第03讲 拓展一 集合与常用逻辑用语中的含参问题 (11大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学核心题型总结与突破（人教A版2019必修第一册）

第03讲 拓展一 集合与常用逻辑用语中的含参问题 目录 题型一：重点考查根据元素与集合的关系求参数 1 题型二：重点考查利用集合元素的互异性求参数 3 题型三：重点考查根据集合中元素的个数求参数 3 题型四：重点考查根据集合的包含关系求参数 4 题型五：重点考查根据两个集合相等求参数 6 题型六：重点考查根据交集结果求参数 7 题型七：重点考查根据并集结果求参数 8 题型八：重点考查根据补集结果求参数 10 题型九：重点考查根据并交补混合运算求参数 11 题型十：重点考查根据充分必要性求参数 13 题型十一：重点考查根据命题的真假求参数 14 题型一：重点考查根据元素与集合的关系求参数 典型例题 例题1．（2024·山东济南·二模）已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（    ） A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1} 例题2．（23-24高一·全国·课后作业）已知关于x的不等式的解集是M，若且，则实数a的取值范围是 ． 例题3．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知关于x的不等式的解集为S. (1)当时，求集合S； (2)若且，求实数m的取值范围. 精练核心考点 1．（多选）（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）设非空集合满足当时，有，下列命题判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知，不等式的解集为P，若，则a的取值范围为 . 3．（23-24高二下·上海浦东新·期末）设，关于的不等式的解集为. (1)若，求集合； (2)若且，求实数的取值范围. 题型二：重点考查利用集合元素的互异性求参数 典型例题 例题1．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，且，则（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或2 例题2．（23-24高一·全国·单元测试）非空有限数集满足：若，，则必有，，．则满足条件且含有两个元素的数集 ．（写出一个即可） 精练核心考点 1．（2024·天津河东·一模）已知集合，，，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知集合，且，则实数的值为 . 题型三：重点考查根据集合中元素的个数求参数 典型例题 例题1．（多选）（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 例题2．（23-24高一上·河北衡水·阶段练习）设集合A＝{x|x2+3x+2＝0}，B＝{x|x2+(m+1)x+m＝0}． (1)若B中有且只有一个元素，求实数m的值； (2)若是的充分条件，求实数m的值． 例题3．（23-24高一上·上海金山·阶段练习）已知集合 （1）当A只有一个元素时，求的值，并写出这个元素； （2）当A至多含有一个元素时，求的取值范围. 精练核心考点 1．（23-24高一·全国·课后作业）若关于的方程的解集为单元素集合，则实数 ． 2．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）若集合只有两个子集，则集合 ． 3．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知集合. （1）若集合A的子集只有一个，求实数a的取值范围； （2）若集合A中有且只有一个元素，求实数a的值. 题型四：重点考查根据集合的包含关系求参数 典型例题 例题1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）若不等式的解集为，不等式解集为，且，则的取值范围为 ． 例题2．（2024高一·全国·专题练习）已知全集，集合． (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围． 例题3．（23-24高一上·浙江·期末）已知集合，集合 (1)当时，求； (2)若，求实数a的值． 精练核心考点 1．（2024高三下·全国·专题练习）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 2．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知集合，． (1)当时，求集合； (2)若，求实数m的取值范围． 3．（23-24高一上·青海西宁·期末）设全集，集合，． (1)求； (2)若集合，满足，求实数的取值范围． 题型五：重点考查根据两个集合相等求参数 典型例题 例题1．（23-24高一下·浙江·阶段练习）若，则（    ） A．－1 B．1 C．－2 D．2 例题2．（23-24高一上·浙江·期中）已知集合，集合;若 ，则 ； 例题3．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知集合，，. (1)若，，求 (2)集合A，B能否相等？若能，求出，值；若不能，请说明理由. 精练核心考点 1．（23-24高一·全国·课后作业）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C． D． 