专题突破1-1二次函数与方程、不等式（组）的关系（3大题型）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（浙教版）

专题突破：二次函数与方程、不等式（组）的关系 判断抛物线与直线的交点个数 对于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+n、水平直线y＝m: ①求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点个数→ax2+bx+c=0 △=b2-4ac， ∴有：△＞0，抛物线与x轴有2个交点； △＝0，抛物线与x轴有1个交点； △＜0，抛物线与x轴无交点； ②求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+n交点个数→ 整理得：， ∴有：△＞0，抛物线与直线y＝kx+n有2个交点； △＝0，抛物线与直线y＝kx+n有1个交点； △＜0，抛物线与直线y＝kx+n无交点； ③求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与水平直线y＝m交点个数→ 整理得：，后续求交点个数方法同上。 求两函数图象的交点的方法 对于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+n、水平直线y＝m: ①当求抛物线与x轴的交点横坐标时→则令抛物线的y=0，即：ax2+bx+c=0； ②当求抛物线与直线y＝kx+n的交点坐标时→则联立两个函数解析式，得，先求x，[即]，再代入直线解析式求y，则(x,y)的对应值即为所求交点的坐标； ③当求抛物线与水平直线y＝m的交点是→则联立两个解析式，得 ，先求x，[即ax2+bx+c=m];再代入抛物线解析式求y，(x,y)的对应值即为所求交点的坐标； 判断二次函数图象与不等式（组）的关系口诀 ①大在上：谁大，谁的图象在另一个图象的上方； ②交点横：找出交点的横坐标，有几个找几个； ③左小右大：交点左边符合，则x＜交点横坐标；交点右边符合，则x＞交点横坐标； 题型一 利用一元二次方程求抛物线与x轴或直线的交点个数 【例1】．（2024•嘉兴一模）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）满足条件16a﹣4b+c＝0，则（　　） A．该抛物线与x轴有1个或2个交点 B．该抛物线与x轴一定有2个交点 C．该抛物线与x轴只有1个交点 D．该抛物线与x轴没有交点 【变式1-1】．（2024春•海曙区校级期末）若二次函数y＝ax2﹣4ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣4ax+c＝0的解为（　　） A．x1＝﹣1，x2＝﹣5 B．x1＝5，x2＝1 C．x1＝﹣1，x2＝5 D．x1＝1，x2＝﹣5 【变式1-2】．（2023秋•西湖区期末）已知二次函数y＝（m+1）x2+1（m≠﹣1），则下列表述正确的是（　　） A．若m＜0，抛物线的开口向下 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．图象与x轴一定有两个交点 D．图象与y轴的交点坐标为（0，1） 【变式1-3】．（2024•鄞州区校级一模）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣4x+k|x﹣1|+3的图象与x轴恰好有2个交点，则k的取值范围是（　　） A．k＜﹣2 B．﹣2≤k＜2 C．k≥2 D．2≤k＜4 【变式1-4】．（2023秋•泰山区期末）已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是 　 　． 【变式1-5】．（2024•浙江一模）已知在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x ⋯ ﹣1 0 1 2 3 ⋯ y ⋯ 8 3 0 ﹣1 0 ⋯ 则满足方程ax2+bx+c＝3的解是 　 　． 【变式1-6】．（2024•西湖区校级二模）在二次函数y＝x2+2mx+m﹣1中， （1）若该二次函数图象经过（0，0），求该二次函数的解析式和顶点坐标． （2）求证：不论m取何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点． （3）若m＜0时，点A（n﹣2，p），B（2，q），C（n，p）都在这个二次函数图象上且m﹣1＞q＞p，求n的取值范围． 【变式1-7】．（2024•中卫模拟）如图，已知抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2（a≠0）与x轴交于原点O与点A，点B为顶点． （1）求抛物线的表达式； （2）若在坐标平面内（直线AB的左侧）存在点P（2，m），Q（﹣1，n），使得S△PBA＝S△QAB＝3，求m，n的值． （3）在（2）的条件下，若向下平移抛物线k个单位，抛物线与线段BQ只有一个公共点，点k的取值范围． 题型二 利用一元二次方程求交点坐标 【例2】．（2023•新昌县模拟）方程2x2﹣3x﹣4＝0的解，可看成以下两个函数图象交点的横坐标，其中正确的个数是（　　） ①②③④ A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2-1】．（2023秋•萧山区月考）如图，一次函数y1＝x与二次函数图象相交于P、Q两点，则一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的根的说法正确的是（　　） A．