专题07 带电粒子在场中运动的综合问题-【好题汇编】5年（2020-2024）高考1年模拟物理真题分类汇编（浙江专用）

专题07 带电粒子在场中运动的综合问题 1.考情分析 考点要求 考题统计 带电粒子在场中运动的综合问题 2024•浙江•高考真题、2024•浙江•高考真题、2023•浙江•高考真题、2023•浙江•高考真题、2022•浙江•高考真题、2022•浙江•高考真题、2021•浙江•高考真题、2021•浙江•高考真题、2020•浙江•高考真题、2020•浙江•高考真题 2.试题情境：质谱仪、回旋加速器、速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计、霍尔效应及霍尔元件等 3.常见问题模型：带电粒子在复合场中的运动：带电粒子在电场、磁场组合场中运动；带电粒子在电场、磁场和重力场的复合场中的运动。 3.命题方向：本章内容在高考中占据了极为重要的位置，既是热点也是难点，试题涉及内容综合性较强。带电粒子在带电场中的加速和偏转，在有界匀强磁场中的运动，以及带电粒子在组合场中的运动，都是考试关注的焦点。 4.备考策略：带电粒子在复合场中的运动是高考物理中的一个重要考点，有效复习这一部分内容可以从以下几个方面入手： ① 掌握基本概念和规律：首先，需要了解复合场的分类，包括叠加场和组合场的区别。叠加场是指电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存；而组合场则是指电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠或在同一区域，电场、磁场交替出现。 ② 分析受力和运动特点：正确分析带电粒子在复合场中的受力情况，以及由此产生的运动特点。例如，当带电粒子所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动；当带电粒子所受的重力与电场力大小相等、方向相反时，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动；当合外力的大小和方向均变化时，粒子做非匀变速曲线运动。 ③ 绘制运动轨迹：通过绘制粒子的运动轨迹，可以更直观地理解题目的具体要求，从而灵活选择不同的运动规律来解决问题。 ④ 运用物理定律解题：根据带电粒子的运动状态，选择合适的物理定律来解题。例如，做匀速运动时可根据平衡条件列方程求解；做匀速圆周运动时应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解；做非匀速曲线运动时应选用动能定理或动量守恒定律列方程求解。 ⑤ 注意临界问题：在解决带电粒子在复合场中的运动问题时，要注意题目中可能出现的临界条件，如“恰好”、“最大”、“最高”、“至少”等词语，这些往往是解题的关键。 ⑥ 考虑重力的影响：根据具体情况判断是否需要考虑重力对带电粒子的作用。对于微观带电粒子，如电子、质子、α粒子等，除非特殊说明，一般可以忽略重力的影响。 考点01 带电粒子在场中运动的综合问题 1．（2024·浙江·高考真题）（多选）如图所示，一根固定的足够长的光滑绝缘细杆与水平面成角。质量为m、电荷量为+q的带电小球套在细杆上。小球始终处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中。磁场方向垂直细杆所在的竖直面，不计空气阻力。小球以初速度沿细杆向上运动至最高点，则该过程（　　） A．合力冲量大小为mv0cosƟ B．重力冲量大小为 C．洛伦兹力冲量大小为 D．若，弹力冲量为零 2．（2024·浙江·高考真题）类似光学中的反射和折射现象，用磁场或电场调控也能实现质子束的“反射”和“折射”。如图所示，在竖直平面内有三个平行区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ；Ⅰ区宽度为d，存在磁感应强度大小为B、方向垂直平面向外的匀强磁场，Ⅱ区的宽度很小。Ⅰ区和Ⅲ区电势处处相等，分别为和，其电势差。一束质量为m、电荷量为e的质子从O点以入射角射向Ⅰ区，在P点以出射角射出，实现“反射”；质子束从P点以入射角射入Ⅱ区，经Ⅱ区“折射”进入Ⅲ区，其出射方向与法线夹角为“折射”角。已知质子仅在平面内运动，单位时间发射的质子数为N，初速度为，不计质子重力，不考虑质子间相互作用以及质子对磁场和电势分布的影响。 （1）若不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，求d的最小值； （2）若，求“折射率”n（入射角正弦与折射角正弦的比值） （3）计算说明如何调控电场，实现质子束从P点进入Ⅱ区发生“全反射”（即质子束全部返回Ⅰ区） （4）在P点下方距离处水平放置一长为的探测板（Q在P的正下方），长为，质子打在探测板上即被吸收中和。若还有另一相同质子束，与原质子束关于法线左右对称，同时从O点射入Ⅰ区，且，求探测板受到竖直方向力F的大小与U之间的关系。 3．（2023·浙江·高考真题）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 （1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t； （2）若，求能到达处的离子的最小速度v2； （3）若，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比η。    4．（2023·浙江·高考真题）探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示。x轴上方存在垂直平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。x轴下方的分析器由两块相距为d、长度足够的平行金属薄板M和N组成，其中位于x轴的M板中心有一小孔C（孔径忽略不计），N板连接电流表后接地。位于坐标原点O的离子源能发射质量为m、电荷量为q的正离子，其速度方向与y轴夹角最大值为；且各个方向均有速度大小连续分布在和之间的离子射出。已知速度大小为、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直x轴射入孔C。未能射入孔C的其它离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。 （1）求孔C所处位置的坐标； （2）求离子打在N板上区域的长度L； （3）若在N与M板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0时的电压； （4）若将分析器沿着x轴平移，调节加载在N与M板之间的电压，求电流表示数刚为0时的电压与孔C位置坐标x之间关系式。 5．（2022·浙江·高考真题）离子速度分析器截面图如图所示。半径为R的空心转筒P，可绕过O点、垂直xOy平面（纸面）的中心轴逆时针匀速转动（角速度大小可调），其上有一小孔S。整个转筒内部存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面探测板Q，板Q与y轴交于A点。离子源M能沿着x轴射出质量为m、电荷量为 – q（q > 0）、速度大小不同的离子，其中速度大小为v0的离子进入转筒，经磁场偏转后恰好沿y轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上的离子被吸收且失去所带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。 （1）①求磁感应强度B的大小； ②若速度大小为v0的离子能打在板Q的A处，求转筒P角速度ω的大小； （2）较长时间后，转筒P每转一周有N个离子打在板Q的C处，OC与x轴负方向的夹角为θ，求转筒转动一周的时间内，C处受到平均冲力F的大小； （3）若转筒P的角速度小于，且A处探测到离子，求板Q上能探测到离子的其他θ′的值（θ′为探测点位置和O点连线与x轴负方向的夹角）。 6．（2022·浙江·高考真题）如图为研究光电效应的装置示意图，该装置可用于分析光子的信息。在xOy平面（纸面）内，垂直纸面的金属薄板M、N与y轴平行放置，板N中间有一小孔O。有一由x轴、y轴和以O为圆心、圆心角为90°的半径不同的两条圆弧所围的区域Ⅰ，整个区域Ⅰ内存在大小可调、方向垂直纸面向里的匀强电场和磁感应强度大小恒为B1、磁感线与圆弧平行且逆时针方向的磁场。区域Ⅰ右侧还有一左边界与y轴平行且相距为l、下边界与x轴重合的匀强磁场区域Ⅱ，其宽度为a，长度足够长，其中的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小可调。