专题10 天体运动-【模型与方法】2025届高考物理一轮复习热点题型归类

专题10 天体运动 目录 题型一 开普勒定律的应用 1 题型二 万有引力定律的理解 6 类型1 万有引力定律的理解和简单计算 6 类型2 不同天体表面引力的比较与计算 8 类型3 重力和万有引力的关系 8 类型4 地球表面与地表下某处重力加速度的比较与计算 12 题型三 天体质量和密度的计算 16 类型1 利用“重力加速度法”计算天体质量和密度 17 类型2 利用“环绕法”计算天体质量和密度 20 类型3 利用椭圆轨道求质量与密度 25 题型四 卫星运行参量的分析 28 类型1　卫星运行参量与轨道半径的关系 28 类型2 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较 33 类型3 宇宙速度 38 题型五 卫星的变轨和对接问题 41 类型1 卫星变轨问题中各物理量的比较 42 类型2 卫星的对接问题 44 题型六 天体的“追及”问题 47 题型七 星球稳定自转的临界问题 52 题型八 双星或多星模型 55 类型1 双星问题 56 类型2 三星问题 59 类型4 四星问题 64 题型一 开普勒定律的应用 【解题指导】1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理． 2.由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小． 3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间． 【例1】（2024·浙江·高考真题）与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则（　　） A．小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度 B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度 C．小行星甲与乙的运行周期之比 D．甲乙两星从远日点到近日点的时间之比= 【变式演练1】（2024·山东·高考真题）“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为（　　） A． B． C． D． 【变式演练2】．（2024·安徽·高考真题）2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51900km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9900km，周期约为24h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时（    ） A．周期约为144h B．近月点的速度大于远月点的速度 C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度 D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度 【变式演练3】．北京时间2024年1月5日19时20分，我国在酒泉卫星发射中心用快舟一号甲运载火箭，成功将天目一号气象星座15-18星（以下简称天目星）发射升空，天目星顺利进入预定轨道，至此天目一号气象星座阶段组网完毕。天目星的发射变轨过程可简化为如图所示，先将天目星发射到距地面高度为h1的圆形轨道I上，在天目星经过A点时点火实施变轨进入椭圆轨道II，最后在椭圆轨道的远地点B点再次点火将天目星送入距地面高度为h2的圆形轨道III上，设地球半径为R，地球表面重力加速度为g，则天目星沿椭圆轨道从A点运动到B点的时间为（    ） A． B． C． D． 【变式演练4】地球同步卫星的发射过程可以简化如下：卫星先在近地圆形轨道I上运动，在点A时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的远地点B时，再次点火进入同步轨道Ⅲ绕地球做匀速圆周运动。已知地球半径为R，同步卫星轨道半径为r，设卫星质量保持不变，下列说法中不正确的是（　　） A．卫星在轨道Ⅰ上和轨道Ⅲ上的运动周期之比为 B．卫星在轨道Ⅰ上和轨道Ⅱ上的运动周期之比为 C．卫星在轨道Ⅰ上和轨道Ⅲ上运动的动能之比 D．卫星在轨道Ⅱ上运动经过A点和B点的速度之比为 题型二 万有引力定律的理解 【解题指导】1．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg0。 (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。 2．星球上空的重力加速度g′ 星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度g′，mg′＝，得g′＝，所以＝。 类型1 万有引力定律的理解和简单计算 【例1（2023·全国·高三专题练习）有质量的物体周围存在着引力场。万有引力和库仑力有类似的规律，因此我们可以用定义静电场场强的方法来定义引力场的场强。由此可得，质量为m的质点在质量为M的物体处（二者间距为r）的引力场场强的表达式为（引力常量用G表示）（　　） A．G B．G C．G D．G 【变式演练】(多选)在万有引力定律建立的过程中，“月—地检验”证明了维持月球绕地球运动的力与地球对苹果的力是同一种力。完成“月—地检验”需要知道的物理量有(　　) A．月球和地球的质量 B．引力常量G和月球公转周期 C. 地球半径和“月—地”中心距离 D．月球公转周期和地球表面重力加速度g 类型2 不同天体表面引力的比较与计算 【例2】从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为(　　) A．9∶1 B．9∶2 C．36∶1 D．72∶1 【变式演练】火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　) A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5 类型3 重力和万有引力的关系 【例1】由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同．已知地球表面两极处的重力加速度大小为，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体。下列说法正确的是（　　） A．质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg C．地球的半径为 D．地球的密度为 【变式演练1】在地球表面，被轻质细线悬挂而处于静止状态的质量为m的小球，所受地球的万有引力作用效果分解示意图如图所示，已知小球所处的纬度为θ（），重力为F1，万有引力为F，地球的半径为R，自转周期为T，下列说法正确的是（　　） A．细线的拉力FT与F是一对平衡力 B．地球的第一宇宙速度为 C．小球所需的向心力为 D．地球赤道处的重力加速度为 【变式演练2】2023年11月16日，中国北斗系统正式加入国际民航组织标准，成为全球民航通用的卫星导航系统。北斗系统空间段由若干地球静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星和中圆地球轨道卫星等组成。将地球看成质量均匀的球体，若地球半径与同步卫星的轨道半径之比为，下列说法正确的是（　　） A．倾斜地球同步轨道卫星有可能保持在长沙的正上方 B．地球静止轨道卫星与地面上的点线速度大小相等所以看起来是静止的 C．地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为 D．地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为 类型4 地球表面与地表下某处重力加速度的比较与计算 【例41】已知质量分布均匀的球壳对内部物体产生的万有引力为0。对于某质量分布均匀的星球，在距离星球表面不同高度或不同深度处重力加速度大小是不同的，若用x表示某位置到该星球球心的距离，用g表示该位置处的重力加速度大小，忽略星球自转，下列关于g与x的关系图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式演练1】若地球是质量均匀分布的球体，其质量为M0，半径为R。忽略地球自转，重力加速度g随物体到地心的距离r变化如图所示。g-r曲线下O-R部分的面积等于R-2R部分的面积。 （1）用题目中的已知量表示图中的g0； （2）已知质量分布均匀的空心球壳对内部任意位置的物体的引力为0。请你证明：在地球内部，重力加速度与r成正比； （3）若将物体从2R处自由释放，不考虑其它星球引力的影响，不计空气阻力，借助本题图像，求这个物体到达地表时的速率。 【变式演练2】上世纪70年代，前苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来最大规模的地底挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为d时，井底一个质量为m的小球与地球之间的万有引力为F，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，质量分布均匀的地球的半径为R，质量为M，万有引力常量为G，则F大小等于（　　） A． B． C． D． 【变式演练3】2020年12月1日嫦娥五号探测器实施月面“挖土”成功，“挖土”采用了钻取和表取两种模式。假设月球可看作质量分布均匀的球体，其质量为M，半径为R。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，万有引力常量为G。某次钻取中质量为m的钻尖进入月球表面以下h深处，则此时月球对钻尖的万有引力为（　　） A．0 B． C． D． 【变式演练4】地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域，进一步探测发现在地面P点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图所示，假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计，如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg（k＜1），已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是（　　） A． B． C． D． 题型三 天体质量和密度的计算 类型 方法 已知量 利用公式 表达式 备注 质 量 的 计 算 利用运 行天体 r、T G＝mr m中＝ 只能得到中心天体的质量 r、v G＝m m中＝ v、T G＝m，G＝mr m中＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ m中＝ — 密 度 的 计 算 利用运 行天体 r、T、R G＝mr m中＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时，ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝，m中＝ρ·πR3 ρ＝ — 类型1 利用“重力加速度法”计算天体质量和密度 【例1】中国计划在2030年前登上月球，假设宇宙飞船落到月面前绕月球表面附近做角速度为ω的匀速圆周运动。宇航员登上月球后，做了一次斜上抛运动的实验，如图所示，在月面上，小球从A点斜向上抛出，经过最高点B运动到C点，已知小球在A、C两点的速度与水平方向的夹角分别为37°、53°，小球在B点的速度大小为v，小球从A点到C点的运动时间为t，引力常量为G，sin37°=0.6，cos37°=0.8，月球可视为均匀球体，忽略月球的自转，下列说法正确的是（　　） A．月球的密度为 B．月球表面的重力加速度大小为 C．月球的第一宇宙速度大小为 D．月球的半径为 【变式演练1】宇航员登上某半径为R的球形未知天体，在该天体表面将一质量为m的小球以初速度竖直上抛，上升的最大高度为h，万有引力常量为G。则（    ） A．该星球表面重力加速度为 B．该星球质量为 C．该星球的近地面环绕卫星运行周期为 D．小球到达最大高度所需时间 【变式演练2】一宇航员到达半径为R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为m的小球，上端固定在O点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O点在竖直面内做半径为r的圆周运动，测得绳的拉力F大小随时间t的变化规律如图乙所示．设R、m、r、引力常量G以及F1和F2为已知量，忽略各种阻力．以下说法正确的是（　　） A．该星球表面的重力加速度为 B．小球在最高点的最小速度为 C．该星球的密度为 D．卫星绕该星球的第一宇宙速度为 【变式演练3】2023年4月24日，中国首次火星探测火星全球影像图在第八个中国航天日发布。其中，国际天文学联合会还将天问一号着陆点附近的22个地理实体以中国历史文化名村名镇命名，将中国标识永久刻印在火星上。火星半径为，火星表面处重力加速度为。火星和地球的半径之比约为，表面重力加速度之比约为，忽略火星、地球自转，则地球和火星的密度之比约为（　　） A． B． C． D． 【变式演练4】我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索，其后将探索建造月球科研试验站，开展系统、连续的月球探测和相关技术试验验证。若航天员在月球表面附近高h处以初速度水平抛出一个小球，测出小球运动的水平位移大小为L。若月球可视为均匀的天体球，已知月球半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．月球表面的重力加速度 B．月球的质量 C．月球的第一宇宙速度 D．月球的平均密度 类型2 利用“环绕法”计算天体质量和密度 【例2】（2024·山西太原·三模）宇宙中行星的半径，各自相应卫星环绕行星做匀速圆周运动，卫星轨道半径与周期的关系如图所示，若不考虑其它星体对的影响及之间的作用力，下列说法正确的是（　　） A．行星的质量之比为 B．行星的密度之比为 C．行星的第一宇宙速度之比为 D．行星的同步卫星的向心加速度之比为 【变式演练1】．（2024·云南昆明·模拟预测）在太阳系之外，科学家发现了一颗最适宜人类居住的类地行星，绕恒星橙矮星运行，命名为“开普勒438b”。其运行的周期为地球运行周期的p倍，轨道半径为日地距离的q倍。