第05讲 第一章 集合与常用逻辑用语 章节验收测评卷-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学核心题型总结与突破（人教A版2019必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（贵州省铜仁市2023-2024学年高二下学期7月期末质量监测数学试题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）下列集合关系表述正确的是（    ）（其中：自然数集，整数集） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·黑龙江·期末）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（23-24高二下·重庆·期末）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）命题“对，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（23-24高三下·天津南开·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 8．（19-20高三上·北京海淀·期中）设集合是集合的子集，对于，定义，给出下列三个结论：①存在的两个不同子集，使得任意都满足且；②任取的两个不同子集，对任意都有；③任取的两个不同子集，对任意都有；其中，所有正确结论的序号是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2024·广东·模拟预测）已知全集，集合，若有4个子集，且，则（    ） A． B．集合有3个真子集 C． D． 10．（23-24高一下·湖南郴州·阶段练习）在整数集中，被6除余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即．则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．整数属于同一“类”的充要条件是“” 11．（23-24高一上·重庆·阶段练习）若“”为假命题，则的值可能为（    ） A． B．0 C．2 D．4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高一上·青海海东·阶段练习）命题“”的否定为 ． 13．（2024高三下·全国·专题练习）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 14．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合，在下列集合中： （1）； （2）； （3）； （4）； 与相同的集合有 ．（填序号） 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2024高一·全国·专题练习）已知全集，集合． (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围． 16．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合． (1)若为整数，试判断是否为集合中的元素； (2)求证：若，则． 17．（2024高一·全国·）已知集合，或． (1)当时，求实数的取值范围； (2)当时，求实数的取值范围． 18．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）已知集合． (1)求，； (2)若集合，且，求实数的取值范围． 19．（23-24高二下·广东梅州·期末）设集合，且P中至少有两个元素，若集合Q满足以下三个条件： ①，且Q中至少有两个元素； ②对于任意，当，都有； ③对于任意，若，则； 则称集合Q为集合P的“耦合集”． (1)若集合，求集合P1的“耦合集”； (2)集合，且，若集合存在“耦合集”． （i）求证：对于任意，有； （ii）求集合的“耦合集”的元素个数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与常用逻辑用语 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（贵州省铜仁市2023-2024学年高二下学期7月期末质量监测数学试题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合，再根据交集含义即可得到答案. 【详解】由题意得，则. 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）下列集合关系表述正确的是（    ）（其中：自然数集，整数集） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由各数集的含义可得 【详解】为自然数集，为整数集，因为整数集包含自然数集与负整数集，所以； 为整数集，为有理数集，因为有理数集包含整数集和小数集，所以 为有理数集，为实数集，因为实数集包含有理数集与无理数集，所以 为实数集，复数集，因为复数集包含实数集和虚数集，所以， 综上，所以， 故选：A. 3．（23-24高二下·黑龙江·期末）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由否定的定义判断即可. 【详解】命题“，”的否定为“，”. 故选：D 4．（23-24高二下·重庆·期末）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据命题的否定为真命题，利用判别式即可求解. 【详解】由于“，”为假命题， 故其否定为“，”为真命题，则，得， 故选：D 5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）命题“对，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出原命题为真命题的充要条件，再根据题意，找到为其范围真子集的选项即得. 【详解】由命题“对，”为真命题，可知在上恒成立， 当时可得，当时不等式可化为：， 设， ① 因在上单调递减，故，则，故得； ②又因在上单调递减，在上单调递增，故， 则有，故得. 综上，可得，即命题“对，”为真命题等价于， 依题意需使选项的范围是的真子集，故C正确. 故选：C. 6．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据取整函数的定义，对两个条件进行正反推理，即可求解. 【详解】当时，如，，不能得到， 由，则，又，所以一定能得到， 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 故选：. 7．（23-24高三下·天津南开·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据绝对值的定义和分式不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，所以，解得， 又由，可得，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 8．