有两个负根 B．有两个正根 C．有一正一负的两根 D．无实数根 【变式2-2】．直线l1：y＝kx+3与y轴交于点P，直线l1绕点P顺时针旋转45°得到直线l2，若直线l2与抛物线y＝﹣x2+2x+3有唯一的公共点，则k＝　 　． 【变式2-3】．（2023•姜堰区一模）已知：y是x的函数，若函数图象上存在一点P（m，n），满足2m﹣n＝2，则称该点为函数图象上“准二倍点”，例如：P（3，4）是直线y＝x+1上的“准二倍点”．某二次函数y＝x2+kx﹣2的图象上存在“准二倍点”，则当0≤k≤3时，两“准二倍点”间的最大距离是 　 　． 【变式2-4】．（2023•开化县模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点． （1）当b＝﹣2时，求抛物线的表达式； （2）求一元二次方程ax2+bx+c＝c的根； （3）求证：a≤c． 【变式2-5】．（2024•舟山三模）已知一次函数y＝x﹣5的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．将点A向左平移4个单位，得到点A′，且点A′恰好在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a、b是常数，a≠0）图象的对称轴上． （1）用含a的代数式表示b． （2）求证：二次函数与一次函数图象交于一个定点，并求出该点的坐标． （3）若二次函数图象与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【变式2-6】．（2024•浙江模拟）已知：二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+2m﹣1（m是常数）． （1）求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）． （2）若该二次函数图象与直线y＝2x﹣1交于A，B两点（点A在点B的右侧），这两点的横坐标分别为xA，xB，求证：xA﹣xB是个定值． （3）已知点P（1，1），Q（﹣2，﹣5），若该二次函数图象与线段PQ只有一个交点，求m的取值范围． 题型三 根据函数图象直接写出不等式（组）的解集 【例3】．（2024•浙江模拟）已知二次函数y＝ax2﹣x﹣c，当y＞0时，﹣2＜x＜1，则二次函数y＝ax2+x﹣c的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】．（2022秋•吴兴区期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与一次函数y＝kx+1（k＞0）的图象交于A（﹣3，m），B（1，n）两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+1的解集为 　 　． 【变式3-2】．（2024•瓯海区校级三模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表所示： x ﹣3 ﹣2 3 4 y ﹣12 m 0 m 则当y＜0时，x的取值范围为（　　） A．﹣1＜x＜3 B．﹣2＜x＜4 C．x＜﹣1或x＞3 D．x＜﹣2或x＞4 【变式3-3】．（2023春•鄞州区校级月考）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间（包含端点）．下列结论中正确的是（　　） ①不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3； ②9a2﹣b2＜0； ③一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根分别为，x2＝﹣1； ④6≤3n﹣2≤10． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【变式3-4】．（2024•拱墅区校级模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别α，β（α＜β），而x2+bx+c﹣2＝0的两根为M、N（M＜N），则α、β、M、N的大小顺序为（　　） A．α＜β＜M＜N B．M＜α＜β＜N C．α＜M＜β＜N D．M＜α＜N＜β 【变式3-5】．（2022秋•上城区校级期中）如图，已知函数y＝﹣与y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P（﹣3，1），则关于x的不等式ax2+bx＞﹣的解为 　 　． 【变式3-6】．（2023•农安县一模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，直线l∥x轴，则当ax2+bx+c≥1时x的取值范围 　 　． 【变式3-7】．（2023秋•拱墅区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝（x﹣1）2﹣1图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B． （1）求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象； （2）一次函数y＝kx+b的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式kx+b≤（x﹣1）2﹣1的解集． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：二次函数与方程、不等式（组）的关系 判断抛物线与直线的交点个数 对于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+n、水平直线y＝m: ①求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点个数→ax2+bx+c=0 △=b2-4ac， ∴有：△＞0，抛物线与x轴有2个交点； △＝0，抛物线与x轴有1个交点； △＜0，抛物线与x轴无交点； ②求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+n交点个数→ 整理得：， ∴有：△＞0，抛物线与直线y＝kx+n有2个交点； △＝0，抛物线与直线y＝kx+n有1个交点； △＜0，抛物线与直线y＝kx+n无交点； ③求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与水平直线y＝m交点个数→ 整理得：，后续求交点个数方法同上。 求两函数图象的交点的方法 对于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+n、水平直线y＝m: ①当求抛物线与x轴的交点横坐标时→则令抛物线的y=0，即：ax2+bx+c=0； ②当求抛物线与直线y＝kx+n的交点坐标时→则联立两个函数解析式，得，先求x，[即]，再代入直线解析式求y，则(x,y)的对应值即为所求交点的坐标； ③当求抛物线与水平直线y＝m的交点是→则联立两个解析式，得 ，先求x，[即ax2+bx+c=m];再代入抛物线解析式求y，(x,y)的对应值即为所求交点的坐标； 判断二次函数图象与不等式（组）的关系口诀 ①大在上：谁大，谁的图象在另一个图象的上方； ②交点横：找出交点的横坐标，有几个找几个； ③左小右大：交点左边符合，则x＜交点横坐标；交点右边符合，则x＞交点横坐标； 题型一 利用一元二次方程解决抛物线与x轴或直线的交点个数问题 【例1】．（2024•嘉兴一模）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）满足条件16a﹣4b+c＝0，则（　　） A．该抛物线与x轴有1个或2个交点 B．该抛物线与x轴一定有2个交点 C．该抛物线与x轴只有1个交点 D．该抛物线与x轴没有交点 【分析】依据题意，由16a﹣4b+c＝0，从而b＝，故可得Δ＝b2﹣4ac＝≥0，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵16a﹣4b+c＝0， ∴b＝． ∴Δ＝b2﹣4ac ＝（）2﹣4ac ＝ ＝≥0． ∴该抛物线与x轴有1个或2个交点． 故选：A． 【变式1-1】．（2024•海曙区校级期末）若二次函数y＝ax2﹣4ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣4ax+c＝0的解为（　　） A．x1＝﹣1，x2＝﹣5 B．x1＝5，x2＝1 C．x1＝﹣1，x2＝5 D．x1＝1，x2＝﹣5 【分析】先确定抛物线的对称轴方程，再利用抛物线的对称性得到二次函数y＝ax2﹣4ax+c的图象与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0），（5，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题确定方程ax2﹣4ax+c＝0的解． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2， ∴点（﹣1，0）关于直线x＝2的对称点的坐标为（5，0）， 即二次函数y＝ax2﹣4ax+c的图象与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0），（5，0）， ∴方程ax2﹣4ax+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5． 故选：C． 【变式1-2】．（2023秋•西湖区期末）已知二次函数y＝（m+1）x2+1（m≠﹣1），则下列表述正确的是（　　） A．若m＜0，抛物线的开口向下 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．图象与x轴一定有两个交点 D．图象与y轴的交点坐标为（0，1） 【分析】利用二次函数的性质对A、B选项进行判断；由于不能确定抛物线的开口方向，所以不能确定抛物线与x轴的交点情况，于是可对C选项进行判断；通过计算自变量为0对应的函数值可对D选项进行判断． 【解答】解：对于y＝（m+1）x2+1（m≠﹣1）， 当m+1＜0，即m＜﹣1时，抛物线的开口向下，所以A选项不符合题意； 当m+1＞0，即m＞﹣1，则x＞0时，y随x的增大而增大，所以B选项不符合题意； 抛物线y＝（m+1）x2+1（m≠﹣1）的顶点坐标为（0，1），当m+1＞0时，抛物线开口向上，此时抛物线与x轴没有公共点，，所以C选项不符合题意； 当x＝0时，y＝（m+1）x2+1＝1，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，1），所以D选项符合题意． 故选：D． 【变式1-3】．（2024•鄞州区校级一模）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣4x+k|x﹣1|+3的图象与x轴恰好有2个交点，则k的取值范围是（　　） A．k＜﹣2 B．﹣2≤k＜2 C．k≥2 D．2≤k＜4 【分析】函数与x轴有2个交点，那么交点的纵坐标为0．让函数值y＝0，得到关于x的一元二次方程，一元二次方程有2个解．