假设该行星绕星的运动与地球绕太阳的运动均可看做匀速圆周运动，则橙矮星与太阳的质量之比为（　　） A． B． C． D． 【变式演练2】．（2024·山西·模拟预测）P、Q是太阳系中的两个行星，P的半径是Q的2倍。在登陆两行星后，分别在行星表面以速度v竖直上抛小球，小球返回到抛出点的时间为t；改变抛出时的初速度，画出v与t的函数图像如图所示。将两行星视为均匀球体，忽略大气阻力和行星自转，下列判断正确的是（　　） A．行星P和Q表面的重力加速度之比为4：1 B．行星P和Q的第一宇宙速度之比为4：1 C．行星P的质量是Q质量的4倍 D．行星P的密度与Q的密度相等 【变式演练3】2024年1月11日，太原卫星发射中心将云遥一号卫星送入预定轨道，飞行试验任务取得圆满成功。已知“云遥一号”在轨道做匀速圆周运动，运行周期为T，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转的影响，下列说法正确的是（　　） A．地球的质量为 B．“云遥一号”的轨道半径为 C．“云遥一号”的线速度可能大于 D．“云遥一号”的加速度可能大于g 【变式演练4】（2024·吉林长春·模拟预测）按黑体辐射理论，黑体单位面积的辐射功率与其热力学温度的四次方成正比，比例系数为（称为斯特藩-玻尔兹曼常数），某黑体如果它辐射的功率与接收的功率相等时，温度恒定。假设宇宙中有一恒星A和绕其圆周运动的行星B（忽略其它星体的影响），已知恒星A单位面积辐射的功率为P，B绕A圆周运动的周期为，将B视为黑体，B的温度恒定为T，万有引力常数为G，将A和B视为质量均匀分布的球体，行星B的大小远小于其与A的距离，．由上述物理量和常数表示出的恒星A的平均密度为（　　） A． B． C． D． 类型3 利用椭圆轨道求质量与密度 【例1】（2024·安徽·一模）如图所示，有两颗卫星绕某星球做椭圆轨道运动，两颗卫星的近地点均与星球表面很近（可视为相切），卫星1和卫星2的轨道远地点到星球表面的最近距离分别为，卫星1和卫星2的环绕周期之比为k。忽略星球自转的影响，已知引力常量为G，星球表面的重力加速度为。则星球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【变式演练1】科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为(　　) A．4×104M B．4×106M C．4×108M D．4×1010M 【变式演练2】为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国于2021年发射“天问一号”火星探测器。假设“天问一号”被火星引力捕捉后先在离火星表面高度为h的圆轨道上运动，运行周期分别为；制动后在近火的圆轨道上运动，运行周期为，火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G。仅利用以上数据，下列说法正确的是（　　） A．可以求得“天问一号”火星探测器的密度为 B．可以求得“天问一号”火星探测器的密度为 C．可以求得火星的密度为 D．由于没有火星的质量和半径，所以无法求得火星的密度 题型四 卫星运行参量的分析 类型1　卫星运行参量与轨道半径的关系 1．天体(卫星)运行问题分析 将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供． 2．物理量随轨道半径变化的规律 G＝ 即r越大，v、ω、a越小，T越大．(越高越慢) 3．公式中r指轨道半径，是卫星到中心天体球心的距离，R通常指中心天体的半径，有r＝R＋h. 4．同一中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量只与r有关；不同中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量与中心天体质量M和r有关． 【例1】（2024·北京·二模）研究表明，2000年来地球自转周期累计慢了2个多小时。假设这种趋势持续下去，地球其他条件不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在相比（　　）。 A．距地面的高度变小 B．向心加速度变大 C．线速度变小 D．角速度变大 【变式演练1】（多选）2024年4月15日12时12分，我国在酒泉卫星发射中心成功将四维高景三号01星发射升空。若该星的质量为m，在离地面高度为的近地轨道（远小于地球同步轨道）上绕地球做圆周运动。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球自转的周期为T。则该星在轨运行过程中，下列说法正确的是（　　） A．周期小于T B．向心加速度为 C．速率可能大于 D．动能为 【变式演练2】．（多选）可近似认为太阳系中各行星在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到另一行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。若地球及其他行星绕太阳运动的轨道半径如下表，则下列说法正确的是（    ） 行星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 绕太阳运动的轨道半径/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 A．火星的运行速率小于地球的运行速率 B．木星绕太阳运行的周期比地球绕太阳运行的周期小 C．土星的向心加速度比天王星的向心加速度小 D．上表中的行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短 【变式演练3】．（多选）北京时间2023年7月20日21时40分，经过约8小时的出舱活动，神舟十六号航天员密切协同，在空间站机械臂支持下，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功。已知地球半径为R，空间站绕地球做圆周运动的轨道半径为kR，地球自转周期为，地球同步卫星轨道半径为nR，则（    ） A．空间站的运行周期为 B．空间站的向心加速度大小为 C．空间站的线速度大小为 D．地球表面处的重力加速度为 类型2 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较 如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3. 比较项目 近地卫星 (r1、ω1、v1、a1) 同步卫星 (r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体 (r3、ω3、v3、a3) 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r2>r1＝r3 角速度 ω1>ω2＝ω3 线速度 v1>v2>v3 向心加速度 a1>a2>a3 【例1】某国产手机新品上市，持有该手机者即使在没有地面信号的情况下，也可以拨打、接听卫星电话。为用户提供语音、数据等卫屋通信服务的“幕后功臣”正是中国自主研制的“天通一号”卫星系统，该系统由“天通一号”01星、02星、03星三颗地球同步卫星组成。已知地球的自转周期为T，地球的半径为R，该系统中的卫星距离地面的高度为h，电磁波在真空中的传播速度为c，引力常量为G。下列说法正确的是（    ） A．可求出地球的质量为 B．“天通一号”01星的向心加速度小于静止在赤道上的物体的向心加速度 C．“天通一号”01星若受到阻力的影响，运行轨道会逐渐降低，速度会变大 D．该手机向此卫星系统发射信号后，至少需要经过时间才接收到信号 【变式演练1】如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c为地球的同步卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是（　　） A．b卫星转动线速度大于 B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为 C．a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为 D．在b、c中，c的机械能大 【变式演练2】龙年首发，“长征5号”遥七运载火箭搭载通信技术试验卫星十一号发射成功，卫星进入地球同步轨道后，主要用于开展多频段、高速率卫星通信技术验证。下列说法正确的是（　　） A．同步卫星的加速度大于地球表面的重力加速度 B．同步卫星的运行速度小于7.9km/s C．所有同步卫星都必须在赤道平面内运行 D．卫星在同步轨道运行过程中受到的万有引力不变 【变式演练3】根据地球同步卫星，科学家提出了“太空天梯”的设想。“太空天梯”的主体结构为一根巨大的硬质绝缘杆，一端固定在地球赤道，另一端穿过地球同步卫星，且绝缘杆的延长线通过地心。若三个货物分别固定在“太空天梯”的a、b、c三个位置，三个货物与同步卫星一起以地球自转角速度绕地球做匀速圆周运动，以地心为参考系，下列说法正确的是（    ） A．三个货物速度大小关系为 B．如果三个货物在a、b、c三个位置从杆上同时脱落，三个货物都将做离心运动 C．杆对b处货物的作用力沿Ob方向向上，杆对c处货物的作用力沿cO方向向下 D．若有一个轨道高度与b相同的人造卫星绕地球做匀速圆周运动，则其环绕地球的角速度小于位于b处货物的角速度 类型3 宇宙速度 1．第一宇宙速度的推导 方法一：由G＝m，得v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s. 方法二：由mg＝m得 v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s. 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π＝2π s≈5 075 s≈85 min. 2．宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动． (2)7.9 km/s<v发<11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆． (3)11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆． (4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间． 【例1】如图所示是三个宇宙速度的示意图，则（　　）    A．嫦娥一号卫星的无动力发射速度需要大于16.7 km/s B．太阳系外飞行器的无动力发射速度只需要大于11.2 km/s C．天宫空间站的飞行速度大于7.9 km/s D．三个宇宙速度对哈雷彗星（绕太阳运动）不适用 【例2】（2024·山东聊城·三模）我国科研人员利用“探测卫星”获取了某一星球的探测数据，对该星球有了一定的认识。“探测卫星”在发射过程中，先绕地球做圆周运动，后变轨运动至该星球轨道，绕星球做圆周运动。“探测卫星”在两次圆周运动中的周期二次方与轨道半径三次方的关系图像如图所示，其中P实线部分表示“探测卫星”绕该星球运动的关系图像，Q实线部分表示“探测卫星”绕地球运动的关系图像，“探测卫星”在该星球近表面和地球近表面运动时均满足，图中c、m、n已知，则（　　） A．该星球和地球的质量之比 B．该星球和地球的第一宇宙速度之比 C．该星球和地球的密度之比为 D．该星球和地球表面的重力加速度大小之比为 【变式演练2】2021年5月，我国天问一号着陆器顺利降落在火星乌托邦平原，实现了我国首次火星环绕、着陆、巡视探测三大目标，一次性实现这三大目标在人类历史上也是首次。已知火星与太阳的距离是地球与太阳距离的1.5倍，火星半径是地球半径的，火星质量是地球质量的，火星与地球均视为质量均匀的球体，它们的公转轨道近似为圆轨道，下列说法正确的是（　　） A．天问一号的发射速度小于地球的第二宇宙速度 B．天问一号着陆器在火星上受到的重力约为在地球上受到重力的 C．火星的第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度的 D．火星公转的加速度约为地球公转加速度的 题型五 卫星的变轨和对接问题 1．变轨原理 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示． (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ. (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ. 2．变轨过程分析 (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB. (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同． (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3. (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ，从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，都需要点火加速，则E1<E2<E3. 类型1 卫星变轨问题中各物理量的比较 【例1】（2024·北京海淀·二模）地球同步卫星的发射过程可以简化如下：卫星先在近地圆形轨道I上运动，在点A时点火变轨进入椭圆轨道II，到达轨道的远地点B时，再次点火进入同步轨道III绕地球做匀速圆周运动。设卫星质量保持不变，下列说法中正确的是（　　） A．卫星在轨道I上运动经过A点时的加速度小于在轨道II上运动经过A点时的加速度 B．卫星在轨道I上的机械能等于在轨道III上的机械能 C．卫星在轨道I上和轨道III上的运动周期均与地球自转周期相同 D．卫星在轨道II上运动经过B点时的速率小于地球的第一宇宙速度 【变式演练1】2024年4月25日，神舟十八号载人飞船进入比空间站低的预定轨道，历经6.5小时调整姿态后成功与空间站对接，神舟十八号的变轨过程简化为如图所示，圆轨道Ⅰ、Ⅲ分别为预定轨道和空间站轨道，椭圆轨道Ⅱ分别与轨道Ⅰ、Ⅲ相切于P、Q两点，轨道Ⅲ离地面高度约为400km，地球未画出，则（    ） A．神舟十八号在轨道Ⅰ上运行时的向心加速度大于其在地面上静止时的向心加速度 B．神舟十八号在轨道Ⅱ上经过P点时的向心加速度小于经过Q点时的向心加速度 C．神舟十八号在轨道Ⅱ上经过P点时的速度小于在轨道Ⅰ上经过P点时的速度 D．神舟十八号在轨道Ⅱ上的机械能大于在轨道Ⅲ上的机械能 【变式演练2】中国志愿者王跃参与了人类历史上第一次全过程模拟从地球往返火星的试验“火星—500”。