专题03 函数零点的综合应用六大类型-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（苏教版2019必修第一册）

专题03 函数零点的综合应用六大类型 1 1.函数的零点 1 2.复合函数 2 3.求解复合函数零点问题的技巧: 2 2 题型1. 已知函数，讨论一元二次型方程根的个数. 2 题型2. 型方程 6 题型3.分段函数的零点 7 题型4.整点问题 9 题型5.多变量零点问题 12 题型6..零点综合问题 15 17 1．函数的零点 一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数． 【解法】——二分法 ①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度； ②求区间（a，b）的中点x1； ③计算f（x1）； ④若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点； ⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））； ⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b） ⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4） 【命题方向】 零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点．这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了． 2.复合函数 对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为. 3.求解复合函数零点问题的技巧: （1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像 （2）若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点,分配每个函数值被几个所对应,从而确定的取值范围,进而决定参数的范围. 题型1. 已知函数，讨论一元二次型方程根的个数. 例1．已知函数若关于的方程有六个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． A． B． C． D． 例2．已知函数，若关于的方程有六个不相等的实数根，则实数的取值范围是 A． B． C． D．， 例3．已知为偶函数，为奇函数，且满足． （1）求，； （2）若方程有解，求实数的取值范围； （3）若，且方程有三个解，求实数的取值范围． 题型2. 型方程 例4．已知函数，则方程的根的个数为 A．7 B．5 C．3 D．2 例5．已知函数，则方程的实数根的个数为 A．7 B．5 C．3 D．2 题型3.分段函数的零点 例6．已知函数，，则函数的零点个数为 个． A．7 B．8 C．9 D．10 例7．已知函数为自然对数的底数），则函数的零点个数为 A．1 B．3 C．5 D．7 题型4.整点问题 例8．设函数．若只存在唯一非负整数，使得，则实数取值范围为 A．， B．， C．， D．， 例9．设函数，其中，若存在唯一负整数，使得，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 题型5.多变量零点问题 例10．已知函数， （1）求函数的零点； （2） 若函数有四个零点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，记得四个零点从左到右分别为，，，，求值． 例11．已知函数，若函数有四个零点，分别为，，，，则的取值范围是 A． B． C． D． 例12.（2020秋•射洪市校级期中）已知，若，，互不相等，且（a）（b）（c），则的范围是 ． 题型6.零点综合问题 例13．已知，若，，互不相等，且（a）（b）（c），则的范围是　　． 例14．已知函数是偶函数． （1）求实数的值； （2）设，若函数有唯一的零点，求实数的取值范围． 1．已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数的取值可以是 A． B．3 C． D． 2．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围是　　． 3．已知为偶函数，为奇函数，且满足． （1）求，； （2）若，且方程有三个解，求实数的取值范围． 4．已知函数，，，则下列关于函数的零点个数判断正确的是 A．当时，有2个零点；当时，有4个零点 B．当时，有4个零点；当时，有2个零点 C．无论为何值，均有2个零点 D．无论为何值，均有4个零点 5．已知函数，若函数有两个零点，则函数的零点个数为 A．3 B．4 C．5 D．6 6．已知，则方程实数根的个数是 A．5 B．6 C．