根据绝对值的意义分x≥1和x＜1两种情况解一元二次方程，得到x的两个值，根据恰好有2个解可判断出k的取值范围． 【解答】解：∵y＝x2﹣4x+k|x﹣1|+3的图象与x轴相交， ∴交点的纵坐标为0． ∴x2﹣4x+k|x﹣1|+3＝0． ①x≥1． x2﹣4x+k（x﹣1）+3＝0， x2﹣4x+kx﹣k+3＝0， x2+（k﹣4）x+（3﹣k）＝0， （x﹣1）（x+k﹣3）＝0， ∴x1＝1，x2＝3﹣k． ②x＜1． x2﹣4x+k（1﹣x）+3＝0， x2﹣4x+k﹣kx+3＝0， x2+（﹣k﹣4）x+（3+k）＝0， （x﹣1）（x﹣k﹣3）＝0， ∴x1＝1（舍去），x2＝3+k． ∵恰好有2个解，其中有一个解是x＝1， ∴另一个解3﹣k和3+k只能有一个存在． ①另一个解是x＝3﹣k． ． 解得：﹣2≤k＜2． ②另一个解是x＝3+k． ． 解得：原不等式组无解． 综上：﹣2≤k＜2． 故选：B． 【变式1-4】．（2023秋•泰山区期末）已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是 　﹣6＜m＜﹣2　． 【分析】如图，解方程﹣x2+x+6＝0得A（﹣2，0），B（3，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直线y＝﹣x+m经过点A（﹣2，0）时m的值和当直线y＝﹣x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围． 【解答】解：如图，当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，解得x1＝﹣2，x2＝3，则A（﹣2，0），B（3，0）， 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+2）（x﹣3）， 即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）， 当直线y＝﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m＝0，解得m＝﹣2； 当直线y＝﹣x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6＝﹣x+m有相等的实数解，解得m＝﹣6， 所以当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2． 故答案为：﹣6＜m＜﹣2． 【变式1-5】．（2024•浙江一模）已知在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x ⋯ ﹣1 0 1 2 3 ⋯ y ⋯ 8 3 0 ﹣1 0 ⋯ 则满足方程ax2+bx+c＝3的解是 　x1＝0，x2＝4　． 【分析】通过表格数据求出a、b、c然后代入方程ax2+bx+c＝3即可求解． 【解答】解：由表格可知抛物线经过（0，3）；（3，0）；（1，0）， 抛物线解析式为：y＝ax2+bx+c， 将（0，3）；（3，0）；（1，0）代入y＝ax2+bx+c可得： ， 解得：， ∴x2﹣4x+3＝3， 移项可得：x2﹣4x＝0， 因式分解可得：x（x﹣4）＝0， 解得：x1＝0，x2＝4． 【变式1-6】．（2024•西湖区校级二模）在二次函数y＝x2+2mx+m﹣1中， （1）若该二次函数图象经过（0，0），求该二次函数的解析式和顶点坐标． （2）求证：不论m取何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点． （3）若m＜0时，点A（n﹣2，p），B（2，q），C（n，p）都在这个二次函数图象上且m﹣1＞q＞p，求n的取值范围． 【分析】（1）二次函数y＝x2+2mx+m﹣1的图象经过（0，0），即可求得m＝1，得到抛物线为y＝x2+2x，解析式化成顶点式即可求得顶点坐标（﹣1，﹣1）． （2）依据题意，由Δ＝4m2﹣4（m﹣1）＝4m2﹣4m+4＝（2m﹣1）2+3，又对于任意的m都有（2m﹣1）2≥0，从而可以判断Δ的大小，进而可以得解； （3）依据题意，由B（2，q），C（n，p）在二次函数y＝x2+2mx+m﹣1图象上，从而对称轴直线，故n＝﹣m+1，即n＞1，又抛物线开口向上，可得抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，再结合q＞p，可得n﹣（﹣m）＜|﹣m﹣2|，再分类讨论即可得解． 【解答】（1）解：∵二次函数y＝x2+2mx+m﹣1的图象经过（0，0）， ∴m﹣1＝0， ∴m＝1， ∴抛物线为y＝x2+2x， ∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1， ∴对称轴直线x＝﹣1，顶点坐标（﹣1，﹣1）． （2）证明：∵Δ＝4m2﹣4（m﹣1）＝4m2﹣4m+4＝（2m﹣1）2+3＞0， ∴二次函数图象与x轴总有两个公共点． （3）解：∵B（2，q），C（n，p）在二次函数y＝x2+2mx+m﹣1图象上， ∴对称轴直线， ∴n＝﹣m+1． ∵m＜0， ∴n＞1， ∵抛物线过B（2，q）， ∴4+4m+m﹣1＝q，即q＝5m+3， ∵m﹣1＞q， ∴m﹣1＞5m+3，解得m＜﹣1，即n＞2， ∵抛物线开口向上， ∴当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小． ∵q＞p， ∴n﹣（﹣m）＜|﹣m﹣2|， 当n+m＜m+2，解得n＜2，不合题意舍去， 当n+m＜﹣m﹣2，即n+1﹣n＜n﹣1﹣2，解得n＞4， 故n的取值范围是n＞4． 【变式1-7】．