第04讲 拓展二 集合与常用逻辑用语中的新定义题-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学核心题型总结与突破（人教A版2019必修第一册）

第04讲 拓展二 集合与常用逻辑用语中的新定义题 目录 新定义题之小题 1 新定义题之解答题 12 新定义题之小题 1．（2024·上海静安·二模）如果一个非空集合上定义了一个运算，满足如下性质，则称关于运算构成一个群. （1） 封闭性，即对于任意的，有； （2） 结合律，即对于任意的，有； （3） 对于任意的，方程与在中都有解． 例如，整数集关于整数的加法（）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的，方程与都有整数解；而实数集关于实数的乘法（）不构成群，因为方程没有实数解. 以下关于“群”的真命题有（    ） ①自然数集关于自然数的加法（）构成群； ②有理数集关于有理数的乘法（）构成群； ③平面向量集关于向量的数量积（）构成群； ④复数集关于复数的加法（）构成群. A．0个； B．1个； C．2个； D．3个. 2．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空子集，且满足，那么称子集组构成集合U的一个k划分．若集合I中含有4个元素，则集合I的所有划分的个数为（   ） A．7个 B．9个 C．10个 D．14个 3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}， 且，以下说法正确的是（     ） A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个. B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250. C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个. D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13. 4．（2022高三·全国·专题练习）当一个非空数集满足“如果，则，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（多选）（24-25高二下·全国·期末）群的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设是一个非空集合，“”是一个适用于中元素的运算，若同时满足以下四个条件，则称对“”构成一个群：（1）封闭性，即若，，则存在唯一确定的，使得；（2）结合律成立，即对中任意元素，，都有；（3）单位元存在，即存在，对任意，满足，则称为单位元；（4）逆元存在，即任意，存在，使得，则称与互为逆元.根据以上信息，下列说法中错误的是（   ） A．关于数的乘法构成群 B．和均关于数的加法构成群 C．关于数的乘法构成群 D．平面向量集关于向量的数量积构成群 6．（多选）（2024·广西柳州·三模）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）.若对任意的，有，则对任意的，下列等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（2023高一·全国·专题练习）对任意集合，记且，则称为集合的对称差，例如，若，，则，下列命题中为真命题的是（ ） A．若且，则 B．若且，则 C．存在，使得 D．若且 ，则 8．（多选）（22-23高一上·重庆渝中·阶段练习）对于一个非空集合，如果满足以下四个条件： ①， ②， ③，若且，则， ④，若且，则， 就称集合为集合A的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（    ） A．设，则满足是集合A的一个“偏序关系”的集合共有3个 B．设，则集合是集合A的一个“偏序关系” C．设，则含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合共有6个 D．是实数集R的一个“偏序关系” 9．（多选）（2024·江西宜春·模拟预测）已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（    ） A．， B．， C． D． 10．（多选）（23-24高一上·浙江台州·期末）设 是正整数，集合 . 对于集合中任意元素和 ，记 ， . 则（    ） A．当时，若，则 B．当时，的最小值为 C．当时， 恒成立 D．当时，若集合，任取中2个不同的元素，，则集合 中元素至多7个 11．（23-24高二下·广东·期末）若数集的子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1，则称该子集为数集的超子集．