2．（多选）（23-24高一上·河南·期中）若集合，则的值可能为（    ） A． B．0 C． D．1 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合中有两个元素、，集合中的两个元素为0、，且，求实数的值． 题型六：重点考查根据交集结果求参数 典型例题 例题1．（23-24高三下·福建厦门·强基计划），，若，则以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024高三下·全国·专题练习）已知集合，.若，求实数a的取值范围. 例题3．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 精练核心考点 1．（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）已知集合，若，则可能是（    ） A．-3 B．0 C．3 D．6 2．（2024高一·全国）已知集合，则实数m的取值范围是（    ）． A．或B． C．或 D． 3．（23-24高一上·北京·期中）已知集合. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 题型七：重点考查根据并集结果求参数 典型例题 例题1．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·湖南长沙·期末）集合. (1)当时，求； (2)已知，求的取值范围. 例题3．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知集合 (1)若，求A； (2)若，求实数a的取值范围． 精练核心考点 1．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知集合．若，则实数 ． 2．（23-24高一上·江苏盐城·期末）设集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 3．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知集合． (1)求; (2)记关于x的不等式的解集为，若，求实数m的取值范围． 题型八：重点考查根据补集结果求参数 典型例题 例题1．（23-24高一上·北京·期中）设集合，，若，则 ； . 例题2．（23-24高一上·广东佛山·周测）设全集，，，则实数的值为 ． 例题3．（23-24高一·全国·课后作业）已知全集，集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 精练核心考点 1．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知全集，集合，若的元素的个数为4，则的取值范围为 A． B． C． D． 2．（23-24高一·全国·课后作业）设全集，集合，则 . 3．（23-24高一·全国·课后作业）已知全集，集合，求. 题型九：重点考查根据并交补混合运算求参数 典型例题 例题1．（23-24高一上·广东佛山·期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题： 已知集合，，若______，求实数的取值范围. 例题2．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围. 例题3．（2024高一·全国·专题练习）已知集合，. (1)若，求； (2)已知，求实数的取值范围. 精练核心考点 1．（23-24高一上·全国·课后作业）设全集是，，. (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围. 2．（23-24高一上·湖南湘潭·期末）设全集 ，，． (1)若 ，求 ． (2)若 ，求实数 的取值范围． 3．（23-24高一上·广西梧州·期中）已知集合，B＝{x|≤x≤a+5}． (1)当a＝2时，求，； (2)若＝R，求a的取值范围． 题型十：重点考查根据充分必要性求参数 典型例题 例题1．（23-24高二下·陕西渭南·期末）命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024高三下·全国·专题练习）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 例题3．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知集合，非空集合， (1)若时，求； (2)是否存在实数，使得是的必要不充分条件？若存在，求实数的取值范围；若不恶在，请说朋理由. 精练核心考点 1．（23-24高二下·广西玉林·期末）已知命题，，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知p:关于x的方程有实数根，． (1)若命题是假命题，求实数a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 3．（24-25高一上·上海·单元测试）已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围． 题型十一：重点考查根据命题的真假求参数 典型例题 例题1．（23-24高二下·江西九江·期末）若命题“，”是假命题，则不能等于（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）若命题“，”为假命题，则的取值范围是 . 例题3．（23-24高一下·河北保定·期末）（1）已知集合．