第11章 三角形（单元复习课件）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

八年级人教版数学上册 单元考点串讲 第十一章 三角形 目录/CONTENTS 易错易混 典例剖析 考点透视 考场练兵 技巧总结 考点透视 C 典例剖析 D 典例剖析 C 不稳定性 典例剖析 6 典例剖析 典例剖析 典例剖析 B C 典例剖析 99°或29° 20 典例剖析 典例剖析 典例剖析 D 720° 九 典例剖析 102 典例剖析 典例剖析 典例剖析 易错易混 1．判断三条线段能否组成三角形时，误认为只要有两条线段的长度之和大于第三条线段的长度就可以． 2．运用三角形内角和定理的推论时，忽略条件“不相邻”而出错． 3．一个多边形是正多边形必须具备“各个角都相等”“各条边都相等”这两个条件，缺一不可． 4．画钝角三角形的高时，不知过哪一点画哪条边的垂线． 5．在求三角形的边或周长时，容易忽略构成三角形的条件． 易错点一 画钝角三角形的高时出错 例 1.如图，在△ABC中，作出边AC上的高BE. 正解：如图，过点B作边AC所在直线的垂线，垂足为E. 易错点二 确定等腰三角形的边长时，易忽略三角形的三边关系而出错 例 2.已知在等腰三角形ABC中，其中一边长为4，周长为17，则其底边长为（ ） Α.4 B.9 C.4 或9 D.不存在 正解：当4为腰长时，它的底边长为17-4-4=9. ∴4+4<9，不能构成三角形； 当4为底边长时，它的腰长为（17-4）÷2=6.5. ∴4+6.5>6.5，能构成等腰三角形.综上所述，其底边长为 4.故选 A. A 易错点三 忽视三角形的形状而漏解 例 3.在△ABC中，∠ABC= ∠C，BD是边AC上的高，∠ABD=40°，求∠C的度数. 正解：如图：∵BD 为边AC上的高， ∴∠ADB = 90° ∵∠ABD=40°， ∴∠A=90°-∠ABD =50°. ∵∠ABC= ∠C， ∴∠C =(𝟏𝟖𝟎°−𝟓𝟎°)/𝟐=65°. 本题还应分情况讨论，第二种情况，如图 ∵BD 为边 AC 上的高， ∠ADB= 90°. ∵∠ABD= 40°， ∴∠BAD = 90°-∠ABD = 50°. ∵∠ABC = ∠C，∠BAD= ∠ABC+∠C， ∴∠C=∠BAD=25°. 综上所述，∠C 的度数为65°或25° 易错点三 忽视三角形的形状而漏解 例 3.在△ABC中，∠ABC= ∠C，BD是边AC上的高，∠ABD=40°，求∠C的度数. 易错点四 在处理多边形的“截角”问题时漏解 例 4.从如图所示的五边形中截去一个三角形，得到一个三角形和一个新多边形， 那么这个新多边形的内角和等于多少度？请画图说明. 分三种情况： ①如图①，新多边形为四边形，则其内角和为360°； ②如图②，新多边形为五边形，则其内角和为（5-2）×180°=540° 如图③，新多边形为六边形，则其内角和为（6-2）×180° = 720°. 综上所述，这个新多边形的内角和等于360°或540°或720°. A 技巧总结 B B 技巧总结 10 cm或6 cm 2＜b＜8 技巧总结 技巧总结 B D 技巧总结 技巧总结 B 技巧总结 技巧总结 技巧总结 第三个角的一半 25° 12.5° 技巧总结 85° 技巧总结 技巧总结 相等或互补 135°或45° 技巧总结 技巧总结 另外两角差的一半 20° 技巧总结 75° 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 C C 考场练兵 A A 考场练兵 C D 考场练兵 B 考场练兵 D 考场练兵 B 考场练兵 D 考场练兵 150° 14 60° 考场练兵 140° 4 考场练兵 135°或45° 50°或130° ①③④ 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 20° 120 60 考场练兵 与三角形有关的线段 1．(金华中考)若长度分别为a,3,5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是(　　) A．1　　　 B．2 C．3　　　 D．8 2．为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16 m，PB＝12 m，那么AB间的距离不可能是(　　) A．5 m B．15 m C．20 m D．28 m 3．一个等腰三角形的两边长分别为4,8，则它的周长为(　　) A．12 B．16 C．20 D．16或20 4．生活中有一种可推拉的活动护栏，它是应用了数学中四边形的 ． 5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积是 . 6．已知一个三角形的两边长分别为3和8，第三条边长为奇数，求第三条边的长． 