（2024•中卫模拟）如图，已知抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2（a≠0）与x轴交于原点O与点A，点B为顶点． （1）求抛物线的表达式； （2）若在坐标平面内（直线AB的左侧）存在点P（2，m），Q（﹣1，n），使得S△PBA＝S△QAB＝3，求m，n的值． （3）在（2）的条件下，若向下平移抛物线k个单位，抛物线与线段BQ只有一个公共点，点k的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法，将原点坐标代入抛物线求出a即可得到其表达式； （2）利用三角形面积公式，先求出三角形底边AB长和对应高，再利用点到直线距离公式求出m和n的值．特别要注意的是，点P和Q均在直线AB左侧这一条件限制，要将不符合这一条件的m、n值舍去； （3）抛物线与线段（注意：不是直线）BQ都只有一个公共点，先写出向下平移抛物线k个单位后的方程，再计算出交点分别为B点和Q点对应的k值即可求解． 【解答】解：（1）将原点O（0，0）代入抛物线方程，得0＝4a﹣2，解得a＝，故抛物线表达式为y＝＝． （2）连接AB． 当＝0时，解得x＝0或x＝4．故A点坐标为（4，0）． B点坐标为（，），将抛物线表达式各系数代入，得B（2，﹣2）． 根据A、B两点坐标，有AB＝＝． ∵S△PBA＝S△QAB＝3， ∴点P和点Q到AB的距离均相等，设为h， ∵AB•h＝3， ∴h＝＝＝． 设AB的直线方程为y＝kx+b，将A（4，0）、B（2，﹣2）代入，得方程组， 解得k＝1，b＝﹣4．故AB的直线方程为y＝x﹣4． 当x＝0时，y＝﹣4． 故直线AB与x轴和y轴交点的坐标分别为（4，0），（0，﹣4）． 根据点到直线的距离公式： 点P（2，m）到直线AB的距离h＝＝＝． 当m+2＞0时，m+2＝3，m＝1； 当m+2＜0时，﹣（m+2）＝3，m＝﹣5． ∵点P在直线AB的左侧， ∴m＝1． 点Q（﹣1，n）到直线AB的距离h＝＝＝． 当n+5＞0时，n+5＝3，n＝﹣2； 当n+5＜0时，﹣（n+5）＝3，n＝﹣8． ∵点Q在直线AB的左侧， ∴n＝﹣2． （3）Q点坐标为（﹣1，﹣2），连接BQ． 向下平移抛物线k个单位，抛物线方程为． 当抛物线与线段BQ只有一个公共点B时，k＝0； 当抛物线与线段BQ只有一个公共点Q时，则，解得k＝． 故当≥k≥0时，抛物线与线段BQ都只有一个公共点． 题型二 利用一元二次方程求交点坐标 【例2】．（2023•新昌县模拟）方程2x2﹣3x﹣4＝0的解，可看成以下两个函数图象交点的横坐标，其中正确的个数是（　　） ①②③④ A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】由两函数图象交点坐标为两函数的解析式组成的方程组的解，由此判断即可． 【解答】解：①、把y＝3x代入到y＝2x2﹣4得，3x＝2x2﹣4，整理得：2x2﹣3x﹣4＝0，∴方程2x2﹣3x﹣4＝0的解可看成这两个函数图象交点的横坐标，∴①符合题意； ②、把y＝4代入到y＝2x2﹣3x得，4＝2x2﹣3x，整理得：2x2﹣3x﹣4＝0，∴方程2x2﹣3x﹣4＝0的解可看成这两个函数图象交点的横坐标，∴②符合题意； ③、把y＝3x+4代入到y＝2x2得，3x+4＝2x2，整理得：2x2﹣3x﹣4＝0，∴方程2x2﹣3x﹣4＝0的解可看成这两个函数图象交点的横坐标，∴③符合题意； ④、把代入到y＝2x﹣3得，，整理得：2x2﹣3x﹣4＝0，∴方程2x2﹣3x﹣4＝0的解可看成这两个函数图象交点的横坐标，∴④符合题意； 故选：A． 【变式2-1】．（2023秋•萧山区月考）如图，一次函数y1＝x与二次函数图象相交于P、Q两点，则一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的根的说法正确的是（　　） A．有两个负根 B．有两个正根 C．有一正一负的两根 D．无实数根 【分析】先根据一次函数y1＝x与二次函数图象相交于P、Q两点，可以判定一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c＝0有两个不相等的实数根，方程的根是P，Q两点的横坐标，再根据P，Q两点的位置，从而判断方程根的正负． 【解答】解：∵一次函数y1＝x与二次函数图象相交于P、Q两点， ∴一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c＝0有两个不相等的实数根， ∵P，Q两点在第一象限， ∴一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c＝0有两个不相等的正实数根， 故选：B． 【变式2-2】．直线l1：y＝kx+3与y轴交于点P，直线l1绕点P顺时针旋转45°得到直线l2，若直线l2与抛物线y＝﹣x2+2x+3有唯一的公共点，则k＝　﹣1或﹣3　． 【分析】根据直线解析式可得l1，l2都经过点（0，3），分别讨论直线l2与y轴重合或与抛物线相切两种情况，通过添加辅助线构造全等三角形可求出直线y＝kx+3上的点坐标，进而求解． 【解答】解：由y＝kx+3，y＝﹣x2+2x+3可得直线l2与抛物线交于点A（0，3）， ①直线l2与y轴重合满足题意，则直线l1与y轴交点为45°，如图， ∵OB＝3，∠ABO＝45°， ∴△AOB为等腰直角三角形， ∴OA＝OB＝3， ∴点B坐标为（3，0）， 将（3，0）代入y＝kx+3得0＝3k+3， 解得k＝﹣1． ②设直线l2解析式为y＝mx+3， 令mx+3＝﹣x2+2x+3， Δ＝（m﹣2）2， 当m＝2时满足题意． ∴y＝2x+3， 把y＝0代入y＝2x+3得x＝﹣， ∴直线l2与x轴交点D坐标为（﹣，0），即OD＝， 作DE⊥AD交直线y＝kx+3于点E，过点E作EF⊥x轴于点F， ∵∠EAD＝45°， ∴AD＝DE， ∵∠ADO+∠EDF＝90°，∠ADO+∠DAO＝90°， ∴∠DAO＝∠EDF， 又∵∠EFD＝∠AOD＝90°， ∴△EFD≌△DOA， ∴FD＝AO＝3，EF＝DO＝， ∴OF＝FD+DO＝， ∴点E坐标为（﹣，）． 