若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． （2）若命题“”为假命题，求x的取值范围． 精练核心考点 1．（23-24高三上·内蒙古通辽·阶段练习）已知命题，，若命题是假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·福建福州·阶段练习）命题“，满足不等式”是假命题，则的取值范围为 . 3．（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知命题“：，”，若是假命题，则实数的取值范围是 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 拓展一 集合与常用逻辑用语中的含参问题 目录 题型一：重点考查根据元素与集合的关系求参数 1 题型二：重点考查利用集合元素的互异性求参数 4 题型三：重点考查根据集合中元素的个数求参数 6 题型四：重点考查根据集合的包含关系求参数 9 题型五：重点考查根据两个集合相等求参数 13 题型六：重点考查根据交集结果求参数 16 题型七：重点考查根据并集结果求参数 18 题型八：重点考查根据补集结果求参数 22 题型九：重点考查根据并交补混合运算求参数 24 题型十：重点考查根据充分必要性求参数 28 题型十一：重点考查根据命题的真假求参数 31 题型一：重点考查根据元素与集合的关系求参数 典型例题 例题1．（2024·山东济南·二模）已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（    ） A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1} 【答案】D 【分析】根据集合中元素和为1，确定一元二次方程的根，即可得出的取值集合. 【详解】因为集合的元素之和为1， 所以一元二次方程有等根时，可得，即， 当方程有两不相等实根时，，即， 综上，实数a 所有取值的集合为. 故选：D 例题2．（23-24高一·全国·课后作业）已知关于x的不等式的解集是M，若且，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，分析可得和或，解出即可. 【详解】若，则有，解得或， 若，则有或，解得， ， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 例题3．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知关于x的不等式的解集为S. (1)当时，求集合S； (2)若且，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)或， 【分析】（1）将代入后，将分式不等式转化为一元二次不等式求解； （2）根据元素与集合的关系，转化为不等关系，列式求m的取值范围. 【详解】（1）当时，， 解得：， 所以不等式的集合为； （2）若且， 则或，解得：或， 所以的取值范围是或， 精练核心考点 1．（多选）（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）设非空集合满足当时，有，下列命题判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据已知条件列出不等关系转化为不等式问题解决，即可判断各选项的正误. 【详解】对于选项A，若，因为时，有， 所以有，解得，故A正确； 对于选项B，若，因为时，有， 所以，解得，则，故B正确； 对于选项C，若，则， 因为时，有，所以， 因为，则，故，即， 所以，解得，故C错误； 对于选项D，若，因为，则， 所以，解得，故D正确. 故选：ABD 2．（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知，不等式的解集为P，若，则a的取值范围为 . 【答案】或, 【分析】将代入分式不等式得到相反结论，同时注意分母为0的情况，解出即可. 【详解】或,解得或, 故答案为：或, 3．（23-24高二下·上海浦东新·期末）设，关于的不等式的解集为. (1)若，求集合； (2)若且，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分式不等式的解法求解即可； （2）由且可得：，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）时，，即 ， 解得不等式的解集为； （2）由且可得：， 解得：. 题型二：重点考查利用集合元素的互异性求参数 典型例题 例题1．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，且，则（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或2 【答案】C 【分析】由，可知，结合集合的三要素即可求解. 【详解】由，知， 当时，，集合中出现重复元素，故不满足题意； 当时，(舍)或，此时，，满足题意. 综上所述，. 故选：C. 例题2．（23-24高一·全国·单元测试）非空有限数集满足：若，，则必有，，．则满足条件且含有两个元素的数集 ．（写出一个即可） 【答案】（或） 【分析】设，结合题意与集合的性质分析即可. 【详解】不妨设，根据题意有，ab， 所以，，中必有两个是相等的． 若，则，故，又或，所以（舍去）或或，此时． 若，则，此时，故，此时．若，则，此时，故，此时． 综上，或． 故答案为：（或） 精练核心考点 1．（2024·天津河东·一模）已知集合，，，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设知，讨论、求a值，结合集合的性质确定a值即可. 