假设将来人类一艘飞船从火星返回地球时，经历如图所示的变轨过程，下列说法正确的是（    ） A．飞船在轨道Ⅰ上运动时，在点的速度大于在轨道Ⅱ上运动时在点的速度 B．飞船在轨道Ⅱ上运动时，在点的速度小于在点的速度 C．若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知万有引力常量为，测出飞船在轨道Ⅰ上运动的周期，就可以推知火星的密度 D．飞船在轨道Ⅰ上运动到点时的加速度小于飞船在轨道Ⅱ上运动到点时的加速度 类型2 卫星的对接问题 (1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接. (2)同一轨道飞船与空间站对接 如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度. 【例1】假设神舟十五号飞船在对接前在1轨道做匀速圆周运动，空间站组合体在2轨道做匀速圆周运动，神舟十五号在B点采用喷气的方法改变速度，从而达到变轨的目的，通过调整，对接稳定后飞船与组合体仍沿2轨道一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　） A．飞船从A点到B点线速度不变 B．飞船从B点到C点机械能守恒 C．飞船在B点应沿速度反方向喷气，对接稳定后在2轨道周期小于在1轨道周期 D．飞船在B点应沿速度反方向喷气，对接稳定后在C点的速度大小小于喷气前在B点的速度大小 【变式演练1】2023年10月26日，我国自主研发的神舟十七号载人飞船圆满完成发射，与天和核心舱成功对接，“太空之家”迎来汤洪波、唐胜杰、江新林3名中国航天史上最年轻的乘组入驻。如图所示为神舟十七号的发射与交会对接过程示意图，图中①为飞船的近地圆轨道，其轨道半径为，②为椭圆变轨轨道，③为天和核心舱所在的圆轨道，其轨道半径为，运行周期为，P、Q分别为轨道②与①、③轨道的交会点。关于神舟十七号载人飞船与天和核心舱交会对接过程，下列说法正确的是（　　） A．神舟十七号飞船先到③轨道，然后再加速，才能与天和核心舱完成对接 B．神舟十七号飞船变轨前通过椭圆轨道远地点Q时的加速度小于变轨后圆轨道经过Q点的加速度 C．地球的平均密度为 D．神舟十七号飞船在②轨道从P点运动到Q点的最短时间为 【变式演练2】中国空间站已进入应用与发展阶段，神舟十六号载人飞船将于今年造访中国空间站，如图所示为飞船从低轨道由匀速圆周运动变轨至对接空间站的轨道，若飞船变轨前的低轨道和空间站运行轨道均可视为圆轨道，则下列说法正确的是（　　） A．飞船在低轨道的线速度小于空间站的线速度 B．飞船在低轨道的绕地周期大于空间站的绕地周期 C．飞船在低轨道加速时，将做离心运动 D．飞船与空间站对接时，飞船对空间站的作用力大于空间站对飞船的作用力 题型六 天体的“追及”问题 天体“相遇”指两天体相距最近，以地球和行星“相遇”为例(“行星冲日”)，某时刻行星与地球最近，此时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同(图甲)，根据＝mω2r可知，地球公转的速度较快，从初始时刻到之后“相遇”，地球与行星距离最小，三者再次共线，有两种方法可以解决问题： 1．角度关系 ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1、2、3…) 2．圈数关系 －＝n(n＝1、2、3…) 解得t＝(n＝1、2、3…) 同理，若两者相距最远(行星处在地球和太阳的延长线上)(图乙)，有关系式：ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1、2、3…)或－＝(n＝1、2、3…) 【例1】．海王星是仅有的利用数学预测发现的行星，是牛顿经典力学的辉煌标志之一、在未发现海王星之前，天文学家发现天王星实际运动的轨道与万有引力理论计算的值总存在一些偏离，且周期性地每隔时间t发生一次最大的偏离。天文学家认为形成这种现象的原因是天王星外侧还存在着一颗未知行星绕太阳运行，其运行轨道与天王星在同一平面内，且与天王星的绕行方向相同，每当未知行星与天王星距离最近时，它对天王星的万有引力引起天王星轨道的最大偏离，该未知行星即为海王星。已知天王星的公转周期为T，则海王星的公转周期为（   ） A． B． C． D． 【例2】（多选）如图所示，探测卫星a在某星球的赤道平面内绕该星球转动，其轨道可视为圆，绕行方向与该星球自转方向相反，卫星通过发射激光与星球赤道上一固定的观测站P通信，已知该星球半径为R、自转周期为T，卫星轨道半径为2R、周期为2T。下列说法正确的是（　　） A．该星球的第一宇宙速度为 B．该星球的“同步”卫星轨道半径为 C．每卫星a经过P正上方一次 D．该星球赤道上的重力加速度大小为 【变式演练1】2023年9月21日，景海鹏、朱杨柱、桂海潮三位神舟十六航天员在中国空间站梦天实验舱向全国青少年进行了第四次太空科普授课，朱杨柱告诉我们“他在空间站里一天能看到16次日出（周期为1.5h）”。设中国空间站a和北斗系统中某颗中圆卫星b均为赤道上空卫星，中圆卫星b的周期为12h，如图所示，某时刻空间站a和中圆卫星b相距最近，且两者运动方向相同，以下说法正确的是（    ） A．航天员的速度大于第一宇宙速度 B．中国空间站a和中圆卫星b轨道半径之比为 C．中国空间站a与中圆卫星b加速度之比为 D．从此时刻开始每隔中国空间站a和中圆卫星b再次相距最近 【变式演练2】有两颗人造地球卫星A和B的轨道在同一平面内，A、B同向转动，轨道半径分别为r和4r，每隔时间t会发生一次“相冲”现象，即地球、卫星A和B三者位于同一条直线上，且A、B位于地球的同侧，已知万有引力常量为G，则地球质量可表示为（　　） A． B． C． D． 【变式演练3】北斗三号由30颗卫星组成，如图所示，中圆地球轨道卫星A与地球静止轨道卫星B在同一平面绕地球做同方向的匀速圆周运动，此时恰好相距最近。已知地球的质量为M、地球自转周期为T，中圆地球轨道卫星A的轨道半径为，万有引力常量为G，则（    ） A．卫星A的周期大于卫星B的周期 B．卫星A的机械能小于卫星B的机械能 C．卫星A的线速度和加速度均比卫星B的小 D．经过时间，两卫星到下一次相距最近 【变式演练4】如图甲所示，A、B是两颗在同一平面内围绕地球做匀速圆周运动的卫星，且绕行方向相同，B卫星是地球的同步卫星。图乙是两颗卫星之间的距离随时间t的变化图像，时刻A、B两颗卫星相距最近。则A卫星运行周期为（　　） A． B． C． D． 题型七 星球稳定自转的临界问题 当星球自转越来越快时，星球对赤道上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，其临界条件是＝mR. 【例1】恒星的引力坍缩的结果是形成一颗致密星，如白矮星、中子星、黑洞等，由于在引力坍缩中很有可能伴随着引力波的释放，通过对引力坍缩进行计算机数值模拟以预测其释放的引力波波形是当前引力波天文学界研究的课题之一、中子星（可视为均匀球体），自转周期为T0时恰能维持星体的稳定（不因自转而瓦解），当中子星的自转周期增为T=3T0时，某物体在该中子星“两极”所受重力与在“赤道”所受重力的比值为（　　） A． B． C． D． 【变式演练1】一近地卫星的运行周期为T0，地球的自转周期为T，则地球的平均密度与地球不致因自转而瓦解的最小密度之比为（　　） A． B． C． D． 【变式演练2】组成星球的物质靠万有引力吸引在一起随星球自转。若某质量分布均匀的星球的角速度为ω，为使该星球不瓦解，该星球的密度至少为ρ。下列图象可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式演练3】脉冲星是科学家不会放过的“天然太空实验室”，它是快速旋转的中子星，属于大质量恒星死亡后留下的残骸，也是宇宙中密度最高的天体之一。某颗星的自转周期为（实际测量为，距离地球1.6万光年）。假设该星球恰好能维持自转不瓦解，令该星球的密度与自转周期的相关量为为，同时假设地球同步卫星离地面的高度为地球半径的6倍，地球的密度与自转周期的相关量为，则（　　） A． B． C． D． 题型八 双星或多星模型 1．双星模型 (1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示． (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2. ②两颗星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2. ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L. ④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝. ⑤双星的运动周期T＝2π. ⑥双星的总质量m1＋m2＝. 2．多星模型 (1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同． (2)常见的三星模型 ①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)． ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)． (3)常见的四星模型 ①四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)． ②三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)． 类型1 双星问题 【例1】.（2024·辽宁阜新·模拟预测）在银河系中，有一半的恒星组成双星或多星系统，若某孤立双星系统绕连线上某点做圆周运动，周期为T，组成双星系统的A、B两个恒星间距离为L，A、B两个恒星的质量之比为2：1，如果若干年后双星间距离减小为kL（k小于1），A、B恒星的质量不变，则恒星A做圆周运动的加速度大小为（　　） A． B． C． D． 【变式演练1】中国天眼FAST已发现约500颗脉冲星，成为世界上发现脉冲星效率最高的设备，如在球状星团M92第一次探测到“红背蜘蛛”脉冲双星。如图是相距为L的A、B星球构成的双星系统绕O点做匀速圆周运动情景，其运动周期为T。C为B的卫星，绕B做匀速圆周运动的轨道半径为R，周期也为T，忽略A与C之间的引力，且A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。引力常量为G，则（　　） A．A、B的轨道半径之比为 B．C的质量为 C．B的质量为 D．A的质量为 【变式演练2】星系统，若系统中的黑洞中心与恒星中心距离为L，恒星做圆周运动的周期为T，引力常量为G，由此可以求出黑洞与恒星的（　　） A．质量之比、质量之和 B．线速度大小之比、线速度大小之和 C．质量之比、线速度大小之比 D．质量之和、线速度大小之和 【变式演练3】天玑星是北斗七星之一，在天玑星周围还有一颗伴星，它们组成双星系统，各自绕二者连线上的某一点O做匀速圆周运动，伴星距O点较远，如图所示。现已知天玑星的质量为M，二者之间连线的距离为L，运动周期均为T，万有引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．伴星的线速度小于天玑星的线速度 B．伴星的质量大于天玑星的质量 C．天玑星的运动半径为 D．天玑星和伴星的总质量为 【变式演练4】在银河系中，双星系统的数量非常多。研究双星，不但对于了解恒星形成和演化过程的多样性有重要的意义，而且对于了解银河系的形成与和演化，也是一个不可缺少的方面。假设在宇宙中远离其他星体的空间中存在由两个质量分别为、m的天体A、B组成的双星系统，二者中心间的距离为L。a、b两点为两天体所在直线与天体B表面的交点，天体B的半径为。已知引力常量为G，则A、B两天体运动的周期和a、b两点处质量为的物体（视为质点）所受万有引力大小之差为（　　） A．， B．， C．， D．， 类型2 三星问题 【例2】宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为的轨道上运行，如图甲所示，周期为；另一种是三颗星位于边长为的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为。则为（　　） A． B． C． D． 【变式演练】（2024·广西·模拟预测）宇宙空间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L。忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．每颗星体做圆周运动的线速度为 B．每颗星体做圆周运动的加速度与三星的质量无关 C．若距离L和每颗星体的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的4倍 D．若距离L和每颗星体的质量m都变为原来的2倍，则线速度大小不变 【变式演练2】近年来，科学家们发现茫茫宇宙中，有双星系统，三星系统。设想有两个相距L1、质量均为m1的星球在相互引力作用下，绕其中心做匀速圆周运动，运动速度大小为v1，角速度为ω1；另有三个分别相距L2、质量均为m2的星球构成等边三角形，三个星球在相互引力作用下，绕其中心做匀速圆周运动，运动速度大小为v2，角速度为ω2，则（　　） A． B． C． D． 【变式演练3】如图所示，航天器c位于日地系统中拉格朗日点处，与太阳a、地球b构成稳定的等边三角形，大圆为地球绕太阳中心做匀速圆周运动的轨迹。实际上，a、b、c是一个“三星”系统，由于航天器的质量远小于天体的质量，a、b、c绕着a、b构成的“双星”连线中的O点转动。忽略其他天体的影响，则（　　） A．c的周期大于b的周期 B．c的向心加速度等于b的向心加速度 C．c的向心力指向太阳中心 D．c的线速度大于b的线速度 类型4 四星问题 【例4】宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，如图所示，设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为L的正方形的四个顶点上、已知引力常量为G，关于四星系统，下列说法正确的是（　　） A．四颗星的向心加速度的大小均为 B．四颗星运行的线速度大小均为 C．四颗星运行的角速度大小均为 D．四颗星运行的周期均为 【变式演练1】宇宙中存在着这样一种四星系统，这四颗星的质量相等，远离其他恒星，因此可以忽略其他恒星对它们的作用。四颗星稳定地分布在一个正方形的四个顶点上，且均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动。假设每颗星的质量为m，正方形的边长为L，每颗星的半径为R，引力常量为G，则（　　） A．