . 3．（22-23高一·全国·单元测试）设，现有以下三个条件： 甲：且 乙： 丙： 求证：甲分别是乙和丙的充分条件． 【经典例题三 必要条件的判定及性质】 【例3】（23-24高一上·广东东莞·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 2．（22-23高一上·上海长宁·期中）已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数的取值范围为 . 3．（23-24高一上·宁夏银川·阶段练习）已知全集为，集合. (1)若，求； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 【经典例题四 判断命题的充分不必要条件判断命题的充分不必要条件】 【例4】（22-23高一上·上海徐汇·期末）“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 1．（22-23高三上·上海徐汇·期中）如果对于任意实数，表示不小于的最小整数. 例如  ，，.那么“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 2．（24-25高一上·上海·课后作业）设，则“”是“”的 条件． 3．（22-23高一·河南新乡·阶段练习）设，判断“”是“”的什么条件（在“充分不必要条件”“充要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”四个中选一个），并证明你的结论． 【经典例题五 根据充分不必要条件求参数】 【例5】（22-23高一上·浙江宁波·期末）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（2023·江苏南通·模拟预测）函数有两个零点的一个充分不必要条件是（    ） A．a=3 B．a=2 C．a=1 D．a=0 2．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知表示不大于的最大整数，，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 . 3．（22-23高三·江西宜春·阶段练习）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【经典例题六 判断命题的必要不充分条件】 【例6】（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，.那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）已知，，则“”是“”成立的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2020高一·上海·专题练习）“或”是“”成立的 条件. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）设是方程的两个实根，试分析，是两根均大于1的什么条件？ 【经典例题七 根据必要不充分条件求参数】 【例7】（23-24高一上·重庆·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（20-21高三下·辽宁·阶段练习）已知命题，命题，，若是成立的必要不充分条件，则区间可以为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 3．（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【经典例题八 充要条件的证明】 【例8】（23-24高一下·宁夏吴忠·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（23-24高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知符号函数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）下列说法正确的是 ．（填序号） ①“x>0”是“x>1”的必要不充分条件 ②“”是“a>b”的充分不必要条件； ③在△ABC中，“a>b”是“A>B”的充分必要条件. 3．（2023高一·全国·专题练习）当时，定义运算：当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，． (1)计算； (2)证明，“或”是“”的充要条件． 【经典例题九 探求命题为真的充要条件】 【例9】（2024·河南·模拟预测）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（2024·天津河东·一模）命题，命题不都为0，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 2．（22-23高一·全国·随堂练习）用“充分条件但不是必要条件”“必要条件但不是充分条件”或“充要条件”填空： （1）“是有理数”是“是实数”的 ； （2）“”是“”的 ； （3）“”是“”的 ； （4）“”是“”的 ． 3．（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列命题的真假： (1)是的必要条件； (2)是的充分条件； (3)两个三角形的两组对应角分别相等是两个三角形相似的充要条件； (4)是的充分而不必要条件． 【经典例题十 根据充要条件求参数】 【例10】（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 1．