【详解】由知：， 当，即，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合； 当，即或， 若，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合； 若，则，，满足要求. 综上，. 故选：A 2．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知集合，且，则实数的值为 . 【答案】或0. 【分析】根据题意，考虑到各种可能性，分别解方程，并注意检验集合元素的互异性，即可得到答案. 【详解】若，则或 当时，，符合元素的互异性； 当时，，不符合元素的互异性，舍去 若，则或 当时，，符合元素的互异性； 当时，，不符合元素的互异性，舍去； 故答案为：或0. 【点睛】关键点点睛：本题考查元素与集合的关系，检验集合元素的互异性排除不符合答案是解题的关键，属基础题. 题型三：重点考查根据集合中元素的个数求参数 典型例题 例题1．（多选）（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】BCD 【分析】根据条件可知集合中仅有一个元素，由此分析方程为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出的值. 【详解】因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素， 当时，，所以，所以，满足要求； 当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求， 故选：BCD. 例题2．（23-24高一上·河北衡水·阶段练习）设集合A＝{x|x2+3x+2＝0}，B＝{x|x2+(m+1)x+m＝0}． (1)若B中有且只有一个元素，求实数m的值； (2)若是的充分条件，求实数m的值． 【答案】(1) (2)或者 【分析】（1）由集合中只有一个元素得出，即可求出的值； （2）由是的充分条件推出，进而求出的值. 【详解】（1）解： 集合中， 得 解得或 中只有一个元素 （2）解：由 解得或 即 若是的充分条件 则 由（1）知，集合中，即或 当时，，满足 当时，，满足 所以或者. 例题3．（23-24高一上·上海金山·阶段练习）已知集合 （1）当A只有一个元素时，求的值，并写出这个元素； （2）当A至多含有一个元素时，求的取值范围. 【答案】（1），，或，；（2）或 【分析】（1）中只有一个元素，说明方程有唯一解，根据是否为零分类讨论求解即可； （2）中至多有一个元素，则说明方程有一个解或无解，根据是否为零分类讨论求解即可． 【详解】（1）当时，原方程变为， 此时，符合题意． 当时，， 解得， 此时原方程为，即． 综上可知：，，或，； （2）由（1）知当时，中只有一个元素． 当时，若中至多含有一个元素， 则一元二次方程有一个解或无解， 即解得， 此时方程至多有一个解． 综上可知，的取值范围是或． 精练核心考点 1．（23-24高一·全国·课后作业）若关于的方程的解集为单元素集合，则实数 ． 【答案】0或/或0/0，/，0/和0/0和 【分析】由题意，方程有唯一解，分，两种情况讨论，当时，令，求解即可 【详解】由于关于的方程的解集为单元素集合， 即方程有唯一解 （1）当时，，方程有唯一解； （2）当时， 综上0或 故答案为：0或 2．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）若集合只有两个子集，则集合 ． 【答案】或 【分析】集合A只有两个子集，故A中只有一个元素，即方程只有一个解，然后分类讨论，或，分别计算即得解 【详解】由题意，集合A只有两个子集，故A中只有一个元素 方程只有一个解； 当时，，，满足题意； 当时，； ； 解得，； 或． 故答案为：或． 3．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知集合. （1）若集合A的子集只有一个，求实数a的取值范围； （2）若集合A中有且只有一个元素，求实数a的值. 【答案】（1）；（2）0或1. 【分析】(1)根据给定条件可得，再借助一元二次方程根的判别式列式作答； (2)根据给定条件确定方程只有一个根或者有两个等根即可得解. 【详解】（1）因为集合A的子集只有一个，则，即方程无实数根， 于是得，即，解得， 所以实数a的取值范围为； （2）因为集合A中有且只有一个元素，则方程只有一个实数根或者两个相等实根， 当时，集合满足题意，则， 当时，则，，集合满足题意，即， 所以实数a的值为0或1. 题型四：重点考查根据集合的包含关系求参数 典型例题 例题1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）若不等式的解集为，不等式解集为，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】不等式转化为，求出不等式的解集，从而得到集合，根据，可得，通过讨论的范围，求出，从而确定的取值范围. 【详解】由题可知，因为，所以，解得：，即， 因为，所以， 当时，，则，即，不符合题意，舍去； 当时，不等式转化为，解得：，所以，因为，则，解得：； 当时，不等式转化为， 若，则，不符合题意，舍去； 当，则，不符合题意，舍去； 当，则，不符合题意，舍去； 综上：，所以的取值范围为， 故答案为： 例题2．（2024高一·全国·专题练习）已知全集，集合． (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)若时，求出，计算； （2）若，可得,分类讨论求出的取值范围. 