7 D．8 7．已知函数，则方程的根的个数是 A．4 B．5 C．6 D．7 8．已知函数，，，则下列关于函数的零点个数判断正确的是 A．当时，有2个零点；当时，有4个零点 B．当时，有4个零点；当时，有2个零点 C．无论为何值，均有2个零点 D．无论为何值，均有4个零点 9．已知函数，若函数有两个零点，则函数的零点个数为 A．3 B．4 C．5 D．6 10．设函数，其中，若存在唯一负整数，使得，则实数的取值范围是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数零点的综合应用六大类型 1 1．函数的零点 1 2.复合函数 2 3.求解复合函数零点问题的技巧: 2 2 题型1. 已知函数，讨论一元二次型方程根的个数. 2 题型2. 型方程 6 题型3.分段函数的零点 7 题型4.整点问题 9 题型5.多变量零点问题 12 题型6..零点综合问题 15 17 1．函数的零点 一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数． 【解法】——二分法 ①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度； ②求区间（a，b）的中点x1； ③计算f（x1）； ④若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点； ⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））； ⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b） ⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4） 【命题方向】 零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点．这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了． 2.复合函数 对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为. 3.求解复合函数零点问题的技巧: （1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像 （2）若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点,分配每个函数值被几个所对应,从而确定的取值范围,进而决定参数的范围. 题型1. 已知函数，讨论一元二次型方程根的个数. 解法剖析：换元，一元二次方程根的分布. 例1．已知函数若关于的方程有六个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． A． B． C． D． 【分析】令，则，作的图象，观察图象可知，函数在有两不等实根或者其中一根为3，另一根在内，由二次函数的根的分布列出不等式组得解． 【解析】解：令，则，作的图象如下， 设的零点为，， 由图可知，要满足题意， 则需在有两不等实根或者其中一根为3，另一根在内， 而两根之积为2， 故在有两不等实根， 故，解得． 即实数的取值范围是：，． 故选：． 【点评】本题考查函数与方程的综合运用，考查数形结合思想，属于中档题． 例2．已知函数，若关于的方程有六个不相等的实数根，则实数的取值范围是 A． B． C． D．， 【分析】令，则，作的图象，观察图象可知，函数在有两不等实根或者其中一根为4，另一根在内，由二次函数的根的分布列出不等式组得解． 【解析】解：令，则，作的图象如下， 设的零点为，，由图可知，要满足题意， 则需在有两不等实根或者其中一根为4，另一根在内， 故或，解得或． 即实数的取值范围是：，． 故选：． 【点评】本题考查函数与方程的综合运用，考查数形结合思想，属于中档题． 例3．已知为偶函数，为奇函数，且满足． （1）求，； （2）若方程有解，求实数的取值范围； （3）若，且方程有三个解，求实数的取值范围． 【分析】将方程进行等价转化，利用换元法转化为一元二次方程，结合一元二次方程根的分别进行求解即可． 【解析】解：（1）根据题意， 是偶函数，是奇函数，且①， ，，，即②； 由①②解得， ①②解得； （2）方程有解， 则有解， 令，当且仅当时取等号， 在，有解， 即， 当时，不成立， 当时，， 当且仅当时取等号， 故的取值范围为，； （3），， 令，则，，函数的图象，如图所示为： 方程有三个解， 有两个根，且，或者，，或者， 当，，有，，解得满足题意， 当，时，有，，解得，满足题意； 当时，令（a），则， 解得， 综上可得，的取值范围为，． 【点评】本题考查函数的零点与方程的根的关系，及函数的性质，考查学生的运算能力，属于难题． 题型2. 型方程 例4．已知函数，则方程的根的个数为 A．7 B．5 C．3 D．