精品解析：山东省烟台市招远市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度第二学期第二学段测试 初二数学试题 说明：1． 考试时间120分钟，满分120分． 2． 考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验． 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 3. 将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 质检人员从编号为的五种不同产品中随机抽取一种进行质量检测，所抽到的产品编号不小于的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，直线l与直线a，b分别交于点A，B，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交直线a，b于点D、C，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知方程组和有相同的解，则，的值为（ ） A. B. C. D. 7. 某超市花费元购进草莓千克，销售中有的正常损耗，为避免亏本（其它费用不考虑），售价至少定为每千克多少元？设售价定为每千克元，根据题意所列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，若，且，则为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 9. 定义新运算“*”，规定．若关于x的不等式的解集为，则 m 的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 10. 如图，在中，，，分别平分和，且相交于，，于点G，则下列结论：①；②；③：④；⑤是等腰直角三角形，其中正确的结论是（ ） A. ①③④⑤ B. ①②③④ C. ①②③ D. ①③④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 请写出一个关于，的二元一次方程，使其满足的系数是大于的整数，的系数是小于的整数，且，是这个二元一次方程的解．这个方程可以是______． 12. 如图，射线是的角平分线， 点为射线上一点，于点， 若点是射线上一点，， 则的面积为 _______． 13. 若关于 x 的不等式组无解，则 m 的取值范围是______． 14. 把一些书分给若干同学，若每人分本，则余本；若每人分本，则不够．则至少有_______________名同学． 15. 如图，在直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，线段的两个端点的坐标分别为，．若网格中有一点 F，且以 D，E，F为顶点的三角形与全等，则点F的坐标为______． 16. 如图，若点为轴负半轴上的一个动点，当时，与的角平分线交于点，则的度数为______． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．） 17. 解下列方程组、不等式组： （1）（在数轴上表示不等式组的解集） （2） 18. 已知：直线及外一点A，． 求作：，使，，且顶点B，C在直线上． 19. 若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，请求出代数式的值． 20. 如图，为的角平分线，，于点，于点，连接交于点． （1）求证：垂直平分； （2）若，猜测与间有何数量关系？请说明理由． 21. 年月日，第十四届全国人民代表大会在北京召开，值此之际，某校计划举行爱国主义教育读书活动，并准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生，已知购买个甲种纪念品和个乙种纪念品共需元，购买个甲种纪念品和个乙种纪念品共需元． （1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元？ （2）若要购买这两种纪念品共个，且购买费用不多于元，最多能买多少个甲种纪念品？ 22. 已知一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点． （1）求 a，b的值； （2）方程组的解为 ；不等式的解集为 ； （3）在的图象上是否存在点P，使得的面积比的面积少？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图，三幅图都是由一副三角板拼凑得到的： （1）图1中的的度数为 ； （2）图2中已知，则的度数为 ； （3）若等腰直角三角板的斜边与含角的直角三角板的长直角边相等．如图3，当两个直角三角板的顶点A与F重合，斜边、重合在一起时，连接． ①求证：是等腰三角形； ②若，请直接写出线段的长． 24. 暑假期间，小刚一家准备乘坐高铁前往青岛旅游，计划第二天到甲、乙两个租车公司租用新能源汽车去中山公园看樱花．甲公司：按日收取固定租金元，另外再按租车时间计费；乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租金是元．设租车时间为小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，其关系如图所示． 根据以上信息，解决下列问题： （1）请直接写出，关于的表达式 ； （2）当租车时间为多少小时时，两个公司所需费用相同； （3）根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明直接写出选择怎样的出游方案更合理． 25. 专注基本图形： 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形如图1，在中，，，直线经过点，作直线，直线，垂足分别为点，．并进一步证明方法如下： ∵， ∴， ∵直线，直线， ∴， ∴ 在和中， ∴ ∴，， ∴ 探究问题解决： （1）组员小明想，如果三个相等的角不是直角，那么上述结论是否会成立呢？如图，将上述条件改为：在中，，，，三点都在直线上，且．请判断是否成立，并说明理由． （2）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决新问题．如图，，是直线l上的两动点（，，三点均在直线上且互不重合），点为的角平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，，．