专题03 集合的运算重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第一册）

专题03 集合的运算重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 交集的概念及运算 题型二 根据交集结果求集合或参数 题型三 并集的概念及运算 题型四 根据并集结果求集合或参数 题型五 补集的概念及运算 题型六 根据补集运算确定集合或参数 题型七 交并补混合运算 题型八 集合的应用 题型九 根据交并补混合运算确定集合或参数 题型十 根据并集结果求集合元素个数 题型十一 容斥原理的应用 题型十二 集合新定义 题型十三 利用Venn图求集合 知识点01：并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对并集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成. (2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示. 知识点02：交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对交集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成. (2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是. (4)当时,和同时成立. 知识点03：全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 知识点04：德摩根律 (1) (2) 知识点05：容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 【经典例题一 交集的概念及运算】 【例1】（2024高一·全国·专题练习）已知，，则中的元素个数为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 1．（2024·浙江杭州·三模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合， ，则 ． 3．（22-23高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【经典例题二 根据交集结果求集合或参数】 【例2】（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）已知集合，若，则可能是（    ） A．-3 B．0 C．3 D．6 1．（2024·全国·二模）已知集合，集合，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知集合.若，则的取值范围是 ；若，则的值为 . 3．（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，； (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【经典例题三 并集的概念及运算】 【例3】（23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 1．（2023·河北沧州·模拟预测）若集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一·全国·课后作业）设集合，，若，则 ． 3．（2024高二下·全国·专题练习）已知，，，记，用表示有限集合X的元素个数. (1)若，，分别讨论和时，集合T的情况； (2)若，，求的最大值； (3)若，，则对于任意的A，是否都存在T，使得？说明理由. 【经典例题四 根据并集结果求集合或参数】 【例4】（23-24高三上·江苏·开学考试）设集合，其中为实数． 令，．若的所有元素和为，则的所有元素之积为（    ） A．0 B．2 C．4 D．0或4 1．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知集合，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知集合．若，则实数 ． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【经典例题五 补集的概念及运算】 【例5】（22-23高一下·浙江湖州·开学考试）设集合，则（    ） A． B． C． D． 1．（2023·山东·模拟预测）已知全集，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023高一·全国·专题练习）设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，．对于集合，，，，则 ． 3．（23-24高一上·四川眉山·阶段练习）已知全集U=R，集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 【经典例题六 根据补集运算确定集合或参数】 【例6】（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一上·陕西延安·阶段练习）设集合U＝{－1,1,2,3}，M＝{x|x2－5x＋p＝0}，若∁UM＝{－1,1}，则实数p的值为(　　) A．－6 B．－4 C．4 D．6 2．（22-23高三上·贵州黔西·阶段练习）集合（，、），定义为的长度.已知数集，，若，则的长度的最大值是 . 3．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知集合，且． (1)若，求实数a组成的集合． (2)若全集为A，，求m，a的值． 【经典例题七 交并补混合运算】 【例7】（2024·湖北·模拟预测）已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D．或 1．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海杨浦·期中）若集合的两个非空子集A，B满足，则称为集合U的一组“互斥子集”，与视为同一组互斥子集，则U共有互斥子集 组． 3．（23-24高一上·新疆·阶段练习）已知集合，集合． (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【经典例题八 集合的应用】 【例8】（23-24高一上·四川雅安·期中）某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（    ） A．