1.1.2空间向量基本定理（同步课件）数学人教B版选择性必修第一册

1.1.2 空间向量基本定理 主讲： 人教B版选择性必修第一册 第1章 空间向量 1.共线向量基本定理的内容是什么？ 复习回顾 如果a≠0且b//a，则存在唯一的实数λ，使得b=λa. 2.平面向量基本定理的内容是什么？ 如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c=xa+yb 上述结论在空间中仍成立吗？如何判断空间中的三个向量是否共面？ 尝试与发现 如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中， P在直线AA1上的充要条件是，存在实数λ， 使得； 如果M在底面ABCD内，则一定存在实数s与t， 使得 而且，若ME⊥AD，MF⊥AB， 则， A B C D A1 B1 C1 D1 E F P 一、共面向量定理 共面向量定理：如果两个向量，不共线，则向量，，共面的充要 条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使得=x+y. 【典型例题一】共面向量定理的应用 例1. 如图所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，在AC1上和BC上分别有一点M和N，且， ，其中0≤k≤1. 求证：，a，c共面。 A B C N M A1 B1 C1 证明：因为=kb+k， 所以 由共面向量定理可知，，a，c共面 【典型例题一】共面向量定理的应用 练习1. 已知A,B,C三点不共线,点M满足. 求证：三个向量共面。 证明：因为. 所以 所以 所以，即 由共面向量定理可知，共面 若A,B,C三点不共线，则点P在平面ABC内需要满足什么条件？ 尝试与发现 根据共面向量定理，若点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x,y)，使 回忆平面向量基本定理的内容，两个不共线的向量可以表示平面中任何一个向量。那么任意一个空间向量可以用什么样的向量来表示呢？ 尝试与发现 在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c表示空间任意向量p，你能得出什么结论？ a b c p 在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c表示空间任意向量p，你能得出什么结论？ a b c O P α p a c b B C A Q 在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c表示空间任意向量p，你能得出什么结论？ a b c O P α p a c b B C A Q 在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c表示空间任意向量p，你能得出什么结论？ O Q P p a c b B C A α a b c 在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c表示空间任意向量p，你能得出什么结论？ xa O Q P p a c b yb zc B C A α a b c 在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c表示空间任意向量p，你能得出什么结论？ xa O Q P p a c b yb zc B C A α a b c 二、空间向量基本定理 如果空间中的三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得 p＝xa＋yb＋zc． 表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式。 把空间中不共面的三个向量a，b，c组成空间向量的一组基底，a，b，c 都叫做基向量． 例2.如图所示平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a，=b，=c，试用基底{a，b，c}表示向量，，， 【典型例题二】空间向量基本定理的应用 A B C D A1 B1 C1 D1 解:因为是平行六面体，所以 =++= +=a+b+c 类似地，有 =++=-+=-a+b+c =++==a+b-c =++=+=a-b+c 解:由题意可知，=2，， =60°，==90° 所以，=+=- =+=== 所以， =2 =4+1=0 例3.如图所示，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为A1C1的中点，∠ABC=60°，AB=2，BC=CC1=1，求 【典型例题二】空间向量基本定理的应用 A B C A1 B1 C1 D 练习3.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG=，则EF与C1G所成角的余弦值为_______. 【典型例题二】空间向量基本定理的应用 练习2.长方体ABCD-A1B1C1D1中,若=3i，=2j，=5k，则等于(　　) A. i+j+k　　　　　 B. i+j+k C. 3i+2j+5k D. 3i+2j-5k 【典型例题二】空间向量基本定理的应用 C 当堂练习 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可以作为空间向量的一组基底的是(　　) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， C 当堂练习 2．下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是(　　) A．=2 B．=  C．  D． C 当堂练习 3. 在四面体O-ABC中，=a，=b，=c，D为BC的中点，E为AD的中点，则=　　　 　.(用a,b,c表示)  课堂小结 主讲： 人教B版选择性必修第一册 感谢聆听 $$