将（﹣，）代入直线AE解析式y＝k1x+3得＝﹣k1+3， 解得k1＝． ∵k1•k＝﹣1， ∴k＝﹣3． 故答案为：﹣1或﹣3． 【变式2-3】．（2023•姜堰区一模）已知：y是x的函数，若函数图象上存在一点P（m，n），满足2m﹣n＝2，则称该点为函数图象上“准二倍点”，例如：P（3，4）是直线y＝x+1上的“准二倍点”．某二次函数y＝x2+kx﹣2的图象上存在“准二倍点”，则当0≤k≤3时，两“准二倍点”间的最大距离是 　2　． 【分析】将点P（m，n）代入关系式，再根据新定义列出等式，解出m的解，再根据两点间距离公式求出距离即可． 【解答】解：将点P（m，n）代入y＝x2+kx﹣2得， n＝m2+km﹣2， ∵2m﹣n＝2，即n＝2m﹣2， ∴2m﹣2＝m2+km﹣2， ∴m1＝0或m2＝2﹣k， ∴点P（0，﹣2）或（2﹣k，2﹣2k）， ∴两点距离为＝|2﹣k|， ∵0≤k≤3， ∴当k＝0时，距离最大， ∴最大距离为2． 故答案为：2． 【变式2-4】．（2023•开化县模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点． （1）当b＝﹣2时，求抛物线的表达式； （2）求一元二次方程ax2+bx+c＝c的根； （3）求证：a≤c． 【分析】（1）由b＝﹣2，根据一元二次方程的根与二次函数图象的关系，借助一元二次方程根的判别式求解即可； （2）根据已知可得ax2+bx+c＝0两根是2和﹣4，由一元二次方程根与系数的关系，可得b＝2a，进而化简方程求解即可； （3）根据已知可得ax2+bx+c＝0两根是2和﹣4，由一元二次方程根与系数的关系，可得c＝﹣8a，根据a的范围得证． 【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx+c中b＝﹣2， ∴y＝ax2﹣2x+c， ∵y＝ax2﹣2x+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）， ∴ax2﹣2x+c＝0的两个根为：2和﹣4， ∴2+（﹣4）＝，2×（﹣4）＝， 解得：a＝﹣1，c＝8， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+8； 解：（2）∵y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）， ∴ax2+bx+c＝0的两个根为：2和﹣4， ∴2+（﹣4）＝﹣， ∴b＝2a， ∴当ax2+bx+c＝c时，则ax2+bx＝0， ∴ax2+2ax＝0， ∵a≠0， ∴x2+2x＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣2； 证明：（3）∵y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）， ∴ax2+bx+c＝0的两个根为：2和﹣4， ∴﹣4×2＝， ∴c＝﹣8a， ∵a＜0， ∴c＝﹣8a＞0， ∴a≤c． 【变式2-5】．（2024•舟山三模）已知一次函数y＝x﹣5的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．将点A向左平移4个单位，得到点A′，且点A′恰好在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a、b是常数，a≠0）图象的对称轴上． （1）用含a的代数式表示b． （2）求证：二次函数与一次函数图象交于一个定点，并求出该点的坐标． （3）若二次函数图象与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【分析】（1）求得A的坐标，进一步求得A′的坐标，由点A′恰好在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a、b是常数，a≠0）图象的对称轴上，得到，解得b＝﹣2a； （2）求得对称轴，根据抛物线的对称性可知二次函数过定点（0，﹣3）和（2，﹣3），当x＝2时，一次函数的函数值恰好也是﹣3，即可得到二次函数与一次函数必定交于一个定点（2，﹣3）； （3）①当a＜0时二次函数与y轴交于点（0，﹣3），一次函数与y轴交于点（0，﹣5），两函数必定交于一个定点为（2，﹣3），结合图象可得，a＜0时，均符合题意；②当a＞0时，由题意当x＝5时，y＝25a﹣10a﹣3＜0，解得，当二次函数与线段AB只有一个交点（2，﹣3）时，由 得ax2+（﹣2a﹣1）x+2＝0，由Δ＝0，解得，即可得出a的取值范围是a＜0或或． 【解答】解：（1）令y＝0，则x＝5， ∴A（5，0）， 将点A向左平移4个单位，得到点A′（1，0）， ∵点A′恰好在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a、b是常数，a≠0）图象的对称轴上． ∴，即b＝﹣2a； （2）方法一： ∵二次函数必过定点（0，﹣3）， 又∵二次函数的对称轴是直线x＝1， ∴二次函数也过定点（2，﹣3）， 当x＝2时，一次函数的函数值恰好也是﹣3， ∴二次函数与一次函数必定交于一个定点，该点的坐标为（2，﹣3）； 方法二： 由 得ax2+（﹣2a﹣1）x+2＝0，化简得（ax﹣）（x﹣2）＝0 解得 ，x2＝2 ∴二次函数与一次函数必定交于一个定点，该点的坐标为（2，﹣3）； （3）①当a＜0时， ∵二次函数与y轴交于点（0，﹣3），一次函数与y轴交于点（0，﹣5）， 又∵两函数必定交于一个定点为（2，﹣3）， ∴由图象可得，a＜0时，均符合题意； ②当a＞0时， 由图象可得，当x＝5时，y＜0，或者二次函数与线段AB只有一个交点（2，﹣3）时，符合题意． 当x＝5时，y＝25a﹣10a﹣3＜0，解得， 当二次函数与线段AB只有一个交点（2，﹣3）时， 由 得ax2+（﹣2a﹣1）x+2＝0，由Δ＝0，解得， 综上所述，a的取值范围是a＜0或或． 【变式2-6】．（2024•浙江模拟）已知：二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+2m﹣1（m是常数）． （1）求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）． （2）若该二次函数图象与直线y＝2x﹣1交于A，B两点（点A在点B的右侧），这两点的横坐标分别为xA，xB，求证：xA﹣xB是个定值． （3）已知点P（1，1），Q（﹣2，﹣5），若该二次函数图象与线段PQ只有一个交点，求m的取值范围． 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式求解． （2）利用根与系数的关系即可判断； （3）求得直线PQ的解析式为y＝2x﹣1，即可得到抛物线的顶点在直线y＝2x﹣1上，分别求得抛物线过P、Q点时的m的值，结合图象即可求得m的取值范围． 【解答】（1）解：∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+2m﹣1＝﹣（x﹣m）2+2m﹣1， ∴抛物线顶点D坐标为（m，2m﹣1）． （2）证明：由题意可知，xA，xB是方程﹣x2+2mx﹣m2+2m﹣1＝2x﹣1，即x2+（2﹣2m）x+m2﹣2m＝0的两个根， ∴xA+xB＝2m﹣2，xA•xB＝m2﹣2m， ∴xA﹣xB＝＝＝2． ∴xA﹣xB是个定值． （3）解：设PQ所在直线解析式为y＝kx+b， 将P（1，1），Q（﹣2，﹣5）代入得， 解得， ∴直线PQ解析式为y＝2x﹣1． ∵抛物线顶点D坐标为（m，2m﹣1）， ∴抛物线的顶点在直线y＝2x﹣1上， 当m＝﹣2时，抛物线与线段PQ有1个交点，当m＝1时，抛物线与线段PQ有2个交点， 将（﹣2，﹣5）代入y＝﹣x2+2mx﹣m2+2m﹣1得m2+2m＝0， 解得m＝0，m＝﹣2， ∴﹣2≤m＜0时，抛物线与线段PQ有1个交点， 将（1，1）代入y＝﹣x2+2mx﹣m2+2m﹣1得m2﹣4m+3＝0， 解得m＝1，m＝3， ∴1＜m≤3时，抛物线与线段PQ有1个交点， 综上所述，该二次函数图象与线段PQ只有一个交点，m的取值范围是﹣2≤m＜0或1＜m≤3． 题型三 根据函数图象直接写出不等式（组）的解集 【例3】．（2024•浙江模拟）已知二次函数y＝ax2﹣x﹣c，当y＞0时，﹣2＜x＜1，则二次函数y＝ax2+x﹣c的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，由二次函数y＝ax2﹣x﹣c，当y＞0时，﹣2＜x＜1，从而可得a＜0，﹣2+1＝﹣＝＝﹣1，﹣2×1＝﹣＝﹣2，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数y＝ax2﹣x﹣c，当y＞0时，﹣2＜x＜1， ∴a＜0，﹣2+1＝﹣＝＝﹣1，﹣2×1＝﹣＝﹣2． ∴二次函数y＝ax2+x﹣c的开口向下，且﹣＝1，﹣＝﹣2． 故选：D． 【变式3-1】．（2022秋•吴兴区期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与一次函数y＝kx+1（k＞0）的图象交于A（﹣3，m），B（1，n）两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+1的解集为 　﹣3＜x＜1　． 【分析】利用图象法进行求解即可． 【解答】解：由题意得，关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+1的解集即为二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象在一次函数y＝kx+1（k＞0）的图象上方时自变量的取值范围， ∴关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+1的解集为﹣3＜x＜1， 故答案为：﹣3＜x＜1． 【变式3-2】．（2024•瓯海区校级三模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表所示： x ﹣3 ﹣2 3 4 y ﹣12 m 0 m 则当y＜0时，x的取值范围为（　　） A．﹣1＜x＜3 B．﹣2＜x＜4 C．x＜﹣1或x＞3 D．x＜﹣2或x＞4 【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性可判断二次函数的对称轴，开口方向以及与x轴的交点坐标；当y＜0时，函数图象在x轴下方，据此求出x的取值范围． 【解答】解：由表可知，二次函数图象的对称轴为直线x＝＝1， ∴（﹣1，0），（3，0）在此二次函数的图象上， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴二次函数的图象开口向下，且与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）， ∴当y＜0时，x的取值范围为x＜﹣1或x＞3． 故选：C． 