每颗星做圆周运动的半径为 B．每颗星做圆周运动的向心力大小为 C．每颗星表面的重力加速度为 D．每颗星做圆周运动的周期为 【变式演练2】据报道，中国科学院上海天文台捕捉到一个“四星系统”。两种可能的四星系统构成如图所示，第一种如甲所示，四颗星稳定地分布在正方形上，均绕正方形中心做匀速圆周运动，第二种如乙所示，三颗星位于等边三角形的三个顶点上，第四颗星相对其他三星位于三角形中心，位于顶点的三颗星绕三角形中心运动。若两系统中所有星的质量都相等，，则第一、二种四星系统周期的比值为（　　） A． B． C． D． 第 1 页 / 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 天体运动 目录 题型一 开普勒定律的应用 1 题型二 万有引力定律的理解 2 类型1 万有引力定律的理解和简单计算 7 类型2 不同天体表面引力的比较与计算 8 类型3 重力和万有引力的关系 9 类型4 地球表面与地表下某处重力加速度的比较与计算 10 题型三 天体质量和密度的计算 13 类型1 利用“重力加速度法”计算天体质量和密度 16 类型2 利用“环绕法”计算天体质量和密度 22 类型3 利用椭圆轨道求质量与密度 27 题型四 卫星运行参量的分析 30 类型1　卫星运行参量与轨道半径的关系 30 类型2 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较 31 类型3 宇宙速度 39 题型五 卫星的变轨和对接问题 42 类型1 卫星变轨问题中各物理量的比较 43 类型2 卫星的对接问题 46 题型六 天体的“追及”问题 50 题型七 星球稳定自转的临界问题 56 题型八 双星或多星模型 59 类型1 双星问题 60 类型2 三星问题 65 类型4 四星问题 70 题型一 开普勒定律的应用 【解题指导】1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理． 2.由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小． 3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间． 【例1】（2024·浙江·高考真题）与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则（　　） A．小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度 B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度 C．小行星甲与乙的运行周期之比 D．甲乙两星从远日点到近日点的时间之比= 【答案】D 【详解】A．根据开普勒第二定律，小行星甲在远日点的速度小于近日点的速度，故A错误； B．根据 小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度，故B错误； C．根据开普勒第三定律，小行星甲与乙的运行周期之比 故C错误； D．甲乙两星从远日点到近日点的时间之比即为周期之比 ≈ 故D正确。 故选D。 【变式演练1】（2024·山东·高考真题）“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】“鹊桥二号”中继星在24小时椭圆轨道运行时，根据开普勒第三定律 同理，对地球的同步卫星根据开普勒第三定律 又开普勒常量与中心天体的质量成正比，所以 联立可得 故选D。 【变式演练2】．（2024·安徽·高考真题）2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51900km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9900km，周期约为24h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时（    ） A．周期约为144h B．近月点的速度大于远月点的速度 C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度 D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度 【答案】B 【详解】A．冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，根据开普勒第三定律得 整理得 A错误； B．根据开普勒第二定律得，近月点的速度大于远月点的速度，B正确； C．近月点从捕获轨道到冻结轨道鹊桥二号进行近月制动，捕获轨道近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误； D．两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。 故选B。 【变式演练3】．北京时间2024年1月5日19时20分，我国在酒泉卫星发射中心用快舟一号甲运载火箭，成功将天目一号气象星座15-18星（以下简称天目星）发射升空，天目星顺利进入预定轨道，至此天目一号气象星座阶段组网完毕。天目星的发射变轨过程可简化为如图所示，先将天目星发射到距地面高度为h1的圆形轨道I上，在天目星经过A点时点火实施变轨进入椭圆轨道II，最后在椭圆轨道的远地点B点再次点火将天目星送入距地面高度为h2的圆形轨道III上，设地球半径为R，地球表面重力加速度为g，则天目星沿椭圆轨道从A点运动到B点的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据万有引力与重力的关系 在圆形轨道I上，根据万有引力提供向心力 椭圆轨道II的半长轴为 根据开普勒第三定律 解得天目星沿椭圆轨道II的周期为 天目星沿椭圆轨道从A点运动到B点的时间为 故选B。 【变式演练4】地球同步卫星的发射过程可以简化如下：卫星先在近地圆形轨道I上运动，在点A时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的远地点B时，再次点火进入同步轨道Ⅲ绕地球做匀速圆周运动。已知地球半径为R，同步卫星轨道半径为r，设卫星质量保持不变，下列说法中不正确的是（　　） A．卫星在轨道Ⅰ上和轨道Ⅲ上的运动周期之比为 B．卫星在轨道Ⅰ上和轨道Ⅱ上的运动周期之比为 C．卫星在轨道Ⅰ上和轨道Ⅲ上运动的动能之比 D．卫星在轨道Ⅱ上运动经过A点和B点的速度之比为 【答案】A 【详解】AB．由开普勒第三定律可得，卫星在轨道Ⅰ上和轨道Ⅲ上的运动周期之比为 卫星在轨道Ⅰ上和轨道Ⅱ上的运动周期之比为 A错误，符合题意，B正确，不符合题意； C．由万有引力提供向心力，卫星在轨道Ⅰ上可得 在轨道Ⅲ上可得 则有卫星在轨道Ⅰ上和轨道Ⅲ上运动的动能之比为 C正确，不符合题意； D．设卫星在轨道Ⅱ上运动经过A点的速度为，在B点的速度为，由开普勒第二定律可得 解得经过A点和B点的速度之比为 D正确，不符合题意。 故选A。 题型二 万有引力定律的理解 【解题指导】1．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg0。 (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。 2．星球上空的重力加速度g′ 星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度g′，mg′＝，得g′＝，所以＝。 类型1 万有引力定律的理解和简单计算 【例1（2023·全国·高三专题练习）有质量的物体周围存在着引力场。万有引力和库仑力有类似的规律，因此我们可以用定义静电场场强的方法来定义引力场的场强。由此可得，质量为m的质点在质量为M的物体处（二者间距为r）的引力场场强的表达式为（引力常量用G表示）（　　） A．G B．G C．G D．G 【答案】B 【详解】万有引力公式与库仑力公式是相似的，分别为 , 真空中，带电荷量为Q的点电荷在距它r处所产生的电场强度被定义为试探电荷q在该处所受的库仑力与其电荷量的比值，即 与此类比，质量为m的质点在距它r处所产生的引力场场强就可定义为质量为M的物体在该处所受的万有引力与其质量的比值，即 故B正确，ACD错误。 故选B。 【变式演练】(多选)在万有引力定律建立的过程中，“月—地检验”证明了维持月球绕地球运动的力与地球对苹果的力是同一种力。完成“月—地检验”需要知道的物理量有(　　) A．月球和地球的质量 B．引力常量G和月球公转周期 C. 地球半径和“月—地”中心距离 D．月球公转周期和地球表面重力加速度g 【答案】　CD 【解析】　地球表面物体的重力等于万有引力，有 mg＝G，即gR2＝Gm地 根据万有引力定律和牛顿运动第二定律，有 G＝ma 可算出月球在轨道处的引力加速度为 a＝G＝ 根据月球绕地球公转的半径、月球的公转周期，由月球做匀速圆周运动可得 a＝ 代入数值可求得两加速度吻合，故A、B错误，C、D正确。 类型2 不同天体表面引力的比较与计算 【例2】从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为(　　) A．9∶1 B．9∶2 C．36∶1 D．72∶1 【答案】　B 【解析】　悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小等于它们所受的万有引力，则＝＝··＝9×2×＝，故B正确。 【变式演练】火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　) A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5 【答案】　B 【解析】　由万有引力定律可得，质量为m的物体在地球表面上时，受到的万有引力大小为F地＝G，在火星表面上时，受到的万有引力大小为F火＝G，二者的比值＝＝0.4，B正确，A、C、D错误。 类型3 重力和万有引力的关系 【例1】由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同．已知地球表面两极处的重力加速度大小为，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体。下列说法正确的是（　　） A．质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg C．地球的半径为 D．地球的密度为 【答案】CD 【详解】A．质量为m的物体在地球北极受到的地球引力等于其重力，大小为mg0，A错误； B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小等于其在地球两极受到的万有引力，大小为mg0，B错误； C．设地球半径为R，在地球赤道上随地球自转物体的质量为m，由牛顿第二定律可得 C正确；     D．设地球质量为M，地球半径为R，质量为m的物体在地球表面两极处受到的地球引力等于其重力，可得 又 则有 D正确。 故选CD。 【变式演练1】在地球表面，被轻质细线悬挂而处于静止状态的质量为m的小球，所受地球的万有引力作用效果分解示意图如图所示，已知小球所处的纬度为θ（），重力为F1，万有引力为F，地球的半径为R，自转周期为T，下列说法正确的是（　　） A．细线的拉力FT与F是一对平衡力 B．地球的第一宇宙速度为 C．小球所需的向心力为 D．地球赤道处的重力加速度为 【答案】C 【详解】A．细线的拉力FT与F合力提供了小球做圆周运动的向心力，故细线的拉力FT与F不是一对平衡力，故A错误； B．根据万有引力提供向心力 可得地球的第一宇宙速度为 故B错误； C．小球做圆周运动的半径为 小球所需的向心力为 故C正确； D．小球所处的纬度重力大于赤道处的重力，根据牛顿第二定律，地球赤道处的重力加速度小于，故D错误。 故选C。 【变式演练2】2023年11月16日，中国北斗系统正式加入国际民航组织标准，成为全球民航通用的卫星导航系统。北斗系统空间段由若干地球静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星和中圆地球轨道卫星等组成。将地球看成质量均匀的球体，若地球半径与同步卫星的轨道半径之比为，下列说法正确的是（　　） A．倾斜地球同步轨道卫星有可能保持在长沙的正上方 B．地球静止轨道卫星与地面上的点线速度大小相等所以看起来是静止的 C．地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为 D．地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为 【答案】D 【详解】A．倾斜地球同步轨道卫星周期仍然是24小时，但轨道与赤道平面有夹角，如果某时刻在长沙正上方，则24小时后就又在长沙正上方，但不能保持在长沙正上方，故A错误； B．地球静止轨道卫星与地面上的点角速度相等，由可知，地球静止轨道卫星的轨道半径大于地面上的点的轨道半径，因此静止轨道卫星的线速度大小大于地面上的点线速度大小，B错误； CD．根据题意，对同步卫星，由万有引力提供向心力有 在地球北极有 在赤道上有 联立可得 则地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为，C错误，D正确。 故选D。 类型4 地球表面与地表下某处重力加速度的比较与计算 【例41】已知质量分布均匀的球壳对内部物体产生的万有引力为0。对于某质量分布均匀的星球，在距离星球表面不同高度或不同深度处重力加速度大小是不同的，若用x表示某位置到该星球球心的距离，用g表示该位置处的重力加速度大小，忽略星球自转，下列关于g与x的关系图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当，设地球的密度为，距地球球心处的物体受到的万有引力与该处的重力的关系为 可得 当，设地球的密度为，地球半径为，距地球球心处的物体受到的万有引力与该处的重力的关系为 可得 故选A。 【变式演练1】若地球是质量均匀分布的球体，其质量为M0，半径为R。忽略地球自转，重力加速度g随物体到地心的距离r变化如图所示。g-r曲线下O-R部分的面积等于R-2R部分的面积。 （1）用题目中的已知量表示图中的g0； （2）已知质量分布均匀的空心球壳对内部任意位置的物体的引力为0。请你证明：在地球内部，重力加速度与r成正比； （3）若将物体从2R处自由释放，不考虑其它星球引力的影响，不计空气阻力，借助本题图像，求这个物体到达地表时的速率。 【答案】（1）；（2）见解析所示；（3） 【详解】（1）在地球表面，忽略地球自转，则有 （2）地球是质量均匀分布的球体，设地球密度为。