解：设第三条边的长为x，由题意，得8－3＜x＜8＋3，所以5＜x＜11，又因为x为奇数，所以第三条边的长为7或9. 7．如图所示：已知△ABC. (1)作出△ABC的三条高线； (2)如果△ABC的三边分别为AB＝6，BC＝5，AC＝4， 那么(1)中的三条高线的比是多少？ 解：(1)图略； (2)设AB、BC、AC边上的高为h1、h2、h3，根据题意，得6h1＝5h2＝4h3，所以h1∶h2∶h3＝eq \f(1,6)∶eq \f(1,5)∶eq \f(1,4)＝10∶12∶15. 与三角形有关的角 8．(长沙中考)一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 9．如图所示，图中∠α、∠β的度数分别是(　　) A．30°，50° B．40°，80° C．40°，40° D．60°，40° 10．已知，在△ABC中，AD是BC边上的高线，且∠ABC＝26°，∠ACD＝55°，则∠BAC＝ . 11．(江西中考)如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝ °. 12．如图所示，AB∥CD，∠ABE＝60°，∠D＝50°，求∠E的度数． 解：∵AB∥CD，∠ABE＝60°，∴∠EFC＝∠ABE＝60°.又∵∠D＝50°，∠D＋∠E＝∠EFC，∴∠E＝∠CFE－∠D＝60°－50°＝10°. 13．如图所示，在△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，AD是高，∠BAC＝54°，∠C＝66°，求∠DAC、∠BOA的度数． 解：∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝66°∴∠DAC＝180°－90°－66°＝24°.∵∠BAC＝54°，∠C＝66°，AE是角平分线，∴∠BAO＝27°，∠ABC＝60°.∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠ABO＝30°，∴∠BOA＝180°－∠BAO－∠ABO＝123°. 多边形的内角和与外角和 14．(云南中考)一个十二边形的内角和等于(　　) A．2160° B．2080° C．1980° D．1800° 15．(资阳中考)一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是 . 16．过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形．则这个多边形是 边形． 17．将正三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，则∠1＋∠2＋∠3＝ °. 综合应用 18．如图，在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°. (1)如图①，若∠B＝∠C，试求出∠C的度数； (2)如图②，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数； (3)如图③，若∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数． 解：(1)在四边形ABCD中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∵∠A＝140°，∠D＝80°，∠B＝∠C，∴140°＋80°＋2∠C＝360°，∴∠C＝70°； (2)∵∠A＝140°，∠D＝80°，BE∥AD，∴∠ABE＝180°－∠A＝180°－140°＝40°，∠BED＝180°－∠D＝180°－80°＝100°.又∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠EBC＝∠ABE＝40°.∴∠C＝∠BED－∠EBC＝100°－40°＝60°； (3)∵∠A＝140°，∠D＝80°，∠ABC＋∠BCD＝360°－(∠A＋∠D)＝360°－(140°＋80°)＝140°，又∵BE、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，∴∠EBC＋∠ECB＝eq \f(1,2)∠ABC＋eq \f(1,2)∠BCD＝eq \f(1,2)(∠ABC＋∠BCD)＝eq \f(1,2)×140°＝70°.∴在△BEC中，∠BEC＝180°－(∠EBC＋∠ECB)＝180°－70°＝110°. 强化技巧1 判断三条线段能否组成三角形 1．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，不能摆成三角形的一组是(　　) A．4,4,8　 B．