【详解】（1）当时，， 又，所以． （2）因为，所以， 又，方程的根为， 当时，，由，得； 当时，，符合，则； 当时，，符合，则； 综上，实数的取值范围是． 例题3．（23-24高一上·浙江·期末）已知集合，集合 (1)当时，求； (2)若，求实数a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】当时，可得或，先求，再求其补集即可； （2）由可知，然后结合集合的包含关系即可求解. 【详解】（1）依题意解得：，当时，或， 此时或， ； （2）由可知． 因为，； 当，即时，，符合题意， 当，即时，或， 则或，此时不存在； 当，即时，或， 则或，此时不存在， 所以． 精练核心考点 1．（2024高三下·全国·专题练习）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】解一元二次不等式化简集合A，再分类求解不等式化简集合B，并利用集合的包含关系列式求解即得. 【详解】由“”是“”的必要不充分条件，得， 依题意，集合， ， 当，即时，，则，解得； 当，即时，，则，解得， 当，即时，，满足，因此， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 2．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知集合，． (1)当时，求集合； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，得出，结合交集的概念即可得解； （2）对集合是否是空集分类讨论，依次列出不等式（组）即可求解. 【详解】（1）当时，集合，， 故． （2）当时，，即，满足，故满足题意； 当时，，即时，， 解得，于是得，所以， 故实数m的取值范围是． 3．（23-24高一上·青海西宁·期末）设全集，集合，． (1)求； (2)若集合，满足，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）化简集合结合交集、补集的概念即可得解. （2）由题意，由此列出不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 则或， 所以或， 又 所以， 则或. （2）由得， 因为， 所以， 从而，即的取值范围为． 题型五：重点考查根据两个集合相等求参数 典型例题 例题1．（23-24高一下·浙江·阶段练习）若，则（    ） A．－1 B．1 C．－2 D．2 【答案】C 【分析】由，得，解得，由题意可知是方程的两根，由韦达定理可得答案. 【详解】∵，∴，解得， ∴， ∴是方程的两根，则，∴. 故选：C． 例题2．（23-24高一上·浙江·期中）已知集合，集合;若 ，则 ； 【答案】-1 【分析】根据集合元素的互异性可判断且且，则由集合可得两集合元素的对应关系，即可求得答案. 【详解】由题意知集合，集合B=,， 由，由集合元素的互异性可知且且，则， 故由可得，则，，故， 所以, 故答案为：-1. 例题3．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知集合，，. (1)若，，求 (2)集合A，B能否相等？若能，求出，值；若不能，请说明理由. 【答案】(1)； (2)能相等，，. 【分析】（1）先根据补集运算求出，再利用交集运算即可求解； （2）根据集合相等列出方程即可求解. 【详解】（1）解：由，得 ， 所以 所以 （2）解：集合A，B能相等，理由如下 若，则集合可化为： 由可得：，解得： 若，则集合可化为： 而，不可能 综上，， 精练核心考点 1．（23-24高一·全国·课后作业）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由两集合相等，元素完全一样，则可列出等式，结合集合中元素满足互异性即可解出答案. 【详解】因为，所以或，解得或或， 又集合中的元素需满足互异性，所以， 则． 故选：C. 2．（多选）（23-24高一上·河南·期中）若集合，则的值可能为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】ABD 【分析】由题意知，只有一个实数根，分类讨论和两种情况，即可求解. 【详解】根据题意，只有一个实数根， 当时，化为，所以. 当时，，则. 若，则的解集为，所以； 若，则的解集为，所以. 故选：ABD. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合中有两个元素、，集合中的两个元素为0、，且，求实数的值． 【答案】 【分析】由集合相等条件求解即可. 【详解】由，，可知，，解得：． 题型六：重点考查根据交集结果求参数 典型例题 例题1．（23-24高三下·福建厦门·强基计划），，若，则以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再由交集的结果，可知方程有两个实数根，，且，结合韦达定理计算可得. 【详解】由得，解得，所以， 因为，， 所以方程有两个实数根，，且， 所以，故D正确； 又，所以，故A正确，B错误； ，故C正确. 故选：B 例题2．（2024高三下·全国·专题练习）已知集合，.若，求实数a的取值范围. 【答案】或. 【分析】解含参数的一元二次不等式化简集合A，求出二次函数在指定区间上的值域化简集合B，再由交集的结果列出不等式组求解即得. 【详解】显然，则或， 又，，则当时，，当时，， 因此，而，于是，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 例题3．