在地球内部，设物体到地心的距离r，根据题意，在以半径r为界，外部球壳对物体吸引力为0，则有吸引力部分的质量，根据万有引力定律 可得出，在地球内部，重力加速度与r成正比。 （3）微元法：将物体从离地心2R释放到落地表过程中分割为无数微小段，每一段的重力加速度可近似认为是不变的，再对这些过程进行累加求重力做功，其中gh数值与图像中R-2R部分的面积相对应，根据题意，又与O-R部分的面积对应，可得总功为 根据动能定理 带入计算可得 【变式演练2】上世纪70年代，前苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来最大规模的地底挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为d时，井底一个质量为m的小球与地球之间的万有引力为F，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，质量分布均匀的地球的半径为R，质量为M，万有引力常量为G，则F大小等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将地球分为半径为（R－d）的球和厚度为d球壳两部分，球壳对小球的引力为零 则F等于半径为（R－d）的球对小球的引力，有 设半径为（R－d）球的质量为，由密度公式得 所以 解得，F的大小为 B正确，ACD错误。 故选B。 【变式演练3】2020年12月1日嫦娥五号探测器实施月面“挖土”成功，“挖土”采用了钻取和表取两种模式。假设月球可看作质量分布均匀的球体，其质量为M，半径为R。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，万有引力常量为G。某次钻取中质量为m的钻尖进入月球表面以下h深处，则此时月球对钻尖的万有引力为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】月球质量与剩余质量关系为 设月球密度为，月球对钻尖的万有引力为 故选D。 【变式演练4】地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域，进一步探测发现在地面P点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图所示，假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计，如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg（k＜1），已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】万有引力定律的适用条件：（1）公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；（2）质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离，如果将空腔填满，地面质量为m的物体的重力为mg，没有填满时是kmg，故空腔填满后引起的引力为，根据万有引力定律求解。 【详解】如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，如果将空腔填满，地面质量为m的物体的重力为mg，没有填满时是kmg，故空腔填满后引起的引力为，由万有引力定律有 解得球形空腔的体积 故选D。 题型三 天体质量和密度的计算 类型 方法 已知量 利用公式 表达式 备注 质 量 的 计 算 利用运 行天体 r、T G＝mr m中＝ 只能得到中心天体的质量 r、v G＝m m中＝ v、T G＝m，G＝mr m中＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ m中＝ — 密 度 的 计 算 利用运 行天体 r、T、R G＝mr m中＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时，ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝，m中＝ρ·πR3 ρ＝ — 类型1 利用“重力加速度法”计算天体质量和密度 【例1】中国计划在2030年前登上月球，假设宇宙飞船落到月面前绕月球表面附近做角速度为ω的匀速圆周运动。宇航员登上月球后，做了一次斜上抛运动的实验，如图所示，在月面上，小球从A点斜向上抛出，经过最高点B运动到C点，已知小球在A、C两点的速度与水平方向的夹角分别为37°、53°，小球在B点的速度大小为v，小球从A点到C点的运动时间为t，引力常量为G，sin37°=0.6，cos37°=0.8，月球可视为均匀球体，忽略月球的自转，下列说法正确的是（　　） A．月球的密度为 B．月球表面的重力加速度大小为 C．月球的第一宇宙速度大小为 D．月球的半径为 【答案】C 【详解】A．飞船落到月面前绕月球表面附近做角速度为ω的匀速圆周运动，则有 又 联立解得月球的密度为 故A错误； B．在A点时的竖直分速度大小为 在C点时的竖直分速度大小为 向上为正，从A到C由运动学公式得 解得 故B错误； CD．根据 可得月球的半径为 月球的第一宇宙速度大小等于卫星在月球表面轨道绕月球做匀速圆周运动的线速度，则有 故C正确，D错误。 故选C。 【变式演练1】宇航员登上某半径为R的球形未知天体，在该天体表面将一质量为m的小球以初速度竖直上抛，上升的最大高度为h，万有引力常量为G。则（    ） A．该星球表面重力加速度为 B．该星球质量为 C．该星球的近地面环绕卫星运行周期为 D．小球到达最大高度所需时间 【答案】A 【详解】A．根据 可知该未知天体表面的重力加速度大小 故A正确； B．根据 可得星球质量为 故B错误； C．近地环绕卫星万有引力提供向心力 解得星球的近地面环绕卫星运行周期为 故C错误； D．由运动学公式可知，小球上升到最大高度所需时间 故D错误。 故选A。 【变式演练2】一宇航员到达半径为R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为m的小球，上端固定在O点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O点在竖直面内做半径为r的圆周运动，测得绳的拉力F大小随时间t的变化规律如图乙所示．设R、m、r、引力常量G以及F1和F2为已知量，忽略各种阻力．以下说法正确的是（　　） A．该星球表面的重力加速度为 B．小球在最高点的最小速度为 C．该星球的密度为 D．卫星绕该星球的第一宇宙速度为 【答案】B 【详解】A.在最低点有 在最高点有 由机械能守恒定律得 联立可得 故A错误； B.设星球表面的重力加速度为g，小球能在竖直面上做圆周运动，即能过最高点，过最高点的条件是只有重力提供向心力，有 则最高点最小速度为 故B正确； C.由 可得 故C错误； D.由 可得 故D错误。 故选B。 【变式演练3】2023年4月24日，中国首次火星探测火星全球影像图在第八个中国航天日发布。其中，国际天文学联合会还将天问一号着陆点附近的22个地理实体以中国历史文化名村名镇命名，将中国标识永久刻印在火星上。火星半径为，火星表面处重力加速度为。火星和地球的半径之比约为，表面重力加速度之比约为，忽略火星、地球自转，则地球和火星的密度之比约为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据万有引力与重力的关系 可得 体积为 则密度为 地球和火星的密度之比约为 故选B。 【变式演练4】我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索，其后将探索建造月球科研试验站，开展系统、连续的月球探测和相关技术试验验证。若航天员在月球表面附近高h处以初速度水平抛出一个小球，测出小球运动的水平位移大小为L。若月球可视为均匀的天体球，已知月球半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．月球表面的重力加速度 B．月球的质量 C．月球的第一宇宙速度 D．月球的平均密度 【答案】D 【详解】A．由平抛运动特点可得 由以上两式得月球表面的重力加速度 故A错误； B．由万有引力等于重力得 将代入上式得月球的质量 故B错误； C．由牛顿第二定律得 将代入上式得月球的第一宇宙速度 故C错误； D．月球的平均密度 故D正确。 故选D。 类型2 利用“环绕法”计算天体质量和密度 【例2】（2024·山西太原·三模）宇宙中行星的半径，各自相应卫星环绕行星做匀速圆周运动，卫星轨道半径与周期的关系如图所示，若不考虑其它星体对的影响及之间的作用力，下列说法正确的是（　　） A．行星的质量之比为 B．行星的密度之比为 C．行星的第一宇宙速度之比为 D．行星的同步卫星的向心加速度之比为 【答案】C 【详解】A．根据牛顿第二定律 解得 则图像的斜率为 又 故行星的质量之比为 故A错误； B．根据牛顿第二定律 解得 故行星的密度为 由题意可知，卫星在两颗行星表面做匀速圆周运动的周期相等，故行星A的密度等于行星B的密度，故B错误； C．行星的第一宇宙速度等于卫星在行星表面做匀速圆周运动的线速度，则有 则行星的第一宇宙速度之比为 故C正确； D．同步卫星的相关物理量未知，无法计算加速度比值，故D错误。 故选C。 【变式演练1】．（2024·云南昆明·模拟预测）在太阳系之外，科学家发现了一颗最适宜人类居住的类地行星，绕恒星橙矮星运行，命名为“开普勒438b”。其运行的周期为地球运行周期的p倍，轨道半径为日地距离的q倍。假设该行星绕星的运动与地球绕太阳的运动均可看做匀速圆周运动，则橙矮星与太阳的质量之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 解得 则橙矮星与太阳的质量之比为 故选B。 【变式演练2】．（2024·山西·模拟预测）P、Q是太阳系中的两个行星，P的半径是Q的2倍。在登陆两行星后，分别在行星表面以速度v竖直上抛小球，小球返回到抛出点的时间为t；改变抛出时的初速度，画出v与t的函数图像如图所示。将两行星视为均匀球体，忽略大气阻力和行星自转，下列判断正确的是（　　） A．行星P和Q表面的重力加速度之比为4：1 B．行星P和Q的第一宇宙速度之比为4：1 C．行星P的质量是Q质量的4倍 D．行星P的密度与Q的密度相等 【答案】D 【详解】A．根据 则v-t图像的斜率行星P和Q表面的重力加速度之比为 选项A错误； BD．根据 可得 ， 可得行星P和Q的第一宇宙速度之比为2：1，行星P的质量是Q质量的8倍，选项BC错误； D．行星的密度 可得行星P的密度与Q的密度相等，选项D正确。 故选D。 【变式演练3】2024年1月11日，太原卫星发射中心将云遥一号卫星送入预定轨道，飞行试验任务取得圆满成功。已知“云遥一号”在轨道做匀速圆周运动，运行周期为T，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转的影响，下列说法正确的是（　　） A．地球的质量为 B．“云遥一号”的轨道半径为 C．“云遥一号”的线速度可能大于 D．“云遥一号”的加速度可能大于g 【答案】A 【详解】A．在地球表面有 得 故A正确； B．设卫星轨道半径为r，根据万有引力提供向心力可得 可得 故B错误； C．根据万有引力提供向心力可得 解得 故C错误； D．根据万有引力提供向心力可得 解得 故D错误。 故选A。 【变式演练4】（2024·吉林长春·模拟预测）按黑体辐射理论，黑体单位面积的辐射功率与其热力学温度的四次方成正比，比例系数为（称为斯特藩-玻尔兹曼常数），某黑体如果它辐射的功率与接收的功率相等时，温度恒定。假设宇宙中有一恒星A和绕其圆周运动的行星B（忽略其它星体的影响），已知恒星A单位面积辐射的功率为P，B绕A圆周运动的周期为，将B视为黑体，B的温度恒定为T，万有引力常数为G，将A和B视为质量均匀分布的球体，行星B的大小远小于其与A的距离，．由上述物理量和常数表示出的恒星A的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】黑体单位面积的辐射功率 设A和B的球心距离为，A的半径为，则由B的温度恒定可知 由万有引力充当向心力 其中 联立解得 故选A。 类型3 利用椭圆轨道求质量与密度 【例1】（2024·安徽·一模）如图所示，有两颗卫星绕某星球做椭圆轨道运动，两颗卫星的近地点均与星球表面很近（可视为相切），卫星1和卫星2的轨道远地点到星球表面的最近距离分别为，卫星1和卫星2的环绕周期之比为k。忽略星球自转的影响，已知引力常量为G，星球表面的重力加速度为。则星球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】卫星一、卫星二轨道的半长轴分别为 ， 由开普勒第三定律得 整理得 星球表面的重力加速度为g，根据万有引力提供重力得 星球质量的表达式为 联立得 故选A。 【变式演练1】科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为(　　) A．4×104M B．4×106M C．4×108M D．4×1010M 【答案】　B 【解析】　由万有引力提供向心力有＝mR，整理得＝，可知只与中心天体的质量有关，则＝，已知T地＝1年，由题图可知恒星S2绕银河系运动的周期TS2＝2×(2002－1994)年＝16年，解得M黑洞＝4×106M，B正确。 【变式演练2】为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国于2021年发射“天问一号”火星探测器。假设“天问一号”被火星引力捕捉后先在离火星表面高度为h的圆轨道上运动，运行周期分别为；制动后在近火的圆轨道上运动，运行周期为，火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G。仅利用以上数据，下列说法正确的是（　　） A．可以求得“天问一号”火星探测器的密度为 B．可以求得“天问一号”火星探测器的密度为 C．可以求得火星的密度为 D．由于没有火星的质量和半径，所以无法求得火星的密度 【答案】C 【详解】A．根据万有引力提供向心力 将“天问一号”的质量约掉，无法求得“天问一号”的密度，A错误； B．有A项分析可知，B错误； C．根据万有引力提供向心力 求得火星的密度 C正确； D．由C项分析可知，D错误． 故选C。 题型四 卫星运行参量的分析 类型1　卫星运行参量与轨道半径的关系 1．天体(卫星)运行问题分析 将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供． 2．物理量随轨道半径变化的规律 G＝ 即r越大，v、ω、a越小，T越大．(越高越慢) 3．