光电子从板M逸出后经极板间电压U加速（板间电场视为匀强电场），调节区域Ⅰ的电场强度和区域Ⅱ的磁感应强度，使电子恰好打在坐标为（a+2l，0）的点上，被置于该处的探测器接收。已知电子质量为m、电荷量为e，板M的逸出功为W0，普朗克常量为h。忽略电子的重力及电子间的作用力。当频率为ν的光照射板M时有光电子逸出， （1）求逸出光电子的最大初动能Ekm，并求光电子从O点射入区域Ⅰ时的速度v0的大小范围； （2）若区域Ⅰ的电场强度大小，区域Ⅱ的磁感应强度大小，求被探测到的电子刚从板M逸出时速度vM的大小及与x轴的夹角； （3）为了使从O点以各种大小和方向的速度射向区域Ⅰ的电子都能被探测到，需要调节区域Ⅰ的电场强度E和区域Ⅱ的磁感应强度B2，求E的最大值和B2的最大值。 7．（2021·浙江·高考真题）如图甲所示，空间站上某种离子推进器由离子源、间距为d的中间有小孔的两平行金属板M、N和边长为L的立方体构成，其后端面P为喷口。以金属板N的中心O为坐标原点，垂直立方体侧面和金属板建立x、y和z坐标轴。M、N板之间存在场强为E、方向沿z轴正方向的匀强电场；立方体内存在磁场，其磁感应强度沿z方向的分量始终为零，沿x和y方向的分量和随时间周期性变化规律如图乙所示，图中可调。氙离子（）束从离子源小孔S射出，沿z方向匀速运动到M板，经电场加速进入磁场区域，最后从端面P射出，测得离子经电场加速后在金属板N中心点O处相对推进器的速度为v0。已知单个离子的质量为m、电荷量为，忽略离子间的相互作用，且射出的离子总质量远小于推进器的质量。 （1）求离子从小孔S射出时相对推进器的速度大小vS； （2）不考虑在磁场突变时运动的离子，调节的值，使得从小孔S射出的离子均能从喷口后端面P射出，求的取值范围； （3）设离子在磁场中的运动时间远小于磁场变化周期T，单位时间从端面P射出的离子数为n，且。求图乙中时刻离子束对推进器作用力沿z轴方向的分力。 8．（2021·浙江·高考真题）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示是离子注入工作原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离子，经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆（硅片）。速度选择器、磁分析器和偏转系统中的匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向均垂直纸面向外；速度选择器和偏转系统中的匀强电场场强大小均为E，方向分别为竖直向上和垂直纸面向外。磁分析器截面是内外半径分别为R1和R2的四分之一圆环，其两端中心位置M和N处各有一个小孔；偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为L的正方体，其偏转系统的底面与晶圆所在水平面平行，间距也为L。当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入到晶圆上的O点（即图中坐标原点，x轴垂直纸面向外）。整个系统置于真空中，不计离子重力，打在晶圆上的离子，经过电场和磁场偏转的角度都很小。当α很小时，有，。求： (1)离子通过速度选择器后的速度大小v和磁分析器选择出来离子的比荷； (2)偏转系统仅加电场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示； (3)偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示； (4)偏转系统同时加上电场和磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示，并说明理由。 9．（2020·浙江·高考真题）某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板平行于水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界水平射入磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为，探测板的宽度为，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。 （1）求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界时与H点的距离s； （2）求探测到三束离子时探测板与边界的最大距离； （3）若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F与板到距离L的关系。 10．（2020·浙江·高考真题）通过测量质子在磁场中的运动轨迹和打到探测板上的计数率（即打到探测板上质子数与衰变产生总质子数N的比值），可研究中子（）的衰变。中子衰变后转化成质子和电子，同时放出质量可视为零的反中微子。如图所示，位于P点的静止中子经衰变可形成一个质子源，该质子源在纸面内各向均匀地发射N个质子。在P点下方放置有长度以O为中点的探测板，P点离探测板的垂直距离为a。在探测板的上方存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。 已知电子质量，中子质量，质子质量（c为光速，不考虑粒子之间的相互作用）。 若质子的动量。 （1）写出中子衰变的核反应式，求电子和反中微子的总动能（以为能量单位）； （2）当，时，求计数率； （3）若取不同的值，可通过调节的大小获得与（2）问中同样的计数率，求与的关系并给出的范围。 考点01 带电粒子在场中的运动 1．（2024·浙江温州·三模）如图甲所示，某种离子分析器由加速区、偏转区和检测区组成，分别分布在第Ⅲ、Ⅱ、I象限内。在加速通道内分布着沿y轴负方向的匀强电场，场强大小 在 范围内调节；在偏转通道内分布着垂直xOy坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小 随E₁的变化而变化；在检测区内，分布着匀强电场或磁场，检测区内适当位置放有长为2L的检测板。在坐标为(-L，-1.5L)的A处有一离子源，可连续释放质量为m、电荷量为 的离子（释放时的速度可视为零），离子沿直线到达坐标为(-L，0)的小孔 C，再经偏转区后从坐标为(0，L)的小孔D 进入检测区，打在检测板上。三个区域的场互不影响，不计离子的重力及其间的相互作用。 （1）要保证所有的离子都能从C孔出来后从D孔进入检测区，试推导磁感应强度大小 随场强E₁变化的关系式； （2）如图乙所示，将检测板左端放在D孔上沿，板面与x轴正方向的夹角检测区内加沿y轴负方向、场强大小 的匀强电场，在满足（1）的条件下， ①求检测板上收集到离子记录线的长度； ②调整θ角使检测板上收集到离子的记录线最长，求此记录线的长度及调整后的角度正弦值； （3）如图丙所示，检测板与y轴平行，并可沿x轴及y轴平移。检测区内加垂直xOy坐标平面向里的磁场，磁感应强度大小 沿x轴均匀变化，即 （k为大于零的常量），在满足（1）的条件下，要使检测板能收集到离子，求检测板x坐标的最大值。 2．（2024·浙江·模拟预测）空腔圆柱的截面圆如图所示，其圆心为O，半径为R，圆面上开有A、B、C、D四个小孔，，，，圆内存在垂直纸面向外的匀强磁场（未知），圆外OB和OC射线范围内存在垂直纸面向内的匀强磁场（未知）。紧靠A孔有两金属板M，N，两板间加上交变电压，其中已知，质量为m，电荷量为q的正电粒子持续由M板静止释放，经电场加速的粒子从A孔沿半径方向进入空腔内部，发现在时刻释放的粒子恰好能从B孔射出磁场，并能经过D孔。已知粒子在电场中加速的时间忽略不计，粒子撞击圆面即被吸收，圆面始终不带电。 （1）求从B孔飞出的粒子的速度及截面圆内磁感应强度的大小； （2）求粒子从A孔运动到D孔的时间及比值； （3）紧靠D孔有两金属板，，两板间加上沿半径方向的交变电压，以板出口处点为原点建立直角坐标系，在y轴右侧区域内存在垂直纸面向内的匀强磁场，当时，从点进入磁场的速度最大的粒子恰好从点离开磁场。若要让从点进入磁场的速度最小的粒子也恰好击中点P，则的取值应为多少？ 3．（2024·浙江金华·三模）某离子诊断装置的简化结构如图所示，以抛物线为边界的匀强电场存在于第二象限中，方向沿y轴负方向，电场强度。在区域内存在着垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的右边界为平行y轴的直线。