（22-23高一上·广东东莞·阶段练习）方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是 ． 3．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，是否存在实数m，使得是成立的_______？ (1)是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由；） (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数m存在，求出m的取值范围，若问题中的m不存在，请说明理由． 【经典例题十一 既不充分也不必要条件】 【例11】（23-24高一上·北京·期中）“” 是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 1．（23-24高一上·上海·期末）已知为非零实数，则“”是“”成立的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 2．（23-24高一上·江苏·课后作业）（1）一般地，如果，那么称：是的 条件, 的 条件. （2）①如果且，那么称是的 条件,简称 条件，记作 . ②如果且,那么称是的 条件； ③如果且,那么称是的 条件； ④如果且,那么称是的 条件. 3．（22-23高二下·山东滨州·阶段练习）指出下列各组命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选一种作答） (1)p：x为自然数，q：x为整数； (2)p：，q：； (3)p：同位角相等，q：两直线平行； (4)p：四边形的两条对角线相等，q：四边形是平行四边形． 1．（22-23高二上·重庆·期末）若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·河南新乡·期末）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（22-23高二下·重庆渝中·期末）已知，为非零实数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（22-23高一上·河北石家庄·阶段练习）设，下列说法中错误的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 5．（23-24高一上·广东江门·期中）设，当时；当时.例如，则“，或，”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 6．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是 . 7．（22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）“”是“不等式与同解”的 条件. 8．（22-23高一上·全国·课后作业）方程有实根的充要条件是 ，方程有实根的一个充分而不必要条件可以是 . 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的有 ． （1）若，则； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若，则； （4）若，则，． 10．（22-23高一·全国·课后作业）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，；给出下列四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”.其中正确的结论是 . 11．（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）已知或，或，若是的充分条件，求实数m的取值范围． 12．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知全集． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围． 13．（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）已知. (1)若是的充分条件，求实数的取值范围： (2)若是的必要条件，求实数的取值范围： 14．（24-25高一上·上海·课堂例题）用“”表示下列陈述句与之间的推出关系： (1)：，：； (2)：既是2的倍数又是5的倍数，：是10的倍数； (3)：是偶数，：是偶数． 15．（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 充分条件和必要条件重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 判断命题的真假 题型二 充分条件的判定及性质 题型三 必要条件的判定及性质 题型四 判断命题的充分不必要条件 题型五 根据充分不必要条件求参数 题型六 判断命题的必要不充分条件 题型七 根据必要不充分条件求参数 题型八 充要条件的证明 题型九 探求命题为真的充要条件 题型十 根据充要条件求参数 题型十一 既不充分也不必要条件 知识点01：充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 知识点2：充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点3：从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点4：充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 【经典例题一 判断命题的真假】 【例1】（22-23高三上·上海浦东新·期中）十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数时，关于，，的方程没有正整数解”．