公式中r指轨道半径，是卫星到中心天体球心的距离，R通常指中心天体的半径，有r＝R＋h. 4．同一中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量只与r有关；不同中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量与中心天体质量M和r有关． 【例1】（2024·北京·二模）研究表明，2000年来地球自转周期累计慢了2个多小时。假设这种趋势持续下去，地球其他条件不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在相比（　　）。 A．距地面的高度变小 B．向心加速度变大 C．线速度变小 D．角速度变大 【答案】C 【详解】A．根据万有引力提供向心力 解得 地球自转周期变大，则地球同步卫星轨道半径变大，距地面的高度变大，故A错误； B．根据牛顿第二定律 解得 地球自转周期变大，则地球同步卫星轨道半径变大，向心加速度变小，故B错误； CD．根据万有引力提供向心力 解得 ， 地球自转周期变大，则地球同步卫星轨道半径变大，则线速度变小，角速度变小，故C正确，D错误。 故选C。 【变式演练1】（多选）2024年4月15日12时12分，我国在酒泉卫星发射中心成功将四维高景三号01星发射升空。若该星的质量为m，在离地面高度为的近地轨道（远小于地球同步轨道）上绕地球做圆周运动。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球自转的周期为T。则该星在轨运行过程中，下列说法正确的是（　　） A．周期小于T B．向心加速度为 C．速率可能大于 D．动能为 【答案】AD 【详解】A．根据万有引力提供向心力有 解得 由于近地轨道远小于地球同步轨道，则该星周期小于同步卫星的周期，又有同步卫星的周期等于地球自转周期，则该星周期小于，故A正确； B．根据万有引力提供向心力有 在地球表面有 联立解得 故B错误； C．是围绕地球做圆周运动的最大速度，则该星的速率不可能大于，故C错误； D．根据万有引力提供向心力有 在地球表面有 又有 联立解得 故D正确。 故选AD。 【变式演练2】．（多选）可近似认为太阳系中各行星在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到另一行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。若地球及其他行星绕太阳运动的轨道半径如下表，则下列说法正确的是（    ） 行星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 绕太阳运动的轨道半径/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 A．火星的运行速率小于地球的运行速率 B．木星绕太阳运行的周期比地球绕太阳运行的周期小 C．土星的向心加速度比天王星的向心加速度小 D．上表中的行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短 【答案】AD 【详解】ABC．对各行星，由万有引力提供向心力有 解得 则火星的运行速率小于地球的运行速率；木星绕太阳运行的周期比地球绕太阳运行的周期大；土星的向心加速度比天王星的向心加速度大，选项A正确，BC错误； D．设地球的运行周期为，角速度为，轨道半径为，则其他行星的轨道半径为，由万有引力定律有 各行星相邻两次冲日需满足 解得 则k值越大，t越小，即上表中的行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短，选项D正确。 故选AD。 【变式演练3】．（多选）北京时间2023年7月20日21时40分，经过约8小时的出舱活动，神舟十六号航天员密切协同，在空间站机械臂支持下，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功。已知地球半径为R，空间站绕地球做圆周运动的轨道半径为kR，地球自转周期为，地球同步卫星轨道半径为nR，则（    ） A．空间站的运行周期为 B．空间站的向心加速度大小为 C．空间站的线速度大小为 D．地球表面处的重力加速度为 【答案】AC 【详解】根据 解得 空间站与同步卫星的运行周期、向心加速度和线速度的关系为 ，， 又 解得 ，， 由 联立，解得 故选AC。 类型2 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较 如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3. 比较项目 近地卫星 (r1、ω1、v1、a1) 同步卫星 (r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体 (r3、ω3、v3、a3) 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r2>r1＝r3 角速度 ω1>ω2＝ω3 线速度 v1>v2>v3 向心加速度 a1>a2>a3 【例1】某国产手机新品上市，持有该手机者即使在没有地面信号的情况下，也可以拨打、接听卫星电话。为用户提供语音、数据等卫屋通信服务的“幕后功臣”正是中国自主研制的“天通一号”卫星系统，该系统由“天通一号”01星、02星、03星三颗地球同步卫星组成。已知地球的自转周期为T，地球的半径为R，该系统中的卫星距离地面的高度为h，电磁波在真空中的传播速度为c，引力常量为G。下列说法正确的是（    ） A．可求出地球的质量为 B．“天通一号”01星的向心加速度小于静止在赤道上的物体的向心加速度 C．“天通一号”01星若受到阻力的影响，运行轨道会逐渐降低，速度会变大 D．该手机向此卫星系统发射信号后，至少需要经过时间才接收到信号 【答案】C 【详解】A．根据万有引力提供向心力可得 解得地球的质量为 故A错误； B．地球同步卫星的角速度等于地球自转角速度，根据 可知“天通一号”01星的向心加速度大于静止在赤道上的物体的向心加速度，故B错误； C．“天通一号”01星若受到阻力的影响，则速度减小，所需向心力减小，将做近心运动，运行轨道会逐渐降低，万有引力做正功，速度逐渐增大，故C正确； D．该手机向此卫星系统发射信号后，手机接收到信号至少要经过的时间为 故D错误。 故选C。 【变式演练1】如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c为地球的同步卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是（　　） A．b卫星转动线速度大于 B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为 C．a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为 D．在b、c中，c的机械能大 【答案】B 【详解】A．第一宇宙速度是最大的运行速度，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，b卫星转动线速度等于，故A错误； B．由题可知a、c具有相同的角速度，根据 由于 所以 对于b、c有 得 由于 可知 综上得 故B正确； C．由题知 对于b、c有 得 由于 可知 综上得 故C错误； D．由于不知道b、c卫星的质量，所以无法判断它们机械能的大小，故D错误。 故选B。 【变式演练2】龙年首发，“长征5号”遥七运载火箭搭载通信技术试验卫星十一号发射成功，卫星进入地球同步轨道后，主要用于开展多频段、高速率卫星通信技术验证。下列说法正确的是（　　） A．同步卫星的加速度大于地球表面的重力加速度 B．同步卫星的运行速度小于7.9km/s C．所有同步卫星都必须在赤道平面内运行 D．卫星在同步轨道运行过程中受到的万有引力不变 【答案】B 【详解】A．根据 解得 同步卫星的轨道半径大于地球半径，则同步卫星的加速度小于地球表面的重力加速度，故A错误； B．地球的第一宇宙速度等于近地卫星的环绕速度，根据 解得 同步卫星的轨道半径大于地球半径，则同步卫星的运行速度小于7.9km/s，故B正确； C．周期、角速度与地球自转周期、角速度相等的卫星叫同步卫星，可知，同步卫星的轨道不一定在赤道平面，在赤道平面的同步卫星叫静止卫星，故C错误； D．卫星在同步轨道运行过程中受到的万有引力大小不变，方向改变，即卫星在同步轨道运行过程中受到的万有引力发生变化，故D错误。 故选B。 【变式演练3】根据地球同步卫星，科学家提出了“太空天梯”的设想。“太空天梯”的主体结构为一根巨大的硬质绝缘杆，一端固定在地球赤道，另一端穿过地球同步卫星，且绝缘杆的延长线通过地心。若三个货物分别固定在“太空天梯”的a、b、c三个位置，三个货物与同步卫星一起以地球自转角速度绕地球做匀速圆周运动，以地心为参考系，下列说法正确的是（    ） A．三个货物速度大小关系为 B．如果三个货物在a、b、c三个位置从杆上同时脱落，三个货物都将做离心运动 C．杆对b处货物的作用力沿Ob方向向上，杆对c处货物的作用力沿cO方向向下 D．若有一个轨道高度与b相同的人造卫星绕地球做匀速圆周运动，则其环绕地球的角速度小于位于b处货物的角速度 【答案】C 【详解】A．根据可得三个货物速度大小关系 故A错误； B．根据题意可知同步卫星所受的万有引力恰好提供同步卫星做圆周运动所需的向心力，即 对于、货物，从杆上脱落后，万有引力大于所需的向心力，则做近心运动，对于货物，从杆上脱落后，万有引力小于所需的向心力，则做离心运动，故B错误； C．结合B选项分析可知杆对b处货物的作用力沿Ob方向向上，杆对c处货物的作用力沿cO方向向下，故C正确； D．根据 可得 可知轨道高度与b相同的人造卫星角速度大于同步卫星的角速度，则其环绕地球的角速度大于位于b处货物的角速度，故D错误。 故选C。 类型3 宇宙速度 1．第一宇宙速度的推导 方法一：由G＝m，得v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s. 方法二：由mg＝m得 v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s. 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π＝2π s≈5 075 s≈85 min. 2．宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动． (2)7.9 km/s<v发<11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆． (3)11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆． (4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间． 【例1】如图所示是三个宇宙速度的示意图，则（　　）    A．嫦娥一号卫星的无动力发射速度需要大于16.7 km/s B．太阳系外飞行器的无动力发射速度只需要大于11.2 km/s C．天宫空间站的飞行速度大于7.9 km/s D．三个宇宙速度对哈雷彗星（绕太阳运动）不适用 【答案】D 【详解】A．嫦娥一号绕月球运行，但仍没有脱离太阳系，无动力发射速度需要小于16.7 km/s，A错误； B．太阳系外飞行器的无动力发射速度需要大于16.7 km/s，B错误； C．天宫空间站绕地球做近似圆周运动，运动速度小于7.9 km/s，C错误； D．三个宇宙速度对应的中心天体均是地球，不适用于哈雷彗星，D正确。 故选D。 【例2】（2024·山东聊城·三模）我国科研人员利用“探测卫星”获取了某一星球的探测数据，对该星球有了一定的认识。“探测卫星”在发射过程中，先绕地球做圆周运动，后变轨运动至该星球轨道，绕星球做圆周运动。“探测卫星”在两次圆周运动中的周期二次方与轨道半径三次方的关系图像如图所示，其中P实线部分表示“探测卫星”绕该星球运动的关系图像，Q实线部分表示“探测卫星”绕地球运动的关系图像，“探测卫星”在该星球近表面和地球近表面运动时均满足，图中c、m、n已知，则（　　） A．该星球和地球的质量之比 B．该星球和地球的第一宇宙速度之比 C．该星球和地球的密度之比为 D．该星球和地球表面的重力加速度大小之比为 【答案】B 【详解】A．根据万有引力提供向心力可得 联立可得 图像的斜率为 该星球和地球的质量之比 故A错误； B．“探测卫星”在该星球近表面和地球近表面运动时均满足，则 则 根据万有引力提供向心力可得 可得 该星球和地球的第一宇宙速度之比 故B正确； C．体积为 密度为 该星球和地球的密度之比为 故C错误； D．根据万有引力与重力的关系 该星球和地球表面的重力加速度大小之比为 故D错误。 故选B。 【变式演练2】2021年5月，我国天问一号着陆器顺利降落在火星乌托邦平原，实现了我国首次火星环绕、着陆、巡视探测三大目标，一次性实现这三大目标在人类历史上也是首次。已知火星与太阳的距离是地球与太阳距离的1.5倍，火星半径是地球半径的，火星质量是地球质量的，火星与地球均视为质量均匀的球体，它们的公转轨道近似为圆轨道，下列说法正确的是（　　） A．天问一号的发射速度小于地球的第二宇宙速度 B．天问一号着陆器在火星上受到的重力约为在地球上受到重力的 C．火星的第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度的 D．火星公转的加速度约为地球公转加速度的 【答案】B 【详解】A．天问一号要脱离地球引力，则发射速度要大于地球的第二宇宙速度，故A错误； B．根据重力等于万有引力，即 可知，则火星陆器在火星上受到的重力约为在地球上受到重力的，故B正确； C．第一宇宙速度 则火星的第一字宙速度约为地球第一宇宙速度的，故C错误； D．根据牛顿第二定律，公转加速度 则火星公转的加速度约为地球公转加速度的，故D错误。 故选B。 题型五 卫星的变轨和对接问题 1．变轨原理 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示． (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ. (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ. 2．变轨过程分析 (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB. (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同． (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3. (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ，从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，都需要点火加速，则E1<E2<E3. 