绝缘板恰好处在y轴和之间，在处平行于x轴放置，厚度不计。线型可控粒子源在垂直x轴设立，长度，可实现上一点或多点沿x轴正方向发射大量带正电的相同粒子，这些粒子质量为m、电荷量恒为q，速度大小为，重力可不计。 （1）控制粒子源，只让P点发射粒子，求解不同条件下的三个问题： ①取绝缘板长为4d，要使粒子进入磁场后不与绝缘板发生碰撞，求磁感应强度B需要满足的条件； ②取磁场磁感应强度，从P点发出的粒子打到绝缘板上经短时碰撞后，反弹的水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反。若有一粒子与绝缘板碰撞5次后从磁场右边界上的H点（图中未标出）离开，H点到绝缘板的垂直距离为，求该粒子从进入磁场到运动到H点的时间； ③撤去绝缘板，取磁场磁感应强度，若P点发出的粒子进入磁场后还受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，观察发现粒子的运动轨迹呈现螺旋状并与y轴相切于K点。求粒子从进入磁场到运动到K点的时间和K点的坐标。 （2）撤去磁场右边界，取磁感应强度，绝缘板仍在处平行于x轴放置，但左右两端位置可以调节。让粒子源上的每一点都沿x轴正方向发射粒子，射出的粒子在y轴方向上分布均匀，要使射出的粒子都能打在绝缘板上，绝缘板的最小长度应为多少？ 4．（2024·浙江·三模）利用电磁场研究带电的微观粒子是物理学家常用的方法。真空中一实验装置如图甲所示（磁场未画出），其截面图如图乙所示，区域I为足够大的水平平行金属板区域，极板间距为d，极板间电压U恒定，同时板间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，区域II内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度（大小未知）。极板和光屏在磁场方向上均足够长。当频率为的入射光照射到竖直放置的金属板表面MN时，金属板表面MN逸出大量速率不同、沿各个方向运动的光电子。区域I由于速度选择器的作用，只有匀速运动的粒子能够离开区域I并进入区域II，最后全部打在水平光屏上，光屏亮光区域在截面图上的长度PQ为。已知逸出的光电子最大速率为，，元电荷为e，光电子质量为m，普朗克常量为h，忽略相对论效应，不计光电子重力和光电子之间相互作用。求： （1）该金属的逸出功W和出区域I的光电子的最小速度v； （2）区域II中磁场的磁感应强度； （3）区域II中，在如图乙截面内粒子到达区域的面积S； （4）区域II中，光电子运动位移的最大值。 5．（2024·浙江·三模）在空间中一足够长圆柱形区域内存在匀强磁场，磁场的方向沿轴线向右，磁感应强度为，在轴线上有一粒子源，可以每秒发射N个质量为m，电荷量为＋q，速度为的粒子。不计重力和粒子间的相互作用力。 （1）如图1所示，使粒子源沿垂直轴线的方向发射粒子，粒子恰好不会飞出磁场区域，求磁场区域的半径R； （2）如图2所示，在磁场区域半径满足（1）的前提下，在右侧磁场范围内垂直轴线放一块足够大收集板A，将大量粒子沿与轴线成向右射出，为保证所有粒子在A上均汇聚于一点，求粒子源到极板A的水平距离； （3）如图3所示，大量粒子沿与轴线成向右均匀射出，粒子源到A的距离满足（2）问，在A的中心挖一小孔，可使粒子通过。将收集板B平行放置于A右侧，并在AB极板间加上电压。粒子打在B板上即被完全吸收，求收集板B所受的作用力F与极板间电压的关系； （4）实验室中，常利用亥姆霍兹线圈产生匀强磁场，当一对亥姆霍兹线圈间的距离增大时，即可生成磁感应强度随空间缓慢变化的磁场，如图4所示，其磁感应强度两端强，中间弱。带电粒子可以在端点处“反射”而被束缚其中，即“磁约束”。粒子的运动满足如下规律：带电粒子在垂直磁场方向的速度分量与此处的磁感应强度B之间满足：，现假设该磁场中的最大磁感应强度和最小磁感应强度之比为，在该磁场的中部最弱区域有一带电粒子源，与轴线成发射粒子束，要使这些粒子能被束缚在该磁场区域，求的最小值。 6．（2024·浙江·一模）医学检查中磁共振成像简化模型如图所示，其中一个重要的部件“四极铁”，能够提供梯度磁场，从而控制电子束在运动过程中汇聚或发散，图甲为该磁场的磁感线分布情况。一束电子从M板上均匀分布的小孔飘入（初速度可以忽略不计），经过平行板MN间电场加速后获得速度v，沿垂直纸面向里的方向进入“四极铁”空腔。电子质量为m，电量为e，不计粒子重力和粒子间相互作用。 （1）求加速电压大小，判断图甲中a、c和b、d两对电子，哪一对电子进入磁场后会彼此靠近； （2）以图甲中磁场中心为坐标原点O建立坐标系，垂直纸面向里为x轴正方向，沿纸面向上为y轴正方向，在xOy平面内的梯度磁场如图乙所示，该磁场区域的宽度为d。在范围内，电子束沿x轴正方向射入磁场，磁感应强度（且已知，以垂直xOy平面向里为磁场正方向）。电子速度大小均为v，穿过磁场过程中，电子的y坐标变化很小，可认为途经区域为匀强磁场。 ①求从处射入磁场的电子，在磁场中运动的半径及速度偏转角的正弦值； ②研究发现，所有电子通过磁场后，将聚焦到x轴上处。由于d很小，可认为电子离开磁场时，速度方向的反向延长线通过点，且速度方向的偏转角很小，，求f的表达式； ③在处再放置一个磁场区域宽度为d的“四极铁”（中心线位于处），使②问中的电子束通过后速度方向变成沿x轴正方向，若该“四极铁”的磁感应强度，求； ④如图丙，仪器实际工作中，加速电压U会在附近小幅波动，导致电子聚焦点发生变化。若要求聚焦点坐标偏差值不超过，求电压波动幅度的最大值。 7．（2024·浙江宁波·二模）如图甲所示，立方体空间的边长为L，侧面CDHG为荧光屏，能完全吸收打在屏上的带电粒子并发光，三维坐标系坐标原点O位于底面EFGH的中心，，。已知从原点O向xOy平面内各个方向均匀持续发射速率为、质量为m、电荷量为的粒子。不计粒子重力及粒子间的相互作用。 （1）若在立方体空间内仅存在方向平行于轴的匀强磁场，沿轴正方向射出的粒子恰好打在荧光屏上的H点。求磁场的磁感应强度B和粒子从原点O运动到荧光屏的最短时间t； （2）若在立方体空间内仅存在z轴负方向的匀强电场和沿y轴正方向的匀强磁场，沿x轴正方向射出的粒子，经某位置恰好与射出时速度相同，求此位置的坐标； （3）若在立方体空间内平行y轴加如图乙所示的磁场，其中。同时平行z轴加如图丙的磁场，其中，粒子在磁场中运动时间远小于磁场变化周期，不计电磁辐射影响。求沿x轴正方向射出的粒子打在荧光屏上落点的痕迹长度。 8．（2024·浙江金华·二模）电子束光刻系统的核心技术是聚焦电子束以获得更高能量。如图所示为某公司研发的多电子束聚焦系统和测试系统。每个电子枪均可以将电子通过加速电压加速后，连续发射速度方向与y轴垂直的电子束。各电子束通过聚焦区后，可以在x轴上位置聚焦成一束更高能量的电子束。其中，聚焦区由两个匀强磁场区域构成，磁感强度大小均为B，方向垂直纸面相反，磁场长度足够长，宽度均为d。已知电子质量为m、电子元电荷量为，不考虑电子间的相互作用，忽略电子的初速度。 （1）若电子枪的加速电压为U，求电子在聚焦区做圆周运动的轨道半径R； （2）求从位置坐标射入的电子在聚焦区运动的总时间t； （3）若电子枪的加速电压为U，射入聚焦区时的坐标为，要使各电子枪射出的电子束均在x轴上位置聚焦，求在范围内的y与U需满足的函数关系并写出U的取值范围； （4）为进一步测试聚焦后的电子束强度，在x轴上位置的右方放置一测试区，在测试区施加一垂直纸面的匀强磁场，电子束被约束在该测试区中不会射出，电子在测试区运动速度大小为v时所受的阻力（k为常数且）。求从位置坐标y射入聚焦区的电子在测试区中运动的路程s与y的关系。 9．（2024·浙江湖州·二模）甲辰龙年，有研究者用如图装置实现“双龙戏珠”。图中M1M2和N1N2、M3M4和N3N4组成两对平行极板，将空间分隔为I、II、III三个区域，三个区域中有垂直于纸面的匀强磁场如图甲，磁感应强度均为。两发射源紧靠极板放置，每秒每个发射源分别射出104个垂直极板初速度大小的正或负电子。正负电子每次经过狭缝均被加速，极板电压UMN随时间变化由如图乙。经多次加速，正负电子恰能在荧光球表面上某点相遇，并被荧光球吸收发出荧光，实现“双龙戏珠”。已知电子比荷，电子质量；以两发射源连线中点O为坐标原点，平行极板向右方向为x轴正方向；荧光球半径，球心位置在x轴上；极板N1N2、M3M4间距。由于极板间距极小，忽略正负电子之间相互作用、过狭缝时间及正负电子穿越极板的动能损失、忽略场的边缘效应和相对论效应，计算时。 （1）正负电子各由哪个发射源射出？求电压UMN的周期T； （2）求t=0时刻发射的正负电子相遇的时刻t0和荧光球球心的位置x1； （3）求正负电子每秒对荧光球的冲量I； （4）以“⌒”为一“龙节”，若同（2）在不改变“龙节”情况下，沿x轴微调荧光球的球心位置，求仍能使荧光球发光的球心位置范围。 10．（2024·浙江·一模）如图所示，水平地面上有一辆小车，上方固定有竖直光滑绝缘细管，管的长度，有一质量、电荷量的绝缘小球A放置在管的底部，小球的直径略小于细管。在管口所在水平面MN的下方存在着垂直纸面向里的匀强磁场。现让小车始终保持速度的向右匀速运动，以带电小球刚经过磁场的竖直边界为计时起点，并以此时刻管口处为坐标原点建立坐标系，轴与磁场边界重合，小球刚离开管口时竖直向上的分速度，求： （1）匀强磁场的磁感应强度大小和绝缘管对小球做的总功； （2）小球经过轴时的坐标； （3）若第一象限存在和第四象限大小和方向都相同的的匀强磁场，同时绝缘管内均匀紧密排满了大量相对绝缘管静止，与小球完全相同的绝缘小球。不考虑小球之间的相互静电力，求能到达纵坐标的小球个数与总小球个数的比值。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 带电粒子在场中运动的综合问题 1.考情分析 考点要求 考题统计 带电粒子在场中运动的综合问题 2024•浙江•高考真题、2024•浙江•高考真题、2023•浙江•高考真题、2023•浙江•高考真题、2022•浙江•高考真题、2022•浙江•高考真题、2021•浙江•高考真题、2021•浙江•高考真题、2020•浙江•高考真题、2020•浙江•高考真题 2.试题情境：质谱仪、回旋加速器、速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计、霍尔效应及霍尔元件等 3.常见问题模型：带电粒子在复合场中的运动：带电粒子在电场、磁场组合场中运动；带电粒子在电场、磁场和重力场的复合场中的运动。 3.命题方向：本章内容在高考中占据了极为重要的位置，既是热点也是难点，试题涉及内容综合性较强。带电粒子在带电场中的加速和偏转，在有界匀强磁场中的运动，以及带电粒子在组合场中的运动，都是考试关注的焦点。 4.备考策略：带电粒子在复合场中的运动是高考物理中的一个重要考点，有效复习这一部分内容可以从以下几个方面入手： ① 掌握基本概念和规律：首先，需要了解复合场的分类，包括叠加场和组合场的区别。叠加场是指电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存；而组合场则是指电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠或在同一区域，电场、磁场交替出现。 ② 分析受力和运动特点：正确分析带电粒子在复合场中的受力情况，以及由此产生的运动特点。例如，当带电粒子所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动；当带电粒子所受的重力与电场力大小相等、方向相反时，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动；当合外力的大小和方向均变化时，粒子做非匀变速曲线运动。 ③ 绘制运动轨迹：通过绘制粒子的运动轨迹，可以更直观地理解题目的具体要求，从而灵活选择不同的运动规律来解决问题。 ④ 运用物理定律解题：根据带电粒子的运动状态，选择合适的物理定律来解题。例如，做匀速运动时可根据平衡条件列方程求解；做匀速圆周运动时应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解；做非匀速曲线运动时应选用动能定理或动量守恒定律列方程求解。 ⑤ 注意临界问题：在解决带电粒子在复合场中的运动问题时，要注意题目中可能出现的临界条件，如“恰好”、“最大”、“最高”、“至少”等词语，这些往往是解题的关键。 ⑥ 考虑重力的影响：根据具体情况判断是否需要考虑重力对带电粒子的作用。对于微观带电粒子，如电子、质子、α粒子等，除非特殊说明，一般可以忽略重力的影响。 考点01 带电粒子在场中运动的综合问题 1．（2024·浙江·高考真题）（多选）如图所示，一根固定的足够长的光滑绝缘细杆与水平面成角。质量为m、电荷量为+q的带电小球套在细杆上。小球始终处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中。磁场方向垂直细杆所在的竖直面，不计空气阻力。小球以初速度沿细杆向上运动至最高点，则该过程（　　） A．合力冲量大小为mv0cosƟ B．重力冲量大小为 C．洛伦兹力冲量大小为 D．若，弹力冲量为零 【考点】求恒力的冲量  洛伦兹力的公式及简单计算 【答案】CD 【详解】A．根据动量定理 故合力冲量大小为，故A错误； B．小球上滑的时间为 重力的冲量大小为 故B错误； C．小球所受洛伦兹力为， 随时间线性变化，故洛伦兹力冲量大小为 故C正确； D．若，0时刻小球所受洛伦兹力为 小球在垂直细杆方向所受合力为零，可得 即 则小球在整个减速过程的图像如图 图线与横轴围成的面积表示冲量可得弹力的冲量为零，故D正确。 故选CD。 2．（2024·浙江·高考真题）类似光学中的反射和折射现象，用磁场或电场调控也能实现质子束的“反射”和“折射”。如图所示，在竖直平面内有三个平行区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ；Ⅰ区宽度为d，存在磁感应强度大小为B、方向垂直平面向外的匀强磁场，Ⅱ区的宽度很小。Ⅰ区和Ⅲ区电势处处相等，分别为和，其电势差。一束质量为m、电荷量为e的质子从O点以入射角射向Ⅰ区，在P点以出射角射出，实现“反射”；质子束从P点以入射角射入Ⅱ区，经Ⅱ区“折射”进入Ⅲ区，其出射方向与法线夹角为“折射”角。已知质子仅在平面内运动，单位时间发射的质子数为N，初速度为，不计质子重力，不考虑质子间相互作用以及质子对磁场和电势分布的影响。 （1）若不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，求d的最小值； （2）若，求“折射率”n（入射角正弦与折射角正弦的比值） （3）计算说明如何调控电场，实现质子束从P点进入Ⅱ区发生“全反射”（即质子束全部返回Ⅰ区） （4）在P点下方距离处水平放置一长为的探测板（Q在P的正下方），长为，质子打在探测板上即被吸收中和。若还有另一相同质子束，与原质子束关于法线左右对称，同时从O点射入Ⅰ区，且，求探测板受到竖直方向力F的大小与U之间的关系。 【考点】粒子由磁场进入电场 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）见解析 【详解】（1）根据牛顿第二定律 不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，d的最小值为 （2）设水平方向为方向，竖直方向为方向，方向速度不变，方向速度变小，假设折射角为，根据动能定理 解得 根据速度关系 解得 （3）全反射的临界情况：到达Ⅲ区的时候方向速度为零，即 可得 即应满足 （4）临界情况有两个：1、全部都能打到，2、全部都打不到的情况，根据几何关系可得 所以如果的情况下，折射角小于入射角，两边射入的粒子都能打到板上，分情况讨论如下： ①当时 又 解得 全部都打不到板的情况 ②根据几何知识可知当从Ⅱ区射出时速度与竖直方向夹角为时，粒子刚好打到D点，水平方向速度为 所以 又 解得 即当时 ③部分能打到的情况，根据上述分析可知条件为（），此时仅有O点右侧的一束粒子能打到板上，因此 又 解得 3．（2023·浙江·高考真题）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 （1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t； （2）若，求能到达处的离子的最小速度v2； （3）若，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比η。    【考点】动量定理的内容和表达式  带电粒子在直边界磁场中运动 【答案】（1）；（2）（3）60% 【详解】（1）当离子不进入磁场Ⅱ速度最大时，轨迹与边界相切，则由几何关系 解得r1=2L 根据 解得 在磁场中运动的周期 运动时间    （2）若B2=2B1，根据 可知 粒子在磁场中运动轨迹如图，设O1O2与磁场边界夹角为α，由几何关系 解得r2=2L 根据 解得 （3）当最终进入区域Ⅱ的粒子若刚好到达x轴，则由动量定理 即 求和可得 粒子从区域Ⅰ到区域Ⅱ最终到x轴上的过程中 解得 则速度在~之间的粒子才能进入第四象限；因离子源射出粒子的速度范围在~，又粒子源射出的粒子个数按速度大小均匀分布，可知能进入第四象限的粒子占粒子总数的比例为 η=60% 4．（2023·浙江·高考真题）探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示。x轴上方存在垂直平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。x轴下方的分析器由两块相距为d、长度足够的平行金属薄板M和N组成，其中位于x轴的M板中心有一小孔C（孔径忽略不计），N板连接电流表后接地。位于坐标原点O的离子源能发射质量为m、电荷量为q的正离子，其速度方向与y轴夹角最大值为；且各个方向均有速度大小连续分布在和之间的离子射出。已知速度大小为、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直x轴射入孔C。未能射入孔C的其它离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。 （1）求孔C所处位置的坐标； （2）求离子打在N板上区域的长度L； （3）若在N与M板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0时的电压； （4）若将分析器沿着x轴平移，调节加载在N与M板之间的电压，求电流表示数刚为0时的电压与孔C位置坐标x之间关系式。 【考点】带电粒子在直边界磁场中运动  粒子由磁场进入电场 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）当时， 【详解】（1）速度大小为、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后轨迹如图 由洛伦兹力提供向心力 解得半径 孔C所处位置的坐标， （2）速度大小为的离子进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力 解得半径 若要能在C点入射，则由几何关系可得 解得 如图 由几何关系可得 （3）不管从何角度发射 由（2）可得 根据动力学公式可得， 联立解得 （4）孔C位置坐标x， 其中 联立可得， 解得 在此范围内，和（3）相同，只与相关，可得 解得 根据动力学公式可得， 解得 5．（2022·浙江·高考真题）离子速度分析器截面图如图所示。半径为R的空心转筒P，可绕过O点、垂直xOy平面（纸面）的中心轴逆时针匀速转动（角速度大小可调），其上有一小孔S。整个转筒内部存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面探测板Q，板Q与y轴交于A点。离子源M能沿着x轴射出质量为m、电荷量为 – q（q > 0）、速度大小不同的离子，其中速度大小为v0的离子进入转筒，经磁场偏转后恰好沿y轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上的离子被吸收且失去所带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。 （1）①求磁感应强度B的大小； ②若速度大小为v0的离子能打在板Q的A处，求转筒P角速度ω的大小； （2）较长时间后，转筒P每转一周有N个离子打在板Q的C处，OC与x轴负方向的夹角为θ，求转筒转动一周的时间内，C处受到平均冲力F的大小； （3）若转筒P的角速度小于，且A处探测到离子，求板Q上能探测到离子的其他θ′的值（θ′为探测点位置和O点连线与x轴负方向的夹角）。 【考点】带电粒子在弧形边界磁场中运动  利用动量定理求解其他问题 【答案】（1）①，②，k = 0，1，2，3…；（2），n = 0，1，2，…；（3），， 【详解】（1）①离子在磁场中做圆周运动有 则 ②离子在磁场中的运动时间 转筒的转动角度 ，k = 0，1，2，3… （2）设速度大小为v的离子在磁场中圆周运动半径为，有 离子在磁场中的运动时间 转筒的转动角度ω′t′ = 2nπ + θ 转筒的转动角速度，n = 0，1，2，… 动量定理 ，n = 0，1，2，… （3）转筒的转动角速度 其中k = 1，，n = 0，2或者 可得，， 6．（2022·浙江·高考真题）如图为研究光电效应的装置示意图，该装置可用于分析光子的信息。在xOy平面（纸面）内，垂直纸面的金属薄板M、N与y轴平行放置，板N中间有一小孔O。有一由x轴、y轴和以O为圆心、圆心角为90°的半径不同的两条圆弧所围的区域Ⅰ，整个区域Ⅰ内存在大小可调、方向垂直纸面向里的匀强电场和磁感应强度大小恒为B1、磁感线与圆弧平行且逆时针方向的磁场。区域Ⅰ右侧还有一左边界与y轴平行且相距为l、下边界与x轴重合的匀强磁场区域Ⅱ，其宽度为a，长度足够长，其中的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小可调。光电子从板M逸出后经极板间电压U加速（板间电场视为匀强电场），调节区域Ⅰ的电场强度和区域Ⅱ的磁感应强度，使电子恰好打在坐标为（a+2l，0）的点上，被置于该处的探测器接收。已知电子质量为m、电荷量为e，板M的逸出功为W0，普朗克常量为h。忽略电子的重力及电子间的作用力。当频率为ν的光照射板M时有光电子逸出， （1）求逸出光电子的最大初动能Ekm，并求光电子从O点射入区域Ⅰ时的速度v0的大小范围； （2）若区域Ⅰ的电场强度大小，区域Ⅱ的磁感应强度大小，求被探测到的电子刚从板M逸出时速度vM的大小及与x轴的夹角； （3）为了使从O点以各种大小和方向的速度射向区域Ⅰ的电子都能被探测到，需要调节区域Ⅰ的电场强度E和区域Ⅱ的磁感应强度B2，求E的最大值和B2的最大值。 【考点】速度选择器  粒子由电场进入磁场  爱因斯坦光电效应方程 【答案】（1）；；（2）；；（3）； 【详解】（1）光电效应方程，逸出光电子的最大初动能 （2）速度选择器 如图所示，几何关系 （3）由上述表达式可得 由 而v0sinθ等于光电子在板逸出时沿y轴的分速度，则有 即 联立可得B2的最大值 7．（2021·浙江·高考真题）如图甲所示，空间站上某种离子推进器由离子源、间距为d的中间有小孔的两平行金属板M、N和边长为L的立方体构成，其后端面P为喷口。以金属板N的中心O为坐标原点，垂直立方体侧面和金属板建立x、y和z坐标轴。M、N板之间存在场强为E、方向沿z轴正方向的匀强电场；立方体内存在磁场，其磁感应强度沿z方向的分量始终为零，沿x和y方向的分量和随时间周期性变化规律如图乙所示，图中可调。氙离子（）束从离子源小孔S射出，沿z方向匀速运动到M板，经电场加速进入磁场区域，最后从端面P射出，测得离子经电场加速后在金属板N中心点O处相对推进器的速度为v0。已知单个离子的质量为m、电荷量为，忽略离子间的相互作用，且射出的离子总质量远小于推进器的质量。 （1）求离子从小孔S射出时相对推进器的速度大小vS； （2）不考虑在磁场突变时运动的离子，调节的值，使得从小孔S射出的离子均能从喷口后端面P射出，求的取值范围； （3）设离子在磁场中的运动时间远小于磁场变化周期T，单位时间从端面P射出的离子数为n，且。求图乙中时刻离子束对推进器作用力沿z轴方向的分力。 【考点】动量定理的内容和表达式  粒子由电场进入磁场 【答案】（1）；（2）；（3），方向沿z轴负方向 【详解】（1）离子从小孔S射出运动到金属板N中心点O处，根据动能定理有 解得离子从小孔S射出时相对推进器的速度大小 （2）当磁场仅有沿x方向的分量取最大值时，离子从喷口P的下边缘中点射出，根据几何关系有 根据洛伦兹力提供向心力有 联立解得 当磁场在x和y方向的分量同取最大值时，离子从喷口P边缘交点射出，根据几何关系有 此时；根据洛伦兹力提供向心力有 联立解得 故的取值范围为； （3）粒子在立方体中运动轨迹剖面图如图所示 由题意根据洛伦兹力提供向心力有 且满足 所以可得 所以可得 离子从端面P射出时，在沿z轴方向根据动量定理有 根据牛顿第三定律可得离子束对推进器作用力大小为 方向沿z轴负方向。 8．（2021·浙江·高考真题）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示是离子注入工作原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离子，经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆（硅片）。速度选择器、磁分析器和偏转系统中的匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向均垂直纸面向外；速度选择器和偏转系统中的匀强电场场强大小均为E，方向分别为竖直向上和垂直纸面向外。磁分析器截面是内外半径分别为R1和R2的四分之一圆环，其两端中心位置M和N处各有一个小孔；偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为L的正方体，其偏转系统的底面与晶圆所在水平面平行，间距也为L。当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入到晶圆上的O点（即图中坐标原点，x轴垂直纸面向外）。整个系统置于真空中，不计离子重力，打在晶圆上的离子，经过电场和磁场偏转的角度都很小。当α很小时，有，。求： (1)离子通过速度选择器后的速度大小v和磁分析器选择出来离子的比荷； (2)偏转系统仅加电场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示； (3)偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示； (4)偏转系统同时加上电场和磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示，并说明理由。 【考点】带电粒子在弧形边界磁场中运动  基于速度选择器的质谱仪 【答案】(1)，；(2)（，0）；(3)（0，）；(4)见解析 【详解】(1)通过速度选择器离子的速度 从磁分析器中心孔N射出离子的运动半径为 由得 (2)经过电场后，离子在x方向偏转的距离 离开电场后，离子在x方向偏移的距离 位置坐标为(，0) (3)离子进入磁场后做圆周运动半径 经过磁场后，离子在y方向偏转距离 离开磁场后，离子在y方向偏移距离 则 位置坐标为(0，) (4)注入晶圆的位置坐标为(，),电场引起的速度增量对y方向的运动不产生影响。 9．（2020·浙江·高考真题）某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板平行于水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界水平射入磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为，探测板的宽度为，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。 （1）求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界时与H点的距离s； （2）求探测到三束离子时探测板与边界的最大距离； （3）若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F与板到距离L的关系。 【考点】动量定理的内容和表达式  带电粒子在直边界磁场中运动 【答案】（1），0.8R；（2）；（3）当时：；当时：；当时： 【详解】（1）离子在磁场中做圆周运动 得粒子的速度大小 令c束中的离子运动轨迹对应的圆心为O，从磁场边界边的Q点射出，则由几何关系可得， （2）a束中的离子运动轨迹对应的圆心为O’，从磁场边界边射出时距离H点的距离为x，由几何关系可得 即a、c束中的离子从同一点Q射出，离开磁场的速度分别于竖直方向的夹角为、，由几何关系可得 探测到三束离子，则c束中的离子恰好达到探测板的D点时，探测板与边界的距离最大 则 （3）a或c束中每个离子动量的竖直分量 当时所有离子都打在探测板上，故单位时间内离子束对探测板的平均作用力为 当时，只有a和b束中离子打在探测板上，则单位时间内离子束对探测板的平均作用力为 当时，只有b束中离子打在探测板上，则单位时间内离子束对探测板的平均作用力为 10．（2020·浙江·高考真题）通过测量质子在磁场中的运动轨迹和打到探测板上的计数率（即打到探测板上质子数与衰变产生总质子数N的比值），可研究中子（）的衰变。中子衰变后转化成质子和电子，同时放出质量可视为零的反中微子。如图所示，位于P点的静止中子经衰变可形成一个质子源，该质子源在纸面内各向均匀地发射N个质子。在P点下方放置有长度以O为中点的探测板，P点离探测板的垂直距离为a。在探测板的上方存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。 已知电子质量，中子质量，质子质量（c为光速，不考虑粒子之间的相互作用）。 若质子的动量。 （1）写出中子衰变的核反应式，求电子和反中微子的总动能（以为能量单位）； （2）当，时，求计数率； （3）若取不同的值，可通过调节的大小获得与（2）问中同样的计数率，求与的关系并给出的范围。 【考点】带电粒子在直边界磁场中运动  临界状态的不唯一形成多解  根据条件写出核反应方程 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）核反应方程满足质量数和质子数守恒： 核反应过程中： 根据动量和动能关系： 则总动能为： （2）质子运动半径： 如图甲所示： 打到探测板对应发射角度： 可得质子计数率为： （3）在确保计数率为的情况下： 即： 如图乙所示： 恰能打到探测板左端的条件为： 即： 考点01 带电粒子在场中的运动 1．（2024·浙江温州·三模）如图甲所示，某种离子分析器由加速区、偏转区和检测区组成，分别分布在第Ⅲ、Ⅱ、I象限内。在加速通道内分布着沿y轴负方向的匀强电场，场强大小 在 范围内调节；在偏转通道内分布着垂直xOy坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小 随E₁的变化而变化；在检测区内，分布着匀强电场或磁场，检测区内适当位置放有长为2L的检测板。在坐标为(-L，-1.5L)的A处有一离子源，可连续释放质量为m、电荷量为 的离子（释放时的速度可视为零），离子沿直线到达坐标为(-L，0)的小孔 C，再经偏转区后从坐标为(0，L)的小孔D 进入检测区，打在检测板上。三个区域的场互不影响，不计离子的重力及其间的相互作用。 （1）要保证所有的离子都能从C孔出来后从D孔进入检测区，试推导磁感应强度大小 随场强E₁变化的关系式； （2）如图乙所示，将检测板左端放在D孔上沿，板面与x轴正方向的夹角检测区内加沿y轴负方向、场强大小 的匀强电场，在满足（1）的条件下， ①求检测板上收集到离子记录线的长度； ②调整θ角使检测板上收集到离子的记录线最长，求此记录线的长度及调整后的角度正弦值； （3）如图丙所示，检测板与y轴平行，并可沿x轴及y轴平移。检测区内加垂直xOy坐标平面向里的磁场，磁感应强度大小 沿x轴均匀变化，即 （k为大于零的常量），在满足（1）的条件下，要使检测板能收集到离子，求检测板x坐标的最大值。 【考点】带电粒子在匀强电场中做类抛体运动的相关计算  粒子由电场进入磁场  带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 【答案】（1）；（2）①0.3L；②L；0.8；（3） 【详解】（1）粒子从A到C由动能定理 粒子在偏转区做圆周运动，则 解得 （2）①粒子进入检测区后做类平抛运动，则 带入有 则 ②由平抛运动可知 解得 当时d=2L，即 则sinθ=0.8 当时 所以 （3）由动能定理和动量定理可知 解得 或者 2．（2024·浙江·模拟预测）空腔圆柱的截面圆如图所示，其圆心为O，半径为R，圆面上开有A、B、C、D四个小孔，，，，圆内存在垂直纸面向外的匀强磁场（未知），圆外OB和OC射线范围内存在垂直纸面向内的匀强磁场（未知）。紧靠A孔有两金属板M，N，两板间加上交变电压，其中已知，质量为m，电荷量为q的正电粒子持续由M板静止释放，经电场加速的粒子从A孔沿半径方向进入空腔内部，发现在时刻释放的粒子恰好能从B孔射出磁场，并能经过D孔。已知粒子在电场中加速的时间忽略不计，粒子撞击圆面即被吸收，圆面始终不带电。 （1）求从B孔飞出的粒子的速度及截面圆内磁感应强度的大小； （2）求粒子从A孔运动到D孔的时间及比值； （3）紧靠D孔有两金属板，，两板间加上沿半径方向的交变电压，以板出口处点为原点建立直角坐标系，在y轴右侧区域内存在垂直纸面向内的匀强磁场，当时，从点进入磁场的速度最大的粒子恰好从点离开磁场。若要让从点进入磁场的速度最小的粒子也恰好击中点P，则的取值应为多少？ 【考点】带电粒子在周期性变化电场中的直线运动  粒子由电场进入磁场 【答案】（1），；（2），；（3） 【详解】（1）时刻的电压为 电场中加速 得 由几何关系得：从A到B的过程中的轨迹半径为R，由 联立解得 （2）由（1）得，速度为的粒子才能经过B孔，进而经过C孔和D孔由几何关系得：从B孔到C孔的轨迹的圆心角为，半径为 从C孔到D孔的轨迹的圆心角为，半径为R，则 代入得 由 代入得 （3）在时刻和时刻进入A孔的粒子能经过B孔，则粒子经过D孔时的时刻为和时刻，设时刻经过板后的速度为，则 设时刻经过板后的速度为，则 得 由题意得最大圆半径 则最小圆半径圆轨迹方程为 设粒子自点离开轨迹圆沿切线飞出，由几何关系的 同时满足 联立得 3．（2024·浙江金华·三模）某离子诊断装置的简化结构如图所示，以抛物线为边界的匀强电场存在于第二象限中，方向沿y轴负方向，电场强度。在区域内存在着垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的右边界为平行y轴的直线。绝缘板恰好处在y轴和之间，在处平行于x轴放置，厚度不计。线型可控粒子源在垂直x轴设立，长度，可实现上一点或多点沿x轴正方向发射大量带正电的相同粒子，这些粒子质量为m、电荷量恒为q，速度大小为，重力可不计。 （1）控制粒子源，只让P点发射粒子，求解不同条件下的三个问题： ①取绝缘板长为4d，要使粒子进入磁场后不与绝缘板发生碰撞，求磁感应强度B需要满足的条件； ②取磁场磁感应强度，从P点发出的粒子打到绝缘板上经短时碰撞后，反弹的水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反。若有一粒子与绝缘板碰撞5次后从磁场右边界上的H点（图中未标出）离开，H点到绝缘板的垂直距离为，求该粒子从进入磁场到运动到H点的时间； ③撤去绝缘板，取磁场磁感应强度，若P点发出的粒子进入磁场后还受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，观察发现粒子的运动轨迹呈现螺旋状并与y轴相切于K点。求粒子从进入磁场到运动到K点的时间和K点的坐标。 （2）撤去磁场右边界，取磁感应强度，绝缘板仍在处平行于x轴放置，但左右两端位置可以调节。让粒子源上的每一点都沿x轴正方向发射粒子，射出的粒子在y轴方向上分布均匀，要使射出的粒子都能打在绝缘板上，绝缘板的最小长度应为多少？ 【考点】带电粒子在直边界磁场中运动  粒子由电场进入磁场  带电粒子在叠加场中做旋进运动 【答案】（1）①或，②或，③，（0，）；（2） 【详解】（1）由题知，绝缘板恰好处在y轴和之间，在处平行于x轴放置，要使粒子进入磁场后不与绝缘板发生碰撞，由洛伦兹力提供做圆周运动向心力知最小半径为，则 代入得 由几何关系知，最大半径为 代入得 则此时磁感应强度为 代入得 所以或 （2）由知 由几何关系知 解得 则运动时间为或 （3）由题知，粒子的运动轨迹呈现螺旋状并与y轴相切于K点。则运动时间为 由动量定理知， 轴方向有 轴方向有 解得 可得K点坐标为（0，） （4）由题意可知，粒子源射出的粒子全部汇聚在坐标原点后射入磁场。 当时， 当时，， 如图分析可得 4．（2024·浙江·三模）利用电磁场研究带电的微观粒子是物理学家常用的方法。真空中一实验装置如图甲所示（磁场未画出），其截面图如图乙所示，区域I为足够大的水平平行金属板区域，极板间距为d，极板间电压U恒定，同时板间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，区域II内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度（大小未知）。极板和光屏在磁场方向上均足够长。当频率为的入射光照射到竖直放置的金属板表面MN时，金属板表面MN逸出大量速率不同、沿各个方向运动的光电子。区域I由于速度选择器的作用，只有匀速运动的粒子能够离开区域I并进入区域II，最后全部打在水平光屏上，光屏亮光区域在截面图上的长度PQ为。已知逸出的光电子最大速率为，，元电荷为e，光电子质量为m，普朗克常量为h，忽略相对论效应，不计光电子重力和光电子之间相互作用。求： （1）该金属的逸出功W和出区域I的光电子的最小速度v； （2）区域II中磁场的磁感应强度； （3）区域II中，在如图乙截面内粒子到达区域的面积S； （4）区域II中，光电子运动位移的最大值。 【考点】带电粒子在叠加场中做直线运动  爱因斯坦光电效应方程 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）由爱因斯坦光电效应方程可得 解得逸出功 从平行板区域射出的粒子满足洛伦兹力与电场力平衡 解得 （2）光电子在区域II中截面内的运动轨迹如图所示 光电子运动的半径为r，由几何关系可知 根据洛伦兹力提供向心力 解得 （3）根据题意分析可知，截面内磁场的最小面积为一个四分之一圆形区域和矩形区域，粒子在磁场中扫过的面积为 代入数据可得 （4）光电子在截面内的最大位移为 最大时，x1最大，光电子在磁场中运动时间最长，沿磁场向的位移最大，总位移最大，由几何关系可得 则最大值为，故 光电子在磁场中运动的周期为 光电子在磁场中运动的最长时间为 光电子在沿磁场方向的最大速度 光电子沿磁场方向的最大位移为 光电子运动位移最大时，在垂直磁场方向的偏转角度为 可得 5．（2024·浙江·三模）在空间中一足够长圆柱形区域内存在匀强磁场，磁场的方向沿轴线向右，磁感应强度为，在轴线上有一粒子源，可以每秒发射N个质量为m，电荷量为＋q，速度为的粒子。不计重力和粒子间的相互作用力。 （1）如图1所示，使粒子源沿垂直轴线的方向发射粒子，粒子恰好不会飞出磁场区域，求磁场区域的半径R； （2）如图2所示，在磁场区域半径满足（1）的前提下，在右侧磁场范围内垂直轴线放一块足够大收集板A，将大量粒子沿与轴线成向右射出，为保证所有粒子在A上均汇聚于一点，求粒子源到极板A的水平距离； （3）如图3所示，大量粒子沿与轴线成向右均匀射出，粒子源到A的距离满足（2）问，在A的中心挖一小孔，可使粒子通过。将收集板B平行放置于A右侧，并在AB极板间加上电压。粒子打在B板上即被完全吸收，求收集板B所受的作用力F与极板间电压的关系； （4）实验室中，常利用亥姆霍兹线圈产生匀强磁场，当一对亥姆霍兹线圈间的距离增大时，即可生成磁感应强度随空间缓慢变化的磁场，如图4所示，其磁感应强度两端强，中间弱。带电粒子可以在端点处“反射”而被束缚其中，即“磁约束”。粒子的运动满足如下规律：带电粒子在垂直磁场方向的速度分量与此处的磁感应强度B之间满足：，现假设该磁场中的最大磁感应强度和最小磁感应强度之比为，在该磁场的中部最弱区域有一带电粒子源，与轴线成发射粒子束，要使这些粒子能被束缚在该磁场区域，求的最小值。 【考点】带电粒子在直边界磁场中运动  粒子由电场进入磁场 【答案】（1）；（2），；（3）；（4） 【详解】（1）由于 可得 （2）粒子沿轴线做匀速直线运动，在垂直轴线方向上做圆周运动沿不同方向出射的粒子要汇聚于一点，只能汇聚在轴线上，恰好完成整数次圆周运动 ， （3）在极板间，沿轴线做匀减速直线运动，垂直轴线方向上做圆周运动 在垂直轴线方向上，速度分量大小不变 在沿轴线方向上 在垂直B板方向上 在平行B板方向上，因为粒子沿各个方向均匀射出，对B板的作用力合力为零，所以 （4）要束缚粒子，磁场最强处应该为粒子的位移极值点，也就是速度的水平分量为0的点，满足 对磁场最强和最弱点应用公式 可得 6．（2024·浙江·一模）医学检查中磁共振成像简化模型如图所示，其中一个重要的部件“四极铁”，能够提供梯度磁场，从而控制电子束在运动过程中汇聚或发散，图甲为该磁场的磁感线分布情况。一束电子从M板上均匀分布的小孔飘入（初速度可以忽略不计），经过平行板MN间电场加速后获得速度v，沿垂直纸面向里的方向进入“四极铁”空腔。电子质量为m，电量为e，不计粒子重力和粒子间相互作用。 （1）求加速电压大小，判断图甲中a、c和b、d两对电子，哪一对电子进入磁场后会彼此靠近； （2）以图甲中磁场中心为坐标原点O建立坐标系，垂直纸面向里为x轴正方向，沿纸面向上为y轴正方向，在xOy平面内的梯度磁场如图乙所示，该磁场区域的宽度为d。在范围内，电子束沿x轴正方向射入磁场，磁感应强度（且已知，以垂直xOy平面向里为磁场正方向）。电子速度大小均为v，穿过磁场过程中，电子的y坐标变化很小，可认为途经区域为匀强磁场。 ①求从处射入磁场的电子，在磁场中运动的半径及速度偏转角的正弦值； ②研究发现，所有电子通过磁场后，将聚焦到x轴上处。由于d很小，可认为电子离开磁场时，速度方向的反向延长线通过点，且速度方向的偏转角很小，，求f的表达式； ③在处再放置一个磁场区域宽度为d的“四极铁”（中心线位于处），使②问中的电子束通过后速度方向变成沿x轴正方向，若该“四极铁”的磁感应强度，求； ④如图丙，仪器实际工作中，加速电压U会在附近小幅波动，导致电子聚焦点发生变化。若要求聚焦点坐标偏差值不超过，求电压波动幅度的最大值。 【考点】带电粒子在直边界磁场中运动  粒子由电场进入磁场 【答案】（1），会彼此靠近；（2）①，；②；③；④ 【详解】（1）在电场中，根据动能定理 解得 由左手定则可知，a、c电子进入磁场后会彼此靠近。 （2）①设处感应强度的大小为，则有 根据洛伦兹力提供向心力 解得电子的转动的半径 速度方向的偏转角度 ②从y处进入磁场中的电子，速度方向偏转 且 电子射出后做匀速直线运动，则 解得 可知，从不同位置y以相同速度v射入磁场的电子，到达x轴的位置f相同且与电子入射位置y无关；因此从不同位置射入的电子必将经过x轴的同一点。 ③从y处进入磁场的电子，将从处进入处的四极铁磁场，电子通过两个磁场区域，速度方向变成沿x轴正方向，可得从处射入磁场后，速度方向的偏转角度 又 因洛伦兹力不做功，电子通过磁场区域时速度大小不变，则两处磁感应强度大小相等、方向相反，即 则 解得 ④根据 联立可得 根据数学关系，若要求聚焦点坐标偏差值不超过，只需满足 解得 7．（2024·浙江宁波·二模）如图甲所示，立方体空间的边长为L，侧面CDHG为荧光屏，能完全吸收打在屏上的带电粒子并发光，三维坐标系坐标原点O位于底面EFGH的中心，，。已知从原点O向xOy平面内各个方向均匀持续发射速率为、质量为m、电荷量为的粒子。不计粒子重力及粒子间的相互作用。 （1）若在立方体空间内仅存在方向平行于轴的匀强磁场，沿轴正方向射出的粒子恰好打在荧光屏上的H点。求磁场的磁感应强度B和粒子从原点O运动到荧光屏的最短时间t； （2）若在立方体空间内仅存在z轴负方向的匀强电场和沿y轴正方向的匀强磁场，沿x轴正方向射出的粒子，经某位置恰好与射出时速度相同，求此位置的坐标； （3）若在立方体空间内平行y轴加如图乙所示的磁场，其中。同时平行z轴加如图丙的磁场，其中，粒子在磁场中运动时间远小于磁场变化周期，不计电磁辐射影响。求沿x轴正方向射出的粒子打在荧光屏上落点的痕迹长度。 【考点】带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 【答案】（1），；（2）（，0，0）和（，0，0）；（3） 【详解】（1）根据几何关系有 粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 粒子在匀强磁场运动是周期为 由题意可知，粒子从轴射出，弦长最短为，粒子的运动时间最短。此时圆心角为，运动的最短时间为 （2）根据题中给出的电场强度与磁感应强度的关系有 所以，粒子以做匀速直线运动，以做匀速圆周运动，其半径为 一个周期时与原速度方向相同，此时沿轴方向的位移为 由于 该结果需小于，故坐标为和。 （3）根据磁场叠加原理，合磁场强度大小为 粒子的运动轨迹半径为 沿轴正方向射出的粒子，粒子分别在两个截面轨迹如图所示 设粒子射出点距的距离分别为和，由几何关系可知， 解得， 故可得痕迹圆的半径为 故粒子打在荧光屏上落点的痕迹长度为 8．（2024·浙江金华·二模）电子束光刻系统的核心技术是聚焦电子束以获得更高能量。如图所示为某公司研发的多电子束聚焦系统和测试系统。每个电子枪均可以将电子通过加速电压加速后，连续发射速度方向与y轴垂直的电子束。各电子束通过聚焦区后，可以在x轴上位置聚焦成一束更高能量的电子束。其中，聚焦区由两个匀强磁场区域构成，磁感强度大小均为B，方向垂直纸面相反，磁场长度足够长，宽度均为d。已知电子质量为m、电子元电荷量为，不考虑电子间的相互作用，忽略电子的初速度。 （1）若电子枪的加速电压为U，求电子在聚焦区做圆周运动的轨道半径R； （2）求从位置坐标射入的电子在聚焦区运动的总时间t； （3）若电子枪的加速电压为U，射入聚焦区时的坐标为，要使各电子枪射出的电子束均在x轴上位置聚焦，求在范围内的y与U需满足的函数关系并写出U的取值范围； （4）为进一步测试聚焦后的电子束强度，在x轴上位置的右方放置一测试区，在测试区施加一垂直纸面的匀强磁场，电子束被约束在该测试区中不会射出，电子在测试区运动速度大小为v时所受的阻力（k为常数且）。求从位置坐标y射入聚焦区的电子在测试区中运动的路程s与y的关系。 【考点】带电粒子在直边界磁场中运动  粒子由电场进入磁场 【答案】（1）;（2）;（3）;（4） 【详解】（1）电子在加速区，由动能定理 由洛伦兹力提供向心力 解得 （2）如图所示 由几何关系 解得 其中 解得 从位置坐标射入的电子在聚焦区运动的总时间 （3）结合几何关系 将 带入解得 射入的电子，对应半径为 对应加速电压为 射入的电子，对应半径 对应加速电压为 所以取值范围为 （4）由动量定理 累加后 解得 射入位置与半径关系 即有 解得 9．（2024·浙江湖州·二模）甲辰龙年，有研究者用如图装置实现“双龙戏珠”。图中M1M2和N1N2、M3M4和N3N4组成两对平行极板，将空间分隔为I、II、III三个区域，三个区域中有垂直于纸面的匀强磁场如图甲，磁感应强度均为。两发射源紧靠极板放置，每秒每个发射源分别射出104个垂直极板初速度大小的正或负电子。正负电子每次经过狭缝均被加速，极板电压UMN随时间变化由如图乙。经多次加速，正负电子恰能在荧光球表面上某点相遇，并被荧光球吸收发出荧光，实现“双龙戏珠”。已知电子比荷，电子质量；以两发射源连线中点O为坐标原点，平行极板向右方向为x轴正方向；荧光球半径，球心位置在x轴上；极板N1N2、M3M4间距。由于极板间距极小，忽略正负电子之间相互作用、过狭缝时间及正负电子穿越极板的动能损失、忽略场的边缘效应和相对论效应，计算时。 （1）正负电子各由哪个发射源射出？求电压UMN的周期T； （2）求t=0时刻发射的正负电子相遇的时刻t0和荧光球球心的位置x1； （3）求正负电子每秒对荧光球的冲量I； （4）以“⌒”为一“龙节”，若同（2）在不改变“龙节”情况下，沿x轴微调荧光球的球心位置，求仍能使荧光球发光的球心位置范围。 【考点】粒子由电场进入磁场  粒子在电场和磁场中的往复运动 【答案】（1）正电子从发射源1射出，负电子从发射源2射出，；（2）0.495m；（3）；（4）或 【详解】（1）根据左手定则可知，正电子从发射源1射出，负电子从发射源2射出。 以正电子为例，发射源发射的电子在电场中被加速后先在磁场II中做半个周期的圆周运动后又反向返回电场，此时电场必须反向，继续对返回的电子加速，加速后的电子又在磁场I中做半个周期的圆周运动，再次返回电场，电场此时应再次反向，对进入的电子继续加速，如此反复，可知电压UMN的周期应和电子在磁场中做圆周运动的周期相同，其周期为 （2）电子经一次加速后，由动能定理有 解得 由洛伦兹力充当向心力有 解得 若要正负电子相遇，则必须满足 即 则有 解得 可知正负电子第一次相遇的时间 该时间内沿着轴方向的位移 代入数据 解得 （3）有一半正负电子能够进入电场后被加速，相遇时恰好都沿轴正方向，球对电子的冲量 则电子对球的冲量 （4）若在（2）情况下，沿x轴微调荧光球的球心位置，由几何关系可得 仍能使荧光求发亮的球心的位置范围或 即或 10．（2024·浙江·一模）如图所示，水平地面上有一辆小车，上方固定有竖直光滑绝缘细管，管的长度，有一质量、电荷量的绝缘小球A放置在管的底部，小球的直径略小于细管。在管口所在水平面MN的下方存在着垂直纸面向里的匀强磁场。现让小车始终保持速度的向右匀速运动，以带电小球刚经过磁场的竖直边界为计时起点，并以此时刻管口处为坐标原点建立坐标系，轴与磁场边界重合，小球刚离开管口时竖直向上的分速度，求： （1）匀强磁场的磁感应强度大小和绝缘管对小球做的总功； （2）小球经过轴时的坐标； （3）若第一象限存在和第四象限大小和方向都相同的的匀强磁场，同时绝缘管内均匀紧密排满了大量相对绝缘管静止，与小球完全相同的绝缘小球。不考虑小球之间的相互静电力，求能到达纵坐标的小球个数与总小球个数的比值。 【考点】带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 【答案】（1），；（2）；（3） 【详解】 （1）在水平方向上，小球随车向右做匀速直线运动，该分速度对应的洛伦兹力方向竖直向上，为一个定值，可知，小球在方向上做匀加速运动，则有 解得 在竖直方向上，根据牛顿第二定律有 解得 即有 在上升过程中，根据动能定理有 解得 （2）小球第一次上升到轴，水平位移为 其中 解得 进入第一象限后，小球做斜抛运动，加速度仍然为重力加速度，可知，当小球重新回到轴时，水平位移 解得 小球回到绝缘管后在竖直方向以做减速运动，根据周期性，与轴交点的坐标为 即坐标为。 （3）由于小球恰能到达，此时为能到达的最高点，则有 解得 结合上述有 根据速度分解有 则有 解得 可知 解得 可知能够到达处的小球个数与总小球个数的比值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$