22.1.1 二次函数（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

八年级人教版数学上册 第二十二章 二次函数 22.1.1 二次函数 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点） 2.会利用二次函数的概念解决问题. 3.会列二次函数表达式解决实际问题.（难点） 学习目标 还记得函数的概念吗？ 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 什么是一次函数？ 什么是正比例函数？ 一次函数的一般形式: y＝kx＋b(k≠0) 正比例函数的一般形式: y＝kx(k≠0) ax2+bx+c=0 (a≠0) 一元二次方程的一般式是什么？ 情景导入 3.正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为 . y=6x2 此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数. 情景导入 1.二次函数的定义 新知探究 我们再来看几个问题. 问题①：n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？ 分析：每个球队要与其他 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为 ． (n-1) 答： 此式表示了比赛的场次数 m 与球队数 n 之间的关系，对于n的每一个值，m 都有唯一的一个对应值，即 m 是 n 的函数． 问题②某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？ 【分析】这种产品的原产量是20t, 一年后的产量是 件,再经过一年后的产量为 件,即两年后的产量y=___________. 20(1+x) 20(1+x)2 20(1+x)2 y=20x2+40x+20③； ③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数. 以上三个函数表达式有什么样的特点？ y=6x2 y=20x2+40x+20 它们是一次函数吗？ 这些函数都是用自变量的二次整式表示的 它们应该属于几次函数？ 二次函数的定义： 形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项. 温馨提示： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0;（若a＝0，b≠0，则它是一次函数． ） （3）关于自变量x的二次式必须是二次整式，等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 二次项 一次项 常数项 概念归纳 练一练 请你试着指出下列二次函数解析式的自变量、各项及各项系数。 y=6x2 y=20x2+40x+20 ① y=ax2+bx+c ② s=3-2t² ③y=x2 ④ ⑤y=x²+x³+25 ⑥ y=(x+3)²-x² 不一定是，缺少a≠0的条件. 不是，x的最高次数是3. y=6x+9 不是，右边是分式. 以上函数哪些是二次函数呢？为什么？ 对于这种函数我们需要化简查看 练一练 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式如y=ax2,y=ax2+bx, y=ax2+c等. 运用定义法判断一个函数是否为二次函数的步骤： （1）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是函数（因变量）的形式； （2）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （3）判断自变量的最高次数是否是2； （4）判断二次项系数是否不等于0。 概念归纳 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0） 二次函数的一般式y=ax2＋bx＋c（a≠0） 它们两者有什么联系和区别？ 联系：(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且a ≠0； (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0. 1.判断函数y＝(x－2)(3－x)是否为二次函数？若是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项；若不是，请说明理由． 解：将函数化简y＝(x－3)(3－x)＝－x2＋6x－9， 它是二次函数， 它的二次项系数为 ，一次项系数为 ， 常数项为 . -1 6 -9 练一练 2.若我们已知函数y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5(m是常数)， 当m为何值时： (1)函数是一次函数？ (2)函数是二次函数？ 一次函数 m2－9=0 m－3≠0 二次函数 m2－9≠0 m－3可取任意数 解：(1)当m＝－3时，函数是一次函数； (2)当m≠±3时，函数是二次函数． 若要使函数为二次函数则等式的右边最高次数需为 2，二次项系数不为0 练一练 3. （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m取什么值时，此函数是二次函数？ 解： （1）由题可知, 解得 （2）由题可知, 解得 m=3. 练一练 易错提醒：第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案 例1.某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围． 根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤： ①仔细审题，分析数量之间的关系，将文字语言转化为符号语言； ②根据实际问题中的等量关系，列二次函数关系式，并化成一般形式； ③联系实际，确定自变量的取值范围. 2.二次函数的应用 新知探究 解：降低 x元后，所销售的件数是(500＋100x)件， 则y＝(13.5－2.5－x)(500＋100x)， 即y＝－100x2＋600x＋5 500(0＜x≤11)． 典例剖析 例2.某网店销售某款童装，每件售价60 元，每星期可卖300件. 为了促销，该网店决定降价销售. 市场调查反映，每降价1 元，每星期可多卖30 件. 已知该款童装每件的成本价为40 元，设该款童装每件的售价 为x 元，每星期的销售量为y 件. (1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)设每星期的销售利润为W 元，求W 与x 之间的函数关系式. 