5,5,1 C．3,7,9　 D．2,5,4 2．有四条线段，长度分别为4 cm、8 cm、10 cm、12 cm，选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个三角形？ 解：可以组成3个三角形，分别为：①8 cm、10 cm、12 cm；②4 cm、10 cm、12 cm；③4 cm、8 cm、10 cm. 强化技巧2 求三角形第三边的长或取值范围 3．(淮安中考)若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是(　　) A．14 B．10 C．3 D．2 4．一个三角形的两边长分别为5 cm和3 cm，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是(　　) A．2 cm或4 cm B．4 cm或6 cm C．4 cm D．2 cm或6 cm 5．已知，等腰三角形ABC的底边BC＝8 cm，|AC－BC|＝2 cm，则AC＝ . 6．若等腰三角形的底边长为4，且周长小于20，则它的腰长b的取值范围是 . 7．若△ABC中两边长之比为2∶3，且三边都是整数，周长为18 cm，求各边的长． 解：设两边长为2x cm、3x cm，第三边长为y cm,2x＋3x＋y＝18,5x＋y＝18，①x＝1，y＝13，则三边长为2 cm、3 cm、13 cm，∵2＋3＝5＜13，∴不能构成三角形；②x＝2，y＝8，则三边长分别为4 cm、6 cm、8 cm，∵4＋6＞8,8－6＜4，∴能构成三角形；③x＝3，y＝3，则三边长分别为6 cm、9 cm、3 cm，∵3＋6＝9，∴不能构成三角形．因此各边的长分别为4 cm、6 cm、8 cm. 强化技巧3 求三角形的周长或取值范围 8．若实数x、y满足|x－4|＋eq \r(y－8)＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是(　　) A．20或16 B．20 C．16 D．以上均不对 9．如果三角形的两边长分别为3和5，则周长l的取值范围是(　　) A．6＜l＜15 B．6＜l＜16 C．11＜l＜13 D．10＜l＜16 10．已知三角形的两边长分别是5 cm和11 cm. (1)求第三边长的取值范围； (2)已知第三边长是偶数，求第三边长； (3)在(2)的条件下，求所有可能的三角形的周长． 解：(1)设第三边长为x cm，由三角形的三边关系得11－5＜x＜11＋5，即6＜x＜16； (2)由(1)知6＜x＜16，又第三边的长是偶数，所以第三边的长可以是8 cm、10 cm、12 cm、14 cm； (3)24 cm、26 cm、28 cm、30 cm. 强化技巧4 求最大值或最小值 11．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2,3,4,6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝的距离的最大值为(　　) A．6 B．7 C．8 D．10 12．如图所示是四个物业小区，分别用A、B、C、D表示．为了使四个小区中的孩子都能就近上学，市政府准备修建一所小学H，问H应建在何处，才能使四个小区的孩子上学走路的总路程最小，请你找出H的位置，并说明理由． 解：连接AC、BD，它们的交点即为H的位置．理由：任取另一点P，连接PA、PB、PC、PD，在△PAC和△PBD中，PA＋PC＞AC，PB＋PD＞BD，∴PA＋PB＋PC＋PD＞AC＋BD，因此，点H到A、B、C、D四点的路程之和最小． 强化技巧5 求三角形内外角平分线的夹角 1．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，∠P与∠A有什么数量关系？ (1)写出探究过程： 解：∠P＝eq \f(1,2)∠A.因为BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角平分线，所以∠1＝eq \f(1,2)∠ABC，∠2＝eq \f(1,2)∠ACD，由∠ACD是△ABC的外角，得∠ACD＝∠ABC＋∠A，所以∠2＝eq \f(1,2)(∠ABC＋∠A)，所以∠P＝∠2－∠1＝eq \f(1,2)(∠ABC＋∠A)－eq \f(1,2)∠ABC＝eq \f(1,2)∠A； (2)探究归纳：即三角形一个内角的平分线和另一个角的外角平分线所夹的角等于 ； (3)模型应用：如图，在△ABC中，若∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∠A＝50°，则∠D＝ ，若∠2与∠1的角平分线交于点E，则∠E＝ . 2．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，则∠DOC＝ . 强化技巧6 求三角形高线的夹角 3．在△ABC中，∠C≠90°，高BD和CE所在的直线交于点H，求∠BHC与∠A有什么关系． (1)写出探究过程： 解：∠BHC＋∠A＝180°或∠BHC＝∠A.当△ABC为锐角三角形时，如图①， ∵CE⊥AB，∴∠ABD＋∠EHB＝90°，∵BD⊥AC，∴∠ABD＋∠A＝90°，∴∠A＝∠BHE，∵∠BHC与∠BHE互补，∴∠BHC与∠A互补；当△ABC为钝角三角形时，如图②，∵CE⊥AB，∴∠H与∠ABD互余，∵BD⊥AC，∴∠A与∠ABD互余，∴∠H＝∠A； (2)探究归纳：非直角三角形的两条边上高线所夹的角与第三边所对的角 ； (3)模型应用：在△ABC中，∠A＝45°，高BD和CE所在的直线交于点H，则∠BHC的度数为 . 强化技巧7 求高线与角平分线的夹角 4．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC(∠B＜∠C)，AD⊥ BC，垂足为D.∠EAD与∠B、∠C有什么数量关系？ (1)写出探究过程： 解：∠EAD＝eq \f(1,2)(∠C－∠B)．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝eq \f(1,2)∠BAC＝eq \f(1,2)(180°－∠B－∠C)，∵AD⊥BC，∴∠BAD＝90°－∠B，∴∠EAD＝90°－∠B－eq \f(1,2)(180°－∠B－∠C)＝eq \f(1,2)(∠C－∠B)； (2)探究归纳：从三角形一个顶点引出的高线与角平分线的夹角等于 ； (3)模型应用：如图在△ABC中，AE平分∠BAC，F为AE延长线上的一点，过F作FD⊥BC，当∠B＝30°，∠C＝70°时，则∠F的度数为 . 5．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝ . 强化技巧8：利用三角形的内角和，设未知数列方程实现数与形的转化 类型1 列方程求三角形的边长 1．已知等腰三角形的周长为18cm，其中一边比另一边长6cm，求三角形各边的长． 解：①设腰长为xcm，底边长为(x＋6)cm.则依题意，得x＋x＋x＋6＝18，解得x＝4.∴x＋6＝10.∴腰长为4cm，底边长为10cm.∵4＋4＜10，出现两边的和小于第三边的情况，∴不能围成腰长是4cm的等腰三角形； ②设底边长为xcm，腰长为(x＋6)cm.则依题意，得x＋(x＋6)＋(x＋6)＝18，解得x＝2.∵x＋6＝8.∴腰长为8cm，底边长为2cm.∵2＋8＞8，∴能围成腰长是8cm的三角形．综上所述，三角形各边的长分别是8cm,8cm,2cm. 2．已知等腰三角形的周长是24cm，一腰上的中线把三角形分成两个三角形，两个三角形的周长差是3cm.求这个等腰三角形各边的长． 解：设这个等腰三角形的腰长为xcm，底边长为ycm，根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋y＝24,x－y＝3))，或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋y＝24,y－x＝3)).解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝9,y＝6))，或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝7,y＝10))，∴这个等腰三角形各边的长分别为：9cm,9cm,6cm或7cm,7cm,10cm. 类型2：列方程求三角形的角的度数 3．如图，△ABC中，D是BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数． 解：设∠2＝x°，则∠1＝x°，∴∠4＝∠3＝∠1＋∠2＝2x°.在△ABC中，∵∠BAC＝63°，∴2x°＋x°＋63°＝180°，∴x＝39.∴∠DAC＝63°－39°＝24°. 4．在△ABC中，若∠A比∠B的2倍少10°，比∠C大20°.求∠A、∠B、∠C. 解：设∠B＝x°，则∠A＝2x°－10°，∠C＝2x°－30°，则由x°＋(2x°－10°)＋(2x°－30°)＝180°，得x＝44，所以∠A＝78°，∠B＝44°，∠C＝58°. 5．如图所示，∠A＝10°，∠ABC＝90°，∠ACB＝∠DCE，∠ADC＝∠EDF，∠CED＝∠FEG.求∠F的度数． 解：∵∠A＝10°，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝∠DCE＝80°.设∠ADC＝∠EDF＝x，∠CED＝∠FEG＝y，∴180°－x＋y＝170°，即x－y＝10°.且180°－2x＋y＝100°，即2x－y＝80°.∴x＝70°，y＝60°，∴∠F＝y－10°＝50°. 6．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA. (1)求证：∠EAC＝∠B； (2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数． (1)证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，又∵∠EAD＝∠EDA，∴∠EAC＝∠EAD－∠CAD＝∠EDA－∠BAD＝∠B；　 (2)解：设∠CAD＝x，则∠E＝3x，由(1)知：∠EAC＝∠B＝50°，∴∠EAD＝∠EDA＝x＋50°，在△EAD中，∵∠E＋∠EAD＋∠EDA＝180°，∴3x＋2(x＋50°)＝180°，解得x＝16°，∴3x＝48°，即∠E＝48°. 一、选择题(3分×10＝30分) 1．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是(　　) A．5 B．6 C．12 D．16 2．三角形的三边分别为3,1＋2a,8，则a的取值范围是(　　) A．－6＜a＜－3 B．－5＜a＜－2 C．2＜a＜5 D．a＜－5或a＞－2 3．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是(　　) 4．下列图形中具有稳定性的是(　　) A．等边三角形 B．正方形 C．平行四边形 D．梯形 5．等腰三角形的一个外角比与它相邻的内角大30°，则这个等腰三角形的底角为(　　) A．75° B．37.5° C．52.5°或75° D．30° 6．一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，那么这个多边形的边数是(　　) A．19 B．10 C．11 D．12 7．(郴州中考)小明把一副含45°、30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于(　　) A．180° B．210° C．360° D．270° 8．如图，点O是△ABC的重心，连接AO并延长交BC于点D，连接BO并延长交AC于点E，则下列说法一定正确的是(　　) A．AD是△ABC的高 B．BO是△ABD的中线 C．AO是△ABE的角平分线 D．△AOE和△BOD的面积相等 9．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A在四边形BCDE的外部时，记∠AEB为∠1，∠ADC为∠2，则∠A、∠1与∠2的数量关系，结论正确的是(　　) A．∠1＝∠2＋∠A B．∠1＝2∠A＋∠2 C．∠1＝2∠2＋2∠A D．2∠1＝∠2＋∠A 10．(扬州中考)已知n为正整数，若一个三角形的三边长分别是n＋2，n＋8,3n，则满足条件的n的值有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 二、填空题(3分×8＝24分) 11．(株洲中考)如图，在△ABC中，∠BAC＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，则∠BAD的度数为 . 12．已知一个等腰三角形其中两边的长分别是2和6，则它的周长为 . 13．△ABC中，∠A＋∠B＝2∠C，则∠C＝ . 14．(济宁中考)如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是 . 15．如图，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝AC，连接DE、BE.若△ABC的面积为2，则△CDE的面积是 . 16．直角三角形的两个锐角的平分线相交所成的角的度数是 . 17．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的顶角的度数为 . 18．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且EG⊥CG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB＝eq \f(1,2)∠CGE.其中正确的结论是 (填序号)． 三、解答题(共66分) 19．(10分)在△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，∠B＝2∠A. (1)求∠A、∠B、∠C的度数； (2)△ABC按边分类，属于什么三角形？△ABC按角分类，属于什么三角形？ 解：(1)设∠A＝x°，则∠B＝2x°，∠C＝3x°，又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴x°＋2x°＋3x°＝180°，6x°＝180°，∴x＝30°，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°； (2)按边分△ABC为不等边三角形，按角分△ABC为直角三角形． 20．(8分)如图所示，在△ABC中： (1)画出BC边上的高AD和中线AE； (2)若∠B＝30°，∠ACB＝130°，求∠BAD和∠CAD的度数． 解：(1)如图： (2)∵AD⊥BC于D，∠B＝30°，∴∠BAD＝60°.∵∠ACB＝130°，∴∠ACD＝180°－∠ACB＝50°，∴∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝40°. 21．(8分)如图，经测量，B处在A处的南偏西57°的方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东82°方向，求∠C的度数． 解：因为BD∥AE，所以∠DBA＝∠BAE＝57°，所以∠ABC＝∠DBC－∠DBA＝82°－57°＝25°，在△ABC中，∠BAC＝∠BAE＋∠CAE＝57°＋15°＝72°，所以∠C＝180°－∠ABC－∠BAC＝180°－25°－72°＝83°. 22．(8分)一个多边形的内角和比外角和的3倍少180°，求： (1)这个多边形的边数； (2)该多边形共有多少条对角线． 解：(1)设这个多边形的边数为n.根据题意得：180°×(n－2)＝360°×3－180°，解得：n＝7.故该多边形为七边形； (2)eq \f(7×7－3,2)＝eq \f(7×4,2)＝14.该多边形共有14条对角线． 23．(10分)已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成9 cm和15 cm两部分．求这个三角形的腰长和底边的长． 解：设腰长为x cm，当x＋eq \f(1,2)x＝9时，解得x＝6，则底边为：15－eq \f(1,2)×6＝12，此时6＋6＝12＜15，不能构成三角形，当x＋eq \f(1,2)x＝15时，解得x＝10，则底边为9－eq \f(1,2)×10＝4，此时三边长分别为10 cm、10 cm、4 cm，能构成三角形，所以这个三角形腰长为10 cm，底边长为4 cm. 24．(10分)课堂上，刘老师给大家出了这样一道：在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，求∠C的度数．小丽一看，太简单了，于是仅用3分钟就写出了以下解答过程： 解：如图，在△ABD中，∵BD是AC边上的高，∴∠ADB＝90°.又∵∠ABD＝30°，∴∠A＝180°－∠ABD－∠ADB＝60°.∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴∠ABC＋∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°. 你认为小丽的解答有错吗？若有，请改正． 解：小丽漏掉一种情况．正解：当△ABC为锐角三角形时，解法同小丽；当△ABC为钝三角形时，如图所示， 25．(12分)已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点(A、B、C不与点O重合)，连接AC交射线OE于点D，设∠OAC＝x°. (1)如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是 ；②当∠BAD＝∠ABD时，x＝ ；当∠BAD＝∠BDA时，x＝ ； (2)如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 解：(1)①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON，∴∠AOB＝∠BON＝20°，∵AB∥ON，∴∠ABO＝20°；②∵∠BAD＝∠ABD，∴∠BAD＝20°，∵∠AOB＋∠ABO＋∠OAB＝180°，∴∠OAC＝120°；∵∠BAD＝∠BDA，∠ABO＝20°，∴∠BAD＝80°，∵∠AOB＋∠ABO＋∠OAB＝180°，∴∠OAC＝60°，故答案为：①20°　②120,60 (2)①当点D在线段OB上时，若∠BAD＝∠ABO，则x＝20；若∠BAD＝∠BDA，则x＝35；若∠ADB＝∠ABD，则x＝50；②当点D在射线BE上时，因为∠ABE＝110°，且三角形的内角和为180°，所以只有∠BAD＝∠BDA，此时x＝125.综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，且x＝20,35,50,125. $$