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出集合、，利用交集的定义可求得集合； （2）由题意可得，分、两种情况讨论，根据题意可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，， 由可得，解得，则， 因此，. （2）解：因为，所以. 当时，，得，满足题意； 当时，则，解得， 综上所述，的取值范围是. 精练核心考点 1．（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）已知集合，若，则可能是（    ） A．-3 B．0 C．3 D．6 【答案】B 【分析】依题意，得，即可求解． 【详解】解：因为，所以， 故选：B 2．（2024高一·全国）已知集合，则实数m的取值范围是（    ）． A．或B． C．或 D． 【答案】C 【分析】化简集合A后，根据分类讨论即可. 【详解】由，， 当时，需满足，解得； 当时，需满足，解得， 综上或． 故选：C 3．（23-24高一上·北京·期中）已知集合. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；或 (2)或 【分析】（1）先解一元二次不等式，利用交集与补集的概念计算即可； （2）利用集合间的基本关系分类讨论计算即可. 【详解】（1）由或，即或， 则，且或， 所以或. （2）因为， 若，则，解得； 若，则或，解得； 所以实数的取值范围为或. 题型七：重点考查根据并集结果求参数 典型例题 例题1．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的解法和集合的运算，求得或，结合，列出不等式组，即可求解. 【详解】由集合，且， 所以或， 因为，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D． 例题2．（23-24高一上·湖南长沙·期末）集合. (1)当时，求； (2)已知，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）解不等式求出结合A，根据集合的并集运算，即可得答案； （2）根据题意可得，讨论B是否为空集，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由题知，， 因为，即，解得， 所以， 当时，， 所以. （2）由题知， 由（1）得，， 由题得，， 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得 综上，或. 例题3．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知集合 (1)若，求A； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将，代入不等式，即可求出. （2）由求出集合的表示，然后求出集合，根据集合算出，再由建不等式组，解不等式组即可得出结果. 【详解】（1）若，由， ，解得， 所以：则. （2） 由，解得， ，或 又， 所以 所以实数的取值范围. 精练核心考点 1．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知集合．若，则实数 ． 【答案】 【分析】依据给定的并集结果，分类讨论求解参数即可. 【详解】因为，故4必定在中， 当时，解得或，而此时有或， 解得或，故此时， 当时，解得，此时，不满足，故排除， 综上，即实数的值为. 故答案为： 2．（23-24高一上·江苏盐城·期末）设集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次不等式求解集合B，再利用交集运算求解即可； （2）根据并集运算性质得，然后根据与分类讨论即可求解. 【详解】（1）由得，， 因为，所以，所以. （2）因为，所以， ①当时，，符合题意； ②当时，，解得； 综上所述，. 3．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知集合． (1)求; (2)记关于x的不等式的解集为，若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）先求解出一元二次不等式、绝对值不等式的解集为集合，然后根据并集概念求解出，再根据交集和补集概念求解出； （2）根据不等式先求解出，然后根据列出关于的不等式组，由此求解出结果. 【详解】（1）因为，解得，所以， 又因为，解得或，所以或， 所以或； 又因为， 所以. （2）因为， 所以， 若，则，解得， 所以的取值范围是. 题型八：重点考查根据补集结果求参数 典型例题 例题1．（23-24高一上·北京·期中）设集合，，若，则 ； . 【答案】 1 1 【分析】先求解集合A，B中的不等式，再结合，列出关于的等量关系，即得解 【详解】由题意，集合 由于，即或 故，否则 故集合或 故 解得 故答案为：1，1 例题2．（23-24高一上·广东佛山·周测）设全集，，，则实数的值为 ． 【答案】3 【详解】因为，所以=，两个集合相等，所有元素都一样，所以，解得m=3,填3. 例题3．（23-24高一·全国·课后作业）已知全集，集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求出集合，由，可得出，讨论和，即可求出答案. （2）求出，由，得出，讨论讨论和，求实数a的取值范围，运用补集思想即可得出答案. 【详解】（1）由题意，得集合或，． ∵，∴． 当，即，即时，符合题意； 当，即时，由，得或，得． 综上，实数a的取值范围为． （2），若，则． 当，即时，符合题意； 当时，需满足，解得． ∴当时，． ∴当时，，即实数a的取值范围为． 