经历三百多年，于二十世纪九十年代中期由美国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理根据前面叙述，则下列命题正确的个数为（    ） （1）存在至少一组正整数组是关于，，的方程的解； （2）关于，的方程有正有理数解； （3）关于，的方程没有正有理数解； （4）当整数时关于，，的方程有正实数解 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】当整数时方程没有正整数解，（1）错误，，没有正有理数解，（2）错误，（3）正确，当，满足条件，（4）正确，得到答案. 【详解】当整数时，关于，，的方程没有正整数解，故方程没有正整数解，（1）错误； 没有正整数解.即，，没有正有理数解，（2）错误，（3）正确； 方程，当，满足条件，故有正实数解，（4）正确. 故选：C 1．（22-23高三下·北京·开学考试）在实数集R中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：（1）对任意，；（2）对任意a，，；（3）对任意a，b，，.给出下列三个结论： ①； ②对任意a，b，，； ③存在a，b，，； 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据新运算的性质化简判断①，将②等式两边展开判断是否相等，将且代入③，根据运算性质化简等号两侧即可判断. 【详解】①，错误； ②，而，故，正确； ③当且时，，而，显然成立，正确. 故选：C 2．（22-23高一上·宁夏·阶段练习）下列说法正确的是 .（填序号） ①空集是任何集合的真子集； ②函数的值域是，则函数的值域是； ③既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个； ④若，则. 【答案】③④ 【解析】①利用空集的性质判断; ②根据函数平移的性质判断;③通过构造函数结合奇偶性定义判断;④利用并集与交集性质判断. 【详解】对于①，根据“空集是任何非空集合的真子集”，可知①错误; 对于②，函数平移可能改变函数的定义域，但值域不变，即函数f(x)的值域是[-2，2]，则函数f(x+1)的值域为[-2，2]，故②错误; 对于③，例如函数f(x) =0 (x∈R)既是奇函数又是偶函数，当改变函数的定义域为关于原点对称的定义域时，都既是奇函数又是偶函数，因此既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个,故③正确; 对于④，若，则，所以A∩B=A，故④正确; 故答案为：③④ 【点睛】本题主要考查了命题真假性的判断，常运用性质法、定义法、列举法，属于基础题目. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列命题的真假并说明理由： (1)如果一元二次方程满足，那么这个方程有实数根； (2)如果一元二次方程有实数根，那么． 【答案】(1)真命题，理由见解析 (2)假命题，理由见解析 【分析】（1）利用一元二次方程有解的条件求解即可. （2）举反例判断即可. 【详解】（1）真命题．理由：若，则， 故方程有实数根，命题是真命题． （2）假命题．理由：因为当时，显然方程有实数根， 此时不满足，所以命题是假命题． 【经典例题二 充分条件的判定及性质】 【例2】（23-24高一上·江苏连云港·开学考试）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解，得到，再利用条件即可求出结果. 【详解】由，得到， 又不等式的一个充分条件为，所以， 故选：C. 1．（22-23·上海徐汇·二模）对于实数，，，且是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】若“且”则“”成立， 当，时，满足，但且不成立， 故且”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 2．（22-23高一上·河南驻马店·阶段练习）已知集合，,“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据充分条件转化为集合,建立不等式求解即可. 【详解】因为“”是“”的充分条件， 所以, 所以， 故答案为： 3．（22-23高一·全国·单元测试）设，现有以下三个条件： 甲：且 乙： 丙： 求证：甲分别是乙和丙的充分条件． 【答案】证明见解析 【分析】根据元素之间的关系，利用充分条件的定义进行推理即可． 【详解】 设，则，， 则， 因为 所以， 所以， 所以甲是乙的充分条件； ， 因为 所以若，则；若，则， 所以甲是乙的充分条件 所以甲分别是乙和丙的充分条件． 【经典例题三 必要条件的判定及性质】 【例3】（23-24高一上·广东东莞·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】按充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】， 故是的必要不充分条件， 故选：B 1．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】根据条件及充分条件和必要条件的的确定之间的关系，然后逐一判断命题①②③④即可. 【详解】因为是的的充分不必要条件，所以，推不出， 因为是的的充分条件，所以， 因为是的必要条件，所以， 因为是的必要条件，所以， 因为，，所以，又，，所以是的充要条件，命题①正确， 因为，，，所以， 推不出，故是的充分不必要条件，②正确； 因为，，所以，是的充分条件，命题③错误； 因为，，所以，又， 所以是的充要条件，命题④错误； 故选：B. 2．