20 B．21 C．23 D．25 1．（2023·安徽蚌埠·二模）对于数集，，定义，，，若集合，则集合中所有元素之和为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·全国·课后作业）若集合P={x|3<x≤22}，非空集合Q={x|2a+1≤x<3a-5}，则能使Q⊆(P∩Q)成立的所有实数a的取值集合为 . 3．（23-24高一上·北京·期中）对于一个所有元素均为整数的非空集合，和一个给定的整数，定义集合. (1)若，直接写出集合，和； (2)若，其中，，求的值，使得集合中元素的个数最少； (3)写出所有满足的整数和，使得当集合时，有，并说明理由. 【经典例题九 根据交并补混合运算确定集合或参数】 【例9】（23-24高一上·广东肇庆·阶段练习）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 1．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知，且，则的值为（    ） A．4 B． C． D．5 2．（22-23高一上·江苏扬州·开学考试）已知全集且，，，且，则的值为 ． 3．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合， (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围. 【经典例题十 根据并集结果求集合元素个数】 【例10】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知全集，，则集合B的元素个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．不确定 1．（2023·全国·模拟预测）已知集合和集合满足：有2个元素，有6个元素，且集合的元素个数比集合的元素个数多2个，则集合的所有子集个数比集合的所有子集个数多（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}的集合B共有 个. 3．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知三个集合：，，. （1）求； （2）已知，，求实数的取值范围. 【经典例题十一 容斥原理的应用】 【例11】（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（    ） A．29 B．27 C．26 D．28 1．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（    ）人，只学习必修一的有（    ）人. A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9 2．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）“扫码支付”“高铁”“网购”与“共享单车”被称为中国的“新四大发明”.某中学为了了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过“扫码支付”或“共享单车”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位，使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位，则这100位学生中使用过“共享单车”的学生共有 位. 3．（23-24高三上·新疆喀什·阶段练习）2022年春节期间，《长津湖之水门桥》《狙击手》《奇迹·笨小孩》三大片集体上映.春节过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了一部大片，在已观影的市民中随机抽取了100人进行调查观看情况和想法，其中观看了《长津湖之水门桥》的有49人，观看了《狙击手》的有46人，观看了《奇迹·笨小孩》的有34人，统计图如图.计算图中a，b，c的值. 【经典例题十二 集合新定义】 【例12】（2024·全国·模拟预测）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（    ） A． B． C． D．的关系无法确定 2．（23-24高一上·上海·期中）已知非空集合A，B满足以下两个条件： （i），； （ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素， 则有序集合对的个数为 . 3．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【经典例题十三 利用Venn图求集合】 【例13】（23-24高一上·陕西·阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   1．（2023·广东·模拟预测）已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·阶段练习）1881年英国数学家约翰•维恩发明了Venn图，用来直观表示集合之间的关系.全集，集合的关系如图所示，其中区域I，II构成，区域II，III构成.若区域I，II，III表示的集合均不是空集，则实数的取值范围是 .    3．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知，．    (1)求和； (2)若记符号且，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出． 1．（23-24高三下·新疆·阶段练习）设集合，若，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或2 2．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·湖北荆州·阶段练习）集合或，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·重庆铜梁·阶段练习）如图，已知矩形表示全集，，是的两个子集，则阴影部分表示不正确的为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记 是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2021高一·全国·竞赛）已知集合，，则 ． 7．（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围为 ． 8．（22-23高一上·北京·期中）已知，，若，则的取值范围是 ． 