已知集合，记，记的超子集的个数为，当的超子集个数为221个时， ． 12．（2024·福建福州·模拟预测）设集合为含有个元素的有限集．若集合的个子集满足以下3个条件： ①均非空；②中任意两个集合交集为空集；③．则称为集合的一个阶分拆． 若，为的2阶分拆，集合所有元素的平均值为，集合所有元素的平均值为，则的最小值等于 ，最大值等于 ． 13．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）若非空集合G关于运算•满足：（1）对任意的a，，都有，（2）对任意的a，b，，都有，（3）存在，对，都有，则称G关于运算•构成“幺半群”．现给出下列集合和运算： ① G为正自然数集，•为整数的加法． ② G为奇数集，•为整数的乘法． ③ G为素数集，•为整数的乘法． ④ G为平面向量集，•为平面向量的数量积． ⑤ G为所有二次三项式的集合，•为多项式加法． ⑥ G为纯虚数集，•为复数的乘法． 其中G关于运算•构成“幺半群"的是 ． 14．（2024高一·全国）记不超过的最大整数为，若集合，集合，当或1或内的无理数时，；当（为既约真分数）时，.若（表示中任意一个元素都大于中任意一个元素），则的取值范围是 . 15．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）设表示不超过的正整数集合，表示k个元素的有限集，表示集合A中所有元素的和，集合，则 ；若，则m的最大值为 ． 新定义题之解答题 16．（23-24高二下·浙江宁波·期中）对于，定义，，其中为中最大的数，例如：，，. 给定正整数，根据以上内容，对于，请回答下列问题: (1)（用和表示）; (2)满足的有序数对有多少个? (3)满足的有序数对有多少个? (4)满足的有序数对有多少个? 17．（23-24高一下·北京·期中）设为正整数，若满足：①；②对于，均有.则称具有性质.对于和，定义集合. (1)设，若具有性质，写出一个及相应的； (2)设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由. 18．（22-23高一下·北京密云·期末）已知集合（且），，且．若对任意，当时，存在，使得，则称是的元完美子集． (1)判断下列集合是否是的3元完美子集，并说明理由； ①；     ②． (2)若是的3元完美子集，求的最小值． 19．（23-24高二下·北京丰台·期末）已知集合（，且）．若集合，同时满足下列两个条件，则称集合，具有性质． 条件（1）：，，且，都至少含有两个元素； 条件（2）：对任意不相等的，，都有，对任意不相等的，，都有． (1)当时，若集合，具有性质，且集合中恰有三个元素，试写出所有的集合； (2)若集合，具有性质，且，，求证：； (3)若存在集合，具有性质，求的最大值． 20．（23-24高二下·北京朝阳·期末）已知n是正整数，集合.若集合且P中元素个数为k，则称P是的k元子集.若P是的一个k元子集，且对任意：，都存在P中若干个不同元素，，，，满足，则称P是的k元基子集. (1)判断是否是的4元基子集，说明理由； (2)设P是的7元子集，判断P是否一定是的7元基子集，说明理由； (3)若的任意k元子集均是k元基子集，求k的最小值. 21．（2024·黑龙江·模拟预测）已知集合对于，定义与的差与间的距离为. (1)当时，设，求； (2)证明：，且； (3)设中有个元素，记中所有两元素间的距离的平均值为，证明：. 22．（2025高三·全国·专题练习）对给定的正整数，令，对任意的，，定义与的距离．设是的含有至少两个元素的子集，集合中的最小值称为的特征，记作． (1)当时，直接写出下述集合的特征：； (2)当时，设且，求中元素个数的最大值； (3)当时，设且，求证：中的元素个数小于． 23．（2024·北京西城·三模）记集合.对任意，，记，对于非空集合，定义集合. (1)当时，写出集合；对于，写出； (2)当时，如果，求的最小值； (3)求证：. （注：本题中，表示有限集合A中的元素的个数.） 24．（23-24高一下·北京顺义·期中）已知为实数集的一个非空子集，称是一个加法群，如果连同其上的加法运算满足如下四条性质： ①，； ②，； ③，，使得； ④，，使得． 例如是一个无限元加法群，是一个单元素加法群． (1)令，，分别判断，是否为加法群，并说明理由； (2)已知非空集合，并且，有，求证：是一个加法群； (3)已知非空集合，并且，有，求证：存在，使得． 25．（2024·河南·二模）已知无穷数列是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合，若对于集合中的元素，数列中存在不相同的项，使得，则称数列具有性质，记集合数列具有性质. (1)若数列的通项公式为，判断数列是否具有性质，若具有，写出集合与集合； (2)已知数列具有性质且集合中的最小元素为.