解：(1) y=300+30 ( 60-x ) =-30x+2 100 ( 40 ≤ x ≤ 60 ). ( 2 ) W= ( x-40 ) ( -30x+2 100 ) =-30x2+3 300x-84 000. 4.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件． (1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式； 练一练 解：∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件， ∴第x档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)元． ∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]， 即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10)； (2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次． 解：由题意可得 －10x2＋180x＋400＝1120， 整理得 x2－18x＋72＝0， 解得 x1＝6，x2＝12(舍去)． 所以，该产品的质量档次为第6档． 练一练 二次函数自变量的取值范围一般是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义. 1.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与底面半径r 之间的关系式. 课本练习 由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积，得 2.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面积y与 x 的关系式. 课本练习 解：原来的长和宽分别为20m和30m， 则增加后的长和宽分别为 （20 + x）m和（30 + x）m， 根据长方形的面积等于长乘以宽可得： y=（20+x）（30+x） =x² + 20x +30x + 600 = x² + 50x + 600. 所以y与x的关系式为：y=x²+ 50x +600 xm 20 m 30m xm C C 随堂练 －2 3或－1 是 随堂练 随堂练 随堂练 ≠0 二次项 一次项 常数项 a≠3 －1 2 0 B 分层练习-基础 x2＋7x y＝10x2＋20x＋10 二次 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 D D 分层练习-巩固 B y＝3x2－20x＋12 －9 －5或2 m≠4且m≠－2 m＝4 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) x 二次 一次 常数 －2 －1 3 课堂反馈 等量关系 列出方程或等式 二次函数的 一般形式 D 1 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 课堂小结 二次函数 定 义 y=ax2+bx+c(a ≠0，a，b，c是常数） 一般形式 等号两边都是整式； 自变量的最高次数是2； 二次项系数a ≠0． 特殊形式 y=ax2（a ≠0）； y=ax2+bx(a ≠0，a，b是常数) ； y=ax2+c(a ≠0，a，c是常数)． 1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是( ) A.y＝3x－1　　　　　 B.y＝ax2＋bx＋c C.s＝2t2－2t＋1 D.y＝x2＋eq \f(1,x) 2.关于函数y＝(500－10x)(40＋x)，下列说法错误的是( ) A.y是x的二次函数 B.二次项系数是－10 C.一次项是100 D.常数项是20000 3.已知二次函数y＝x2－2x－2，当x＝2时，y＝ ；当x＝ 时，y＝1. 4.某校九(1)班共有x名学生，在毕业典礼上每两名学生都握一次手，共握手y次，试写出y与x之间的函数关系式为　 　.它 (填“是”或“不是”)二次函数. 5.判断函数y＝(x－2)(3－x)是否为二次函数，若是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项；若不是，请说明理由. 解：y＝(x－2)(3－x)＝－x2＋5x－6，它是二次函数，它的二次项系数为－1，一次项系数为5，常数项为－6. y＝eq \f(1,2)x2－eq \f(1,2)x 6.如图所示，一个矩形的长为4 cm，宽为3 cm，如果将这个矩形的长与宽都增加x cm，那么这个矩形的面积增加y cm2. (1)求y与x之间的函数关系式； (2)这个函数是二次函数吗？为什么？ (3)求自变量的取值范围. 解：(1)∵原矩形的面积为3×4＝12(cm2)，边长增加后的矩形面积为(3＋x)(4＋x)＝(x2＋7x＋12)(cm2).∴y＝x2＋7x＋12－12＝x2＋7x.∴y与x之间的函数关系式为y＝x2＋7x；　 (2)y＝x2＋7x是二次函数.因为它满足二次函数的定义中的条件：①是整式，②自变量的最高次数为2，③二次项系数不为0；　 (3)∵增加的边长必须是非负数，∴x的取值范围是x≥0. 知识点一：二次函数的概念 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数a )的函数，叫做二次函数，其中a为 系数，b为 系数，c为 ． 1．在二次函数y＝(a－3)x2＋x－2中，a的取值范围是 . 2．二次函数y＝－x2＋2x的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . 3．下列函数中是二次函数的是(　　) A．y＝－2x＋1　　 B．y＝x2＋2　　 C．y＝eq \f(8,x2)　　 D．y＝eq \f(1,2)x－2 知识点二：根据实际问题列二次函数解析式 二次函数自变量可取一切实数，但实际问题中自变量的值要符合实际生活意义．因此要注意自变量的取值范围． 4．矩形的长为4cm，宽为3cm，如果将长与宽都增加xcm，那么面积增加ycm2，则y与x之间的函数关系式为y＝ . 5．某工厂前年的生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x，预计今年比去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y万元．则y关于x的函数关系式为 ，它是 函数． 6．