9．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知集合，且，则的值为 . 10．（22-23高三上·上海普陀·期末）定义全集的子集的特征函数，对于两个集合，定义集合，已知集合，并用表示有限集的元素个数，则对于任意有限集的最小值为 ． 11．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知集合，． (1)当时，求集合； (2)若，求实数m的取值范围． 12．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知集合． (1)求； (2)若，且，求的取值范围． 13．（23-24高一上·湖南湘西·期末）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 14（22-23高一上·上海浦东新·期中）对于任意有限集S，T，定义集合，表示S的元素个数．已知集合A，B为实数集R的非空有限子集，设集合． (1)若，求集合C及其元素个数； (2)若，求的值； (3)已知D为有限集，若，证明：． 15．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）已知M＝{小于10的正整数}，A⊆M，B⊆M，且（∁MA）∩B＝{1，8}，A∩B＝{2，3}，（∁MA）∩（∁MB）＝{4，6，9}． （1）补全Venn图，并写出集合A∪B． （2）若S⊆A，T⊆B，直接写出集合S∩T （3）求（∁RM）∪[∁Z（A∩B）]．（其中R为实数集，Z为整数集） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 集合的运算重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 交集的概念及运算 题型二 根据交集结果求集合或参数 题型三 并集的概念及运算 题型四 根据并集结果求集合或参数 题型五 补集的概念及运算 题型六 根据补集运算确定集合或参数 题型七 交并补混合运算 题型八 集合的应用 题型九 根据交并补混合运算确定集合或参数 题型十 根据并集结果求集合元素个数 题型十一 容斥原理的应用 题型十二 集合新定义 题型十三 利用Venn图求集合 知识点01：并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对并集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成. (2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示. 知识点02：交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对交集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成. (2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是. (4)当时,和同时成立. 知识点03：全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 知识点04：德摩根律 (1) (2) 知识点05：容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 【经典例题一 交集的概念及运算】 【例1】（2024高一·全国·专题练习）已知，，则中的元素个数为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分析集合所过定点，并绘制对应函数图象，则中的元素个数为两个图象交点 【详解】因为函数过点，过点，结合二次函数，绝对值函数和反比例函数图象画法， 故A，B对应的函数图象如下图所示:    显然，两个图象有3个交点，所以中有3个元素．     故选：C. 1．（2024·浙江杭州·三模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用最小公倍数排除A，B，利用奇数和偶数排除C，求解即可. 【详解】易知集合，， 则中前面的系数应为的最小公倍数，故排除A，B， 对于C，当时，集合为， 而令，可得不为整数，故不含有7， 可得中不含有7，故C错误， 故选：D 2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合， ，则 ． 【答案】 【分析】结合分别求出交集即可. 【详解】当时，; 当时，； 当时，. 所以 故答案为： 3．（22-23高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）求出集合再与集合进行交集运算即可求解； （2）当时符合题意，当时，由列不等式组解不等式组即可求解. 【详解】（1）当时，，或， 所以或. （2）当时，，可得， 此时满足； 当且时， 由  可得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是． 【经典例题二 根据交集结果求集合或参数】 【例2】（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）已知集合，若，则可能是（    ） A．-3 B．0 C．3 D．6 【答案】B 【分析】依题意，得，即可求解． 【详解】解：因为，所以， 故选：B 1．（2024·全国·二模）已知集合，集合，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的结果，代入不等式，即可求解. 【详解】由条件可知，解得：. 故选：C 2．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知集合.若，则的取值范围是 ；若，则的值为 . 【答案】 【分析】由集合的交集运算分析求解即可. 【详解】因为集合， 若， 当时，，即. 当时，则或， 所以或， 综上的取值范围是. 若，则. 故答案为：； 3．（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，； (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分为和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求实数a的取值范围； （2）分为和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求实数a的取值范围； 【详解】（1）由题意，集合，，需分为和两种情形进行讨论： 当时，， 解得，，满足题意； 当时， 因为， 所以， 解得，， 综上所述，实数的取值范围为. （2）由题意，需分为和两种情形进行讨论： 当时，， 解得，，满足题意； 当时， 因为， 所以，解得， 或无解； 综上所述，实数的取值范围为． 