若，请说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第二学期第二学段测试 初二数学试题 说明：1． 考试时间120分钟，满分120分． 2． 考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验． 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的知识，解题的关键是掌握不等式的性质，即可． 【详解】解：A、∵， ∴， 当，时，；当，时，；当，时，； ∴不一定成立； B、∵， ∴； ∴B不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∴C符合题意； D、∵ ∴当时，；当时，； ∴D不符合题意； 故选：C． 2. 如图，已知，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定，即可． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故选：A． 3. 将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，先分别求解一元一次不等式，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集，最后在数轴上表示即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， 把不等式组的解集在数轴上表示如图： 故选：C． 4. 质检人员从编号为的五种不同产品中随机抽取一种进行质量检测，所抽到的产品编号不小于的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据五个编号中不小于的两个数是，再利用概率的计算公式即可解答． 【详解】解：∵五个编号中不小于的两个数是， ∴五个编号中不小于的概率为， 故选． 【点睛】本题考查了概率的定义，概率的计算公式，理解概率的定义是解题的关键． 5. 如图，已知，直线l与直线a，b分别交于点A，B，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交直线a，b于点D、C，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查尺规作图−垂直平分线、三角形内角和定理、平行线的性质，由题意得，是直线l的垂直平分线，可得，根据三角形内角和定理求得，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：由题意得，是直线l的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 已知方程组和有相同的解，则，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，充分理解二元一次方程组的解是解题的关键．由题意解方程组，把求得的解代入方程组中，即可求得结果． 【详解】解：解方程组，得， 把代入中， 可得，解得． 故选：D． 7. 某超市花费元购进草莓千克，销售中有的正常损耗，为避免亏本（其它费用不考虑），售价至少定为每千克多少元？设售价定为每千克元，根据题意所列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是掌握一元一次不等式的运用，根据题意，去掉正常损耗以后的售价要进价，列出不等式，，即可． 【详解】解：设售价定为每千克元， ∴， 故选：A． 8. 已知中，若，且，则为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得出，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，将其代入中，可求出的度数，结合，可得出为钝角三角形． 【详解】解：， ． 在中，， 又， ， ， ． ， 为钝角三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 9. 定义新运算“*”，规定．若关于x的不等式的解集为，则 m 的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查新定义、解一元一次不等式、解一元一次方程，先根据新定义可得，解不等式得，从而可得，再解方程即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 解得， ∵不等式的解集为， ∴， 解得， 故选：B． 10. 如图，在中，，，分别平分和，且相交于，，于点G，则下列结论：①；②；③：④；⑤是等腰直角三角形，其中正确的结论是（ ） A. ①③④⑤ B. ①②③④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． 根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明，，即可判断④；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断②③；根据现有条件无法推出⑤． 【详解】解：平分， ， ， ，故①正确； ，，， ，，即， ， 又， ，故④正确； ， ， ，分别平分，， ， ， ， ∵ ∴， ，故③正确； ， ，故②错误； ∵ ∴是直角三角形， 根据现有条件，无法推出，即无法得到是等腰直角三角形，故⑤错误； ∴正确的有①③④， 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 请写出一个关于，的二元一次方程，使其满足的系数是大于的整数，的系数是小于的整数，且，是这个二元一次方程的解．这个方程可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握二元一次方程的解，根据题意，写出满足题意的，的系数，再把代入，验证的值，即可． 【详解】解：由题意得，的系数是大于的整数，的系数是小于的整数， ∴满足题意， ∵，是这个二元一次方程的解， ∴当时，， 解得：， ∴符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，射线是的角平分线， 点为射线上一点，于点， 若点是射线上一点，， 则的面积为 _______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，属于基本题型，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键． 