2 【分析】利用分段函数以及方程的根化简求解即可； 【解析】解：函数，则方程， 可得，解得；，可得或， 所以或， 所以，可得，解得；，可得或， 所以或， 可得，解得舍去；，可得或， 所以或， 可得，解得舍去；，可得或， 所以或， 所以方程的根的个数为7个． 故选：． 【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，利用分段函数求解方程的解，是解题的关键． 例5．已知函数，则方程的实数根的个数为 A．7 B．5 C．3 D．2 【分析】令，则，分段求出的值，画出函数的图象，根据图象求出函数与函数的图象交点个数，从而得到方程的实数根的个数． 【解析】解令，则， ①当时，，， ，即， ②当时，，， 画出函数的图象，如图所示， 若，即，无解； 若，直线与的图象有3个交点，即有3个不同实根； 若，直线与的图象有2个交点，即有2个不同实根； 综上所述，方程的实数根的个数为5个， 故选：． 【点评】本题主要考查了函数图象的变换，考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的数学思想，属于中档题． 题型3.分段函数的零点 例6．已知函数，，则函数的零点个数为 个． A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】令得出，设的解，作出的函数图象，根据图象判断的解得个数． 【解析】解：令得， 令得或，解得或或． 或或．作出的函数图象如图所示： 由图象可知有4个解，有两个解，有4个解， 共有10个零点． 故选：． 【点评】本题考查了复合函数的零点判断，二次函数的图象，属于中档题． 例7．已知函数为自然对数的底数），则函数的零点个数为 A．1 B．3 C．5 D．7 【分析】令，则有，作出和的图象，得有3个交点，，，且有，再作出、，，的图象，由它们的交点即可得答案． 【解析】解：令，则有， 又因为的定义为， 所以在中，， 所以， 所以，即为， 在同一坐标系中作出和的图象，如图所示： 设的三个根从小到大依次为，，， 则有， 现在在同一直角坐标系中作出、，，的图象，如图所示： 由图所知与有3个交点，与，各有2个交点， 所以共有7个零点． 故选：． 【点评】本题考查了转化思想、数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题． 题型4.整点问题 例8．设函数．若只存在唯一非负整数，使得，则实数取值范围为 A．， B．， C．， D．， 【分析】令，，描绘出的草图，结合函数的图象，转化求解的范围即可． 【解析】解：函数． 令，， 则，， 令，解得或， 时，有， 时，有， 时，有， 可以描绘出的草图， 为过点的直线， 由图可知：当不成立， 当时，， 所以（1），得， 所以，． 故选：． 【点评】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及构造法的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题． 例9．设函数，其中，若存在唯一负整数，使得，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【分析】设，，则存在唯一的整数，使得在直线的下方，由此利用导数性质能求出的取值范围即可． 【解析】解：由得，其中， 即 设，， 存在唯一的负整数，使得， 存在唯一的负整数，使得在直线的下方， ， 当时，，函数为减函数， 当，，函数为增函数， 当时，，， 直线恒过，斜率为， 要使存在唯一的负整数，使得在直线的下方，则这个负整数， 则满足，即，得，即 的取值范围是，． 故选：． 【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件构造函数，求函数的导数研究函数的单调性，利用函数值的大小关系转化为图象的高低关系，利用数形结合是解决本题的关键． 题型5.多变量零点问题 例10．已知函数， （1）求函数的零点； （2） 若函数有四个零点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，记得四个零点从左到右分别为，，，，求值． 【分析】（1）讨论当时，当时，由，解方程即可得到零点； （2）由题意可得有四个不等实根，画出函数的图象，通过图象观察，即可得到的范围； （3）由二次函数的对称性和对数的运算性质，结合图象即可得到所求和． 【解析】解：（1）函数， 当时，由解得， 当时，由解得或， 可得函数的零点为1，或； （2） 若函数有四个零点， 即为有四个不等实根，画出函数的图象， 由图象可得当时，的图象和直线有四个交点， 故函数有四个零点时的取值范围是； （3）由的对称轴为， 可得， 由， 即，即为 则， 故． 【点评】本题考查函数的零点问题的解法，注意运用转化思想和数形结合思想，考查对数的运算性质，属于中档题． 例11．已知函数，若函数有四个零点，分别为，，，，则的取值范围是 A． B． C． D． 【分析】画出函数的图象，函数有四个零点即为函数的图象与直线有四个交点，不妨令，得到，结合图象得到．