集合中的最小元素为，当时，证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 拓展二 集合与常用逻辑用语中的新定义题 目录 新定义题之小题 1 新定义题之解答题 12 新定义题之小题 1．（2024·上海静安·二模）如果一个非空集合上定义了一个运算，满足如下性质，则称关于运算构成一个群. （1） 封闭性，即对于任意的，有； （2） 结合律，即对于任意的，有； （3） 对于任意的，方程与在中都有解． 例如，整数集关于整数的加法（）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的，方程与都有整数解；而实数集关于实数的乘法（）不构成群，因为方程没有实数解. 以下关于“群”的真命题有（    ） ①自然数集关于自然数的加法（）构成群； ②有理数集关于有理数的乘法（）构成群； ③平面向量集关于向量的数量积（）构成群； ④复数集关于复数的加法（）构成群. A．0个； B．1个； C．2个； D．3个. 【答案】B 【分析】根据群的定义需满足的三个条件逐一判断即可. 【详解】对于①，，在自然数集中无解，错误； 对于②，，在有理数集中无解，错误； 对于③，是一个数量，不属于平面向量集，错误； 对于④，因为任意两个复数的和还是复数，且满足加法结合律， 且对任意的，方程与有复数解，正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，用新定义解题.解题方法是根据新定义的3个条件进行验证，注意实数或复数运算的运算律与新定义中运算的联系可以很快得出结论. 2．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空子集，且满足，那么称子集组构成集合U的一个k划分．若集合I中含有4个元素，则集合I的所有划分的个数为（   ） A．7个 B．9个 C．10个 D．14个 【答案】D 【分析】分别计算2划分，3划分和4划分的个数，再相加即可. 【详解】不妨设，则： 的2划分有，，，，，，； 的3划分有，，，，，； 的4划分只有. 综上，的划分共有个，D正确. 故选：D. 3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}， 且，以下说法正确的是（     ） A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个. B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250. C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个. D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13. 【答案】B 【分析】根据各个选项确定相应的集合，然后由集合与子集定义得结论． 【详解】，，集合无公共元素， 选项A中，集合为空集，没有真子集，A错； 选项B中，由得，由得，因此中元素个数为，B正确； 选项C中，中元素个数为166，非空真子集个数为，C错； 选项D中，，而，因此其中元素个数为331个，D错． 故选：B． 4．（2022高三·全国·专题练习）当一个非空数集满足“如果，则，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据任意相同元素之差0，可判断①；根据当时，，利用定义依次推导，可判断②，举反例判断③，根据有理数的运算结果判断④. 【详解】对于①，根据当，则，即，所以0是任何数域的元素，故①正确； 对于②，根据当时，，则，即，进而，，故②正确； 对于③，对，但，不满足题意，所以集合不是一个数域，故③不正确； 对于④，若是有理数，则，都是有理数，故有理数集是一个数域，所以④正确; 所以其中真命题的个数是3个. 故选：C. 5．（多选）（24-25高二下·全国·期末）群的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设是一个非空集合，“”是一个适用于中元素的运算，若同时满足以下四个条件，则称对“”构成一个群：（1）封闭性，即若，，则存在唯一确定的，使得；（2）结合律成立，即对中任意元素，，都有；（3）单位元存在，即存在，对任意，满足，则称为单位元；（4）逆元存在，即任意，存在，使得，则称与互为逆元.根据以上信息，下列说法中错误的是（   ） A．关于数的乘法构成群 B．和均关于数的加法构成群 C．关于数的乘法构成群 D．平面向量集关于向量的数量积构成群 【答案】CD 【分析】根据“”运算的定义，结合集合中元素与集合的关系判断，逐一判断即可． 