过点D作于E，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点D作于E， ∵射线是的角平分线，， ， ， 故答案为：15． 13. 若关于 x 的不等式组无解，则 m 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组无解， ， 故答案为：． 14. 把一些书分给若干同学，若每人分本，则余本；若每人分本，则不够．则至少有_______________名同学． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的运用，解题的关键是设有名学生，根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：设有名学生， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴至少有名同学． 故答案为：． 15. 如图，在直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，线段的两个端点的坐标分别为，．若网格中有一点 F，且以 D，E，F为顶点的三角形与全等，则点F的坐标为______． 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题考查了三角形的全等，坐标的确定，数形结合思想，熟练掌握三角形全等性质和判定，以及坐标的定义是解题的关键．根据图象利用勾股定理得到，，结合题意得到是的对应边，以为边作的全等三角形，根据图形和勾股定理即可得到点F的坐标． 【详解】解：由题知，， 的边长中，，， 以 D，E，F为顶点的三角形与全等， 是的对应边， 以为边作三角形如下图所示， ，，， ， 由图知，的坐标为， 同理可得，的坐标为，的坐标为，的坐标为； 综上所述：点F的坐标为或或或； 故答案为：或或或． 16. 如图，若点为轴负半轴上的一个动点，当时，与的角平分线交于点，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，过点作，根据平行公理，则，根据，则，根据平行线的性质，则，根据角平分线的性质，则，，推出，在根据平行线的性质，得到，，根据，即可． 【详解】解：过点作， ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵与的角平分线交于点 ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．） 17. 解下列方程组、不等式组： （1）（在数轴上表示不等式组的解集） （2） 【答案】（1）， 在数轴上表示不等式组的解集为： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组以及一元一次不等式组的解，熟悉相关运算法则是解题的关键． （1）先求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分，并在数轴上表示出来即可； （2）先利用加减消元法求出x的值，再代入求出y的值即可． 【小问1详解】 整理得： 解不等式①得： 解不等式②得： 则不等式组的解集为： 【小问2详解】 整理得： 得： 将代入①得： 解得： 原方程组的解为 18. 已知：直线及外一点A，． 求作：，使，，且顶点B，C在直线上． 【答案】见解析 【解析】 【分析】首先过点A作直线的垂线，垂足为C，再以A为顶点作，即可得到． 【详解】解：如图，为所作． 【点睛】本题考查了尺规作图——复杂作图，关键是掌握作垂线和作一个角等于已知角的方法． 19. 若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，请求出代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式的整数解、解一元一次方程、代数式求值，先解一元一次不等式求得不等式的最小整数解是，再代入方程求得，最后代入代数式求值即可． 【详解】解：， 解得， ∴不等式的最小整数解是， ∵不等式的最小整数解是关于x的方程的解， ∴把代入得，， 解得， 把代入得，． 20. 如图，为的角平分线，，于点，于点，连接交于点． （1）求证：垂直平分； （2）若，猜测与间有何数量关系？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】（1）由为的角平分线，得到，推出和相等，得到，即可推出结论； （2）由已知推出，得到，在中，由推出，即可推出结论． 【小问1详解】 证明：为的角平分线，，， ，， ， ∴， ， ， 点、都在的垂直平分线上， 垂直平分； 【小问2详解】 解：，理由如下： ，平分，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 21. 年月日，第十四届全国人民代表大会在北京召开，值此之际，某校计划举行爱国主义教育读书活动，并准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生，已知购买个甲种纪念品和个乙种纪念品共需元，购买个甲种纪念品和个乙种纪念品共需元． （1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元？ （2）若要购买这两种纪念品共个，且购买费用不多于元，最多能买多少个甲种纪念品？ 【答案】（1）购买一个甲种纪念品需元，一个乙种纪念品需元 （2）最多能买个甲种纪念品 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程，不等式的知识，解题的关键是掌握二元一次方程组的运用，一元一次不等式的运用，即可． （1）设购买一个甲种纪念品需元，一个乙种纪念品需元，列出方程组，即可； （2）设购买甲种纪念品个，则乙种纪念品为：，列出不等式，即可． 【小问1详解】 解：设购买一个甲种纪念品需元，一个乙种纪念品需元， ∴， 解得：， 答：购买一个甲种纪念品需元，一个乙种纪念品需元． 【小问2详解】 解：设购买甲种纪念品个， ∴乙种纪念品为：， ∴， 解得：， 答：最多能买个甲种纪念品． 22. 已知一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点． （1）求 a，b的值； （2）方程组的解为 ；不等式的解集为 ； （3）在的图象上是否存在点P，使得的面积比的面积少？