精练核心考点 1．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知全集，集合，若的元素的个数为4，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合补集的结果个数，即可容易求得参数范围. 【详解】若的元素的个数为4，则 故选：A. 【点睛】本题考查由集合的补集元素个数求参数范围，属基础题. 2．（23-24高一·全国·课后作业）设全集，集合，则 . 【答案】或2 【分析】根据补集的性质，再根据集合相等的概念列方程组，从而可得结论. 【详解】由题意，根据补集的性质，∴，解得或， 故答案为：或2. 【点睛】本题的考点是集合关系中的参数取值问题，主要考查集合的基本运算，补集的性质，集合相等的概念，是基础题. 3．（23-24高一·全国·课后作业）已知全集，集合，求. 【答案】答案见解析 【分析】由补集的定义，对集合分和两种情况讨论，即可求解 【详解】依题意，当时，关于的方程无实数根，此时，即， 所以. 当时，关于的方程的两个实根，在内，由于，所以只可能是以下两种情形： ①当时，，即， 此时，； ②当，时，，即， 此时，. 综上所述，当时，； 当时，； 当时，. 题型九：重点考查根据并交补混合运算求参数 典型例题 例题1．（23-24高一上·广东佛山·期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题： 已知集合，，若______，求实数的取值范围. 【答案】答案见解析 【分析】根据题意求集合B. 若选①：可知，分和两种情况，结合交集运算求解；若选②：分和两种情况，结合交集运算求解；若选③：可知，分和两种情况，结合包含关系运算求解. 【详解】由题意可知：， 若选①：因为，则，可知， 当时，则，解得，符合题意； 当时，则或，解得或无解， 可得； 综上所述：实数的取值范围或； 若选②：因为， 当时，则，解得，符合题意； 当时，则或，解得或无解， 可得； 综上所述：实数的取值范围或； 若选③：因为，则， 当时，则，解得，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围. 例题2．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解集合B，然后利用交并补的运算求解即可； （2）根据并集运算结果得，然后利用集合关系列不等式求解即可. 【详解】（1）当时，，则或， 又或，所以或. （2）因为，所以， 又集合，或， 所以或，即或. 所以实数a的取值范围是或. 例题3．（2024高一·全国·专题练习）已知集合，. (1)若，求； (2)已知，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得. （2）先求得，然后根据列不等式组，由此求得的取值范围. 【详解】（1），解得. 因为，所以， 又因为，所以． （2）依题意，或， 由于，所以，解得， 所以的取值范围为． 精练核心考点 1．（23-24高一上·全国·课后作业）设全集是，，. (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先把集合中的不等式解出后根据交并的运算写出即可. （2）由可得，再根据是否为空集进行分类. 【详解】（1） 当时， ， 所以，. （2）由可得， 因， 所以或 当时，，满足； 当时，， 故即 综上，实数a的取值范围为. 2．（23-24高一上·湖南湘潭·期末）设全集 ，，． (1)若 ，求 ． (2)若 ，求实数 的取值范围． 【答案】(1)； (2)或， 【分析】（1）利用集合的补集和交集的运算知识即可求解. （2）求出，，分，两种情况讨论，根据集合的运算求解即可. 【详解】（1）当时，，， 所以或，； （2）全集 ，， 或， ， 分，两种情况讨论. （1）当时，如图可得，或， 或； （2）当时，应有：，解得； 综上可知，或， 故得实数 的取值范围或， 3．（23-24高一上·广西梧州·期中）已知集合，B＝{x|≤x≤a+5}． (1)当a＝2时，求，； (2)若＝R，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将集合表示出来，然后再运算即可；（2）先分析出两集合的关系，再找边界的大小即可. 【详解】（1） ， （2）＝R，，解之：. 题型十：重点考查根据充分必要性求参数 典型例题 例题1．（23-24高二下·陕西渭南·期末）命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为命题“，不等式”为真命题，求出的取值范围，根据必要不充分判定选项即可. 【详解】命题“，不等式”为假命题， 则命题“，不等式”为真命题， 所以，解得， 所以使得命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为， 则命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是， 故选：A 例题2．（2024高三下·全国·专题练习）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】解一元二次不等式化简集合A，再分类求解不等式化简集合B，并利用集合的包含关系列式求解即得. 【详解】由“”是“”的必要不充分条件，得， 依题意，集合， ， 当，即时，，则，解得； 当，即时，，则，解得， 当，即时，，满足，因此， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 例题3．