【变式3-3】．（2023春•鄞州区校级月考）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间（包含端点）．下列结论中正确的是（　　） ①不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3； ②9a2﹣b2＜0； ③一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根分别为，x2＝﹣1； ④6≤3n﹣2≤10． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【分析】由已知求出b＝﹣2a，c＝﹣3a，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个的交点为（3，0），则不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3；再将b＝﹣2a，c＝﹣3a，代入9a2﹣b2，即可判断②；将一元二次方程cx2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣ax+a＝0，即可求方程的根；由已知可得2≤c≤3，再由抛物线的顶点坐标可求n＝﹣4a，从而进一步可求n的范围为≤n≤4，即可求出6≤3n﹣2≤10． 【解答】解：∵顶点坐标为（1，n）， ∴b＝﹣2a， ∵与x轴交于点A（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0， ∴c＝﹣3a， ∵对称轴为直线x＝1，经过点（﹣1，0）， ∴抛物线与x轴的另一个的交点为（3，0）， ∵抛物线开口向下， ∴不等式ax2++bx+c＜0的解集为x＜﹣1或x＞3， 即不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3， 故①正确； ∵9a2﹣b2＝9a2﹣（﹣2a）2＝5a2＞0， 故②不正确； ∵一元二次方程cx2+bx+a＝0可化为﹣3ax2﹣2ax+a＝0， 即3x2+2x﹣1＝0， ∴方程的根为x1＝，x2＝﹣1， 故③正确； ∵抛物线与y轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间， ∴2≤c≤3， ∵顶点坐标为（1，n）， ∴n＝﹣4a， ∵c＝﹣3a， ∴n＝c， ∴≤n≤4， ∴6≤3n﹣2≤10； 故④正确； 故选：D． 【变式3-4】．（2024•拱墅区校级模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别α，β（α＜β），而x2+bx+c﹣2＝0的两根为M、N（M＜N），则α、β、M、N的大小顺序为（　　） A．α＜β＜M＜N B．M＜α＜β＜N C．α＜M＜β＜N D．M＜α＜N＜β 【分析】依题意画出函数y＝（x﹣α）（x﹣β）和y＝2的图象草图，根据二次函数的图象可直接求解． 【解答】解：依题意，画出函y＝（x﹣α）（x﹣β）的图象，如图所示． 函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为α，β（α＜β）， 方程x2+bx+c﹣2＝0的两根是抛物线y＝（x﹣α）（x﹣β）与直线y＝2的两个交点． 由M＜N，可知对称轴左侧交点横坐标为M，右侧为N． 由图象可知，M＜α＜β＜N， 故选：B． 【变式3-5】．（2022秋•上城区校级期中）如图，已知函数y＝﹣与y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P（﹣3，1），则关于x的不等式ax2+bx＞﹣的解为 　x＜﹣3或x＞0　． 【分析】直接由函数图象即可得出结论． 【解答】解：由函数图象可知，当x＜﹣3或x＞0时，ax2+bx＞﹣． 故答案为：x＜﹣3或x＞0． 【变式3-6】．（2023•农安县一模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，直线l∥x轴，则当ax2+bx+c≥1时x的取值范围 　﹣0.5≤x≤2.5　． 【分析】先根据抛物线的对称性求出直线l与抛物线的另一个交点坐标为（﹣0.5，1），再根据图象法求解即可． 【解答】解：由函数图象可知抛物线对称轴为直线x＝1，直线l与抛物线交于点（2.5，1）， ∴直线l与抛物线的另一个交点坐标为（﹣0.5，1）． ∴当﹣0.5≤x≤2.5时，ax2+bx+c≥1， 故答案为：﹣0.5≤x≤2.5． 【变式3-7】．（2023秋•拱墅区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝（x﹣1）2﹣1图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B． （1）求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象； （2）一次函数y＝kx+b的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式kx+b≤（x﹣1）2﹣1的解集． 【分析】（1）将y＝0代入函数解析式求解． （2）根据点A，B坐标及图象求解． 【解答】（1）解：令y＝0，则（x﹣1）2﹣1＝0， 解得x1＝0，x2＝2， ∴B点坐标为（2，0）， 列表得： x ﹣1 0 1 2 3 y 3 0 ﹣1 0 3 画图得： ； （2）如图， 由图形可得：x≤1或x≥2时，kx+b≤（x﹣1）2﹣1． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$