结合，求得，即可求解． 【解析】解：函数的图象如图所示， 因为函数有四个零点，，，， 即函数的图象与直线有四个交点， 且这些交点的横坐标分别为，，，． 不妨令， 则，所以有． 当时，函数，且， 要使的图象与直线有两个交点，则． 令，即， 可得， 又因为． 所以， 因此的取值范围是． 故选：． 【点评】本题考查了函数的零点、转化思想及数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题． 例12.（2020秋•射洪市校级期中）已知，若，，互不相等，且（a）（b）（c），则的范围是 ． 【答案】． 【考点】分段函数的应用 【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算 【分析】画出函数的大致图象，根据图象可知，，且，所以，又，可得，从而得到，再利用的范围和对勾函数的单调性即可求出的范围． 【解析】解：画出的图象， 如图所示：， 设，则，有，，且，， 当时，单调递减，可得其与轴交于，点，可得， 故可得：， 由，可得，故可得， 由对勾函数性质及，可得， 故可得的范围是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分段函数的应用，考查了函数图象的变换以及对勾函数的性质，是中档题． 题型6.零点综合问题 例13．已知，若，，互不相等，且（a）（b）（c），则的范围是　　． 【分析】画出函数的大致图象，根据图象可知，，且，所以，又，可得，从而得到，再利用的范围和对勾函数的单调性即可求出的范围． 【解析】解：画出的图象， 如图所示：， 设，则，有，，且，， 当时，单调递减，可得其与轴交于，点，可得， 故可得：， 由，可得，故可得， 由对勾函数性质及，可得， 故可得的范围是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分段函数的应用，考查了函数图象的变换以及对勾函数的性质，是中档题． 例14．已知函数是偶函数． （1）求实数的值； （2）设，若函数有唯一的零点，求实数的取值范围． 【分析】（1）通过，推出，对于一切恒成立，求解即可． （2）函数与的图象有且只有一个公共点，等价于方程有唯一实数解，且，利用换元法转化为：方程只有一个正实根，且，通过与1的大小比较，转化求解的范围即可． 【解析】解：（1）是偶函数，， ，（2分） ． 此式对于一切恒成立， ．（3分） （2）函数与的图象有且只有一个公共点， 等价于方程有唯一的实数解， 等价于方程有唯一实数解，且，（4分） 令，则此问题等价于方程只有一个正实根，且，（5分），、 从而有： 当，即时，则不合题意舍去，（6分） 当，即时， ①若，即或，（7分） 当时，代入方程得，不合题意；（8分） 当时，得，符合题意；（9分） ②方程有一个正根和一个负根，即， 即，符合题意．（11分） 综上所述，实数的取值范围是．（12分） 【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的零点与方程根的关系，分类讨论思想的应用，是中档偏难题目． 1．已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数的取值可以是 A． B．3 C． D． 【分析】令，则有有两个不同的解，，作出函数的图象，由题意可得，由二次函数根的分布列出不等式组求解即可． 【解析】解：令， 令， 则有有两个不同的解，， 不妨设， 所以△，解得或， 作出函数的图象，如图所示： 因为函数有6个不同的零点， 所以， 由二次函数根的分布可得： ，解得． 所以只有选项满足． 故选：． 【点评】本题考查了函数的零点、转化思想及数形结合思想，属于中档题． 2．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围是　　． 【分析】由已知中函数，若关于的方程恰有四个不同的实数解，我们可以根据函数的图象得到恰有三个不同的实数解，进而得到实数的取值范围． 【解析】解：函数的图象如下图所示： 关于的方程可转化为： ，或， 若关于的方程恰有四个不同的实数解， 则恰有三个不同的实数解， 由图可知：． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知中函数的解析式，画出函数的图象，再利用数形结合是解析本题的关键． 3．已知为偶函数，为奇函数，且满足． （1）求，； （2）若，且方程有三个解，求实数的取值范围． 【分析】（1）结合函数奇偶性将代入条件中可得答案； （2）转化为、共有三个解求的取值范围，结合图象可得答案． 【解析】解：（1）因为为偶函数，为奇函数，所以，， 由①， 得， 即②， ①②可得， ①②可得； （2）由（1）， 方程， 可得或， 即或， 当时，由下图可得与的图象有两个交点， 所以要使方程有三个解， 只需有一解即可， 即与 的图象只有一个交点即可， 由图象可得或， 解得或． 综上，实数的取值范围为． 