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）； （3）存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与二元一次方程组、不等式的关系，三角形的面积，明确函数与方程组的关系是解题的关键． （1）把分别代入和即可求得、的值； （2）根据两函数的交点坐标，即可求得方程组的解；通过图象点坐标，直接得到答案； （3）求得、的坐标，设点的坐标为，作轴于点，轴于点，根据的面积为，三角形面积公式得到的面积为，设边上的高为h，得，可求得，当点P在第一象限时，点P纵坐标为2，当点P在第三象限时，点P纵坐标为，从而可求得点P坐标． 【小问1详解】 解：由题知，点在的图象上， 所以， 所以点的坐标为， 因为点在的上， 所以， 所以． 【小问2详解】 解：一次函数的图象与正比例函数的图象交于点， 方程组的解为； 由图象可知，的解答为：； 故答案为：；． 【小问3详解】 解：存在，理由： 由（1）得：一次函数的表达式为：，点的坐标为， 当时，， ∴， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴的面积为：， ∴的面积为：， 设边上的高为h， ∴， ∴， 解得：， 当点P在第一象限时，点P纵坐标为2， ∴ 解得：， ∴； 当点P在第三象限时，点P纵坐标为， ∴ 解得：， ∴； 综上，存在，点P的坐标为或． 23. 生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图，三幅图都是由一副三角板拼凑得到的： （1）图1中的的度数为 ； （2）图2中已知，则的度数为 ； （3）若等腰直角三角板的斜边与含角的直角三角板的长直角边相等．如图3，当两个直角三角板的顶点A与F重合，斜边、重合在一起时，连接． ①求证：是等腰三角形； ②若，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2） （3）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据三角板的各角度数以及三角形的内角和定理求解即可； （2）根据平行性的性质和三角形的外角性质，结合三角板各角度数求解即可； （3）①根据等腰三角形的性质求得，再根据三角形的外角和性质得到，则，根据等腰三角形的判定可证得结论； ②利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，，， ∴； 【小问2详解】 解：由题意，， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①证明：由题意，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ②∵，，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理以及外角性质、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角板各角度数有关的计算等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 24. 暑假期间，小刚一家准备乘坐高铁前往青岛旅游，计划第二天到甲、乙两个租车公司租用新能源汽车去中山公园看樱花．甲公司：按日收取固定租金元，另外再按租车时间计费；乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租金是元．设租车时间为小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，其关系如图所示． 根据以上信息，解决下列问题： （1）请直接写出，关于的表达式 ； （2）当租车时间为多少小时时，两个公司所需费用相同； （3）根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明直接写出选择怎样的出游方案更合理． 【答案】（1）； （2）租车时间为小时，两个公司所需费用相同 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数的运用，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解函数解析式，即可． （1）设，，把，代入即可，把代入，即可； （2）当，求出，即可； （3）分类讨论：当，解出；当，解出；，解出，进行讨论，即可． 【小问1详解】 解：设，， ∴把，代入， ∴， 解得：， ∴； 把代入， ∴， ∴， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当时，两个公司所需费用相同， ∴， 解得：； 当租车时间为小时，两个公司所需费用相同． 【小问3详解】 解：当， ∴当租车时间为小时，两个公司所需费用相同； 当，， ∴当租车时间为小时，甲公司所需费用较高，选择乙公司比较划算； 当，， ∴当租车时间为小时，乙公司所需费用较高，选择甲公司比较划算． 25. 专注基本图形： 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形如图1，在中，，，直线经过点，作直线，直线，垂足分别为点，．并进一步证明方法如下： ∵， ∴， ∵直线，直线， ∴， ∴ 在和中， ∴ ∴，， ∴ 探究问题解决： （1）组员小明想，如果三个相等的角不是直角，那么上述结论是否会成立呢？如图，将上述条件改为：在中，，，，三点都在直线上，且．请判断是否成立，并说明理由． （2）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决新问题．如图，，是直线l上的两动点（，，三点均在直线上且互不重合），点为的角平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，，．若，请说明． 【答案】（1）成立，理由见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，即可． （1）根据，，，则，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，，即可； （2）根据等边三角形的性质，则，，根据三角形角的数量关系，则，根据全等三角形的判定和性质，推出，；根据全等三角形的判定和性质，，即可． 【小问1详解】 解：成立，理由如下： ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $