第06讲 思想方法专题：勾股定理中的三种主要数学思想(3类热点题型讲练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（北师大版）

第06讲 思想方法专题：勾股定理中的三种主要数学思想 (3类热点题型讲练) 目录 【类型一 方程思想】 1 【1.几何问题中的方程思想】 1 【2.实际应用中的方程思想】 6 【类型二 分类讨论思想】 11 【类型三 转化思想】 15 【类型一 方程思想】 适用情况： 1. 直角三角形中两条边长未知，当两边长存在一定数量关系； 2. 直接三角形中存在公共边（或作高，构造公共边）； 3. 折叠问题； 4. 实际应用问题. 【1.几何问题中的方程思想】 1．如图，中，，比长1，，则 ． 2.如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9， AC＝17，则BC边上的高为_______． 3．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，，E是边上一点，将沿折叠，使点B的对应点恰好落在边上，则的长等于 ． 4．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．若，，则 ． 5．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知长方形中，，P是边上的点，将沿折叠，使点A落在点E上，与分别交于点O、F，且，则 ． 6．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）已知中，，，点在边上．请从，两题中任选一题作答． A．如图1，若； B．如图2，若； 我选择 题，则的长为 ； 我选择 题，则的长为 ． 【2.实际应用中的方程思想】 1．（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度． 2．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，求折断处离地面的高度．    3．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 4．（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离为2米，顶端B距墙顶的距离为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为3米，顶端E距墙顶D的距离为2米，点在一条直线上，点在一条直线上，．求：    (1)墙的高度； (2)竹竿的长度． 6．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． (2)求原来的路线AC的长． 【类型二 分类讨论思想】 适用情况： 1. 高在三角形内，外不明确； 2. 直角边、斜边不明确； 3. 动态问题或存在性问题中，直角顶点的位置不明确. 1．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）在 中， ， 点是直线上一点，，，连接， 则线段 的长为 ． 2．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，在中，，点P为射线上一点，将沿所在直线翻折，点C的对应点为点，如果点在射线上，那么 ． 3．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知中，，，边上的高，求边的长． 4．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)求边的长； (2)当为直角三角形时，求的值． 【类型三 转化思想】 适用情况： 1. 最短路径问题（未知转化为已知，化曲为直）； 2. 等线段转化（几何证明）. 1．（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）如图，、两个村在河流的同侧，分别到河的距离为千米，千米，且千米，现在要在河边建一自来水厂，向、俩村供水，铺设水管的费用为每千米万，请你在河流上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 2．（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为，，，现在要在河岸上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短． (1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值． 3．（23-24八年级下·山东聊城·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 4．（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)性质探究：如图，已知四边形中，，垂足为，求证：． (2)解决问题：如图，在中，，，，分别以的边和向外作等腰和等腰，连接，求的长． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 思想方法专题：勾股定理中的三种主要数学思想 (3类热点题型讲练) 目录 【类型一 方程思想】 1 【1.几何问题中的方程思想】 1 【2.实际应用中的方程思想】 6 【类型二 分类讨论思想】 11 【类型三 转化思想】 15 【类型一 方程思想】 适用情况： 1. 直角三角形中两条边长未知，当两边长存在一定数量关系； 2. 直接三角形中存在公共边（或作高，构造公共边）； 3. 折叠问题； 4. 实际应用问题. 【1.几何问题中的方程思想】 1．如图，中，，比长1，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理．在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：比长1， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故答案为：4． 2.如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9， AC＝17，则BC边上的高为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】 作交的延长于点，在中，，在中,，根据列出方程即可求解． 【详解】 如图，作交的延长于点， 则即为BC边上的高， 在中，， 在中,， ， AB＝10，BC＝9， AC＝17， ， 解得， 故答案为：8． 【点睛】 本题考查了勾股定理，掌握三角形的高，直角三角形是解题的关键． 3．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，，E是边上一点，将沿折叠，使点B的对应点恰好落在边上，则的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠，熟练掌握勾股定理与折叠的性质是解题关键．先利用勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，，从而可得，设，从而可得，然后在中利用勾股定理即可得． 【详解】解：， ， 由折叠的性质得：， ， 设，则， 在中，，即， 解得， 即的长为， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握翻折的性质与勾股定理解三角形．根据翻折的性质得到，，由，即可得到，由折叠的性质可得：，，设，在中，根据勾股定理即可求出， 【详解】解：由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， ∴， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知长方形中，，P是边上的点，将沿折叠，使点A落在点E上，与分别交于点O、F，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用，关键在于折叠所对应的边角相等,利用方程的思想解题．根据题意证明，再设出未知数,利用勾股定理列出方程解出即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， 由折叠的性质得：， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， 设，则 ∴， 在中，，即 解得：． 故答案为：． 6．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）已知中，，，点在边上．请从，两题中任选一题作答． A．如图1，若； B．如图2，若； 我选择 题，则的长为 ； 我选择 题，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形，勾股定理的应用，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，三线合一，勾股定理的应用，即可． 选择A题：过点作交于点，根据等腰三角形的性质，则，根据勾股定理，则，求出；再根据，，即可；选择B题：过作交于点，根据根据等腰三角形的性质，则，根据勾股定理求出，根据，求出，最后再根据勾股定理即可． 【详解】选择题： 过点作交于点， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 在中，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 选择题： 过点作交于点， ∵， ∴， 在中，， ， 解得：， ∵， ∴， ∴， 在，， ∴． 故答案为：． 【2.实际应用中的方程思想】 1．（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度． 【答案】旗杆高12米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键．设为x米，则米，根据勾股定理列方程求出的值，即可求解． 【详解】解：设为x米，则米， 在中，， ， ， 解得：， 即旗杆高12米． 2．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，求折断处离地面的高度．    【答案】尺 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得， 解得： 答：折断处离地面的高度是尺． 3．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查的是勾股定理，比较简单，需要熟练掌握勾股定理的基础知识． 先设，则，再根据勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得： 在中，， 在中，， 由题意可知：， 所以， 解得： 即的长为． 4．（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【答案】(1)米 (2)小鸟下降的距离为米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键． （1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）由题意知， ∵米，米． 在中 米， （2）设， 到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同， 则，， 在中，， ， 解得， 小鸟下降的距离为米． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离为2米，顶端B距墙顶的距离为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为3米，顶端E距墙顶D的距离为2米，点在一条直线上，点在一条直线上，．求：    (1)墙的高度； (2)竹竿的长度． 【答案】(1)4米 (2)米 【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，解题的关键是根据两种不同状态竹竿长不变列等式及正确计算． （1）设墙高x米，则米，米，在和中，根据勾股定理可列出关于x的方程，再求解即可； （2）把（1）中的x代入勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）解：设墙高x米，则米，米， 在中，， 在中，， 由题意可知， ∴， 解得：， 答：墙的高度为4米； （2）解：米． 答：竹竿的长度为米． 6．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． (2)求原来的路线AC的长． 【答案】(1)CH是从村庄C到河边的最近路； 理由见解析； (2)原来的路线AC的长为1.25千米． 【解析】 【分析】 （1）根据勾股定理的逆定理证明△CHB是直角三角形即可； （2）设AC=x千米， 在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2， 再根据勾股定理解答即可． (1) 解：是， 理由是：在△CHB中， ∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25， BC2=2.25， ∴CH2+BH2=BC2， ∴△CHB是直角三角形， ∴CH是从村庄C到河边的最近路； (2) 设AC=x千米， 在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2， 由勾股定理得：AC2=AH2+CH2 ∴x2=（x-0.9）2+1.22， 解这个方程，得x=1.25， 答：原来的路线AC的长为1.25千米． 【点睛】 本题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答． 【类型二 分类讨论思想】 适用情况： 1. 高在三角形内，外不明确； 2. 直角边、斜边不明确； 3. 动态问题或存在性问题中，直角顶点的位置不明确. 1．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）在 中， ， 点是直线上一点，，，连接， 则线段 的长为 ． 【答案】或 【分析】了勾股定理，分当在线段上时，当在线段延长线上时，再由勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】由题意得：， 如图，当在线段上时，    ∴， 在中由勾股定理得：， 如图，当在线段延长线上时，    ∴， 在中由勾股定理得：， 综上可知： 的长为或． 2．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，在中，，点P为射线上一点，将沿所在直线翻折，点C的对应点为点，如果点在射线上，那么 ． 【答案】/6 【分析】本题考查勾股定理，翻折等知识，分两种情况：点在上和点在延长线上，并分别画出图形，在中利用勾股定理列方程解出即可，熟练运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在直角三角形中， 由勾股定理，得 点为射线上一点，分两种情况： ①点在上时， 如图， 设由翻折可知 ， 在中， 由勾股定理，得 即 ， 解得： ②点在的延长线上时，如图， 设由翻折可知 在中， 由勾股定理，得 即 解得：， 故答案为：或6． 3．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知中，，，边上的高，求边的长． 【答案】的长为或． 【分析】本题主要考查了勾股定理，分两种情况讨论：①当为锐角三角形时，②当为钝角三角形时，根据勾股定理即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为锐角三角形时，如图： ∵， ∴， ∵，， 在中，， 在中，， ∴； ②当为钝角三角形时，如图： ∵， ∴， ∵，， 在中，， 在中，， ∴， 综上所述，的长为或． 4．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)求边的长； (2)当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)4或 【分析】本题主要考查了勾股定理： （1）利用勾股定理求解即可得； （2）先求出cm，再分①当，②当两种情况，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：在中，，， ∴由勾股定理得； （2）解：由题意知． ①当时，如图，点P与点C重合，， ∴； ②当时，如图2，，． 在中，， 在中，， ∴， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，t的值为或． 【类型三 转化思想】 适用情况： 1. 最短路径问题（未知转化为已知，化曲为直）； 2. 等线段转化（几何证明）. 1．（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）如图，、两个村在河流的同侧，分别到河的距离为千米，千米，且千米，现在要在河边建一自来水厂，向、俩村供水，铺设水管的费用为每千米万，请你在河流上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 【答案】在河流上选择水厂的位置见解析，总费用是万元． 【分析】先作点的对称点，连接点和点，交于点，即所求作的点，过作，延长交于点，根据轴对称的性质可知：，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：作关于的对称点，连接交于，连接，水厂的位置即在点处，     过作，延长交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由对称性质可知：， ∴，， 在中，由勾股定理得： ， ∴水管的费用最节省为（万元）， 答：水管的费用最节省为万元． 【点睛】此题考查了轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解题的关键． 2．（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为，，，现在要在河岸上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短． (1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长，取，再连接，与交于点E即可； （2）作出以为斜边的直角，求出直角边，利用勾股定理求出结果． 【详解】（1）解：如图所示：点E即为水厂的位置； （2）如图，作出以为斜边的直角， 由（1）可知：， 由题意可得：，，， ∴，，， ∴水厂E到A、B两村的距离之和的最小值为． 【点睛】本题考查了应用与设计作图，勾股定理，主要利用轴对称的性质，找出点A关于的对称点是确定建水厂位置的关键． 3．（23-24八年级下·山东聊城·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）17 cm；（3）B处到内壁A处所爬行的最短路程是10 cm 【分析】本题考查勾股定理最短路径问题： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由勾股定理，得：； 故答案为：25； （2）将圆柱体展开，如图，由题意，得： ，， 由勾股定理得：； 故答案为：17 cm． （3）如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 4．（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)性质探究：如图，已知四边形中，，垂足为，求证：． (2)解决问题：如图，在中，，，，分别以的边和向外作等腰和等腰，连接，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）运用勾股定理可得：，，，，即可证得结论； （2）如图，过点作，交的延长线于点，利用勾股定理可得，再证得，得出，，运用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）证明：，垂足为，如图， ，，，， ，， ． （2）解：如图，过点作，交的延长线于点，则， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在中，． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$