【点评】本题考查函数的零点与方程的根的关系，及函数的性质，考查学生的运算能力，属于难题． 4．已知函数，，，则下列关于函数的零点个数判断正确的是 A．当时，有2个零点；当时，有4个零点 B．当时，有4个零点；当时，有2个零点 C．无论为何值，均有2个零点 D．无论为何值，均有4个零点 【分析】根据方程的根和函数零点的关系，将函数的零点个数转化为和，以及的交点个数问题即可． 【解析】解：依题意，当或时，， 函数的零点个数，即为方程的解的个数， 即为方程或的解的个数， 即为方程或者或（舍或者解的个数， 即为或者或者解的个数， ，， ，， ①当时，为顶点为，开口向上的抛物线，与和分别有两个交点，与无交点， 故当时，函数有4个零点； ②当时，为顶点为，开口向下的抛物线，与有两个交点，与和无交点， 故当时，函数有2个零点； 综上，当时，有4个零点；当时，有2个零点， 故选：． 【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系，考查零点个数问题，主要考查了分析和解决问题的能力和计算能力，属于难题． 5．已知函数，若函数有两个零点，则函数的零点个数为 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】做出函数图像，则函数的图象与直线有两个交点，解得，令求出实数根个数即可求出零点个数． 【解析】解：作出函数的图象如图所示， 若函数有两个零点，则函数的图象与直线有两个交点， 所以，解得， 故， 令，即， 则或， 则或，而有3个实数根， 有1个实数根， 故的零点个数为4， 故选：． 【点评】本题主要考查函数零点和方程的根，属于中档题． 6．已知，则方程实数根的个数是 A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】由方程先求出或或，再解方程即可． 【解析】解：①当时， ， 解得，， 或， 或， 故或； ②若，则， 或， 或， 若，则或， 则或或； 若，则或， 则（舍去）或或， 综上所述，方程实数根的个数是7， 故选：． 【点评】本题考查了分段函数的应用及分类讨论的思想应用． 7．已知函数，则方程的根的个数是 A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】画出函数的大致图像，令，结合图像即可求解结论． 【解析】解：函数的图像如图： 令， 则方程即为对应的值，则或或， 时对应的有2个， 时对应的有1个， 时对应的有1个， 故方程的根的个数是4个， 故选：． 【点评】本题考查了方程的根与函数的图象的应用，考查转化思想的应用，属于中档题． 8．已知函数，，，则下列关于函数的零点个数判断正确的是 A．当时，有2个零点；当时，有4个零点 B．当时，有4个零点；当时，有2个零点 C．无论为何值，均有2个零点 D．无论为何值，均有4个零点 【分析】根据方程的根和函数零点的关系，将函数的零点个数转化为和，以及的交点个数问题即可． 【解析】解：依题意，当或时，， 函数的零点个数，即为方程的解的个数， 即为方程或的解的个数， 即为方程或者或（舍或者解的个数， 即为或者或者解的个数， ，， ，， ①当时，为顶点为，开口向上的抛物线，与和分别有两个交点，与无交点， 故当时，函数有4个零点； ②当时，为顶点为，开口向下的抛物线，与有两个交点，与和无交点， 故当时，函数有2个零点； 综上，当时，有4个零点；当时，有2个零点， 故选：． 【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系，考查零点个数问题，主要考查了分析和解决问题的能力和计算能力，属于难题． 9．已知函数，若函数有两个零点，则函数的零点个数为 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】做出函数图像，则函数的图象与直线有两个交点，解得，令求出实数根个数即可求出零点个数． 【解析】解：作出函数的图象如图所示， 若函数有两个零点，则函数的图象与直线有两个交点， 所以，解得， 故， 令，即， 则或， 则或，而有3个实数根， 有1个实数根， 故的零点个数为4， 故选：． 【点评】本题主要考查函数零点和方程的根，属于中档题． 10．设函数，其中，若存在唯一负整数，使得，则实数的取值范围是 【分析】由已知可得解集中只有一个负整数，结合不等式特点构造函数，然后结合导数分析的性质，结合导数可求． 【解析】解：由可得， 所以解集中只有一个负整数， 令，则， 易得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增且只有一个零点， 其大致图像如图所示， 结合图像可知，， 解得，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了由不等式解的存在求解 参数范围，体现了转化思想及数形结合思想的应用，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$