某商店经营一种小商品，进价为5元，据市场调查，销售单价是9元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x间的函数关系式，并注明x的取值范围． 解：设降价x元后，所销售的件数是(500＋100x)，则y＝(9－5－x)(500＋100x)，即y＝－100x2－100x＋2000(0≤x＜4)． 能力点：能根据定义准确求二次函数解析式 当未知数的指数含有字母，且项的系数也含有字母时，要它是二次函数，必须使x的最高次数为2，且二次项系数不为0. 7．已知函数y＝(m＋2)xm2＋2m＋2＋(m－1)x是关于x的二次函数，求m的值，并求出二次函数的表达式． 解：由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2＋2m＋2＝2①,m＋2≠0②))，由①得m＝0或m＝－2，由②得m≠－2，∴m＝0.故当m＝0时，y是x的二次函数，其表达式为y＝2x2－x. 8．二次函数y＝2x(x－4)的二次项系数与一次项系数的和为(　　) A．10　　 B．－10　　 C．6　　 D．－6 9．在一定条件下，若物体运动的路段s(米)与时间t(秒)之间的关系为s＝5t2＋2t，则当t＝4秒时，该物体所经过的路程为(　　) A．28米 B．48米 C．68米 D．88米 10．函数y＝(m－3)x|m|－1＋3x－1是二次函数，则m的值是(　　) A．3 B．－3 C．±2 D．±3 11．把函数y＝(2－3x)(6－x)化成y＝ax2＋bx＋c的形式为 . 12．对于二次函数y＝x2＋3x－7，当x＝－1时，对应的函数值是 ，当函数y＝3时，对应的x的值是 . 13．当 时，函数y＝(m2－2m－8)x2＋(m＋2)x＋m是二次函数，当 时，这个函数是一次函数． 14．下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出a、b、c的值． (1)y＝x(x－1)＋1； (2)y＝2x(1－x)＋2x2. 解：(1)是，a＝1，b＝－1，c＝1；　 (2)不是． 15．一个正方形的边长为10cm，若从中挖出一个边长为xcm(x＜10)的小正方形，剩余部分的面积为ycm2. (1)写出y(cm2)与x(cm)之间的函数表达式，并指出它是一个什么函数； (2)当x取2,4,6时，相应的y的值分别是多少？ 解：(1)y＝102－x2＝100－x2，它是一个二次函数； (2)当x＝2时，y＝100－22＝96；当x＝4时，y＝100－42＝84；当x＝6时，y＝100－62＝64.即当x取2、4、6时，相应的y值分别是96、84、64. 16．用一根长50cm的细绳围成一个矩形．设矩形的一边长为xcm，面积为ycm2. (1)求y与x的函数关系式； (2)该细绳能围成面积为160cm2的矩形吗？若能，求出此时的x的值；若不能，请说明理由． 解：(1)根据题意，得y＝x(25－x)＝－x2＋25x；　 (2)假设能围成面积为160cm2的矩形，则－x2＋25x＝160，即x2－25x＋160＝0，∵b2－4ac＝(－25)2－4×1×160＝－15＜0，∴方程没有实数根，∴不能围成面积为160cm2的矩形． 17．某产品每件的成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(台)之间的关系如下表： x/元 130 150 165 y/台 70 50 35 (1)若日销售量y是销售价x的一次函数，求这个一次函数解析式； (2)若销售利润为w(元)，请写出w与x之间的函数关系式，并求出当每件产品的销售价定为145元时的日销售利润． 解：(1)因为y是x的一次函数，∴设y＝kx＋b(k≠0)．把x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入上式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(70＝130k＋b,50＝150k＋b))，解这个方程组，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝－1,b＝200))，∴y＝－x＋200； (2)w＝(x－120)y＝(x－120)(－x＋200)＝－x2＋320x－24000. 当x＝145时，w＝(145－120)(－145＋200)＝25×55＝1375(元)．故当每件产品的销售价定为145元时，日销售利润为1375元． 二次函数的概念 一般地，形如 (a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，其中 是自变量，a、b、c分别是函数解析式的 项系数、 项系数、 项. 1. 二次函数y＝－2x2－x＋3中，二次项的系数为 ，一次项的系数为 ，常数项为 . 列二次函数解析式 列二次函数关系式要着重于三个方面： (1)找准实际问题中的 ；(2)根据等量关系 ； (3)将方程或等式整理成 . 2. 在半径为4 cm的圆中，挖出一个半径为x cm的圆，剩下的一个圆环的面积为y cm2，则y与x的函数关系为( ) A.y＝πx2－4　　　　　　 B.y＝π(2－x)2　　　　　　 C.y＝－(x2＋4)　　　　　　 D.y＝－πx2＋16π 易错点 运用二次函数的定义求字母的取值范围时，忽略二次项系数不为0这一条件. 自我诊断3. 函数y＝(m＋1)x|m|＋1＋5x－5是二次函数，则m＝ . 能正确地识别二次函数． 【例1】下列哪些函数是二次函数？ ①y＝2x2；②y＝eq \f(1,1－x2)；③y＝x(x＋3)；④y＝2x2－(x2＋1)；⑤y＝ax2＋bx＋c. 【思路分析】先把关系式化简整理，再看是否是整式及二次项系数是否为0. 【规范解答】①③④是二次函数，②不是二次函数，⑤不一定是二次函数，只有当a≠0时，才是二次函数． 会建立二次函数关系式． 【例2】某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆．而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元． (1)求y与x的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围； (2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式． 【思路分析】(1)销售价为(29－x)万元，进货价为25万元，根据销售利润公式即可写出；(2)每周的销售利润＝每辆汽车的销售利润×销售辆数． 【规范解答】(1)y＝29－x－25，所以y＝－x＋4(0≤x≤4)；　 (2)z＝(8＋eq \f(x,0.5)×4)y ＝(8x＋8)(－x＋4), 所以z＝－8x2＋24x＋32(0≤x≤4). $$