【详解】对于A，、，有，且满足（乘法结合律）； ，使得，有； ，，有，即关于数的乘法构成群，故A正确； 对于B，若，即为所有偶数组成的集合， 、，有，且满足（加法结合律）， ，使得，有； ，，有，故关于数的加法构成群； 若，设、，， 则， 且对满足， 当时，，满足， ，，使， 故关于数的加法构成群，故B正确； 对于C，因为，且，但，故C错误； 对于D，设为平面向量集，、，但是为实数，即可，不满足封闭性 故平面向量集关于向量的数量积不构成群，故D错误； 故选：CD 6．（多选）（2024·广西柳州·三模）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）.若对任意的，有，则对任意的，下列等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据已知中，对四个答案的结论逐一进行论证，即可求解结论． 【详解】根据条件“对任意的，，有”，则： A中，无法确定是否一定成立，故A错误； B中，，一定成立，故B正确； C中，，一定成立，故C正确； D中，将看成一个整体，则，故，故D正确. 故选：BCD． 7．（多选）（2023高一·全国·专题练习）对任意集合，记且，则称为集合的对称差，例如，若，，则，下列命题中为真命题的是（ ） A．若且，则 B．若且，则 C．存在，使得 D．若且 ，则 【答案】ABC 【分析】根据对称差的定义及交、并、补运算，逐项判断即可． 【详解】对于A，因为，所以且， 即与是相同的，所以，故本选项符合题意； 对于B，因为，所以且， 所以AB，且B中的元素不能出现在中，因此，故本选项符合题意； 对于C，时，，，故本选项符合题意； 对于D，因为，所以且，所以BA，故本选项不符合题意． 故选：ABC． 8．（多选）（22-23高一上·重庆渝中·阶段练习）对于一个非空集合，如果满足以下四个条件： ①， ②， ③，若且，则， ④，若且，则， 就称集合为集合A的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（    ） A．设，则满足是集合A的一个“偏序关系”的集合共有3个 B．设，则集合是集合A的一个“偏序关系” C．设，则含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合共有6个 D．是实数集R的一个“偏序关系” 【答案】ACD 【分析】A选项，分析出，分析③可知，和只能二选一，或两者均不能在中，从而得到足是集合A的一个“偏序关系”的集合共有3个；B选项，且，但，B错误；C选项，分析出，再添加一个元素即可，从而得到答案；D选项，通过分析均满足四个条件，D正确. 【详解】A选项，，则， 通过分析②可知，，分析③可知，和只能二选一，或两者均不能在中， 取，或，或， 故满足是集合A的一个“偏序关系”的集合共有3个，A正确； B选项，集合，且，但，故②不成立，故B错误； C选项，，通过分析②可知，， 结合③和④，可再添加一个元素，即中任选一个， 即取，或， 或，或， 或，或， 共6个，C正确； D选项，是R的子集，满足①， 且当时，，满足②， 当时，满足③， ，若且，则，所以， 则，满足④， 故是实数集R的一个“偏序关系，D正确. 故选：ACD 9．（多选）（2024·江西宜春·模拟预测）已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（    ） A．， B．， C． D． 【答案】AC 【分析】由开点的定义和元素和集合的关系可求得结果． 【详解】对于，对任意的，存在，使得，故正确； 对于，假设集合，以0为“开点“，则对任意的，存在，， 使得，当时，该式不成立，故错误； 对于，假设集合以0为“开点“，则对任意的，存在， 使得，故正确； 对于，集合，，，当时，， 时，使得不成立，故错误． 故选：． 10．（多选）（23-24高一上·浙江台州·期末）设 是正整数，集合 . 对于集合中任意元素和 ，记 ， . 则（    ） A．当时，若，则 B．当时，的最小值为 C．当时， 恒成立 D．当时，若集合，任取中2个不同的元素，，则集合 中元素至多7个 【答案】BD 【分析】根据的计算公式即可求解AB，举反例即可求解C，根据所给定义，即可求解D. 【详解】对于A，当时，，故A错误， 对于B，，而，故当时， 此时取最小值， 比如时，，故B正确， 对于C，时，， , ,不符合，故C错误， 对于D，不妨设中一个元素， 由于，则中相同位置上的数字最多有两对互为相反数， 其他相同位置上的数字对应相同， 若中相同位置中有一对的数字互为相反数，其他相同位置上的数字对应相同， 不妨设此时， 那么与相同位置中有一对的数字互为相反数， 其他相同位置上的数字对应相同的元素有 此时，其中，， 而，与中相同位置上的数字有两对是不相同的，此时，满足， 若与相同位置中有2对的数字互为相反数， 那么就与有3对相同位置上的元素互为相反数，不符合， 因此此时中满足条件的元素有7个， 若中相同位置中有两对的数字互为相反数，其他相同位置上的数字对应相同， 不妨设， 此时与元素重复， 综上可知中元素最多7个，D正确， 故选：BD 【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 11．