（22-23高一上·上海长宁·期中）已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据必要条件的定义可得到两集合的包含关系，由包含关系可构造不等式组求得结果. 【详解】是的必要条件     ，解得：， 即的取值范围为. 故答案为： 3．（23-24高一上·宁夏银川·阶段练习）已知全集为，集合. (1)若，求； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）解分式不等式得集合，由得集合，再根据补集与交集的运算即可得所求； （2）若是的必要条件，可得，分类讨论得集合，即可求得符合题意的实数的取值范围. 【详解】（1）由整理得，解得，所以，则， 若，则 所以； （2）若是的必要条件，则 当时，即时，，符合题意； 当时，即时，，要满足，可得 解得， 综上，实数的取值范为或. 【经典例题四 判断命题的充分不必要条件判断命题的充分不必要条件】 【例4】（22-23高一上·上海徐汇·期末）“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】分别从充分性和必要性进行论证即可求解. 【详解】若，则同号，所以成立，充分性成立； 若成立，两边同时平方可得：， 所以，则，所以必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：. 1．（22-23高三上·上海徐汇·期中）如果对于任意实数，表示不小于的最小整数. 例如  ，，.那么“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】根据已知给出的定义，可通过举例说明得到结果 【详解】由题意，若,则满足，而；反之，若，则必须同在两个相邻整数之间，则必有.因此“”是“” 充分非必要条件 故选：A 2．（24-25高一上·上海·课后作业）设，则“”是“”的 条件． 【答案】充分不必要 【分析】利用不等式的性质证明充分性，举反例否定必要性即可. 【详解】若，则，故充分性成立， 令，满足，但不满足，故必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 3．（22-23高一·河南新乡·阶段练习）设，判断“”是“”的什么条件（在“充分不必要条件”“充要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”四个中选一个），并证明你的结论． 【答案】充分不必要条件，证明见解析 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可 【详解】解：是的充分不必要条件． 先证明充分性： 因为得， （方法一） 由得， 所以， 故“”是“”的充分条件； （方法二） ， 故“”是“”的充分条件； 再证明不必要性： 由 ， 所以或， 当时，成立； 当时，不一定成立， 故“”是“”的不必要条件； 综上，“”是“”的充分不必要条件 【经典例题五 根据充分不必要条件求参数】 【例5】（22-23高一上·浙江宁波·期末）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先计算函数对称轴，结合函数开口方向分析可得该函数的递增区间，根据充分必要性辨析可得答案. 【详解】对称为轴， 若，又开口向上，在上单调递增， 又，故在上单调递增成立； 若函数在上单调递增， 单调递减，不成立， 则得， 不能推出， 故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A. 1．（2023·江苏南通·模拟预测）函数有两个零点的一个充分不必要条件是（    ） A．a=3 B．a=2 C．a=1 D．a=0 【答案】A 【分析】先因式分解得，再分类讨论求解当有两个零点时的值，再根据充分不必要条件的性质判断选项即可 【详解】，有两个零点，有两种情形： ①1是的零点，则，此时有1，2共两个零点 ②1不是的零点，则判别式，即 ∴是有两个零点的充分不必要条件 故选：A． 2．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知表示不大于的最大整数，，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出集合，再由充分不必要的定义以及集合之间的包含关系即可求解. 【详解】对于集合，不失一般性我们不妨设， 此时由的定义可知，有， 所以， 若是的充分不必要条件，则 ， 所以的取值范围是. 故答案为：. 3．（22-23高三·江西宜春·阶段练习）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）用集合交集，补集的运算可得； （2）由条件可得是Q的真子集，再分集合是否为空集讨论求出结果即可 【详解】（1）当时，集合，可得或， 因为，所以 （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是Q的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集， 当时，则满足且不能同时取等号，解得， 综上，实数的取值范围为. 【经典例题六 判断命题的必要不充分条件】 【例6】（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，.那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据所给定义以及充分条件与必要条件的定义推导即可. 【详解】如果，比如，则有， 根据定义，， 即“”不是“”的充分条件， 如果，则有， ，所以“”是“”的必要条件； 故“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 1．