类型1 卫星变轨问题中各物理量的比较 【例1】（2024·北京海淀·二模）地球同步卫星的发射过程可以简化如下：卫星先在近地圆形轨道I上运动，在点A时点火变轨进入椭圆轨道II，到达轨道的远地点B时，再次点火进入同步轨道III绕地球做匀速圆周运动。设卫星质量保持不变，下列说法中正确的是（　　） A．卫星在轨道I上运动经过A点时的加速度小于在轨道II上运动经过A点时的加速度 B．卫星在轨道I上的机械能等于在轨道III上的机械能 C．卫星在轨道I上和轨道III上的运动周期均与地球自转周期相同 D．卫星在轨道II上运动经过B点时的速率小于地球的第一宇宙速度 【答案】D 【详解】A．由，解得 可知卫星在轨道I上运动经过A点时的加速度等于在轨道II上运动经过A点时的加速度，故A错误； B．卫星从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在A点火加速，卫星从轨道Ⅱ进入轨道III需在B点火加速，所以卫星在轨道I上的机械能小于在轨道III上的机械能，故B错误； C．由开普勒第三定律，可知卫星在轨道I上的运动周期小于在轨道III上的运动周期，轨道III上的运动周期与地球自转周期相同，故C错误； D．由，可知 可知卫星在轨道III上运动经过B点时的速率小于地球的第一宇宙速度，卫星在轨道III上运动经过B点时的速率大于卫星在轨道II上运动经过B点时的速率，故卫星在轨道II上运动经过B点时的速率小于地球的第一宇宙速度，故D正确。 故选D。 【变式演练1】2024年4月25日，神舟十八号载人飞船进入比空间站低的预定轨道，历经6.5小时调整姿态后成功与空间站对接，神舟十八号的变轨过程简化为如图所示，圆轨道Ⅰ、Ⅲ分别为预定轨道和空间站轨道，椭圆轨道Ⅱ分别与轨道Ⅰ、Ⅲ相切于P、Q两点，轨道Ⅲ离地面高度约为400km，地球未画出，则（    ） A．神舟十八号在轨道Ⅰ上运行时的向心加速度大于其在地面上静止时的向心加速度 B．神舟十八号在轨道Ⅱ上经过P点时的向心加速度小于经过Q点时的向心加速度 C．神舟十八号在轨道Ⅱ上经过P点时的速度小于在轨道Ⅰ上经过P点时的速度 D．神舟十八号在轨道Ⅱ上的机械能大于在轨道Ⅲ上的机械能 【答案】A 【详解】A．根据 可知神舟十八号在轨道Ⅰ上运行时的向心加速度大于同步卫星的向心加速度；而根据 可知，同步卫星的向心加速度大于地面上的物体的向心加速度，可知神舟十八号在轨道Ⅰ上运行时的向心加速度大于其在地面上静止时的向心加速度，选项A正确； B．根据 可知，神舟十八号在轨道Ⅱ上经过P点时的向心加速度大于经过Q点时的向心加速度，选项B错误； C．神舟十八号从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ要在P点加速，可知在轨道Ⅱ上经过P点时的速度大于在轨道Ⅰ上经过P点时的速度，选项C错误； D．神舟十八号从轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ要在Q点加速，机械能增加，则在轨道Ⅱ上的机械能小于在轨道Ⅲ上的机械能，选项D错误。 故选A。 【变式演练2】中国志愿者王跃参与了人类历史上第一次全过程模拟从地球往返火星的试验“火星—500”。假设将来人类一艘飞船从火星返回地球时，经历如图所示的变轨过程，下列说法正确的是（    ） A．飞船在轨道Ⅰ上运动时，在点的速度大于在轨道Ⅱ上运动时在点的速度 B．飞船在轨道Ⅱ上运动时，在点的速度小于在点的速度 C．若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知万有引力常量为，测出飞船在轨道Ⅰ上运动的周期，就可以推知火星的密度 D．飞船在轨道Ⅰ上运动到点时的加速度小于飞船在轨道Ⅱ上运动到点时的加速度 【答案】C 【详解】A．飞船在轨道Ⅰ上在点加速才能进入轨道Ⅱ，可知飞船在轨道Ⅰ上点的速度小于在轨道Ⅱ上点的速度，选项A错误； B．飞船在轨道Ⅱ上运动时，从P点到Q点引力做负功，则速度减小，则在点的速度大于在点的速度，选项B错误； C．若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知万有引力常量为，测出飞船在轨道Ⅰ上运动的周期T，根据 可得 即可以推知火星的密度，选项C正确； D．根据 可知飞船在轨道Ⅰ上运动到点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到点时的加速度，选项D错误。 故选C。 类型2 卫星的对接问题 (1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接. (2)同一轨道飞船与空间站对接 如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度. 【例1】假设神舟十五号飞船在对接前在1轨道做匀速圆周运动，空间站组合体在2轨道做匀速圆周运动，神舟十五号在B点采用喷气的方法改变速度，从而达到变轨的目的，通过调整，对接稳定后飞船与组合体仍沿2轨道一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　） A．飞船从A点到B点线速度不变 B．飞船从B点到C点机械能守恒 C．飞船在B点应沿速度反方向喷气，对接稳定后在2轨道周期小于在1轨道周期 D．飞船在B点应沿速度反方向喷气，对接稳定后在C点的速度大小小于喷气前在B点的速度大小 【答案】D 【详解】A．由于线速度是矢量，既有大小又有方向，飞船从A点到B点线速度大小不变，方向改变，A错误； B．飞船从B点到C点，做加速运动，速度增大，喷气对飞船做正功，飞船的机械能增大，机械能不守恒，B错误； C．飞船在B点应沿速度反方向喷气，对接稳定后2轨道的半径大于1轨道的半径，由地球的万有引力提供向心力，可得 解得 可知对接稳定后在2轨道周期大于在1轨道周期，C错误； D．飞船在B点应沿速度反方向喷气，对接稳定后2轨道的半径大于1轨道的半径，由地球的万有引力提供向心力，可得 解得 可知对接稳定后在C点的速度大小小于喷气前在B点的速度大小，D正确。 故选D。 【变式演练1】2023年10月26日，我国自主研发的神舟十七号载人飞船圆满完成发射，与天和核心舱成功对接，“太空之家”迎来汤洪波、唐胜杰、江新林3名中国航天史上最年轻的乘组入驻。如图所示为神舟十七号的发射与交会对接过程示意图，图中①为飞船的近地圆轨道，其轨道半径为，②为椭圆变轨轨道，③为天和核心舱所在的圆轨道，其轨道半径为，运行周期为，P、Q分别为轨道②与①、③轨道的交会点。关于神舟十七号载人飞船与天和核心舱交会对接过程，下列说法正确的是（　　） A．神舟十七号飞船先到③轨道，然后再加速，才能与天和核心舱完成对接 B．神舟十七号飞船变轨前通过椭圆轨道远地点Q时的加速度小于变轨后圆轨道经过Q点的加速度 C．地球的平均密度为 D．神舟十七号飞船在②轨道从P点运动到Q点的最短时间为 【答案】D 【详解】A．神舟十七号飞船先到③轨道，然后再加速，则神舟十七号飞船将做离心运动，不可能与天和核心舱完成对接，故A错误； B．根据牛顿第二定律可得 可得 可知神舟十七号飞船变轨前通过椭圆轨道远地点Q时的加速度等于变轨后圆轨道经过Q点的加速度，故B错误； C．根据万有引力提供向心力可得 又 联立可得地球的平均密度为 故C错误； D．设飞船在②轨道的运行周期为，根据开普勒第三定律可得 又 联立解得 则神舟十七号飞船在②轨道从P点运动到Q点的最短时间为 故D正确。 故选D。 【变式演练2】中国空间站已进入应用与发展阶段，神舟十六号载人飞船将于今年造访中国空间站，如图所示为飞船从低轨道由匀速圆周运动变轨至对接空间站的轨道，若飞船变轨前的低轨道和空间站运行轨道均可视为圆轨道，则下列说法正确的是（　　） A．飞船在低轨道的线速度小于空间站的线速度 B．飞船在低轨道的绕地周期大于空间站的绕地周期 C．飞船在低轨道加速时，将做离心运动 D．飞船与空间站对接时，飞船对空间站的作用力大于空间站对飞船的作用力 【答案】C 【详解】A．卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得 可得 可知飞船在低轨道的线速度大于空间站的线速度，故A错误； B．由万有引力提供向心力得 可得 可知飞船在低轨道的绕地周期小于空间站的绕地周期，故B错误； C．飞船在低轨道加速时，有 引力不足以提供向心力，将做离心运动，故C正确； D．飞船与空间站对接时，根据牛顿第三定律，飞船对空间站的作用力与空间站对飞船的作用力大小相等，故D错误。 故选C。 题型六 天体的“追及”问题 天体“相遇”指两天体相距最近，以地球和行星“相遇”为例(“行星冲日”)，某时刻行星与地球最近，此时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同(图甲)，根据＝mω2r可知，地球公转的速度较快，从初始时刻到之后“相遇”，地球与行星距离最小，三者再次共线，有两种方法可以解决问题： 1．角度关系 ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1、2、3…) 2．圈数关系 －＝n(n＝1、2、3…) 解得t＝(n＝1、2、3…) 同理，若两者相距最远(行星处在地球和太阳的延长线上)(图乙)，有关系式：ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1、2、3…)或－＝(n＝1、2、3…) 【例1】．海王星是仅有的利用数学预测发现的行星，是牛顿经典力学的辉煌标志之一、在未发现海王星之前，天文学家发现天王星实际运动的轨道与万有引力理论计算的值总存在一些偏离，且周期性地每隔时间t发生一次最大的偏离。天文学家认为形成这种现象的原因是天王星外侧还存在着一颗未知行星绕太阳运行，其运行轨道与天王星在同一平面内，且与天王星的绕行方向相同，每当未知行星与天王星距离最近时，它对天王星的万有引力引起天王星轨道的最大偏离，该未知行星即为海王星。已知天王星的公转周期为T，则海王星的公转周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设海王星的的公转周期为T海，由题知，每隔时间t海王星与天王星距离最近，则有 解得 故选A。 【例2】（多选）如图所示，探测卫星a在某星球的赤道平面内绕该星球转动，其轨道可视为圆，绕行方向与该星球自转方向相反，卫星通过发射激光与星球赤道上一固定的观测站P通信，已知该星球半径为R、自转周期为T，卫星轨道半径为2R、周期为2T。下列说法正确的是（　　） A．该星球的第一宇宙速度为 B．该星球的“同步”卫星轨道半径为 C．每卫星a经过P正上方一次 D．该星球赤道上的重力加速度大小为 【答案】AC 【详解】A．根据开普勒第三定律 可得近地卫星的周期为 该星球的第一宇宙速度为 故A正确； B．根据开普勒第三定律 解得 故B错误； C．设经过时间星a经过P正上方一次，则有 解得 故C正确； D．在赤道上有 对探测卫星有 联立解得 故D错误。 故选AC。 【变式演练1】2023年9月21日，景海鹏、朱杨柱、桂海潮三位神舟十六航天员在中国空间站梦天实验舱向全国青少年进行了第四次太空科普授课，朱杨柱告诉我们“他在空间站里一天能看到16次日出（周期为1.5h）”。设中国空间站a和北斗系统中某颗中圆卫星b均为赤道上空卫星，中圆卫星b的周期为12h，如图所示，某时刻空间站a和中圆卫星b相距最近，且两者运动方向相同，以下说法正确的是（    ） A．航天员的速度大于第一宇宙速度 B．中国空间站a和中圆卫星b轨道半径之比为 C．中国空间站a与中圆卫星b加速度之比为 D．从此时刻开始每隔中国空间站a和中圆卫星b再次相距最近 【答案】D 【详解】A．根据万有引力提供向心力可得 可得 地球第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大线速度，可知航天员的速度小于第一宇宙速度，故A错误； B．根据开普勒第三定律可得 可得中国空间站a和中圆卫星b轨道半径之比为 故B错误； C．根据牛顿第二定律可得 可得 则中国空间站a与中圆卫星b加速度之比为 故C错误； D．从此时刻开始，设每隔时间中国空间站a和中圆卫星b再次相距最近，则有 解得 故D正确。 故选D。 【变式演练2】有两颗人造地球卫星A和B的轨道在同一平面内，A、B同向转动，轨道半径分别为r和4r，每隔时间t会发生一次“相冲”现象，即地球、卫星A和B三者位于同一条直线上，且A、B位于地球的同侧，已知万有引力常量为G，则地球质量可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】每隔时间t会发生一次“相冲”现象，得 根据万有引力提供向心力 联立解得地球质量为 故选D。 【变式演练3】北斗三号由30颗卫星组成，如图所示，中圆地球轨道卫星A与地球静止轨道卫星B在同一平面绕地球做同方向的匀速圆周运动，此时恰好相距最近。已知地球的质量为M、地球自转周期为T，中圆地球轨道卫星A的轨道半径为，万有引力常量为G，则（    ） A．卫星A的周期大于卫星B的周期 B．卫星A的机械能小于卫星B的机械能 C．卫星A的线速度和加速度均比卫星B的小 D．经过时间，两卫星到下一次相距最近 【答案】D 【详解】A．根据开普勒第三定律可知，卫星A的周期小于卫星B的周期，故A错误； B．卫星的质量未知，无法比较机械能大小，故B错误； C．根据万有引力提供向心力有 解得 ， 所以卫星A的线速度和加速度均比卫星B的大，故C错误； D．根据万有引力提供向心力有 解得 设两卫星下次相距最近的时间为t，则 解得 故D正确。 故选D。 【变式演练4】如图甲所示，A、B是两颗在同一平面内围绕地球做匀速圆周运动的卫星，且绕行方向相同，B卫星是地球的同步卫星。图乙是两颗卫星之间的距离随时间t的变化图像，时刻A、B两颗卫星相距最近。则A卫星运行周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】经过时间，A、B两颗卫星就会相距最近一次，两卫星绕行方向相同，且B卫星是地球的同步卫星，则有 又，解得 故选A。 题型七 星球稳定自转的临界问题 当星球自转越来越快时，星球对赤道上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，其临界条件是＝mR. 