（23-24高二下·广东·期末）若数集的子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1，则称该子集为数集的超子集．已知集合，记，记的超子集的个数为，当的超子集个数为221个时， ． 【答案】11 【分析】这是新定义数列，关键是找到递推关系，才能求出具体的项. 【详解】集合的超子集可以分为两类： 第一类中不含有，这类子集有个， 第二类子集中含有，这类子集为的超子集与的并集，共有个， ， ， ， 故答案为：11. 12．（2024·福建福州·模拟预测）设集合为含有个元素的有限集．若集合的个子集满足以下3个条件： ①均非空；②中任意两个集合交集为空集；③．则称为集合的一个阶分拆． 若，为的2阶分拆，集合所有元素的平均值为，集合所有元素的平均值为，则的最小值等于 ，最大值等于 ． 【答案】 0 1012 【分析】根据题意分别取取得最值时的集合，从而可得的最值. 【详解】由题意：取，， 因为：，，，， 所以，则为最小值； 取，， 为最大值. 故答案为：0；1012 13．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）若非空集合G关于运算•满足：（1）对任意的a，，都有，（2）对任意的a，b，，都有，（3）存在，对，都有，则称G关于运算•构成“幺半群”．现给出下列集合和运算： ① G为正自然数集，•为整数的加法． ② G为奇数集，•为整数的乘法． ③ G为素数集，•为整数的乘法． ④ G为平面向量集，•为平面向量的数量积． ⑤ G为所有二次三项式的集合，•为多项式加法． ⑥ G为纯虚数集，•为复数的乘法． 其中G关于运算•构成“幺半群"的是 ． 【答案】② 【分析】逐一验证几个选项是否分别满足““幺半群”的三个条件，若三个条件都满足，是““幺半群”，有一个不满足，则不是““幺半群”． 【详解】对①，设，则且，不满足（3）， 故①不是“幺半群” 对②，对任意两个奇数，积仍为奇数，满足（1）， 乘法满足结合律，满足（2）， 且对于奇数1，任何奇数乘1等于1乘这个数，等于这个数，满足（3）， 故②是“幺半群”， 对③，由已知知，则，不满足（1），故③不是“幺半群”； 对⑤，对任意两个平面向量，数量积为数量，不满足（1），故④不是“幺半群”； 对⑥，对任意两个二次项系数相反的二次三项式，和可能不是二次三项式，不满足（1），故⑤不是“幺半群”； 对于虚数，，不是虚数，不满足（1），故⑥不是“幺半群”； 故答案为：② 14．（2024高一·全国）记不超过的最大整数为，若集合，集合，当或1或内的无理数时，；当（为既约真分数）时，.若（表示中任意一个元素都大于中任意一个元素），则的取值范围是 . 【答案】 【分析】 分类求解可得集合根据的含义可得，进而根据指数函数的单调性化简集合,即可列不等式求解. 【详解】 当时，，由得无解， 当时，，由得无解， 当时，，由得，解得， 当时，，由得，解得， 当时，，由得，不符合要求舍去， 故集合 由题意可得.因为，进而由指数函数单调性有. 又，集合的最小值要大于集合的最大值，. 故. 故答案为： 15．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）设表示不超过的正整数集合，表示k个元素的有限集，表示集合A中所有元素的和，集合，则 ；若，则m的最大值为 ． 【答案】 22 【分析】根据定义，结合等差数列的前项和公式进行求解即可. 【详解】当时，表示有2个元素的集合，， 因为，且有2个元素， 所以或或，所以； 由题中定义可知：， 于是由 ， 而， 即，又因为， 所以m的最大值为， 故答案为：； 【点睛】关键点睛：本题的关键是理解题中定义，运用等差数列的前项和公式. 新定义题之解答题 16．（23-24高二下·浙江宁波·期中）对于，定义，，其中为中最大的数，例如：，，. 给定正整数，根据以上内容，对于，请回答下列问题: (1)（用和表示）; (2)满足的有序数对有多少个? (3)满足的有序数对有多少个? (4)满足的有序数对有多少个? 【答案】(1) (2)个 (3)个 (4)个 【分析】（1）直接构造数列并使用等差数列性质求解； （2）先计算满足的的个数，再作差求解满足的的个数，最后令即可； （3）由上一小问的结论可直接得到结果； （4）将条件等价转化为：，且有或，再用乘法原理求出结果. 【详解】（1）我们定义数列满足，， 则. 由于， 故是递增数列，从而. 所以，这得到是公差为的等差数列， 再由就有. 所以. （2）我们有 ， 对集合，记其元素个数为. 