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）已知，，则“”是“”成立的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用赋值法可知不能推出，然后利用分类讨论法可知能推出，再结合充分性和必要性的概念即可求解. 【详解】不妨令，，故不能推出， 若，故，同号， 若，都大于0，则，从而； 若，都小于0，则，从而， 故能推出， 从而“”是“”成立的必要不充分条件. 故选：B. 2．（2020高一·上海·专题练习）“或”是“”成立的 条件. 【答案】必要不充分 【分析】利用逆否命题的等价性，转化后，判断充分，要条件. 【详解】，不能推出且，反过来，且能推出，所以是且的必要不充分条件，利用逆否关系的等价性可知或是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用逆否命题的等价性，判断充分，必要条件，即“或”是“”成立的条件，就是是且成立的条件. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）设是方程的两个实根，试分析，是两根均大于1的什么条件？ 【答案】必要非充分条件 【分析】利用韦达定理结合不等式的性质证明必要性，举反例否定充分性即可. 【详解】由韦达定理，， 判定条件结论 （注意条件中，、需满足） ①由得，，所以． ②为了证明，可以举出反例 取，，满足，，但不成立． 综上可知，是两根均大于1的必要非充分条件． 【经典例题七 根据必要不充分条件求参数】 【例7】（23-24高一上·重庆·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法即可得得出结果. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以，即，解得， 故选：B. 1．（20-21高三下·辽宁·阶段练习）已知命题，命题，，若是成立的必要不充分条件，则区间可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由命题q中的a的范围，再由是成立的必要不充分条件，得选项. 【详解】命题，，则， 所以，解得或， 又是成立的必要不充分条件，所以， 所以区间可以为， 故选：B. 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 2．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，分与讨论，结合必要不充分条件即可得到结果. 【详解】由题意可得，可以推出，则不符合题意， 比如当时，不符合题意； 当时，则是的充要条件，不符合题意； 当时，等价于，则， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 3．（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求出范围，依题意是的充分条件，由集合之间的包含关系，列出不等式求解即可； （2）先写出的范围，由p是的必要不充分条件，则表示的集合是所表示集合的真子集，列出不等式求解即可. 【详解】（1）因为p：，所以p：，即， 因为p是q的充分条件，所以或， 解得或，即实数的取值范围是或； （2）依题意，：，由（1）知p：， 又p是的必要不充分条件，所以， 解得，即实数m的取值范围是． 【经典例题八 充要条件的证明】 【例8】（23-24高一下·宁夏吴忠·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用不等式的性质及二次不等式的解法即可得证. 【详解】先证： 因为，所以，，故，即，故； 再证： 因为，所以，即，故； 综上：“”是“”的充分必要条件. 故选：C 1．（23-24高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知符号函数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题目所给的符号函数直接得到等价于即可. 【详解】若，则同号， 所以或， 即或，即， 所以“”是“”的充要条件. 故选：A 2．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）下列说法正确的是 ．（填序号） ①“x>0”是“x>1”的必要不充分条件 ②“”是“a>b”的充分不必要条件； ③在△ABC中，“a>b”是“A>B”的充分必要条件. 【答案】①③ 【分析】由充分条件，必要条件的定义结合不等式性质及三角形性质即可逐项判断. 【详解】因为但，所以“x＞0”是“x＞1”的必要不充分条件，故①正确； 因为，所以“a3＞b3”是“a＞b”的充要条件，故②不正确； 因为在△ABC中，大边对大角，大角对大边，所以，所以“a>b”是“A>B”的充分必要条件，故③正确. 故答案为：①③ 3．（2023高一·全国·专题练习）当时，定义运算：当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，． (1)计算； (2)证明，“或”是“”的充要条件． 【答案】(1)1； (2)证明见解析 【分析】（1）先理解的运算，然后求解即可； （2）先证充分性，再证必要性即可． 【详解】（1）. （2）先证充分性：当或时，则， 即或是的充分条件； 再证必要性：当时， 显然当时，，当时，， 即与均不合题意， 当时，由，则， 当时，由，则， 即“或”是“”的必要条件， 综上，命题得证． 