【例1】恒星的引力坍缩的结果是形成一颗致密星，如白矮星、中子星、黑洞等，由于在引力坍缩中很有可能伴随着引力波的释放，通过对引力坍缩进行计算机数值模拟以预测其释放的引力波波形是当前引力波天文学界研究的课题之一、中子星（可视为均匀球体），自转周期为T0时恰能维持星体的稳定（不因自转而瓦解），当中子星的自转周期增为T=3T0时，某物体在该中子星“两极”所受重力与在“赤道”所受重力的比值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当中子星的自转周期为T0时恰能维持星体的稳定，则其赤道上质量为的质元所受万有引力恰好提供其自转的向心力，即    ① 当中子星的自转周期增为T=3T0时，质量为m的物体在两极的线速度为零，所受重力等于万有引力，即    ② 设物体在赤道所受的重力为mg′，根据牛顿第二定律有    ③ 联立①②③解得    ④ 故选D。 【变式演练1】一近地卫星的运行周期为T0，地球的自转周期为T，则地球的平均密度与地球不致因自转而瓦解的最小密度之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对近地卫星，有 联立得 考虑地球赤道处一小块质量为m0的物体，只有当它受到的万有引力大于或等于它随地球一起旋转所需的向心力时，地球才不会瓦解，设地球不因自转而瓦解的最小密度为ρ2，则有 联立得 所以 故D正确ABC错误。 故选D。 【变式演练2】组成星球的物质靠万有引力吸引在一起随星球自转。若某质量分布均匀的星球的角速度为ω，为使该星球不瓦解，该星球的密度至少为ρ。下列图象可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】星球恰好不解体时，赤道物体受引力恰好提供向心力，根据牛顿第二定律 质量为 联立解得 即ω2与ρ成正比，故B正确，ACD错误。 【变式演练3】脉冲星是科学家不会放过的“天然太空实验室”，它是快速旋转的中子星，属于大质量恒星死亡后留下的残骸，也是宇宙中密度最高的天体之一。某颗星的自转周期为（实际测量为，距离地球1.6万光年）。假设该星球恰好能维持自转不瓦解，令该星球的密度与自转周期的相关量为为，同时假设地球同步卫星离地面的高度为地球半径的6倍，地球的密度与自转周期的相关量为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得周期越小，物体需要的向心力越大，物体对星球表面的压力越小，当周期小到一定值时，压力为零，此时万有引力充当向心力，即 又 联立解得 地球的同步卫星的轨道是地球的半径的7倍，对地球的同步卫星 又 联立解得 所以 故选D。 题型八 双星或多星模型 1．双星模型 (1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示． (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2. ②两颗星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2. ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L. ④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝. ⑤双星的运动周期T＝2π. ⑥双星的总质量m1＋m2＝. 2．多星模型 (1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同． (2)常见的三星模型 ①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)． ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)． (3)常见的四星模型 ①四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)． ②三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)． 类型1 双星问题 【例1】.（2024·辽宁阜新·模拟预测）在银河系中，有一半的恒星组成双星或多星系统，若某孤立双星系统绕连线上某点做圆周运动，周期为T，组成双星系统的A、B两个恒星间距离为L，A、B两个恒星的质量之比为2：1，如果若干年后双星间距离减小为kL（k小于1），A、B恒星的质量不变，则恒星A做圆周运动的加速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知 距离改变后 解得 对A星而言 联立上述各式可得恒星A的加速度 故选B。 【变式演练1】中国天眼FAST已发现约500颗脉冲星，成为世界上发现脉冲星效率最高的设备，如在球状星团M92第一次探测到“红背蜘蛛”脉冲双星。如图是相距为L的A、B星球构成的双星系统绕O点做匀速圆周运动情景，其运动周期为T。C为B的卫星，绕B做匀速圆周运动的轨道半径为R，周期也为T，忽略A与C之间的引力，且A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。引力常量为G，则（　　） A．A、B的轨道半径之比为 B．C的质量为 C．B的质量为 D．A的质量为 【答案】D 【详解】B．C绕B做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，有 解得 故不能求出C的质量，故B错误； C．双星系统在万有引力作用下绕O点做匀速圆周运动，对A研究 对B研究 解得双星的总质量 故C错误； D．A的质量 故D正确； A．A、B的轨道半径之比为 故A错误。 故选D。 【变式演练2】星系统，若系统中的黑洞中心与恒星中心距离为L，恒星做圆周运动的周期为T，引力常量为G，由此可以求出黑洞与恒星的（　　） A．质量之比、质量之和 B．线速度大小之比、线速度大小之和 C．质量之比、线速度大小之比 D．质量之和、线速度大小之和 【答案】D 【详解】设黑洞与恒星的轨道半径分别为，根据题意可得 由万有引力提供向心力有 解得 则可以求得黑洞与恒星的质量之和； 由 可以求出线速度大小之和； 线速度大小之比 由于黑洞与恒星的质量之比无法知道，因此无法求出线速度大小之比。 故选D。 【变式演练3】天玑星是北斗七星之一，在天玑星周围还有一颗伴星，它们组成双星系统，各自绕二者连线上的某一点O做匀速圆周运动，伴星距O点较远，如图所示。现已知天玑星的质量为M，二者之间连线的距离为L，运动周期均为T，万有引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．伴星的线速度小于天玑星的线速度 B．伴星的质量大于天玑星的质量 C．天玑星的运动半径为 D．天玑星和伴星的总质量为 【答案】D 【详解】A．双星的周期相同，角速度相同，根据，伴星的线速度大于天玑星的线速度，故A错误； B．设伴星的质量为m，运动半径为r，天玑星的运动半径为R，则 得 由 得 伴星的质量较小，故B错误； C．伴星的半径 天玑星的半径 故C错误； D．双星的总质量为 故D正确。 故选D。 【变式演练4】在银河系中，双星系统的数量非常多。研究双星，不但对于了解恒星形成和演化过程的多样性有重要的意义，而且对于了解银河系的形成与和演化，也是一个不可缺少的方面。假设在宇宙中远离其他星体的空间中存在由两个质量分别为、m的天体A、B组成的双星系统，二者中心间的距离为L。a、b两点为两天体所在直线与天体B表面的交点，天体B的半径为。已知引力常量为G，则A、B两天体运动的周期和a、b两点处质量为的物体（视为质点）所受万有引力大小之差为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】设A、B的轨道半径分别为、，由几何关系可得 因为两天体的角速度相同，由圆周运动规律可得 联立可得 ， 设两天体运动的周期为，对天体B由万有引力提供向心力 可得A、B两天体运动的周期为 天体B对在a、b两点相同质量的物体的万有引力大小相等、方向相反，假设a点位于两天体中间，天体A对a、b两点处物体的万有引力（正方向）大小分别为、，a、b两点处质量为的物体所受万有引力大小之差为 故选B。 类型2 三星问题 【例2】宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为的轨道上运行，如图甲所示，周期为；另一种是三颗星位于边长为的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为。则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】第一种形式下，左边星体受到中间星体和右边星体两个万有引力作用，它们的合力充当向心力，则 解得 第二种形式下，三颗星体之间的距离均为，由几何关系知，三颗星体做圆周运动的半径为 任一星体所受的合力充当向心力，即有 解得 则 故B正确。 故选B。 【变式演练】（2024·广西·模拟预测）宇宙空间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L。忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．每颗星体做圆周运动的线速度为 B．每颗星体做圆周运动的加速度与三星的质量无关 C．若距离L和每颗星体的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的4倍 D．若距离L和每颗星体的质量m都变为原来的2倍，则线速度大小不变 【答案】D 【详解】A．任意两颗星体之间的万有引力 每一颗星体受到的合力为 由几何关系知：它们的轨道半径为 合力提供它们的向心力 联立解得 故A错误； B．根据 得 故加速度与它们的质量有关，故B错误； C．根据 解得 若距离和每颗星体的质量都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍，故错误； D．根据 可知，若距离和每颗星体的质量都变为原来的2倍，则线速度不变，故D正确。 故选D。 【变式演练2】近年来，科学家们发现茫茫宇宙中，有双星系统，三星系统。设想有两个相距L1、质量均为m1的星球在相互引力作用下，绕其中心做匀速圆周运动，运动速度大小为v1，角速度为ω1；另有三个分别相距L2、质量均为m2的星球构成等边三角形，三个星球在相互引力作用下，绕其中心做匀速圆周运动，运动速度大小为v2，角速度为ω2，则（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对双星系统，若星球质量相等，则运动的轨道半径相等，角速度相等，相速度相等，如图所示 根据万有引力提供向心力，有 解得角速度为 线速度为 对三星系统，三星的质量相等，轨道半径相等，角速度相等，线速度相等，如图所示 根据几何关系有 解得 根据万有引力提供向心力，有 解得角速度为 所以线速度为 所以角速度之比为 线速度之比为 故选AC。 【变式演练3】如图所示，航天器c位于日地系统中拉格朗日点处，与太阳a、地球b构成稳定的等边三角形，大圆为地球绕太阳中心做匀速圆周运动的轨迹。实际上，a、b、c是一个“三星”系统，由于航天器的质量远小于天体的质量，a、b、c绕着a、b构成的“双星”连线中的O点转动。忽略其他天体的影响，则（　　） A．c的周期大于b的周期 B．c的向心加速度等于b的向心加速度 C．c的向心力指向太阳中心 D．c的线速度大于b的线速度 【答案】D 【详解】在“三星”系统中，由于航天器与太阳a、地球b构成稳定的等边三角形，则三者圆周运动的角速度大小相等。航天器质量远小于天体质量，在太阳地球构成的“双星”系统中，二者之间的万有引力大小相等，因为地球质量小于太阳质量，则地球环绕半径小于太阳环绕半径，O点更靠近太阳，三星系统中，三者的半径分别为、、，根据几何关系可知 A．根据圆周运动规律可知周期 三者角速度大小相等，所以周期也相等，故A错误； B．根据 因为c的环绕半径大于b的环绕半径，所以c的向心加速度大于b的向心加速度，故B错误； C．三星系统中c的向心力指向圆周运动的中心点。故C错误； D．线速度 因为c的环绕半径大于b的环绕半径，所以c的线速度大于b的向心加速度，故D正确。 故选D。 类型4 四星问题 【例4】宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，如图所示，设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为L的正方形的四个顶点上、已知引力常量为G，关于四星系统，下列说法正确的是（　　） A．四颗星的向心加速度的大小均为 B．四颗星运行的线速度大小均为 C．四颗星运行的角速度大小均为 D．四颗星运行的周期均为 【答案】B 【详解】一个星体受其他三个星体的万有引力作用，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，四颗星的轨道半径，根据万有引力提供向心力，有 解得 故B正确，A、C、D错误。 故选B。 【变式演练1】宇宙中存在着这样一种四星系统，这四颗星的质量相等，远离其他恒星，因此可以忽略其他恒星对它们的作用。四颗星稳定地分布在一个正方形的四个顶点上，且均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动。假设每颗星的质量为m，正方形的边长为L，每颗星的半径为R，引力常量为G，则（　　） A．每颗星做圆周运动的半径为 B．每颗星做圆周运动的向心力大小为 C．每颗星表面的重力加速度为 D．每颗星做圆周运动的周期为 【答案】C 【详解】A．由于四颗星球绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，故轨道半径 A错误； B．每颗星球在其他三颗星球的引力作用下做匀速圆周运动，故向心力大小为 B错误； C．每颗星表面的重力加速度为 C正确； D．由 联立可得 D错误。 故选C。 【变式演练2】据报道，中国科学院上海天文台捕捉到一个“四星系统”。两种可能的四星系统构成如图所示，第一种如甲所示，四颗星稳定地分布在正方形上，均绕正方形中心做匀速圆周运动，第二种如乙所示，三颗星位于等边三角形的三个顶点上，第四颗星相对其他三星位于三角形中心，位于顶点的三颗星绕三角形中心运动。若两系统中所有星的质量都相等，，则第一、二种四星系统周期的比值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，由几何关系可知，图甲中对角线上两颗星的距离为 图甲中每颗星受力情况如图所示 由万有引力公式可得 则每颗星所受合力为 由合力提供向心力有 解得 根据题意，由几何关系可知，图乙中，两个三角形顶点上的星间的距离为 图乙中三角形顶点上的星受力情况如图所示 由万有引力公式可得 则三角形顶点上的星所受合力为 由合力提供向心力有 解得 故 故选B。 第 1 页 / 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$