设正整数，定义集合， 则，当且仅当，即. 从而，特别地，. 故对于正整数，使得的的个数即为. 特别地，取，知使得的的个数为. （3）由上一问的推导，知使得的的个数为. （4）由前面的推导可知， 但又有 ， 故. 这表明等价于. 对正整数，有如下结论. 等价于：及，且这两组条件中的每组都至少有一个取到等号. 综合两组条件可得，这表明和这两个不等式两边不能取等. 因此，原结论又等价于：，且有或. 当，时，相应的有种； 当，时，相应的有种. 上述两次计算中，的情况被重复计算了一次， 其它满足条件的都恰被计算一次. 所以满足条件的全部的的个数为. 17．（23-24高一下·北京·期中）设为正整数，若满足：①；②对于，均有.则称具有性质.对于和，定义集合. (1)设，若具有性质，写出一个及相应的； (2)设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由. 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】（1）根据性质的定义可得答案； （2）利用反证法以及性质的定义推出相互矛盾的结论可得解. 【详解】（1），； ，； ，； ，； ，； ，. （2）假设存在和均具有性质，且， 则， 因为与同奇同偶，所以与同奇同偶， 又因为为奇数，为偶数， 这与与同奇同偶矛盾，所以假设不成立. 综上所述：不存在具有性质的和，满足. 18．（22-23高一下·北京密云·期末）已知集合（且），，且．若对任意，当时，存在，使得，则称是的元完美子集． (1)判断下列集合是否是的3元完美子集，并说明理由； ①；     ②． (2)若是的3元完美子集，求的最小值． 【答案】(1)不是的3元完美子集，是的3元完美子集，理由见解析 (2) 【分析】（1）理解3元完美子集的定义，并判断两个集合是否满足完美子集的定义； （2）分别设，，以及时，判断是否存在3元完美子集，并比较最小值， 即可求解. 【详解】（1）①因为，且， 所以不是的3元完美子集； ②因为，且， 而， 是的3元完美子集． （2）不妨设． 若，则，且， 则集合的元素个数大于3个，这与3元完美子集矛盾； 若，则，而，符合题意， 此时，即, 此时． 若，则，于是，，若存在3元完美子集， 则或，即，所以． 综上，的最小值是12． 【点睛】关键点点睛：本题考查有关集合新定义的综合应用，本题的关键是理解3元完美子集的定义. 19．（23-24高二下·北京丰台·期末）已知集合（，且）．若集合，同时满足下列两个条件，则称集合，具有性质． 条件（1）：，，且，都至少含有两个元素； 条件（2）：对任意不相等的，，都有，对任意不相等的，，都有． (1)当时，若集合，具有性质，且集合中恰有三个元素，试写出所有的集合； (2)若集合，具有性质，且，，求证：； (3)若存在集合，具有性质，求的最大值． 【答案】(1)，，； (2)证明见解析； (3)32. 【分析】（1）根据性质可得答案； （2）记“对任意不相等的，，都有”为条件①，记“对任意不相等的，，都有”为条件②，分析条件①②中的元素可得答案； （3）一方面求出时，可构造集合、使其具有性质；一方面，当时，可证明不存在具有性质的集合，可得答案. 【详解】（1）所有的集合为，，； （2）记“对任意不相等的，，都有”为条件①， 记“对任意不相等的，，都有”为条件②． 由条件②得． 由，和条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，与矛盾， 所以，即 （3）的最大值为32．证明如下： 一方面，当时，可构造集合， 具有性质； 另一方面，当时，可证明不存在具有性质的集合，． 证明如下： 由（2）知，，且当，时，， 此时不存在具有性质的集合，． 由条件①得2，3不能同时属于集合． 下面讨论2和3一个属于集合，一个属于集合的情况： （1）当，时，由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即，． 因为，，，， 由条件②得，， 即，． 由条件①得，，即，． 由条件②得，与矛盾， 此时不存在具有性质的集合，． （2）当，时，由条件②得4，5不能同时属于集合， 下面分三种情形： 情形一：若，，由条件①得，即． 由条件②得，，即，． 由条件①得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，与矛盾， 此时不存在具有性质的集合，． 情形二：若，，由条件①得，， 即，． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，与矛盾， 此时不存在具有性质的集合，． 情形三：若，，由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，与矛盾， 此时不存在具有性质的集合， 综上，的最大值为32． 