【经典例题九 探求命题为真的充要条件】 【例9】（2024·河南·模拟预测）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】构造函数，根据函数单调性得到，故. 【详解】构造函数，则在上单调递增， 所以． 故选：C． 1．（2024·天津河东·一模）命题，命题不都为0，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】故不都为0，得到答案. 【详解】故不都为0， 故是的充要条件. 故选：A 2．（22-23高一·全国·随堂练习）用“充分条件但不是必要条件”“必要条件但不是充分条件”或“充要条件”填空： （1）“是有理数”是“是实数”的 ； （2）“”是“”的 ； （3）“”是“”的 ； （4）“”是“”的 ． 【答案】 充分条件但不是必要条件 必要条件但不是充分条件 充要条件 必要条件但不是充分条件 【分析】由充分条件、必要条件、充要条件的概念逐一辨别即可求解. 【详解】（1）一方面若“是有理数”，则必定有“是实数”； 另一方面若“是实数”，则不一定有“是有理数”， 因为“可能是无理数”， 所以“是有理数”是“是实数”的充分条件但不是必要条件； （2）若，则， 所以“”是“”的必要条件但不是充分条件； （3）因为当且仅当，而当且仅当， 所以“”是“”的充要条件； （4）一方面设， 则，但， 这说明了“”不是“”的充分条件， 另一方面若，则， 这说明了“”是“”的必要条件， 结合以上两方面可知“”是“”的必要条件但不是充分条件. 故答案为：充分条件但不是必要条件；必要条件但不是充分条件；充要条件；必要条件但不是充分条件. 3．（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列命题的真假： (1)是的必要条件； (2)是的充分条件； (3)两个三角形的两组对应角分别相等是两个三角形相似的充要条件； (4)是的充分而不必要条件． 【答案】(1)假命题 (2)假命题 (3)真命题 (4)假命题 【分析】根据充分性和必要性判断真假即可. 【详解】（1）当，时，，但是，所以不是的必要条件，是的必要条件为假命题. （2）当，时，，但是，所以不是的充分条件，是的充分条件为假命题. （3）两个三角形的两组对应角分别相等可以推出三角形相似， 三角形相似也可以推出两个三角形的两组对应角分别相等， 所以两个三角形的两组对应角分别相等是两个三角形相似的充要条件为真命题. （4），解得或0，所以是的必要不充分条件，故是的充分而不必要条件为假命题. 【经典例题十 根据充要条件求参数】 【例10】（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合一元二次方程的的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 1．（22-23高一上·广东东莞·阶段练习）方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用判别式求得的取值范围，然后结合充要条件的知识求得的值. 【详解】方程有实根，故， 解得或. 方程有实根，故， 解得. 综上所述，，只有D选项符合. 若方程与有一个公共实数根，设公共实根为， 则，两式相减得， 由于，所以， 所以. 当时，两个方程分别为、， 方程的两个根为； 方程的两个根为； 即方程与有一个公共实数根. 综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是. 故选：D 2．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为一次函数的图像经过一、二、四象限， 则满足，解得， 即一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是. 故答案为：. 3．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，是否存在实数m，使得是成立的_______？ (1)是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由；） (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数m存在，求出m的取值范围，若问题中的m不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据是成立的充要条件可得，再根据不等式区间端点对应相等列式求解即可； （2）根据充分与必要条件可得集合的包含关系，再根据区间端点满足的不等式列式求解即可. 【详解】（1）若存在实数m，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数m，使得是成立的充要条件. （2）因为，故，故. 选①：充分不必要条件. 由题意，故，解得，故，即m的取值范围为 选②：必要不充分条件. 由题意，故，解得，故，又，故m的取值范围为. 【经典例题十一 既不充分也不必要条件】 【例11】（23-24高一上·北京·期中）“” 是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】取特殊值，利用充分和必要条件的性质判断即可. 【详解】当时，满足，但不满足，故充分性不成立； 当时，满足，但不满足，故必要性不成立； 所以“” 是的既不充分又不必要条件， 故选：D. 1．（23-24高一上·上海·期末）已知为非零实数，则“”是“”成立的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【分析】举反例结合充分必要条件的定义分析即可. 【详解】显然时不能推出，反之时也不能推出， 则“”是“”成立的既非充分又非必要条件. 故选：D 2．（23-24高一上·江苏·课后作业）（1）一般地，如果，那么称：是的 条件, 的 条件. （2）①如果且，那么称是的 条件,简称 条件，记作 . ②如果且,那么称是的 条件； ③如果且,那么称是的 条件； ④如果且,那么称是的 条件. 【答案】 充分 必要 充分必要 充要 充分不必要 必要不充分 既不充分又不必要 【分析】根据充分条件、必要条件的概念，逐个判定，即可求解. 【详解】根据充分条件，必要条件，充要条件，以及既不充分也不必要条件的判定方法， 即可得到（1）充分条件，必要条件；（2）充分必要，充要，；（3）充分不必要条件；（4）必要不充分条件；（5）既不充分也不必要条件. 3．（22-23高二下·山东滨州·阶段练习）指出下列各组命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选一种作答） (1)p：x为自然数，q：x为整数； (2)p：，q：； (3)p：同位角相等，q：两直线平行； (4)p：四边形的两条对角线相等，q：四边形是平行四边形． 【答案】(1)p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件 (2)p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件 (3)p是q的充要条件；q是p的充要条件 (4)p是q的既不充分也不必要条件；q是p的既不充分也不必要条件 【分析】（1）由自然数和整数的概念作出判断； （2），而，得到结论； （3）两者可互相推出，故可得到结论； （4）举出反例，得到结论. 【详解】（1）x为自然数，则为整数，但为整数，不妨令，则不是自然数， 故p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； （2），而， 故p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件； （3）同位角相等，可得到两直线平行，反之，两直线平行，可得到同位角相等， p是q的充要条件；q是p的充要条件； （4）若四边形的两条对角线相等，则四边形可能为等腰梯形，故充分性不成立， 若四边形是平行四边形但不是矩形，则两条对角线不相等，故必要性不成立. 故p是q的既不充分也不必要条件；q是p的既不充分也不必要条件. 1．（22-23高二上·重庆·期末）若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知中不等式成立的充分条件是，令不等式的解集为A，可得，可以构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案. 【详解】解：不等式成立的充分条件是， 设不等式的解集为A，则， 当时，，不满足要求； 当时，， 若，则，解得. 故选：A. 2．（22-23高一上·河南新乡·期末）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】化简已知条件，根据充分条件、必要条件的概念可得解. 【详解】由，得， 即，则， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：A 3．（22-23高二下·重庆渝中·期末）已知，为非零实数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】首先根据不等式的性质变形为，再分情况讨论，判断充分，必要条件. 【详解】结论， 当时，； 当时，； 当时，； 综上：． 故选：C 4．（22-23高一上·河北石家庄·阶段练习）设，下列说法中错误的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件，必要条件的概念依次判断各选项即可. 【详解】解：对于A，因为的解集为，所以“”是“”的充分不必要条件，故正确； 对于B，“”时， “”不一定成立，反之“”成立时，“”一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故正确； 对于C，“”时，“”一定成立，反之 “”成立时，不一定成立，例如，所以 “”是“”的充分不必要条件，故错误； 对于D，当时，满足“”，但不满足“”；当时，满足“”，但不满足“”，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故正确. 故选：C 5．（23-24高一上·广东江门·期中）设，当时；当时.例如，则“，或，”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】结合新定义，根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当，或，时，， 由时知，， 当时，根据定义可知，所以，故只要满足且即可， 显然不止，或，这种情况， 比如，等也满足， 所以“，或，”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得是的真子集，求解即可. 【详解】因为“”是“”的必要非充分条件， 所以是的真子集， 所以． 故答案为： 7．（22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）“”是“不等式与同解”的 条件. 【答案】既不充分又不必要 【分析】取说明充分性不满足；举不等式与不等式说明必要性不满足，从而即可得答案. 【详解】解：取，满足， 所以即为，即为， 两不等式的解集不同，故充分性不满足； 不等式与不等式的解集相同，均为，但不满足，故必要性不满足； 所以“”是“不等式与同解”的既不充分又不必要条件. 故答案为：既不充分又不必要 8．（22-23高一上·全国·课后作业）方程有实根的充要条件是 ，方程有实根的一个充分而不必要条件可以是 . 