（19-20高三上·北京海淀·期中）设集合是集合的子集，对于，定义，给出下列三个结论：①存在的两个不同子集，使得任意都满足且；②任取的两个不同子集，对任意都有；③任取的两个不同子集，对任意都有；其中，所有正确结论的序号是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据题目中给的新定义，对于或，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题． 【详解】∵对于，定义， ∴对于①，例如集合是正奇数集合，是正偶数集合，，，故①正确； 对于②，若，则，则且，或且，或且；； 若，则，则且； ； ∴任取的两个不同子集，对任意都有；正确，故②正确； 对于③，例如：，当时，；；； 故③错误； ∴所有正确结论的序号是：①②； 故选：A． 【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2024·广东·模拟预测）已知全集，集合，若有4个子集，且，则（    ） A． B．集合有3个真子集 C． D． 【答案】ACD 【分析】解一元二次不等式化简集合，结合已知得出，由此即可逐一判断各个选项. 【详解】依题意，， 而有4个子集，，故，故集合有7个真子集，B错误， ，，，ACD均正确. 故选：ACD. 10．（23-24高一下·湖南郴州·阶段练习）在整数集中，被6除余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即．则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．整数属于同一“类”的充要条件是“” 【答案】ACD 【分析】根据题意，由所给定义，逐项分析判断即可求解. 【详解】因为余，故A正确； 因为，所以，故B错误； 任意整数被6除必余其中之一， 所以，故C正确； 整数属于同一“类”，则， 所以，故，反之也成立，故D正确； 故选：ACD 11．（23-24高一上·重庆·阶段练习）若“”为假命题，则的值可能为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】BC 【分析】首先根据“”为假命题，将问题转化为“”恒成立问题，然后通过对分类讨论求解； 【详解】“”为假命题，则“”为真命题， 当时，，符合题意， 当时，，解得 ，故的值可能为， 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高一上·青海海东·阶段练习）命题“”的否定为 ． 【答案】“”. 【分析】由全称命题的否定为特称命题即可得出答案. 【详解】命题“”的否定为:“”. 故答案为：“”. 13．（2024高三下·全国·专题练习）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】解一元二次不等式化简集合A，再分类求解不等式化简集合B，并利用集合的包含关系列式求解即得. 【详解】由“”是“”的必要不充分条件，得， 依题意，集合， ， 当，即时，，则，解得； 当，即时，，则，解得， 当，即时，，满足，因此， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 14．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合，在下列集合中： （1）； （2）； （3）； （4）； 与相同的集合有 ．（填序号） 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）中变形得到，故，，一一对应，（1）正确，同理判断（2）和（3）；对于（4），可举出反例. 【详解】对于（1），由，可得，，一一对应， 则，故（1）符合； 对于（2），由，可得，，一一对应， 则，故（2）符合； 对于（3），由， 可得，， 一一对应，则，故（3）符合； 对于（4），，但方程无实数解， 则与不相同，（4）不符合. 故答案为：（1）（2）（3） 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2024高一·全国·专题练习）已知全集，集合． (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)若时，求出，计算； （2）若，可得,分类讨论求出的取值范围. 【详解】（1）当时，， 又，所以． （2）因为，所以， 又，方程的根为， 当时，，由，得； 当时，，符合，则； 当时，，符合，则； 综上，实数的取值范围是． 16．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合． (1)若为整数，试判断是否为集合中的元素； (2)求证：若，则． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据集合的表示方法，以及元素与集合的关系，即可求解. （2）若，则，，且，计算 的形态，从而确定它与集合的关系. 【详解】（1）是．∵，∴，其中，，∴整数． （2）证明：∵， ∴可设，，且， ∴ ． 又，， ∴． 17．（2024高一·全国·）已知集合，或． (1)当时，求实数的取值范围； (2)当时，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分类讨论解出不等式后，结合集合并集的定义即可得解； （2）由题意可得，分及、讨论计算即可得. 【详解】（1）由， 若无解，即，不满足， 若，因为， 所以； 若，，因为， 所以； 综上知或； （2），即，若满足； 若或， 可得或，与矛盾，无解； 若 ，或，可得或，与矛盾. 综上可得：. 18．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）已知集合． (1)求，； (2)若集合，且，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由一元二次不等式化简集合，由函数值域化简求出，结合交并补混合运算即可求解； （2）由，可得，分和解不等式即可求解. 【详解】（1），解得， 即，当，， 故，则，，故； （2）因为，所以， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上所述，. 19．（23-24高二下·广东梅州·期末）设集合，且P中至少有两个元素，若集合Q满足以下三个条件： ①，且Q中至少有两个元素； ②对于任意，当，都有； ③对于任意，若，则； 则称集合Q为集合P的“耦合集”． (1)若集合，求集合P1的“耦合集”； (2)集合，且，若集合存在“耦合集”． （i）求证：对于任意，有； （ii）求集合的“耦合集”的元素个数． 【答案】(1)或或 (2)（i）证明见详解；（ii）5 【分析】（1）根据题意直接运算求解即可； （2）（i）根据②可得的可能元素，再结合③分析证明；（ii）根据题意分析可知，同理可得，结合题意分析求解即可. 【详解】（1）由已知条件②得：的可能元素为：6，8，10； 检验可知均满足条件③，所以， 检验可知：或也符合题意， 所以或或. （2）（ⅰ）因为，， 由已知条件②得的可能元素为：， 由条件③可知，且， 可得， 同理可得， 所以对于任意，有； （ⅱ）因为，由（ⅰ）可知：， 则，即， 同理可得：，则， 又因为的可能元素为：， 即， 假设还存在其他元素， 因为，可知， 由集合性质可知：或， 则或， 即或，假设不成立， 所以不存在其他元素，所以共5个元素. 【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，对于本题解题关键是正确理解“耦合集”的定义. 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