【点睛】思路点睛：此题考查数列与集合结合的新定义问题，属于难题，关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答. 20．（23-24高二下·北京朝阳·期末）已知n是正整数，集合.若集合且P中元素个数为k，则称P是的k元子集.若P是的一个k元子集，且对任意：，都存在P中若干个不同元素，，，，满足，则称P是的k元基子集. (1)判断是否是的4元基子集，说明理由； (2)设P是的7元子集，判断P是否一定是的7元基子集，说明理由； (3)若的任意k元子集均是k元基子集，求k的最小值. 【答案】(1)是，理由见解析， (2)不是，理由见解析， (3)15 【分析】（1）根据4元基子集的定义即可验证求解， （2）根据4元基子集的定义举反例即可说明， （3）先用反证法证明不符要求，即可得，设，由于0可以表示为中若干个元素之和, 根据对称性只证明整数，均可表示为中若干个元素之和,，即可根据①②两种情况求解即可. 【详解】（1）由于， 因为且， 所以是的4元基子集 （2）P不一定是的7元基子集，理由如下： ， 取，则，故4不能写成中若干个元素之和， 所以不是的7元基子集 （3）当时，考虑的元子集， 当时，中的元素均不是正数， 此时中的正整数均不能写成中若干个元素之和， 当时，中所有的正元素之和为， 故不能写成中若干个元素之和, 所以， 设，则, 任取的15元子集，因为，所以或存在使得, 所以0可以表示为中若干个元素之和, 由对称性，只需要证明整数，均可表示为中若干个元素之和, 设， 因为中至多包含11个非正数，所以， 下面证明这11个数中至少有个数可表示为中若干个不同元素之和, ①若中存在不小于的数，设其中最小的一个为， 则，所以中至少有个数可表示为中若干个不同元素之和, ②若，设在所有可表示中若干个元素之和的数中，小于的最大数为， 则，所以，解得， 设是在中的补集， 则对于任意的，均有， 即中至少有个数可表示为中若干个不同元素之和, 设,， 因为的元素个数，中的元素个数，又, 所以，即不为空集，， 设，则可表示为中若干个不同元素之和, 所以可表示为中若干个不同元素之和, 综上可得：最小值为15 【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 21．（2024·黑龙江·模拟预测）已知集合对于，定义与的差与间的距离为. (1)当时，设，求； (2)证明：，且； (3)设中有个元素，记中所有两元素间的距离的平均值为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，利用定义直接计算； （2）分和进行证明，可得证； （3）利用题意结合排列组合的知识处理的式子，然后结合组合数和不等式的性质进行放缩即可证得结论. 【详解】（1）， ， （2）， 因为，所以， 从而， 由题意知， 当时，||， 当时，||， 所有. （3），其中表示中所有两个元素间距离的和， 设中所有元素的第个位置的数字中共有个个0， 中1的个数为的个数为，则， 由于，所以， 所以. 【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： （1）紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在； （2）用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之外用好集合的运算与性质. 22．（2025高三·全国·专题练习）对给定的正整数，令，对任意的，，定义与的距离．设是的含有至少两个元素的子集，集合中的最小值称为的特征，记作． (1)当时，直接写出下述集合的特征：； (2)当时，设且，求中元素个数的最大值； (3)当时，设且，求证：中的元素个数小于． 【答案】(1)，，． (2)个元素 (3)证明见解析 【分析】(1)利用题目给的新定义结合题目给的新的集合写出集合的特征即可, (2)先根据定义求出中至多有个元素，再利用且和的元素个数相同，但中共有个元素，其中至多一半属于，求出中至多有个元素． (3)先求出 中恰有2021个元素，再设，，则，利用与矛盾，求出，结合是正整数，得到集合中的元素个数小于． 【详解】（1）依题意可得集合: 中的最小值为: 故， 集合:中的最小值为:， 集合:中的最小值为:． 故，，． （2）（a）一方面：对任意的， 令， 则，故， 令集合，则， 则且和的元素个数相同， 但中共有个元素，其中至多一半属于， 故中至多有个元素． （b）另一方面： 设是偶数， 则对任意的，，， 都有中的元素个数为， 易得与奇偶性相同，故为偶数， 又，则，所以， 注意到，且它们的距离为2， 故此时满足题意， 综上，中元素个数的最大值为． （3）当时，设且， 设， 则对任意的，定义的邻域， （a）一方面：对任意的，中恰有2021个元素， 事实上， ①若，则，恰有一种可能；， ②若，则与，恰有一个分量不同，共2020种可能； 综上， 中恰有2021个元素， （b）对任意的，， 事实上，若， 不妨设，， 则，这与矛盾， 由（a）和（b）可得中共有个元素， 但中共有个元素，所以，即， 注意到是正整数，但不是正整数，上述等号无法取到， 所以，集合中的元素个数小于． 23．（2024·北京西城·三模）记集合.对任意，，记，对于非空集合，定义集合. (1)当时，写出集合；对于，写出； (2)当时，如果，求的最小值； (3)求证：. （注：本题中，表示有限集合A中的元素的个数.） 【答案】(1)； (2)5 (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义直接写出集合，再根据的定义写出； （2）设，则，则由题意可得，从而可求得结果； （3）设A中的所有元素为，，…，，其中，记（），先利用反证法证明这些互不相等，再根据定义证明即可. 【详解】（1）； 若，则. （2）的最小值为5. 证明如下： 设. 因为，除外，其它7个元素需由两个不同的，计算得到， 所以，解得. 当时，有，符合题意. （3）证明：设A中的所有元素为，，…，，其中. 记（），则这些互不相等. 证明如下：如果存在，， 则，的每一位都相等， 所以，的每一位都相等， 从而，与集合A中元素的互异性矛盾. 定义集合，则. 又， 所以. 【点睛】关键点点睛：此题考查集合的新定义，考查集合间的关系，解题的关键是对集合新定义的正确理解，考查理解能力，属于难题. 24．（23-24高一下·北京顺义·期中）已知为实数集的一个非空子集，称是一个加法群，如果连同其上的加法运算满足如下四条性质： ①，； ②，； ③，，使得； ④，，使得． 例如是一个无限元加法群，是一个单元素加法群． (1)令，，分别判断，是否为加法群，并说明理由； (2)已知非空集合，并且，有，求证：是一个加法群； (3)已知非空集合，并且，有，求证：存在，使得． 【答案】(1)是加法群，不是加法群 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据集合表示所有偶数，集合表示所有奇数，结合群的定义，判断是否满足条件即可； （2）取时，，进而判断①④即可； （3）根据性质①和已知可得，设，且不能被整除，利用反证法证明即可. 【详解】（1）集合表示所有偶数，满足①任意两个偶数相加仍是偶数，②加法结合律，③，④偶数的相反数仍是偶数，所以是加法群； 集合表示所有奇数，满足②加法结合律，④奇数的相反数仍是奇数，不满足①任意两个奇数相加仍是奇数，②，所以不是加法群. （2）因为非空集合，所以满足②结合律， 根据题意可知当时，，满足条件③， 则，有，满足④， 所以有，满足①， 综上满足①②③④，是一个加法群. （3）由（2）可是是一个加法群， 证明存在，使得，即证明恰是的所有整数倍组成的集合， 当时，显然，结论成立， 当时，由（2）可知若，则，集合中一定有正整数， 假设是集合中最小正整数，则由性质①及，有可知对于任意整数有， 下证， 设，且不能被整除，设，，， 因为，，则根据，有可知，与是集合中最小正整数矛盾， 所以集合中不存在不能被整除的数， 所以. 【点睛】方法点睛：对于新定义题型，要能读懂题意，认真归纳类比即可得出结论，但在推理过程中要严格按照定义的法则或相关的定理进行，同时运用转化划归思想，将陌生的问题转化为我们熟悉的问题，或将复杂的问题通过变换化为简单的问题. 25．（2024·河南·二模）已知无穷数列是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合，若对于集合中的元素，数列中存在不相同的项，使得，则称数列具有性质，记集合数列具有性质. (1)若数列的通项公式为，判断数列是否具有性质，若具有，写出集合与集合； (2)已知数列具有性质且集合中的最小元素为.集合中的最小元素为，当时，证明：. 【答案】(1)具有，， (2)证明见解析 【分析】（1）定义，可知，结合题中通项公式分析求解； （2）根据题意可知，可得，即可分析证明； 【详解】（1）定义，由题意可知， 若数列的通项公式为， 可知， 所以， 因为2只能写成，不合题意，即， ，符合题意，即， ，符合题意，即， ，符合题意，即， ，符合题意，即， ，符合题意，即， 所以. （2）因为是各项均为正整数的递增数列，， 集合中的最小元素为，故当为连续正整数， 即取， 因为前至少有连续两个正整数1，2， 即，存在正整数， 因为集合中的最小元素为，故. 因为，故数列具有性质， 故存在使得，且， 而为数列具有性质且集合中的最小元素，故 所以. 【点睛】方法点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把新定义问题转化为已经学过的知识，常常利用数学归纳法分析证明. 学科网（北京）股份有限公司 $$