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知集合，非空集合， (1)若时，求； (2)是否存在实数，使得是的必要不充分条件？若存在，求实数的取值范围；若不恶在，请说朋理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由分式不等式化简，即可由交集的定义求解， （2）将问题转化为⫋，即可列不等式求解. 【详解】（1）集合 当时，非空集合 （2）假设存在实数，使得是的必要不充分条件， 则⫋，即⫋，则，解得. 故存在实数，使得是的必要不充分条件. 精练核心考点 1．（23-24高二下·广西玉林·期末）已知命题，，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得在上恒成立，根据函数的单调性求出其最大值可得，结合充分、必要条件的定义和选项即可求解. 【详解】因为，，所以在上恒成立， 只需在上的最大值小于， 因为在上单调递减，故在上的最大值为1， 所以. A：既不是充分条件，也不是必要条件，故A错误； B：因为所以是的一个必要不充分条件，故B正确； C：是的充要条件，故C错误； D：因为，所以是的充分不必要条件，故D错误. 故选：B. 2．（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知p:关于x的方程有实数根，． (1)若命题是假命题，求实数a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由命题是假命题，可得命题是真命题，则由，求出的取值范围； （2）由是的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解即可. 【详解】（1）因为命题是假命题，则命题是真命题， 即关于的方程有实数根， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，命题是真命题，即， 因为命题是命题的必要不充分条件，则， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 3．（24-25高一上·上海·单元测试）已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】利用是的充分非必要条件得到集合间的关系，进而得到关于实数的不等式组，解不等式即可. 【详解】解：因为是的充分非必要条件， 所以或是或的真子集， 所以或解得． 即实数的取值范围是． 题型十一：重点考查根据命题的真假求参数 典型例题 例题1．（23-24高二下·江西九江·期末）若命题“，”是假命题，则不能等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化为命题的否定“，”为真命题，用关于的一次函数来考虑，即可求解. 【详解】根据题意，知原命题的否定“，”为真命题. 令，故，解得. 故选：D. 例题2．（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）若命题“，”为假命题，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意知，命题的否定为真命题，再结合一元二次不等式恒成立求得的取值范围. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”真命题， 所以， 解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 例题3．（23-24高一下·河北保定·期末）（1）已知集合．若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． （2）若命题“”为假命题，求x的取值范围． 【答案】（1）或，；（2） ． 【分析】（1）若是的必要不充分条件，转化为B是A的真子集．然后用集合的知识来解题即可； （2）“”为假命题转化为命题的否定为真命题，即“”为真命题，运用关于的一次函数来解题即可. 【详解】解：（1）由是的必要不充分条件，得B是A的真子集， 或 则当时，，解得， 当时，，或，解得或， 综上所述，． （2）由题意知“”为真命题． 令， 则，即，解得 所以x的取值范围为 精练核心考点 1．（23-24高三上·内蒙古通辽·阶段练习）已知命题，，若命题是假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用含有一个量词命题的否定转化为不等式对恒成立，根据判别式可求得. 【详解】根据题意可知，命题的否定为“，”为真命题； 即不等式对恒成立， 所以，解得； 可得的取值范围为. 故选：C 2．（23-24高二下·福建福州·阶段练习）命题“，满足不等式”是假命题，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由含有量词的命题的否定，转化为不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】命题“，满足不等式”是假命题， 所以，不等式恒成立， 设，， 则有，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知命题“：，”，若是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由特称量词与全称量词得出命题的否定，再由一元二次不等式恒成立得出实数的取值范围. 【详解】若是假命题，则，， 当时，代入不等式得成立； 当时，， 综上可得实数的取值范围是. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$