【答案】 (答案不唯一) 【分析】由方程有实根，可得判别式非负，从而可得到其充要条件，当时方程有实根，而方程有实根时不一定有，从而可得到其一个充分不要条件，其实只要的取值能使判别式非负即可. 【详解】解：因为方程有实根， 所以，即，解得， 反之，当时，，则方程有实根， 所以是方程有实根的充要条件， 当时，方程有实根， 而当方程有实根时不一定是， 所以是方程有实根的一个充分不要条件. 故答案为：；(答案不唯一). 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的有 ． （1）若，则； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若，则； （4）若，则，． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】根据充分条件的定义逐一判断即可. 【详解】（1）由，可以推出，所以命题（1）符合题意； （2）由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以命题（2）符合题意； （3）由，可以推出，所以命题（3）符合题意； （4）由，得或，所以不一定推出，所以命题（4）不符合题意. 故答案为：（1）（2）（3） 10．（22-23高一·全国·课后作业）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，；给出下列四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”.其中正确的结论是 . 【答案】①③④ 【分析】根据题中给定的定义，理解“类”的含义，对结论①②③逐一分析即可判断；对结论④从正反两个方面分析推理判断作答. 【详解】对于①，因，则，①正确； 对于②，因，则，②不正确； 对于③，因任意整数除以5，余数可以且只可以是0，1，2，3，4五类，则，③正确； 对于④，若整数，属于同一“类”，则整数，被5除的余数相同，从而得被5除的余数为0，即有， 若，不妨令，则， 显然，，于是得，，即有整数，属于同一“类”， 所以“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”，④正确， 所以正确的结论是①③④. 故答案为：①③④ 11．（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）已知或，或，若是的充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】利用充分条件的概念和集合间的包含关系即可求解. 【详解】因为是的充分条件， 所以或或， 故，解得， 从而实数m的取值范围为. 12．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知全集． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）当时，得，由交集运算即可求解； （2）由题可知真包含于，分集合和两种情况分类讨论，即可求解的取值范围. 【详解】（1）当时，，又， 所以=； （2）因为“”是“”的必要非充分条件，于是得真包含于， ①当时，； ②当时，由真包含于得（等号不能同时成立）， ， 综上所述，. 13．（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）已知. (1)若是的充分条件，求实数的取值范围： (2)若是的必要条件，求实数的取值范围： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）是的充分条件，根据集合包含关系求解. （2）是的必要条件，根据集合包含关系分情况求解. 【详解】（1）若是的充分条件，则 （2）令集合，集合 当时，与矛盾，不合题意， 当时， 综上所述，故的取值范围为. 14．（24-25高一上·上海·课堂例题）用“”表示下列陈述句与之间的推出关系： (1)：，：； (2)：既是2的倍数又是5的倍数，：是10的倍数； (3)：是偶数，：是偶数． 【答案】(1)，． (2)，． (3)，． 【分析】（1）求解方程即可. （2）利用偶数和倍数的性质求解即可. （3）利用偶数的性质求解即可. 【详解】（1）若，则，那么必有，∴； 反之，若，则，不能推出，综合得，． （2）“既是2的倍数又是5的倍数”，则有“是10的倍数”， 反之显然也成立．综合得，． （3）若是偶数，则、同为偶数或、同为奇数， 若、同为偶数，根据偶数的三次幂为偶数，且偶数与偶数的和为偶数， 可知也为偶数；同理，若与同为奇数，根据奇数的三次幂为奇数， 且奇数与奇数的和为偶数，可知也为偶数，∴； 反之，当是偶数时，有、同奇或同偶，∴与同奇或同偶． ∴为偶数，∴．综合得，． 15．（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 【答案】(1)必要非充分条件 (2)既非充分又非必要条件 (3)必要非充分条件 (4)充要条件 (5)充分非必要条件 【分析】（1）利用绝对值的性质判断即可. （2）利用等腰三角形和直角三角形的定义判断即可. （3）利用矩形的性质判断即可. （4）解根式方程证明即可. （5）利用一元二次方程的判别式判断即可. 【详解】（1）∵，但，∴是的必要非充分条件． （2）∵是直角三角形是等腰三角形； 是等腰三角形是直角三角形， ∴是的既非充分又非必要条件． （3）∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形； 四边形是矩形四边形的对角线互相平分，∴是的必要非充分条件． （4）或； 或，所以是的充要条件． （5），即方程有实根； 而方程有实根，即， 所以是的充分非必要条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$