【经典例题三 并集的概念及运算】 【例3】（23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的交集求出，根据并集计算即可. 【详解】， ，即， ， 即 故选：A 1．（2023·河北沧州·模拟预测）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求出集合，再利用并集的定义即可求解. 【详解】由题意可知，又， 所以． 故选：D． 2．（22-23高一·全国·课后作业）设集合，，若，则 ． 【答案】 【分析】由已知，根据，可利用集合A，求解出x的值，然后分别求解出集合A和集合B，然后验证是否满足，如果满足即可直接求解. 【详解】由，得，所以或，解得或或4． 当时，，，，不满足题意，故舍去； 当时，，，，满足题意，此时； 当时，B中元素不满足互异性，故舍去． 故答案为：． 【点睛】在解决集合中含参数的问题时，求出参数的值后，一定要回代检验，避免因忽略集合中元素的互异性而出现错误． 3．（2024高二下·全国·专题练习）已知，，，记，用表示有限集合X的元素个数. (1)若，，分别讨论和时，集合T的情况； (2)若，，求的最大值； (3)若，，则对于任意的A，是否都存在T，使得？说明理由. 【答案】(1)当时，；当时，不存在； (2)10 (3)不一定存在，理由见解析 【分析】（1）由已知得，其中，当时，相差3；由此可求得，当时，同理可得； （2）若，，，当时，则相差5，所以，中至多有5个元素，所以也至多有5个元素，求出得出结果. （3）当时，，，，，，，则相差不可能1，2，3，4，5，6，可得结论. 【详解】（1）若，则，其中， 否则， 若，当时，，， 所以，则相差3， 因为，， 所以； 当时，，，， 所以， 因为，， 所以不存在； （2）若，，， 时，，，，，，， 所以，，所以不存在； 所以中至多有5个元素； 当时，，，，， 所以，则相差5， 所以； ， 所以，，. 因为中至多有5个元素，所以也至多有5个元素， 所以的最大值为10. （3）不一定存在， 当时， ，，，，，， 则相差不可能1，2，3，4，5，6，这与矛盾， 故不都存在. 【经典例题四 根据并集结果求集合或参数】 【例4】（23-24高三上·江苏·开学考试）设集合，其中为实数． 令，．若的所有元素和为，则的所有元素之积为（    ） A．0 B．2 C．4 D．0或4 【答案】A 【分析】根据集合中元素的互异性讨论参数的取值，然后得到并集的结果，根据并集中的元素之和求出参数，然后在求元素之积 【详解】根据集合中元素的互异性，且.由题意，. 情况一：若时 当时，，，， 的所有元素和为，符合题意，此时的所有元素之积为； 当时，，，， 的所有元素和为，不符题意； 情况二：若时，此时，，， 但此时含有唯一的无理数，不可能元素之和为； 情况三：若，，且时，则中只有唯一重复元素， 则，由题意，即， 此时，矛盾. 综上所述，时符合题意，此时的所有元素之积为. 故选：A 1．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知集合，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将集合化简，根据条件可得，然后分，，讨论，化简集合，列出不等式求解，即可得到结果. 【详解】因为或，解得或 即， 因为，所以 当时，，满足要求. 当时，则，由， 可得，即 当时，则，由， 可得，即 综上所述， 故选:B. 2．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知集合．若，则实数 ． 【答案】 【分析】依据给定的并集结果，分类讨论求解参数即可. 【详解】因为，故4必定在中， 当时，解得或，而此时有或， 解得或，故此时， 当时，解得，此时，不满足，故排除， 综上，即实数的值为. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况讨论求解即可； （2）由题意得，从而可求出的取值范围． 【详解】（1）①当时，，∴，∴． ②当时，要使，必须满足，解得． 综上所述，的取值范围是． （2）∵，，或， ∴，解得， 故所求的取值范围为． 【经典例题五 补集的概念及运算】 【例5】（22-23高一下·浙江湖州·开学考试）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集运算得，再根据交集运算求解即可. 【详解】解：因为， 所以， 所以 故选：B 1．（2023·山东·模拟预测）已知全集，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，即得，即得解. 【详解】因为，所以，则. 故选：D 2．（2023高一·全国·专题练习）设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，．对于集合，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据运算“*”，，利用集合的交集和补集运算求解. 【详解】解：因为集合，，，， 所以，则， 又， 所以， 故答案为： 3．（23-24高一上·四川眉山·阶段练习）已知全集U=R，集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）先求，再求其补集即可； （2）按照集合B是否为空集分类讨论，建立不等式求解即可. 【详解】（1）当时，. 又因为集合，所以， 所以或. （2）当时，，即，这时. 当时，有，解得. 综上，实数m的取值范围为. 【经典例题六 根据补集运算确定集合或参数】 【例6】（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为，由集合相等的定义即可列出方程求出的值，但要注意集合元素具有互异性，所以求出的值之后还要回代到具体集合中验证是否满足元素之间互异. 【详解】由题意集合，， 又因为，且全集， 所以，解得， 但当时，集合违背了元素之间的互异性， 而当时，集合，，满足题意, 综上所述：. 故选：A. 1．（22-23高一上·陕西延安·阶段练习）设集合U＝{－1,1,2,3}，M＝{x|x2－5x＋p＝0}，若∁UM＝{－1,1}，则实数p的值为(　　) A．－6 B．－4 C．4 D．6 【答案】D 【详解】∵集合，且 ∴ ∵ ∴ 故选D 2．（22-23高三上·贵州黔西·阶段练习）集合（，、），定义为的长度.已知数集，，若，则的长度的最大值是 . 【答案】 【分析】由，结合题意可求出，即可求出的长度的最大值. 【详解】因为数集，， 所以，解得：， ，所以，所以. 则的长度为:， 所以的长度的最大值是：. 故答案为： 3．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知集合，且． (1)若，求实数a组成的集合． (2)若全集为A，，求m，a的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1），可得，由得，对B分类讨论即可求； （2）由全集为A，，即得，代入可得m，，即，代入可得a 【详解】（1），，由得， 当，则； 当，则； 当，则. 综上可得实数a组成的集合为； （2）由全集为A，，即得， ∴，∴，∴. 综上， 【经典例题七 交并补混合运算】 【例7】（2024·湖北·模拟预测）已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据题意，求得且，结合，即可求解. 【详解】由不等式，解得或，所以或， 又由，可得且， 又因为. 故选：B. 1．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定，，再计算交集得到答案. 【详解】，，故， ，故. 故选：B 2．（23-24高一上·上海杨浦·期中）若集合的两个非空子集A，B满足，则称为集合U的一组“互斥子集”，与视为同一组互斥子集，则U共有互斥子集 组． 【答案】90 【分析】由题意，任意一个元素只能在集合之一中，求出这5个元素在集合中的个数，再求出分别为空集的种数，从而即可得解． 【详解】任意一个元素只能在集合之一中， 则这5个元素在集合中，共有种； 其中为空集的种数为，为空集的种数为， ∴均为非空子集的种数为， 又与视为同一组互斥子集， U共有互斥子集种. 故答案为：90． 3．（23-24高一上·新疆·阶段练习）已知集合，集合． (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定，，再计算交集即可； （2）考虑和，根据交集的运算法则计算得到答案. 【详解】（1）时，集合， ，，故. （2）集合，集合，， ①当时，，解得； ②当时，或，解得或； 综上所述：实数的取值范围是. 【经典例题八 集合的应用】 【例8】（23-24高一上·四川雅安·期中）某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（    ） A．20 B．21 C．23 D．25 【答案】B 【分析】设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为，根据题意列出方程即可. 【详解】 如图，设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为， 则，即． 因为，所以． 故选：B. 1．（2023·安徽蚌埠·二模）对于数集，，定义，，，若集合，则集合中所有元素之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，理解新定义，可得，通过的集定义与集合运算即可得出结论. 【详解】试题分析：根据新定义，数集，，定义，，，集合，，，则可知所有元素的和为， 故选：D. 2．（23-24高一上·全国·课后作业）若集合P={x|3<x≤22}，非空集合Q={x|2a+1≤x<3a-5}，则能使Q⊆(P∩Q)成立的所有实数a的取值集合为 . 【答案】 【分析】由能使成立，根据集合的运算，得到，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，能使成立，可得，即， 则满足，解得，即实数的取值集合为. 答案：. 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，以及利用集合的包含关系求解参数问题，其中解答中把题设条件转化为集合间的关系，列出不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 3．（23-24高一上·北京·期中）对于一个所有元素均为整数的非空集合，和一个给定的整数，定义集合. (1)若，直接写出集合，和； (2)若，其中，，求的值，使得集合中元素的个数最少； (3)写出所有满足的整数和，使得当集合时，有，并说明理由. 【答案】(1)，，. (2)答案见解析. (3)，或，. 【分析】（1）根据题意，集合，利用列举法，即可求得； （2）由，得到，得到时，此时中的元素个数最少，分类讨论，即可求解； （3）根据题意，分、和三种情况分类讨论，结合题设条件，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，集合，且， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得. （2）解：由题意，集合， 对于，其中， 当时，此时中的元素个数最少， 若为奇数，则时，中的元素个数最少； 若为偶数，则或时，中的元素个数最少. （3）解：若时，可得，此时，且，所以； 若时，可得，要使得且， 则，即. 若时，此时，显然中有很多整数空缺，所以不成立. 综上可得：，或，. 【经典例题九 根据交并补混合运算确定集合或参数】 【例9】（23-24高一上·广东肇庆·阶段练习）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 【答案】D 【分析】求出集合中方程的解确定，即可求出，根据，分两种情况和讨论即可． 【详解】由题可知，，则或， 因为， 所以当时，，则，符合题意； 当时，， 由知，或，即或， 综上所述，实数为0或1或， 故选：D． 1．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知，且，则的值为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】利用条件，得到，从而求出，进而求出集合，得到，即可求出结果. 【详解】因为，，所以，得到， 当时，由，解得或，所以， 故，得到，所以， 故选：C. 2．（22-23高一上·江苏扬州·开学考试）已知全集且，，，且，则的值为 ． 【答案】66 【分析】由题意，A、B的元素个数最多为2个，分别对集合元素个数（即）分类讨论，即可结合集合的整数元素求得对应的整数解，即可确定非负数 【详解】由题意，A、B的元素个数最多为2个. ，， 对，，如有根可设为 ； 对，，如有根可设为 . （1）当，不符合； （2）当，则，则，则，故或且有，即此时与矛盾，不符合； （3）当，则，则，则， i.当，不符合； ii.当，，则，不符合； iii.当，则，则， 综上，. 故答案为：66 3．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合， (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，0，1，2，3； (2). 【分析】（1）对集合进行求解，得到，从而找到中的所有整数； （2）根据题干中的关系式，得到，从而根据子集关系进行讨论，为空集，或者不为空集即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）不等式，解得，得 ∴集合中的所有整数为，0，1，2，3； （2）∵，∴， ①当时，，即，成立； ②当时，由，有，解得， 所以实数的取值范围为. 【经典例题十 根据并集结果求集合元素个数】 【例10】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知全集，，则集合B的元素个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．不确定 【答案】B 【分析】由已知求出全集，再由可知中肯定有1，3，5，7，中肯定没有1，3，5，7，从而可求出中的元素. 【详解】因为全集，， 所以中肯定有1，3，5，7，中肯定没有1，3，5，7，和中都有可能有0，2，4，6，8，9，10， 且除了1，3，5，7，中有的其他数字，中也一定会有，中没有的数字，中也一定会有， 所以， 故选：B 1．（2023·全国·模拟预测）已知集合和集合满足：有2个元素，有6个元素，且集合的元素个数比集合的元素个数多2个，则集合的所有子集个数比集合的所有子集个数多（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【分析】设集合和集合的元素个数分别为，根据条件列方程求出，然后根据集合子集个数的公式求出集合和集合的所有子集个数，然后做差即可. 【详解】设集合和集合的元素个数分别为， 则由有2个元素，有6个元素可知，． 即①． 又因为集合的元素个数比集合的元素个数多2个， 所以②． 联立①②可得，，即集合和集合的元素个数分别为5和3， 所以集合的所有子集个数和集合的所有子集个数分别为，， 所以， 故选：C． 2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}的集合B共有 个. 【答案】16 【分析】由题意可得集合B等于集合A的子集中加上元素5即可，所以集合B的个数就是集合A子集的个数 【详解】因为集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}， 所以集合B等于集合A的子集中加上元素5即可， 所以集合B的个数就是集合A子集的个数，即为， 故答案为：16 3．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知三个集合：，，. （1）求； （2）已知，，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）先求出A，B，然后由并集定义计算； （2）由已知分析中哪些元素属于，哪些元素不属于，由此可解得的范围． 【详解】解：（1）， ， ∴. （2）∵，， ∴，，. ∴， 即解得， 所以实数的取值范围是. 【点睛】本题考查集合的运算，解题时需先确定集合的元素，然后再按集合运算的定义分析计算． 【经典例题十一 容斥原理的应用】 【例11】（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（    ） A．29 B．27 C．26 D．28 【答案】B 【分析】由题意得，根据Venn图求出参加数理化的人数，即可求出需要预订多少张火车票. 【详解】该班学生参加竞赛情况如图所示，集合A，B，C，D，E，F，G中的任意两个集合无公共元素， 其中G表示三科都参加的学生集合，G中的学生数为2． 因为既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，所以D中的学生数为， 同理，得E中的学生数为，F中的学生数为． 又因为参加数学、物理、化学竞赛的人数分别为21，17，10， 所以A中的学生数为， B中的学生数为， C中的学生数为， 故置预订火车票的张数为． 故选：B. 1．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（    ）人，只学习必修一的有（    ）人. A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9 【答案】D 【分析】利用韦恩图法即可快速求解. 【详解】设同时学习必修二和选修一的有x人， 则，解得， 即同时学习必修二和选修一的有3人， 则只学习必修一的有（人）， 故选：D. . 2．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）“扫码支付”“高铁”“网购”与“共享单车”被称为中国的“新四大发明”.某中学为了了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过“扫码支付”或“共享单车”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位，使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位，则这100位学生中使用过“共享单车”的学生共有 位. 【答案】70 【分析】由题意结合Venn图可知：只使用过“共享单车”但没使用过“扫码支付”的学生有10人，再计算即可得解． 【详解】根据题意使用过“扫码支付”、“共享单车”的人数用Venn图表示如图， 使用过“共享单车”或“扫码支付”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位， 则可得：只使用过“共享单车”但没使用过“扫码支付”的学生有人， 又使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位， 则使用过“共享单车”的学生人数为， 故答案为：70．    3．（23-24高三上·新疆喀什·阶段练习）2022年春节期间，《长津湖之水门桥》《狙击手》《奇迹·笨小孩》三大片集体上映.春节过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了一部大片，在已观影的市民中随机抽取了100人进行调查观看情况和想法，其中观看了《长津湖之水门桥》的有49人，观看了《狙击手》的有46人，观看了《奇迹·笨小孩》的有34人，统计图如图.计算图中a，b，c的值. 【答案】 【分析】根据韦恩图及已知条件列方程求参数即可. 【详解】由题设知：，可得. 【经典例题十二 集合新定义】 【例12】（2024·全国·模拟预测）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举例说明判断ABC；利用给定的定义结合集合运算的意义推理判断D. 【详解】对于A，若，则，A错误； 对于B，若，则， 而，B错误； 对于C，若，则， ，，，C错误； 对于D，任取元素，则且，则且， 于是且，即， 反之若任取元素，则且， 因此且，即且， 所以，即，D正确. 故选：D 1．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（    ） A． B． C． D．的关系无法确定 【答案】C 【分析】由集合与元素、集合与集合之间的关系从两个方面推理论证即可求解. 【详解】，有，从而有，进一步，即，所以， ，有，从而有，进一步有，即，所以， 综上所述，有. 故选：C. 2．（23-24高一上·上海·期中）已知非空集合A，B满足以下两个条件： （i），； （ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素， 则有序集合对的个数为 . 【答案】10 【分析】分别讨论集合，元素个数，即可得到结论． 【详解】若集合中只有1个元素，则集合中只有5个元素，则，， 即，，此时有种， 若集合中只有2个元素，则集合中只有4个元素，则，， 即，，此时集合还可以有中的一个数，故有种 若集合中只有3个元素，则集合中只有3个元素，则中，，不满足题意， 若集合中只有4个元素，则集合中只有2个元素，则，， 即，，此时集合还可以有中的三个数， 即或或或有种， 若集合中只有5个元素，则集合中只有1个元素，则，， 即，，此时有种， 故有序集合对的个数是. 故答案为：10. 3．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【答案】(1)，集合A是的恰当子集； (2)，或，. (3)10 【分析】（1）由定义求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，则有，列方程求a，b的值并检验； （3）证明时，存在A是的恰当子集；当时，不存在A是的恰当子集， 【详解】（1）若，有，由，则， 满足，集合A是的恰当子集； （2）是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，. （3）若存在A是的恰当子集，并且， 当时，，有，满足， 所以是的恰当子集， 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或， 时，设，经检验没有这样的满足； 当时，设，经检验没有这样的满足；， 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10. 【经典例题十三 利用Venn图求集合】 【例13】（23-24高一上·陕西·阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由题意先分别把集合求出来，然后对比集合，观察它们所具有的关系即可求解. 【详解】由题意可知集合是由6的正因数构成的集合， 而6的正因数有1，2，3，6， 所以， 若，则， 即或， 即或， 分别解得或，或， 所以， 从而可知集合是部分交叉的关系. 故选：A. 1．（2023·广东·模拟预测）已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用集合的交并补的定义，结合图即可求解. 【详解】因为或，或， 所以或或或， 或或或. 由题意可知阴影部分对于的集合为， 所以， 或. 故选：D. 2．（23-24高一上·北京·阶段练习）1881年英国数学家约翰•维恩发明了Venn图，用来直观表示集合之间的关系.全集，集合的关系如图所示，其中区域I，II构成，区域II，III构成.若区域I，II，III表示的集合均不是空集，则实数的取值范围是 .    【答案】 【分析】由题意与交集不为空，且互不为包含关系，进而可得在与时的正负即可求解. 【详解】由题意与交集不为空，且互不为包含关系， 故或，即无解或. 综上有. 故答案为： 3．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知，．    (1)求和； (2)若记符号且，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出． 【答案】(1)，； (2)图见解析， 【分析】（1）利用数轴以及集合的交集、并集、补集运算法则即可求出结果； （2）根据的定义即可标出阴影，并根据其意义求得. 【详解】（1）由得，即； 或，； 所以，； （2）根据定义可知，集合如图中的阴影部分所示．    由于且，又，， 所以． 1．（23-24高三下·新疆·阶段练习）设集合，若，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或2 【答案】D 【分析】对分类讨论，结合交集的结果即可得解. 【详解】若，则或， 当时，与已知矛盾，当时，符合题意； 若，则或， 当时，符合题意，当时，与已知矛盾； 综上所述，0或2. 故选：D. 2．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的补集和交集的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以， 故选：D. 3．（22-23高一上·湖北荆州·阶段练习）集合或，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，再分与两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，最后取并集即可； 【详解】∵，故， ∴①当时，即无解，此时，满足题意. ②当时，即有解，当时，可得， 要使，则需要，解得. 当时，可得，要使，则需要，解得， 综上，实数的取值范围是. 故选：A 4．（23-24高一上·重庆铜梁·阶段练习）如图，已知矩形表示全集，，是的两个子集，则阴影部分表示不正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合韦恩图及集合交、并、补的定义判断即可. 【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则且，即且， 所以，阴影部分可表示为，故A正确； 且，阴影部分可表示为；C正确 且，阴影部分可表示为，故D正确； 显然，阴影部分区域所表示的集合为的真子集，故B错误． 故选：B 5．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记 是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知条件用Venn图表示出来，然后逐项求解即可判断. 【详解】将已知条件用Venn图表示出来如下图， 对A：，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D错误； 故选：B.    6．（2021高一·全国·竞赛）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】先化简两个集合，再求这两个集合的交集即可. 【详解】提示：由，则是偶数，故； 再由，则是奇数且不小于，即， 故． 故答案为：. 7．（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】或. 【分析】利用补集思想，将转化为的补集，从而转化为列不等式组求解的取值范围，再求解补集即可. 【详解】若，则，又， 所以，解得， 又，所以当时， 实数的取值范围为集合的补集， 即或. 故答案为：或. 8．（22-23高一上·北京·期中）已知，，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】根据集合的运算法则，把，转化为，分类讨论，结合集合的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合，， 因为，可得，即， 当时，可得，解得； 当时，则满足或，解得或， 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】根据集合的运算求参数问题的方法： 1、要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解， 2、若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性； 3、若集合表示的不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到. 9．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知集合，且，则的值为 . 【答案】 【分析】根据一元二次方程以及韦达定理分析求解. 【详解】由题意可知：方程均有根， 设方程的根为，方程的根为， 可知，且且， 分析可知：方程的根为，方程的根为， 即，满足，符合题意， 可得，解得，所以. 故答案为：. 10．（22-23高三上·上海普陀·期末）定义全集的子集的特征函数，对于两个集合，定义集合，已知集合，并用表示有限集的元素个数，则对于任意有限集的最小值为 ． 【答案】4 【分析】通过新定义及集合的并集与补集的运算求解计算即得结论． 【详解】由M*N的定义可知，fM（x）+fN（x）＝1 ，则M*N∈{x|x∈M∪N，且x∉ M∩N } 即M*A＝{x|x∈M∪A，且x∉M∩A}，M*B＝{x|x∈M∪B，且x∉M∩B} 要使Card（M*A）+Card（M*B）的值最小， 则2，4，8一定属于集合M，且M不能含有A∪B以外的元素， 所以集合M为{6，10，1，16}的子集与集合{2，4，8}的并集， 要使的值最小，M={2，4，8}， 此时，的最小值为4， 故答案为4 【点睛】本题考查对集合运算的理解以及新定义的应用，考查计算能力．注意解题方法的积累，属于中档题． 11．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知集合，． (1)当时，求集合； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，得出，结合交集的概念即可得解； （2）对集合是否是空集分类讨论，依次列出不等式（组）即可求解. 【详解】（1）当时，集合，， 故． （2）当时，，即，满足，故满足题意； 当时，，即时，， 解得，于是得，所以， 故实数m的取值范围是． 12．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知集合． (1)求； (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得集合，然后由并集定义计算； （2）由，可得，列出相应不等式组，从而可求解. 【详解】（1）由题意知：，解得，所以， 所以. （2）由题意，得，所以，解得. 故的取值范围为. 13．（23-24高一上·湖南湘西·期末）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）化简集合，根据补集、交集的运算求解； （2）分类讨论，根据交集为空集列出不等式求解即可. 【详解】（1）当时，，， 所以， 所以. （2）由（1）知， 当时，，解得，此时满足； 当时，由可得：或， 解得或, 综上，实数的取值范围为或. 14（22-23高一上·上海浦东新·期中）对于任意有限集S，T，定义集合，表示S的元素个数．已知集合A，B为实数集R的非空有限子集，设集合． (1)若，求集合C及其元素个数； (2)若，求的值； (3)已知D为有限集，若，证明：． 【答案】(1)，； (2)或； (3)证明过程见解析. 【分析】（1）用列举法进行求解即可； （2）根据集合C中元素性质，分类讨论进行求解即可； （3）根据集合与集合的关系分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以，因此； （2）因为，所以A，B两个集合中一个有3个元素，一个有1个元素或两个集合都有2个元素， 所以 ，或，或， 综上所述：的值为或； （3）显然， 当中含有一个元素不在中，则有， 即； 当且，显然， 因为集合A，B为实数集R的非空有限子集， 所以设集合A，B中最小的元素分别为，显然， 因为， 所以集合中的最小元素为，显然， 则有， 因此. 【点睛】关键点睛：弄清集合与集合之间的关系是解题的关键. 15．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）已知M＝{小于10的正整数}，A⊆M，B⊆M，且（∁MA）∩B＝{1，8}，A∩B＝{2，3}，（∁MA）∩（∁MB）＝{4，6，9}． （1）补全Venn图，并写出集合A∪B． （2）若S⊆A，T⊆B，直接写出集合S∩T （3）求（∁RM）∪[∁Z（A∩B）]．（其中R为实数集，Z为整数集） 【答案】（1）Venn图见解析，；（2）或或或；（3） 【分析】（1）直接根据条件可补全Venn图，进而可求出集合A∪B （2）集合S∩T即为集合的子集，写出即可； （3）分别求出∁RM和∁Z（A∩B），进而可得（∁RM）∪[∁Z（A∩B）]. 【详解】解：（1）完整Venn图如下图： ； （2）若， 则或或或； （3）， ， . 学科网（北京）股份有限公司 $$